Целые уравнения с параметрами рс

Решение заданий с параметрами в курсе основной
школы.
I.
Целые уравнения с параметрами.
1)
Решим уравнение 8х = 7, 15х = 7, -11х = 7, 0х = 7. Корень первого
уравнения число 7/8, второго число 7/15, третьего - число -7/77, четвертое
уравнение корней не имеет. Каждое из данных уравнений имеет вид ах = 7. В
зависимости от а возникают разные случаи: если а≠ 0, то уравнение имеет
корень 7/а, если а = 0, то уравнение не имеет корней. Рассматривая уравнение ах
= 7, мы придавали буквам а и х разный смысл считая, что буквой х обозначено
неизвестное число, а буквой а - некоторое фиксированное число, значение
которого в каждом конкретном случае известно. В таких случаях говорят, что а
является параметром, а уравнение называют уравнением с параметром.
2)
С понятием параметра учащиеся встречаются при рассмотрении вопроса о
корнях линейного уравнения ах =b с одним неизвестным, хотя сам термин
«параметр» не вводился. Параметрами в данном уравнении служили буквы а и
b . При выводе формулы корней квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0
параметрами считались его коэффициенты а, b и с. При изучении линейной
функции у = kx + b за параметр принимались коэффициенты k и b.
Рассматривая уравнение ах = 7, мы выделили случаи когда а ≠0 и когда а =0, и
установили, что при а ≠ 0 уравнение имеет корень 7/а, а при а = 0 уравнение не
имеет корней. Таким образом, мы установили, как можно найти корень
уравнения при любом значении а. в таких случаях говорят, что мы решили
уравнение с параметром а.
Вообще решить уравнение с параметром - это значит установить
соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти
соответствующее множество корней.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решим уравнение а х - 2 х = а 2 + а - 6 .
Решение.
Вынесем множитель за скобки:
(а - 2)х = а2 + а - 6 .
Имеем линейное уравнение, число корней которого зависит от того, равен
ли нулю коэффициент при х или отличен от нуля.
Если а - 2 ≠ 0, т.е. а ≠ 2, то уравнение имеет единственный корень
X=
𝑎2 +𝑎−6
𝑎−2
(𝑎−2)(𝑎+3)
x=
𝑎−6−2
=𝑎+3
Если а = 2, то уравнение принимает вид 0х = 0. В этом случае любое число
является корнем уравнения.
Ответ: а = 3, если а ≠ 2; любое число, если а = 2.
Пример2.Решим уравнение относительно х
р2х - 3 р х = р 2 - 9 , (р2 - 3р)х = р2 - 9
Если р2 - 3р ≠ 0, т.е. р ≠ 0, р ≠ 3, то уравнение имеет единственный корень
х=
𝑝2 −9
=
𝑝2 −3𝑝
𝑝+3
𝑝
Если р = 0, то уравнение примет вид 0х = -9, значит уравнение не имеет
корней.
Если р = 3, то уравнение примет вид 0х = 0,тогда любое число является
решением уравнения.
Ответ: любое число, если р = 3; нет корней, если р = 0;p =
𝑝−3
𝑝
,если р≠0 и р≠3.
Аналогично решаются следующие уравнения:
ах = а + 6;
с(с-2)х = с 2 - 4 ;
ах + 5а = 6х;
а х + 8 х = а 2 + 6 а - 16:
сх + х(2-5с) = 1 - 2с;
(а2 + 1)х + а(а -2х) = 1
и т.д.
Пример 3. При каких значениях параметра р уравнение (Зх + р + 2)2 - ( З х - р
+ 1 ) 2 = 12х + 4 имеет:
а) отрицательный корень.
б) корень, принадлежащий промежутку (-0,5; 0,5)? Решение:
Преобразуем левую часть, используя формула разности квадратов, т.е.
(Зх + р + 2 - З х + р - 1 ) ( З х + р + 2 + З х - р + 1) = 12х + 4,
(2р + 1) (6х + 3) = 12х + 4,
12рх + 6р + 6х +3 = 12х + 4,
х (12р - 6) = 1 - 6р,
Если р ≠1/2 , то х =
1−6р
12р−6
единственный корень.
а) чтобы найти при каких значениях параметра р уравнение имеет
1- 6р
отрицательный корень, решим неравенство ------ — <0
12 р - 6
Итак, уравнение имеет отрицательный корень, если р 𝜖 (- ∞;-1/6) ∪ (1/2; +∞)
б)чтобы найти при каких значениях параметра р уравнение имеет корень,
принадлежащий промежутку (-0,5;0,5) решим двойное неравенство:
−
1
1 − 6р
1
<
<
2 12р − 6 2
Данное неравенство равносильно системе неравенств
1 − 6р
1
<
12р − 6 2
1 − 6р
1
>−
12р − 6
2
-
+
1/3
1
½
р
Решив эту систему получим р<1/3.
½
р
Ответ: а) при р𝜖(-∞;1/6)∪(1/2;+∞)
б) при р<1/3.
Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение 3х2 + (2а +3) = a =2=0
имеет два корня.
Решение:
Уравнение имеет два корня, если D>0.
Найдём дискриминант:
D=(2а+3)2-4*3(а+2)=4а2-15.
15
D>0 при 4а2+5>0 ⇔|a|>
15
15
2
Ответ :при а> , a<- .
2
2
Пример 5.Решить относительно х уравнение х2+4а=0
Решение:
Если а = 0, то х2=0, х=0 – данный корень уравнения.
Если а<0, то х2=-4а, х= ∓√−4а.
Если а>0, то уравнение х2+4а = 0 не имеет корней
Ответ: ∓√−4а, если а<0,
0, если а=0; нет корней, если а>0.
