Задача 4 - Расчет вала на кручение

Задача 4 - Расчет вала на кручение
Задание: Спроектировать стальной вал круглого сечения по вариантам:
- 1 – 10 постоянного сечения;
- 11 – 20 ступенчатый, равного сопротивления;
- 21 – 30 ступенчатый, заданной формы.
План решения задачи
1 Вычертить схему нагружения вала, построить эпюру крутящего
момента.
2 Установить [τ] по третьей гипотезе прочности и определить диаметры
вала, округляя их до стандартных размеров. Минимальное конструктивное
значение диаметра принять равным 10 мм. Вычертить эскиз вала.
3 Для каждого силового участка определить максимальные касательные
напряжения и построить эпюру.
4 Построить эпюру угловых перемещений в градусах.
Исходные данные. [σ] = 160 МПа; G = 80 МПа; а = 1 м.
Величины
внешних моментов, действующих на вал, приведены в таблице 4.
Таблица 4
Вариант
0
1
кН · м
2
3
4
5
6
7
8
9
М1
200
300
400
100
300
100
300
500
400
300
М2
300
500
400
200
400
100
200
600
800
200
М3
400
500
300
300
500
200
500
700
300
600
М4
500
200
500
400
600
200
300
800
500
500
Указание. Диаметры деталей
согласно
ГОСТ 6636-86
должны
соответствовать следующему ряду предпочтительных чисел:
…… 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 50, 52, 55, 58,
60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 130 и далее через 10 мм.
Задача 4
Расчет вала на кручение
Задание
Вычертить схему нагружения вала, построить эпюру крутящего момента.
Установить [τ] по III гипотезе прочности и определить диаметр, округляя до
стандартных размеров, вычертить эскиз вала. Построить эпюру угловых
перемещений вала. Для каждого силового участка определить максимальные
касательные, а также главные напряжения и показать их на выделенном
элементе.
Исходные данные: [σ] = 160 МПа; G = 80 ГПа; M = 100 кН·м; a = 0,1·м.
Решение
1 Разбиваем вал на четыре силовых участка ED, CD, CB и BA (рисунок 7).
Для каждого участка применяем метод сечений, составляем уравнения
крутящего момента, решая которые определяем характерные ординаты.
Рассмотрим I участок ED:
0  z1  a;
M кр z1   M ;
M I  100 кН  м.
Рассмотрим II участок DC:
0  z2  1,5a;
M кр z2   M  3  M ;
M II  100  3  100  200 кН  м.
Рассмотрим III участок CB:
0  z3  2a;
M кр z3   M  3  M  M ;
M III  100  3  100  100  300 кН  м.
Рассмотрим IV участок BA:
0  z4  2a;
M кр z4   M  3  M  M  2M ;
M IV  100  3  100  100  2  100  100 кН  м.
Расчетная схема вала и эпюра крутящего момента приведена на рисунке 7
2 Устанавливаем допускаемое касательное напряжение по III теории
прочности
 τ III  0,5σ  .
(43)
Подставляя числовые значения, получим
τIII  0,5 160  80 МПа.
Исходя из условия прочности при кручении
M кр
τ max 
Wρ
 τ ,
(44)
определяем диаметр вала на каждом участке, учитывая, что полярный момент
сопротивления равен
Wρ 
d 3
16
.
(45)
В итоге получаем следующую зависимость
di 
3
16  M кр max
.
   τ
Подставляя числовые значения, получим
16  100  106
d1  d 4 
 185,34 мм;
3,14  80
3
16  200  106
d2 
 233,51 мм;
3,14  80
3
(46)
16  300  106
d3 
 267,35 мм.
3,14  80
3
Согласно ГОСТ 6636, принимаем следующие значения диаметров
рассчитываемого вала:
d1 = d4 = 190 мм;
d2 = 240 мм;
d3 = 280 мм.
Вычертим эскиз вала (рисунок 8).
3 Построим эпюру углов закручивания, используя следующую зависимость
i  i 1  i , i 1,
(47)
где  i – угол закручивания iтого участка, град, определяем по формуле
i 
здесь J ρ(i ) 
 d (4i )
32
M кр  li 180

,
G  Jρ

(48)
 полярный момент инерции сечения, м4.
Принимая угол закручивания точки А –  A = 0, получим
B   A 
M кр4  2a 180

;
G  Jρ

(54)
100  106  200 180
B  0 

 112  105 град;
4
3,14  190 3,14
8  104 
32
С   B 
M кр3  2a 180

;
G  Jρ

(55)
300  106  200 180
C  112  10 

 244  105 град;
4
3,14  280 3,14
8  104 
32
5
 D  C 
M кр2  1,5a 180

;
G  Jρ

(56)
200  106  150 180
 D  244  10 

 285  105 град;
4
3,14  240 3,14
8  104 
32
5
E  D 
M кр1  a 180

;
G  Jρ

(57)
100  106  100 180
 E  285  10 

 229  105 град;
4
3,14  190 3,14
8  104 
32
5
4 Для
каждого
участка
определяем
максимальные
касательные
напряжения по следующей формуле
τ max i 
τ max 1
τ max 2
τ max 3
τ max 4
M кр i
Wρ i
;
(58)
 100  106

 74,3 МПа ;
3,14  190 3
16
200  106

 73,7 МПа ;
3,14  240 3
16
300 10 6

 69,6 МПа ;
3,14  280 3
16
100  106

 74,3 МПа .
3,14  190 3
16
Для каждого участка вычерчиваем элемент, находящийся в напряженном
состоянии (рисунок 7).
M
3M
M
2M
D
C
B
E
z1
z2
a
A
z4
z3
1,5a
2a
2a
200
+
Mкр
100
кН∙м
–
300
100
69,6
74,3
73,7
τ
+
74,3
МПа)
–
229·10-5
285·10-5
244·10-5
112·10-5
φ
град
σ3
σ1
σ1
τ(4)
σ3
σ1
σ3
σ3
τ(3)
σ1
σ1
σ3
σ3
τ(3)
σ1
Рисунок 7 – Расчетная схема вала
σ1
σ3
σ3
τ(3)
σ1
150
 190
 280
 240
 190
100
200
Рисунок 8 – Эскиз вала
вала
200