Тема 4. «Многочлены: теорема Безу и схема Горнера. Разложения алгебраических дробей» Ранее понятие многочлена было определено как алгебраическая сумма одночленов. Если все подобные одночлены многочлена приведены и расположены в порядке убывания степени переменной, то полученная запись называется канонической формой записи многочлена. Определение. Выражение вида an x n an1 x n1 an2 x n2 ... a2 x 2 a1 x a0 , переменная, an , an 1 , an 2 ,..., a2 , a1 , a0 действительные числа, причем an 0 , называется многочленом степени n от переменной x. Степенью многочлена является наибольшая степень переменной в его канонической записи. Если переменная не встречается в записи многочлена, т.е. многочлен равен константе, его степень считается равной 0. Случай, когда многочлен f ( x) 0, необходимо рассматривать отдельно. В этом случае где x – некоторая принято считать, что его степень не определена. 2 Примеры. 3x 9 x 1 многочлен второй степени, 1 5 2 x 4 x 4 x 2 8 многочлен пятой степени. 5 3 Определение. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда у них в канонических формах при одинаковых степенях стоят одинаковые коэффициенты. Определение. Число xo R называется корнем многочлена f ( x) an x n an1 x n1 ... a0 , если при постановке этого числа вместо x многочлен принимает значение 0, т.е. f ( x0 ) 0. Другими словами, xo будет являться корнем уравнения f ( x) 0. Таким образом, задача отыскания всех корней многочлена и корней рационального уравнения – одна и та же задача. Рациональные уравнения первой и второй степени решаются по известным алгоритмам. Существуют также формулы отыскания корней многочленов третьей и четвертой степени (формулы Кардано и Феррари), однако в силу их громоздкости они не входят в курс элементарной математики. Общей идеей отыскания корней многочленов высших степеней является разложение многочлена на множители и замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений более низкой степени. g ( x) 0, f ( x ) 0 g ( x ) h( x ) 0 h( x) 0. В предыдущих темах отмечались основные способы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя; группировка; формулы сокращенного умножения. Однако способ группировки не носит алгоритмического характера, поэтому его трудно применять для многочленов больших степеней. Рассмотрим некоторые дополнительные теоремы и методы, позволяющие раскладывать на множители многочлены высших степеней. Теорема о делении с остатком. Пусть даны многочлены f ( x), g ( x) , причем степень g ( x) отлична от 0, и степень f ( x) больше степени g ( x) . Тогда существуют многочлены h( x), r ( x) , такие, что выполняется равенство f ( x) g ( x) h( x) r ( x) . Причем, степень r ( x) меньше степени g ( x). Многочлен f ( x) называется делимым, многочлен g ( x) делителем, многочлен h( x) неполным частным, а многочлен r ( x) остатком. Если остаток от деления равен 0, то говорят, что f ( x) делится на g ( x) нацело, при этом равенство принимает вид: f ( x) g ( x) h( x). Алгоритм деления многочлена на многочлен аналогичен алгоритму деления числа на число столбиком или уголком. Опишем шаги алгоритма. 1. Записать делимое в строчку, включая все степени переменной (те, которые отсутствуют, записать с коэффициентом 0). 2. Записать в «уголке» делимое, включая все степени переменной. 3. Чтобы найти первое слагаемое (одночлен) в неполном частном, нужно старший одночлен делимого разделить на старший одночлен делителя. 