МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №7
Научно-исследовательская работа
«Окружность»
Выполнила ученица 9А класса
Соловьева Дарья
педагог Дворникова Галина Викторовна
Кострома
2012 г.
1
Введение
Актуальность темы
Я считаю необходимым проведение этого исследования, потому что
учащиеся часто интересуются началами и историей развития математики,
связанной с различными геометрическими фигурами. Это исследование
помогло бы привлечь внимание учащихся к истории окружности, как
геометрической фигуры и расширить свой кругозор в целом.
Новизна
В исследовании проведён подробный скомпонованный сбор фактов и
исторических справок по теме окружности, об её аспектах и эволюции.
Цель проекта.
Исследование
исторического
материала
о
создании
понятия
окружности.
Задачи исследования.
- Познакомиться с историей окружности и с её значением для человечества в
древности;
- Узнать историю создания циркуля;
- Узнать историю числа Пи;
- Познакомиться с биографией Архимеда.
Объект исследования.
Окружность, её аспекты.
Предмет исследования. Математика.
Теоретическая значимость.
Исследование представляет собой законченную и достоверную
информацию об окружности, её свойствах и аспектах.
Прикладная ценность.
Проведён анализ литературных источников, сбор и систематизация
достоверных фактов.
2
История развития понятия окружности
Для первобытных людей важную роль играла форма окружающих их
предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от
несъедобных, пригодные для построек деревья и деревья, которые годятся
лишь на дрова, вкусные орехи от горьких или ядовитых. Особенно вкусны
орехи кокосовой пальмы. Эти орехи очень похожи на шар. А добывая
каменную соль или горный кварц, люди наталкивались на кристаллы, потом
научились шлифовать их. Отшлифованные орудия позволили быстро срубить
дерево, разрезать мясо, помогали лучше охотиться на зверей. Специальных
названий для геометрических фигур тогда не было. Говорили: "Такой, как
кокосовый орех”, (т. е. круглый), "такой, как соль” (т. е. имеющий форму
куба). Некоторые формы фигур казались особо красивыми. И действительно,
нельзя без восхищения смотреть на красоту кристаллов, цветов, фигур,
имеющих правильную круглую форму. Только в Древней Греции окружность
и круг получили свои названия. Круглые тела в древности заинтересовали
человека. Так в Древнем Египте для постройки знаменитых египетских
пирамид никаких технических сооружений еще не было. Даже шлифовать
огромные каменные глыбы приходилось вручную, а перемещали их с
помощью бревен круглой формы. Позже вместо бревен стали использовать
их части – в виде колес, которые катились уже легче. А теперь давайте
поразмышляем о колесе. В Древней Греции круг и окружность считали
венцом совершенства. В каждой своей точке окружность устроена
одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это
свойство окружности стало толчком к возникновению колеса, так как ось и
втулка колеса должны всё время быть в соприкосновении. К сожалению,
неизвестен изобретатель колеса. Колесо – это чудо! Что же в нём
особенного? – подумаете вы. Но это только на первый взгляд. Представьте
себе на секунду, что вдруг случилась беда: на Земле исчезли все колёса!
3
Круг – колесо – прогресс (движение вперед)
Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все
виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы. Не
произойдет движения вперед. Самые первые колеса были сделаны в
Месопотамии (ныне Ирак) в 3500-3000 гг. до н. э. и представляли собой
гончарный круг и тележное колесо. Не только в процессе работы люди
знакомились с различными фигурами. Издавна они любили украшать себя,
свою одежду, свое жилище. И многие, созданные давным-давно украшения,
имели ту или иную форму.Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца
имели форму окружности. Древние мастера научились придавать красивую
форму
бронзе,
золоту,
серебру,
драгоценным
камням.
Художники,
расписывавшие дворцы, тоже использовали окружность. Со времени
изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду –
горшки, вазы, амфоры. Круглыми были и колонны, подпирающие здания.
Самым важным среди круглых тел был шар.
Как вы думаете, а чем отличаются эти два понятия? Окружность – это
множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от
одной точки. Окружность разбивает плоскость на 2 части. Часть плоскости,
находящаяся не внутри окружности вместе с этой окружностью, называется
кругом.
