Демидова_проект

МКОУ «Солдатско-Степновская средняя общеобразовательная школа»
Быковского муниципального района Волгоградской области
«Фестиваль исследовательских проектов (по математике)»
Номинация: «Математика в архитектуре/ музыке/ медицине/ космосе и т.п.»
Исследовательская работа на тему:
«Математическое искусство Эшера»
Выполнила: ученица 11 класса
Демидова Виктория Александровна
Научные руководители:
Чулкова Надежда Андреевна (учитель математики)
Чулкова Людмила Ивановна (учитель математики)
Чулков Александр Андреевич (учитель рисования)
2013 год
Содержание
Содержание
стр. 2
Введение
стр. 3
Историческая справка
стр. 5
Немного фактов о Морисе Эшере
стр. 7
Мозаики
стр. 8
Многогранники
стр. 12
Форма пространства
стр. 14
Логика пространства
стр. 17
Практическое применение творчества Эшера
стр. 20
Заключение
стр. 23
Литература
стр. 24
Введение
«Математика есть ключ ко всем наукам».
Как – то раз, взяв учебник 10-11 класса «Геометрия» И.М. Смирнова, я
обратила внимание на рисунок, размещенный на обложке. Это был куб с
полосками. Выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как
расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И
если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что
нарисовано на этой картине. В каждой главе присутствуют рисунки с
изображением
пространственных
фигур,
с
различным
способом
их
моделирования. Я задалась вопросом, кто автор этих рисунков, какой
математик? И почему эти картины так и манят к себе, так притягивают? А
это потому, что в ней чувствуется гармония.
В
последнее
время
вокруг
проблемы
построения
картинного
пространства возникает большой интерес, разгораются споры. Пространство
картины основополагающе в структуре художественного изображения.
Взгляд исследователей сосредотачивается на методиках, правилах создания
на плоскости иллюзорного мира. Какие это методики? Чем руководствуются
художники, когда пишут свои картины? В этом и заключается актуальность
моей работы. Искусство живописи известно с древних времен. Но широкое
распространение оно получило с конца 14 – начала 15 веков. Живописец
может творить чудеса – показать события далекого прошлого, явить перед
нами былинных богатырей и героев сказок, увековечить облик и духовный
мир человека, создать сложнейшую, многофигурную композицию…
Каждая работа Эшера это загадка. Можно часами рассматривать его
графику, ища искажения реальности, так ловко помещаемые им в
архитектуру, мазанку, пейзажи сферы и другие объекты. Даже его пейзажи это головоломки с интересным решением. От его работ не возможно устать,
ведь вам предстоит постоянно открывать для себя новые, не замеченные
ранее, штрихи. Графика Эшера поражает тем, что в ней нет ничего
невозможного. Его работы вовлекают зрителя в противопоставление
иллюзии и реальности. Среди его восторженных поклонников были и
математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную
интерпретацию некоторых математических законов. Это было интересно тем,
что сам Эшер не имел специального математического образования. В
процессе своей работы он черпал идеи из математических статей, в которых
рассказывалось
о
мозаичном
разбиении
плоскости,
проецировании
трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии. Он был очарован
всевозможными парадоксами и в том числе «невозможными фигурами».
Наиболее интересными для изучения идеями Эшера является всевозможные
разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.
Цель проекта: увидеть и обосновать связь математики с художественными
образами в творчестве Мориса Эшера и расширить свой кругозор.
Объект исследования: картины
Тип проекта: исследовательский.
Предмет исследования – работы Эшера: мозаика, паркеты, литографии,
гравюры.
Гипотеза исследования: творчество Эшера тесно связано с геометрией, как
на плоскости, так и в пространстве, что придает его работам фантастичность
и необычность.
Задачи исследования:
1. изучить
творчество
Эшера
и
определить
математическую
составляющую его творчества;
2. подготовить презентацию в программе Power Point в виде виртуальной
экскурсии, усовершенствуя навыки в работе с информационнокоммуникативными технологиями;
3. осуществить межпредметные связи математики, изобразительного
искусства, информатики, истории.
Методы исследования: поиск информации, сравнения, классификация,
анализ, обобщение.
Историческая справка
Морис Корнелис Эшер (Maurits Cornelis Escher; 1898—1972) —
нидерландский художник-график. Известен прежде всего литографиями,
гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал
пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также
особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и
статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую
известность. Среди его восторженных поклонников много математиков,
которые видят в его работах оригинальную визуальную интерпретацию
некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер
не имел специального математического образования.
Правильное произношение имени и фамилии — Мауриц Корнелис Эсхер —
используется в русских текстах редко, отчасти ввиду неблагозвучности,