4. Полученное первое слагаемое частного умножить на весь делитель и результат записать под делимым, причем одинаковые степени переменной записать друг под другом. 5. Из делимого вычесть полученное произведение. 6. К полученному остатку применить алгоритм, начиная с пункта 1). 7. Алгоритм завершен, когда полученная разность будет иметь степень меньше степени делителя. Это – остаток. Пример. Разделить многочлен x4 2x3 x 1 на x 2 2 . 1. Записываем делимое и делитель x 4 2 x3 0 x 2 x 1 x 2 2 4 2 2. Находим старший одночлен частного, разделив x на x . Умножаем его на делитель и вычитаем из делимого. x 4 2 x3 0 x 2 x 1 x 2 2 4 x2 x 2 x2 2 x3 2 x 2 x 1 3. Повторяем процедуру x 4 2 x3 0 x 2 x 1 x 2 2 x4 2 x2 x2 2 x 2 2 x3 2 x 2 x 1 2 x3 0 x 2 4 x 2 x 2 3x 1 2 x 2 0 x 4 3x 3 Степень 3x 3 меньше степени делителя. Значит, это – остаток. Результат деления запишется так: x 4 2 x3 x 1 x 2 2 x 2 2 x 2 3x 3 Схема Горнера. Если делителем является многочлен первой степени, то процедуру деления можно упростить. Рассмотрим алгоритм деления многочлена f ( x) an x n an1 x n1 ... a0 на двучлен x a . 1. 2. 3. 4. 5. Нарисовать таблицу с двумя строками и числом столбцов, равным степени делимого, увеличенной на единицу. В первую строку таблицы вписать коэффициенты делимого, записанного в канонической форме, включая и нулевые коэффициенты для отсутствующих степеней x. Перед началом второй строки вписать число а. В первую клетку второй строки вписать то число, которое стоит в первой клетке первой строки (старший коэффициент делимого будет и старшим коэффициентом делителя). Каждая следующая клетка второй строки заполняется по правилу: предыдущее число второй строки умножается на число а, к результату прибавляется число из первой строки, стоящее в клетке с предыдущим номером. В результате в клетках второй строки (кроме последней) получаем коэффициенты неполного частного, а в последней – остаток от деления. Если остаток получился 0, то исходный многочлен делится на двучлен x a без остатка. 3 Пример. Разделить по схеме Горнера многочлен x 3x 2 на x 2 . В этом случае а=2. Выпишем по шагам результаты выполнения алгоритма. Шаг первый. 1 1 2 Шаг второй 2 1 0 2 0 1 1 2 Шаг третий 2 2 (3) 1 -3 0 2 1 1 2 Шаг четвертый 2 1 2 4 2 -3 0 2 1 1 2 2 -3 1 0 2 2 -3 1 2 4 Таким образом, результат деления запишем так x 3 3x 2 x 2 x 2 2 x 1 4 . Замечание. Если необходимо выполнить деление на двучлен b g ( x) ax b, то его преобразовывают к виду g ( x) a x , a b тогда f ( x) ax b h( x) r a x h( x) r . Отсюда видно, что, a b разделив по схеме Горнера f ( x) на x , мы найдем a h( x). a Тогда искомое частное h( x) получится делением найденного на а. Остаток остается таким же. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена f ( x) на x a равен значению многочлена в точке x=а, т.е. f (a) . Многочлен f ( x) делится на x a без остатка тогда и только тогда, когда x=а является корнем многочлена f ( x) . Таким образом, найдя один корень многочлена а, можно его разложить на множители f ( x) x a h( x) , выделив множитель h( x) , имеющий степень на единицу меньше степени f ( x) . Найти этот множитель можно либо по схеме Горнера, либо делением «уголком». Вопрос о нахождении корня решается либо подбором, либо с использованием теоремы о рациональных корнях многочлена. n n1 Теорема. Пусть многочлен an x an1 x ... a0 имеет целые p коэффициенты. Если несократимая дробь q является корнем многочлена, то ее числитель p является делителем свободного члена a0 , а знаменатель q является делителем старшего коэффициента an . Эта теорема лежит в основании алгоритма поиска рациональных корней многочлена (если они есть). 