4
"диа” - дважды
"метрио” - измеряю
Содержит ли диаметр в себе радиусы? Сколько?
D = 2r; r = d/2
Для построения окружности необходим новый чертежный инструмент
– циркуль.
История создания циркуля
Циркуль знаком каждому человеку со школы - на уроках черчения
нельзя обойтись без этого инструмента для рисования окружностей и дуг.
Кроме того, его используют для измерения расстояний, например, на картах,
его применяют в геометрии и для навигации. Обычно циркуль делается из
металла и состоит из двух «ножек», на конце одной из них находится игла, на
второй пишущий предмет, обычно графитный грифель. В случае если
циркуль измерительный, на обоих его концах расположены иглы.
Само слово циркуль происходит от латинского circulus - «круг,
окружность, кружок», от латинского же circus - «круг, обруч, кольцо». В
русский язык циркуль или циркул пришел от польского cyrkuɫ или
немецкого Zirkel. Сейчас уже нельзя сказать, кто именно изобрел этот
инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней
Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала,
первого «воздухоплавателя» древности. История циркуля насчитывает уже
несколько тысяч лет - судя по сохранившимся начерченным кругам,
инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам (II - I века до нашей
эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный
циркуль (I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много
древнеримских
бронзовых
циркулей.
Причем
в
Помпеях
найдены
инструменты уже совсем современные: циркули с загнутыми концами для
5
измерения внутренних диаметров предметов, «кронциркули» для измерения
максимального диаметра, пропорциональные - для кратного увеличения и
уменьшения размеров. При раскопках в Новгороде был найден стальной
циркуль-резец для нанесения орнамента из мелких правильных кружочков,
очень распространенного в Древней Руси. Со временем конструкция циркуля
практически не изменилась, но ему придумали массу насадок, так что теперь
он может вычерчивать окружности от 2 миллиметров до 60 сантиметров,
кроме того, обычный графитный грифель можно заменить насадкой с
рейсфедером для черчения тушью. Есть несколько основных типов циркулей:
разметочный или делительный, его применяют для снятия и перенесения
линейных размеров; чертежный или круговой, его применяют для
вычерчивания окружностей диаметром до 300 миллиметров; чертежный
кронциркуль для вычерчивания окружностей от 2 до 80 миллиметров в
диаметре; чертежный штангенциркуль для вычерчивания окружностей
диаметром больше 300 миллиметров; пропорциональный - для изменения
масштабов снимаемого размера. Циркуль используется не только в черчении,
навигации или картографии - применение ему нашлось и в медицине:
например, большой и малый толстотные циркули применяются для
измерения поперечных размеров тела человека и для измерения размеров
черепа соответственно, а циркуль-калипер используется для измерения
толщины подкожно-жировой складки. Также известен циркуль Вебера,
немецкого психофизиолога и анатома, разработанный им для определения
порога кожной чувствительности. Но циркуль - не только всем известный
инструмент. Этим словом названо маленькое созвездие южного полушария к
западу от «Наугольника» и «Южного треугольника», рядом с α-Центавра. К
сожалению, на территории России это созвездие не наблюдается. Кроме того,
циркуль является символом неуклонной и беспристрастной справедливости,
совершенной фигурой круга с центральной точкой, источником жизни.
Наряду с квадратом циркуль определяет пределы и границы прямой линии. В
ритуальной архитектуре циркуль символизирует трансцендентное знание,
6
архетип, контролирующий все работы, навигатора. У китайцев циркуль
означает правильное поведение. Циркуль - атрибут Фо-хи, легендарного
китайского императора, считавшегося бессмертным. Сестра Фо-хи имеет
квадрат, и вместе они - мужской и женский принципы, гармония инь и янь. У
греков
циркуль
наряду
с
глобусом
являлся
символом
Урании,
покровительницы астрономии. Циркуль, совмещенный с наугольником одна из самых распространенных эмблем, символов и знаков масонов. На
этой эмблеме циркуль символизирует Небесный Свод, а наугольник - землю.
Небо в данном случае символически связано с местом, где чертит план
Великий Строитель Вселенной. Буква «G» в центре в одном из значений сокращение слова «геометр», используемого в качестве одного из названий
верховного существа.