отчасти из-за того, что нормы чтения нидерландского языка мало кому
известны за пределами Нидерландов.
Морис Эшер родился 17 июня 1898 года в городе Леувардене,
административном центре нидерландской провинции Фрисландия. Он был
третьим сыном инженера Г. А. Эшера и его второй жены, дочери министра. В
доме, котором родился Эшер, сейчас находится музей.
Оценки по всем предметам у Мориса были плохими за исключением
рисования. Учитель рисования заметил талант у мальчика и научил его
делать гравюры по дереву.
В 1917 году семья Эшера переезжает в голландский городок Остербек,
расположенный в окрестностях Арнема. В 1918-1919 годах Эшер посещает
Технический колледж в голландском городке Дельфт, но из-за плохого
здоровья Морис не справился с учебным планом, и был отчислен. В
результате, Эшер так и не получил высшее образование. Все еще в надежде
получить диплом архитектора в 1919-1922 годах юный Эшер учится в Школе
архитектуры и орнамента в городе Гаарлеме. Его учителем там был
художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное
влияние.
В 1970 году после новой серии операций Эшер переехал в новый дом в
Ларене (Нидерланды), в котором была студия, но плохое здоровье не давало
возможности много работать. Он продолжает переписываться со многими
друзьями по всему миру. Была издана исчерпывающая книга о жизни и
творчестве художника. Эшер прожил достаточно долго, чтобы увидеть книгу
"Мир М. К. Эшера" (The World of M. K. Escher) переведенную на английский
язык и остался ею очень доволен. Последняя работа, законченная Эшером "Змеи".
В марте 1972 года самочувствие художника сильно ухудшилось. Вся
семья собралась возле постели больного. 27 марта в возрасте 73 лет Морис
Эшер скончался.
Немного фактов о Морисе Эшере
* Самая большая картина Мориса Эшера - "Метаморфозы-2", на которой
представлена последовательность 10 трансформаций. Это полотно размером
19 см на 3,9 м.
* Как и многие гении, Эшер был левшой. Он рисовал левой рукой, а писал
правой.
* Знаменитую серию гравюр "Дни творения" Эшер создал после гибели
брата-альпиниста.
* Создавая "Рептилий", Эшер сначала вылепил фигурку крокодила из
пластилина и перемещал ее по столу.
* В наследии Мориса Эшера 448 ксилографий, линогравюр и литографий и
больше 2000 рисунков. Из них ровно 137 тесселляций. Тесселляция - это
мозаика из абсолютно одинаковых форм, которые прилегают друг к другу
без промежутков и не перекрывая одна другую.
* В честь Эшера назван открытый в 1985 году астероид.
* Образ литографии «Относительность» регулярно используется в других
художественных произведениях: он , персонажи мультсериала «Футурама» в
серии «I,Roommate» во время поисков квартиры одному из героев посещают
в том числе «эшеровский» дом, образ присутствует в клипе Red Hot Chili
Peppers на песню Otherside.
Мозаика
Регулярное разбиение плоскости, называемое «мозаикой» — это набор
замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений
фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления
мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или
прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик —
регулярными и нерегулярными, а также ввел собственный вид, который
назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с
другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
В своем эссе о мозаиках Эшер написал:
В
математических
работах
регулярное
разбиение
плоскости
рассматривается теоретически… Значит ли это, что данный вопрос
является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в
другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует
путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости
подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и
шестиугольник. Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним
трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение,
смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных,
птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырехи шести-направленную симметрию, таким образом сохраняя свойство
заполнения плоскости без перекрытий и щелей. Рассмотрим на примерах.
Регулярное разбиение плоскости птицами
Рептилии
Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах.
Рисунком рептилий собранных в виде мозаики. На столе расположены
обычные предметы — книги (та, по которой ползёт рептилия — учебник по
зоологии), посуда, горшок с цветами, среди них выделяется металлический
додекаэдр, на который рептилии поднимаются. Ящерицы маленького
размера, но не кажутся безобидными, имеют настоящие клыки. Одна из
рептилий, сидящая на грани додекаэдра, выпускает пар из ноздрей. Рептилии
оживают, ползают по кругу по предметам расположенным на столе и в
конечном итоге возвращаются обратно в плоский рисунок. В гравюре
«Рептилии» маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы
двухмерного
пространства
стола,
проходят
превратиться в двухмерные фигуры.
Эволюция 1
кругом,
чтобы
снова
В «Эволюции 1» можно проследить развитие искажения квадратной мозаики
в центральную фигуру из четырех ящериц. На этой картине используется
вращение на 180 градусов.
Цикл
В
данной
картине
изображены
движения,
которые