1. Выписать все делители свободного члена. 2. Выписать все делители старшего коэффициента. p 3. Составить дроби вида q , удовлетворяющие условиям теоремы. Эти числа являются «претендентами» в рациональные корни многочлена. 4. Подстановкой или по схеме Горнера имеются среди «претендентов» корни многочлена. Если многочлен имеет рациональные корни, то они все содержатся среди «претендентов» и будут выявлены. p x 5. Разделить многочлен на двучлен q. 6. К полученному частному можно вновь применить данный алгоритм. При этом список «претендентов» либо остается тем же, либо сокращается. Разложение алгебраической дроби в сумму простейших дробей Определение Дробь, в числителе и в знаменателе которой стоят многочлены, называется алгебраической дробью. Рассмотрим алгебраические дроби от одной переменной. Их в Pn ( x) общем виде можно записать так: Q ( x) , где в числителе стоит k многочлен степени n, в знаменателе – многочлен степени k. Если n k , то дробь называется правильной. К простейшим алгебраическим дробям относятся правильные дроби двух видов: 1) 2) ( x a) m , m N В знаменателе дроби стоит многочлен вида числителе – число (многочлен нулевой степени). В знаменателе дроби стоит ax2 bx c , a 0, b2 4ac 0, s N , ,ав многочлен s а в числителе – многочлен первой степени. Теорема. Любую алгебраическую дробь можно представить в виде суммы простейших алгебраических дробей. Алгоритм разложения алгебраической дроби в сумму простейших дробей. 1. 2. 3. Разложить знаменатель на множители. Определить количество правильных дробей и вид их знаменателей. Записать равенство, в левой части которого – исходная дробь, в правой – сумма простейших дробей с неопределенными коэффициентами. 4. 5. 6. Привести дроби в правой части к общему знаменателю. Приравнять многочлены, стоящие в числителях дробей. Пользуясь определением равенства многочленов, составить систему линейных уравнений и решить ее, найдя неопределенные коэффициенты. Записать ответ. Задания для аудиторного занятия 1. Разделить многочлен f ( x) на многочлен g ( x) . a) f ( x) x 4 2 x3 x 2 5 x 1, g ( x) x 2 x 1; b) f ( x) 3x 4 2 x 2 4, g ( x) x 2 2 x 1. 2. Разложить многочлен на множители, применяя схему Горнера, если известен один его корень: a) x3 3x 2 7 x 12, x1 4; b) x 4 4 x3 2 x 2 24 x 24, x1 2. 3. Выяснить, делится ли нацело многочлен 2012 2011 50 49 x 1 x 4 x 2 x x a) на ; 6 4 3 b) x 2 x 22 x 2 x 14 на x 7. 4. Найти значения параметров а и b, при которых выполняется тождественное равенство a) x5 x3 2 x 1 x 4 ax 3 2 x 2 2 x b ; b) x5 2 x 4 x3 2 x 2 4 x 8 x 2 x 3 ax 2 3x b . . 2 5. Найдите все пары значений а и b, при которых многочлен f ( x) делится нацело на многочлен g ( x) . a) f ( x) 2 x3 5 x 2 ax b; g ( x) x 2 4; b) f ( x) 3x 4 5 x3 ax 2 bx 10; g ( x) x 2 x 2. 4 x4 5x2 2 x 6. Выделить целую часть из дроби x3 x 2 x 6 . 7. Разложить в сумму простейших дробей. 3x 2 x 6 a) 3 ; 2 x 2x 4x 8 x3 5 x 2 x 9 b) 4 . 3 2 x 2x 4x 6x 3 3x 2 5 x 2 8. Сократить дробь 3 . x x2 x 6 9*. Многочлен x3 x2 ax b имеет корни x1 3, x2 4. Найти а и b и третий корень этого уравнения. 10*. Разложить многочлен x3 9 x2 27 x 27 по степеням x 3. 11*. При делении многочлена Р(х) на x 2 получился остаток 6, при делении его на ( x 3) - остаток 26, а при делении на ( x 4) остаток 12. Найти остаток от деления многочлена Р(х) на многочлен x 2 x 3 x 4 . 12*. Обобщить теорему Виета для многочленов третьей степени.