История числа пи
История числа p, выражающего отношение длины окружности к её
диаметру,
началась
в
Древнем
Египте.
Площадь
круга
диаметром d египетские математики определяли как (d-d/9)2 (эта запись дана
здесь в современных символах). Из приведенного выражения можно
заключить, что в то время число p считали равным дроби (16/9)2, или 256/81,
т.е. p = 3,160...
В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий,
существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из
которого следует, что число p в то время принимали равным
, что даёт
дробь 3,162...
Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие измерение окружности
сводили к построению отрезка, а измерение круга - к построению
равновеликого квадрата. Следует заметить, что на протяжении многих
столетий математики разных стран и народов пытались выразить отношение
длины окружности к диаметру рациональным числом. Архимед в III в. до
7
н.э. обосновал в своей небольшой работе "Измерение круга" три
нижеприведённых положения.
Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты
которого соответственно равны длине окружности и её радиусу. Площади
круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14.
Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71.
Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением
периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при
удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных
описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и
т.д., доведя
вычисления до периметров правильного вписанного и
описанного
многоугольников
с
96
сторонами.
По
точным
расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между
числами 3*10/71 и 3*1/7, а это означает, что p =3,1419... Истинное значение
этого отношения 3,1415922653...
В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более
точное значение этого числа: 3,1415927...
Впервой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда,
астроном и математик ал-Каши вычислил p с 16 десятичными знаками. Он
сделал
27
удвоений
числа
сторон
многоугольников
и
дошёл
до
многоугольника, имеющего 3*228 углов. Ал-Каши произвёл уникальные
расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом
в 1'.
Эти
таблицы
сыграли
важную
роль
в
астрономии.
Спустя полтора столетия в Европе Ф.Виет нашёл число p только с 9
правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон
многоугольников.
Но
при
этомФ.Виет первым
заметил,
что p можно
отыскать, исользуя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое
значение, так как позволило вычислить p с какой угодно точностью. Только
через 250 лет после ал-Каши его результат был превзойдён.
8
Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру
современным символом p английский математик У.Джонсон в 1706 г. В
качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в
переводе означает "окружность". ВведённоеУ.Джонсоном обозначение стало
обшеупотребительным
воспользовался
после
опубликования
введённым
работ Л.Эйлера,
который
впервые
в 1736 г.
символом
В конце XVIII в. А.М.Лажандр на основе работ И.Г.Ламберта доказал, что
число p иррационально. Затем немецкий математик Ф.Линдеман, опираясь на
исследования Ш.Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число
не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем
алгебраического уравнения. Из последнего следует, что с помощью только
циркуля
и
линейки
построить
отрезок,
равный
по
длине
окружности, невозможно, а, следовательно, не существует решения задачи о
квадратуре круга.
Поиски точного выражения p продолжались и после работ Ф.Виета. В
начале XVII в. голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен (15401610)
(некоторое
историки
его
называют Л.ван
Кейлен) нашёл
32
правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа p с 32
десятичными знаками получило название числа Лудольфа.
К концу XIX в., после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям
Шенкс нашёл 707 знаков числа p. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью
ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и
дальнейшие его вычисления оказались неверными.
После разработки методов дифференциального и интегрального
исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи".
Некоторые из этих формул позволяют вычислить "пи" приёмами, отличными
от метода Архимеда и более рациональными. Например, к числу "пи" можно
прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так, Г.Лейбниц (1646-1716)
получил в 1674 г. Ряд 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+... =p/4, который дал
9
возможность вычислить p более коротким путём, нежели Архимед. Всё же
указанный ряд сходится очень медленно и поэтому требует довольно
продолжительных расчётов. Для вычисления "пи" удобнее использовать ряд,
получаемый
от
разложения arctgx при
значении x=1/ ,
при
котором
разложение функции arctg 1/ =p/6 в ряд даёт равенство
p/6 = 1/ [1 - 1/3*1/3 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...], т.е.
p = 2 [1 - 1/9 + 1/5 * (1/3)2 - 1/7 * (1/3)3 + ...] Частично суммы этого ряда
можно вычислять по формуле
Sn+1 = Sn + (2 )/(2n+1) * (-1/3)n, при этом "пи" будет ограничено двойным
неравенством: S2n < p < S2n+1
Ещё более удобную формулу для вычисления p получил Дж.Мачин.