сохраняли
изначальную форму задуманного мотива [мотив – фрагмент мозаики,
которым заполняется плоскость]: «перемещение», «вращение», «скользящее
отражение». На самом деле, он подсократил количество движений,
сохраняющих
форму
(преобразование,
тела.
Эти
сохраняющее
точками некого тела)
движения
расстояние
называются«изометриями»
между
соответствующими
Многогранники
Правильные геометрические тела — многогранники — имели особое
очарование для Эшера. Существует лишь пять правильных многогранников,
то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных
многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр,
гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью
квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней,
додекаэдр,
гранями
которого
являются
двенадцать
правильных
пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.
Четыре правильных многоугольника
На
гравюре
Эшер
изобразил
пересечение
основных
правильных
многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого
многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно
увидеть остальные.
Порядок и хаос
Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе
«Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен
внутрь
стеклянной
сферы.
Аскетичная
красота
этой
конструкции
контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Анализируя
картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции
— это окно, которое отражается левой верхней части сферы.
Звезды
Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно
встретить во многих работах Эшера. Гравюра «Звезды» можно увидеть тела,
полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Эшер поместил
внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие
всей фигуры. Этот аспект данной картины является еще одним предметом
восхищения математиков творчеством Эшера.
Форма пространства
Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения
являются картины, оперирующие с природой самого пространства.
Три пересекающиеся плоскости
Литография «Три пересекающиеся плоскости» демонстрирует интерес
художника к размерности пространства и способность мозга распознавать
трехмерные изображения на двухмерных рисунках.
Предел круга III
В работе «Предел круга III» Эшер создал много иллюстраций
гиперболического пространства. Здесь представлен один из двух видов
неевклидового
пространства,
описанных
французским
математиком
Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что
вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от
центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как
уменьшаются рыбы на данной картине. Путь, который вам надо будет пройти
до границы круга будет казаться вам бесконечным. Если внимательно
присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все
подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы
не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами,
соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует
квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?
Змеи
В работе «Змеи» пространство уходит в бесконечность в обе стороны —
и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано
уменьшающимися кольцами.
Эшера интересовали также визуальные аспекты топологии. Топология
изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются
при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Топологам
приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее
известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах
Эшера.
Лента мебиуса II
Если вы проследите путь муравьев на литографии «Лента Мебиуса II»,
то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям
ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять
полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем.
Картинная галерея
Литография «Картинная галерея», в которой изменены одновременно и
топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на
картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в
магазине — картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит
на картину, на которой нарисован приморский город. Каким-то образом
Эшер завернул пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится
одновременно внутри картины и вне ее. Обратите внимание, что расстояние
между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов.
Я обратила внимание на
белое пятно в центре. Это особая точкой, где
пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок
картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему,
поместив в центр картины свой автограф.
Логика пространства
Под «логикой» пространства мы понимаем те отношения между
физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при
нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще
оптическими иллюзиями.
Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и
логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто
используемый особенностей логики пространства — игра света и тени на
выпуклых и вогнутых объектах.
Куб с полосками
На литографии «Куб с полосками» выступы на лентах являются
визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как