Пример 6. Решить уравнение относительно х.
px2+16=4x2-p2
Решение :
px2+16=4x2-p2
px2- 4x2=p2-16
(р-4)х2 = р2-16
Если р-4≠0 и р>-4, то х2 =
р2 −16
р−4
=р+4
х=−√р − 4 х=√р + 4
Если р=-4, то х=0 – единственный корень
Если р=4, 0х2=0, то х- любое число
Если р<-4 , то уравнение не имеет корней
Ответ: =−√р − 4 ; √р + 4, если р>-4; нет корней, если р<-4, любое число, если
р=4; 0, если р=-4.
Пример 7. Решить квадратное уравнение с параметром b
3х2-6х + b=0
Решение:
Найдём дискриминант этого уравнения D=36 – 12b
Рассмотрим случаи когда D>0, D=0, D<0.
Пусть 36 – 12b<0, т.е. 12b<36, b<3, в этом случае уравнение имеет два корня:
x=
6−√36−12𝑏
6
x=
6+√36−12𝑏
6
6
Если 36-12b = 0, т.е. b=3, то уравнение имеет единственный корень х= =1
3∙2
Если 36-12b <0, т.е. b>3, то уравнение не имеет корней.
6−√36−12𝑏
6+√36−12𝑏
Ответ: x=
x=
6
1, если b=3,
Нет корней, если b>3.
6
, при b>0;
II.
Дробно-рациональные уравнения.
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение с числовыми коэффициентами,
умножают обе части на общий знаменатель дробей, входящих в уравнение,
решают полученное целое уравнение и исключают из его корней, те, которые
обращают в нуль общий знаменатель дробей.
Аналогичным способом поступают при решении дробно-рациональных
уравнений с параметрами.
Пример. Решить относительно х уравнение.
4
𝑏
− =2
𝑥−3 2
Решение:
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т.е. на выражение
2(х-3)≠0
Получим уравнение 8-bx+3b=4x-12, (4+b)x=20+3b
Если 4+b=0, то b=-4, то полученное уравнение не имеет корней, а, значит, не
имеет корней и заданное дробно-рациональное уравнение.
Если 4+b ≠0, то b≠-4, то полученное уравнение имеет единственный корень
20+3𝑏
х=
4+𝑏
20+3𝑏
Из условия
4+𝑏
= 3 находим, что таких значений нет.
20+3𝑏
Итак, если b≠-4, то заданное уравнение имеет единственный корень х=
если b=-4, то уравнение не имеет корней.
20+3𝑏
Ответ:
, при b≠-4; корней нет, при b=-4.
4+𝑏
Пример. Решим уравнение
2𝑥
2𝑥+𝑎
–
𝑎−2
2𝑥−𝑎
-
4𝑎−2𝑎2
4𝑥 2 −𝑎2
4+𝑏
,а
=0
Решение
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей и выполнив
приведение подобных членов, получим квадратное уравнение 4x2 – 4(a-1)x + a2-2a
= 0,где 2х+а≠ 0
а
а−2
2х-а≠ 0ю Решив его найдём, что х1= , х2 =
.
2
2
Первый корень не удовлетворяет исходному дробно-рациональному уравнению,
а
так как при х= ,общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, обращается в
2
нуль. Остаётся выяснить, при каких значениях а второй корень является
посторонним для данного уравнения. Подставив в равенство 4х2-а2=0 вместо х
а−2
выражение
, получим а = 1 Это значение а нужно исключить.
2
а−2
Итак при а ≠ 1 заданное уравнение имеет единственный корень х=
, а при
2
а = 1 уравнение не имеет корней.
Ответ:
а−2
2
,при а ≠ 1; нет корней при а=1.
Пример . Найти, при каких значениях параметра а уравнение ах =
3х−1
а
+
3х
3
имеет два корня, каждый из которых принадлежит промежутку (-1;1).
Решение.
Умножив обе части уравнения на 3х и выполнив преобразования получим
уравнение 3ах2- (а+3)х + 1=0, где х≠0. Это уравнение имеет два корня, если а≠ 0,
при D>0. Так как D=(а+3)2 – 12а=(а+3)2 , то D>0при а≠ 3. При а≠ 0 и а≠ 3
1
1
Рассматриваемое целое уравнение имеет корни х1= и х2 = . Оба эти корня
3
а
удовлетворяют дробно-рациональному уравнению. Первый корень принадлежит
промежутку (-1;1). Второй корень принадлежит этому промежутку при значениях
а,
удовлетворяющих системе :
-1<1/а<1
а≠ 3
а≠ 0
Множеством решений этой системы является объединение промежутков
(-1;0)∪ (0; 1)
Ответ: при а∈(-1;0)∪ (0; 1).
ху
Пример . Решить уравнение
= у − 1.
х+1
а) относительно х
б)относительно у
Решение
ху
а)
= у − 1, где у – параметр.
х+1
ху = ху – х+у -1, если х+1≠0, т.е. х≠ −1
х = у -1
Исключим те значения у при которых х = -1, т.е. х- 1 =-1, у = 0.
Ответ: у-1,если у≠ 0; нет корней при у=0.
ху
б)
= у − 1, х – параметр
х+1
ху = ху – х+у -1, если х+1≠0, т.е. х≠ −1
Итак, у = х +1, при х≠ -1; корней нет при х=-1.
Ответ: х+1, при х≠ -1; корней нет при х=-1.
1.
2.
3.
4.
Литература:
В.Н.Литвиненко, А.Г.Мордкович «Практикум по решению математических
задач».
К.Петров «Сборник задач по алгебре»
Л.И.Звавич, А.Р.Рязановский «Задачник для классов с углубленным
изучением математики»
М.И.Сканави «Сборник задач по математике для поступления в ВУЗы»