Пользуясь этой формулой, он вычислил p (в 1706 г.) с точностью до 100
верных знаков. Хорошее приближение для "пи" даёт выражение p =
+
.
Однако следует помнить, что это равенство надо рассматривать как
приближённое, т.к. правая часть его - число алгебраическое, а левая трансцендентное, следовательно, эти числа равными быть не могут.
Как указала в своих статьях Э.Я.Бахмутская (60-ые годы XX столетия), ещё в
XV-XVI вв. южноиндийские учёные, в том числе Нилаканта, пользуясь
приёмами приближённых вычислений числа p, нашли способ разложения
arctgx в степенной ряд, подобный ряду, найденному Лейбницем. Индийские
математики дали словесную формулировку правил для разложения в
ряды синуса икосинуса. Этим они предвосхитили открытие европейских
математиков XVII в. Тем не менее их изолированные и ограниченные
практическими потребностями вычислительные работы никакого влияния на
дальнейшее развитие науки не оказали.
В наше время труд вычислителей заменили ЭВМ. С их помощью число
"пи" вычислено с точностью более миллиона знаков после запятой, причём
10
эти
вычисления
продолжались
только
несколько
часов.
В современной математике число p - это не только отношение длины
окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в
том числе и в формулы неевклидовой геометрии, и формулу Л.Эйлера,
которая устанавливает связь числа p и числа e следующим образом: e2 pi = 1,
где i =
. Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё
глубже выяснить природу числа p.
Архимед
287 г. до н. э. — 212 г. до н. э.
Биография
Архимед родился в 287 году до нашей эры в греческом городе
Сиракузы, где и прожил почти всю свою жизнь. Отцом его был Фидий,
придворный астроном правителя города Гиерона. Учился Архимед, как и
многие другие древнегреческие ученые, в Александрии, где правители
Египта Птолемеи собрали лучших греческих ученых и мыслителей, а также
основали знаменитую, самую большую в мире библиотеку.
После учебы в Александрии Архимед вновь вернулся в Сиракузы и
унаследовал должность своего отца.
В теоретическом отношении труд этого великого ученого был
ослепляюще многогранным. Основные работы Архимеда касались различных
практических приложений математики (геометрии), физики, гидростатики и
механики. В сочинении «Параболы квадратуры» Архимед обосновал метод
расчета площади параболического сегмента, причем сделал это за две тысячи
лет до открытия интегрального исчисления. В труде «Об измерении круга»
Архимед впервые вычислил число «пи» — отношение длины окружности к
диаметру — и доказал, что оно одинаково для любого круга. Мы до сих пор
пользуемся придуманной Архимедом системой наименования целых чисел.
Математический метод Архимеда, связанный с математическими работами
11
пифагорейцев и с завершившей их работой Эвклида, а также с открытиями
современников
Архимеда,
подводил
к
познанию
материального
пространства, окружающего нас, к познанию теоретической формы
предметов, находящихся в этом пространстве, формы совершенной,
геометрической формы, к которой предметы более или менее приближаются
и законы которой необходимо знать, если мы хотим воздействовать на
материальный мир.
Но Архимед знал также, что предметы имеют не только форму и
измерение они движутся, или могут двигаться, или остаются неподвижными
под действием определенных сил, которые двигают предметы вперед или
приводят в равновесие. Великий сиракузец изучал эти силы, изобретая новую
отрасль математики, в которой материальные тела, приведенные к их
геометрической форме, сохраняют в то же время свою тяжесть. Эта
геометрия веса и есть рациональная механика, это статика, а также
гидростатика, первый закон которой открыл Архимед (закон, носящий имя
Архимеда), согласно которому на тело, погруженное в жидкость, действует
сила, равная весу вытесненной им жидкости.
Однажды приподнявши ногу в воде, Архимед констатировал с
удивлением, что в воде нога стала легче. «Эврика! Нашел!» — воскликнул
он, выходя из своей ванны. Анекдот занятный, но, переданный таким
образом, он не точен. Знаменитое «Эврика!» было произнесено не в связи с
открытием закона Архимеда, как это часто говорят, но по поводу закона
удельного веса металлов — открытия, которое также принадлежит
сиракузскому ученому и обстоятельные детали которого находим у
Витрувия.