они переплетаются с кубом.
Еще один из аспектов логики пространства — перспектива. На
рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так
называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о
бесконечности пространства.
Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя
элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог
изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в
зависимости от того, как зритель смотрит на картину.
Сверху вниз
На картине «Cверху и cнизу» Эшер
разместил сразу пять точек
исчезновения — по углам картины и в центре. В результате, если мы
смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы
смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то
кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер
изобразил два вида одной и той же композиции.
Следующий
тип картин с нарушенной логикой пространства — это
«невозможные фигуры». Парадокс невозможных фигур основан на том, что
наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные
рисунки как трехмерные. Эшер создал много таких работ.
Водопад
Литография
«Водопад»
— основана
на
фигуре
невозможного
треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой
работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную
фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой,
работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии.
Практическое применение творчества Эшера
Последний писк моды футболка с рисунками орнаментов Эшера
Бокал с изображением паркета Эшера
© Еськова Т.М., 2010
Красивая ткань с изображением паркета Эшера
Кружки с изображением паркета Эшера
Галстуки, украшенные паркетами Эшера
Часы с использование паркета Эшера
В оформлении учебников Мордковича А.Г. «Математика 10», «Математика
11» и Смирнова И.М. «Геометрия 10-11 классы» использованы литографии
Эшера
Заключение
В ходе своего исследования я пришла к выводу, что красота и
гармония поддается математического описанию. Его литографии, гравюры на
дереве можно увидеть в кабинетах математиков. С середины прошлого века
без его гравюр не обходится ни одна «иллюстрированная» книга по
математике, физике, топологии, не говоря уж о популярных изданиях!
Советский научно-популярный журнал «Квант» публиковал Эшера свыше 20
раз, «Знание-сила» - еще больше. Учебники «Математика 10», «Математика
11» автор Мордкович А. Г.
в оформлении учебников использованы
литографии Эшера. Его имя можно встретить и в книгах по информатики.
Можно увидеть чашки, галстуки, часы и красивые ткани, украшенные
паркетами Эшера. Последний «писк» моды футболки с рисунками
орнаментов Эшера.
В заключении своей работы я хочу сказать следующее:
1.
В творчестве Эшера доминирует математический аспект.
2.
Математики были первыми среди почитателей его таланта.
3.
Прослеживается связь творчества Эшера с наукой: математикой,
изобразительным искусством, физикой.
4.
Мое исследование показало, сколь широка и многогранна деятельность
человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и
содержанию изображений.
5.
При работе над темой я узнала много интересного о жизни
замечательного художника Эшера. Я познакомилась с новыми понятиями:
регулярные
и
нерегулярные
разбиения
плоскости,
правильные
многоугольники, разделом математики – топологией и листом Мёбиуса.
Я считаю, что цель и задачи, которые я поставила перед собой
полностью реализованы. Гипотеза – подтверждена. Данный проект я
презентовала на внеклассном мероприятии по математике. Моя работа
вызвала большой интерес и у учащихся моей школы. Мою презентацию
можно использовать как обзорное знакомство с творчеством Эшера на
уроках математики в 10-11 классах. Свою работу я опубликовала на сайте
http://pedsovet.org на личной странице своего научного руководителя. Я
рассмотрела лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий
и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. С каждый годом
появляются все больше и больше книг, где освещается творчество
художника, анализируются различные аспекты его творчества. Надеюсь, что
моя работа заинтересовала вас творчеством Эшера.
Литература
Ж. Л. Лошер, В. Ф. Вельдхуизен. Магия М. К. Эшера. — Арт-Родник,

Taschen, 2007. — ISBN 978-5-9794-0025-9
Bruno Ernst. The Magic Mirror of M. C. Escher. — Random House (New York),

1976. — ISBN 978-3822837030
Douglas Hofstadter. Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid. — Basic

Books, 1979. — ISBN 978-0465026562
Хофштадтер Д. Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. — Самара,
o
2001. — 752 с.

F. H. Bool, J. R. Kist, J. L. Locher, F. Wierda. M. C. Escher: His life and
complete graphic work. — Harry N. Abrams (New York), 1982.
J. L. Locher. Leven en werk van M. C. Escher. — Meulenhoff (Amsterdam),

1981.
Doris Schattschneider. M. C. Escher: Visions of Symmetry. — Meulenhoff

(Amsterdam), 2004. — ISBN 978-0810943087
Wim Hazeu. M. C. Escher: Een biografie. — Harry N. Abrams (New York),

1998. — ISBN 90-290-5477-8

M. C. Escher’s legacy: A centennial celebration / Ed. by Doris Schattschneider,
Michele Emmer. — Springer (New York), 1998. — ISBN 3-540-20100-9,
частично доступна на Google Book Search.