Рассказывают, что однажды к Архимеду обратился Гиерон, правитель
Сиракуз. Он приказал проверить, соответствует ли вес золотой короны весу
отпущенного на нее золота. Для этого Архимед сделал два слитка один из
золота, другой из серебра, каждый такого же веса, что и корона. Затем
12
поочередно положил их в сосуд с водой, отметил, на сколько поднялся ее
уровень. Опустив в сосуд корону, Архимед установил, что ее объем
превышает объем слитка. Так и была доказана недобросовестность мастера.
Любопытен отзыв Цицерона, великого оратора древности, увидевшего
«архимедову сферу» — модель, показывающую движение небесных светил
вокруг Земли «Этот сицилиец обладал гением, которого, казалось бы,
человеческая природа не может достигнуть».
И, наконец, Архимед был не только великим ученым, он был, кроме
того, человеком, страстно увлеченным механикой. Он проверяет и создает
теорию пяти механизмов, известных в его время и именуемых «простые
механизмы». Это — рычаг («Дайте мне точку опоры, — говорил Архимед, —
и я сдвину Землю»), клин, блок, бесконечный винт и лебедка. Именно
Архимеду часто
приписывают
изобретение
бесконечного
винта,
но
возможно, что он лишь усовершенствовал гидравлический винт, который
служил египтянам при осушении болот.
Впоследствии эти механизмы широко применялись в разных странах
мира.
Интересно,
что
усовершенствованный
вариант
водоподъемной
машины можно было встретить в начале XX века в монастыре,
находившемся на Валааме, одном из северных российских островов. Сегодня
же архимедов винт используется, к примеру, в обыкновенной мясорубке.
Изобретение
бесконечного
винта привело
его
к другому важному
изобретению, пусть даже оно и стало обычным, — к изобретению болта,
сконструированного из винта и гайки.
Тем своим согражданам, которые сочли бы ничтожными подобные
изобретения, Архимед представил решительное доказательство противного в
тот день, когда он, хитроумно приладив рычаг, винт и лебедку, нашел
средство, к удивлению зевак, спустить на воду тяжелую галеру, севшую на
мель, со всем ее экипажем и грузом.
13
Еще более убедительное доказательство он дал в 212 году до нашей
эры. При обороне Сиракуз от римлян во время второй Пунической войны
Архимед сконструировал несколько боевых машин, которые позволили
горожанам отражать атаки превосходящих в силе римлян в течение почти
трех лет. Одной из них стала система зеркал, с помощью которой египтяне
смогли сжечь флот римлян. Этот его подвиг, о котором рассказали Плутарх,
Полибий и Тит Ливий, конечно, вызвал большее сочувствие у простых
людей, чем вычисление числа «пи» — другой подвиг Архимеда, весьма
полезный
в
наше
время
для
изучающих
математику.
Архимед погиб во время осады Сиракуз его убил римский воин в тот момент,
когда ученый был поглощен поисками решения поставленной перед собой
проблемы.
Любопытно, что, завоевав Сиракузы, римляне так и не стали
обладателями трудов Архимеда. Только через много веков они были
обнаружены европейскими учеными. Вот почему Плутарх, одним из первых
описавший жизнь Архимеда, упомянул с сожалением, что ученый не оставил
ни одного сочинения.
Плутарх пишет, что Архимед умер в глубокой старости. На его могиле
была установлена плита с изображением шара и цилиндра. Ее видел
Цицерон, посетивший Сицилию через 137 лет после смерти ученого. Только
в ХVI–ХVII веках европейские математики смогли, наконец, осознать
значение того, что было сделано Архимедом за две тысячи лет до них.
Он оставил многочисленных учеников... На новый путь, открытый им,
устремилось целое поколение последователей.
Первым по времени из этих учеников был александриец Ктесибий,
живший во II веке до нашей эры. Изобретения Архимеда в области механики
были в полном ходу, когда Ктесибий присоединил к ним изобретение
зубчатого колеса.
14
15