Урок – лекция по теме : « Последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии» Распределение часов по теме: 1. 2. 3. 4. 5. Урок – лекция - 2 часа Отработка основных понятий и простейших задач – 1 час Зачёт по теме – 1 час Решение задач – 6 часов Контрольная работа – 1 час План лекции : 1. 2. 3. 4. 5. Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула п-ого члена арифметической и геометрической прогрессий. Характеристические свойства прогрессий. Формула суммы п первых членов прогрессий. 1. Понятие числовой последовательности В повседневной жизни – номера домов на улице, номера счетов в банке, номера читательских абонентов, - образуют числовые последовательности. В математике изучают конечные и бесконечные числовые последовательности: а1; а2 ; а 3 ;…;ап-1; ап ; ап+1… а1- первый член последовательности а2 – второй член последовательности а3 – третий член последовательности и т.д. ап- п-ый член последовательности и т.д. п – номер члена последовательности. Например: 1) 1 , 2, 3, 4,…,п-1; п, п+1, п+2, … - последовательность натуральных чисел 2) 1, 4, 9, 16, …, (п-1)2; п2; (п+1)2,… - последовательность квадратов натуральных чисел 3) 2,4,6,8,…, 2п-2, 2п, 2п+2,… - последовательность чётных чисел 4) Способы задания последовательности. а) формулой п-ого члена последовательности: ап = 1/п 1, 1/2, 1/3,1/4, …, 1/п… ап = п(п-2) -1, 0, 3, 8, 15, … п(п-2)… б) рекуррентный – формулой, позволяющей вычислить п+1 член последовательности через предыдущие п членов и дополнительно задаются один или несколько членов последовательности. а) вп+1= вп + вп-1 и в1 = 1 в2 = 3 в3 = в2+в1 = 3 + 1 = 4 в4 = в3+в2 = 4 + 3 = 7 в5 = в4+в3 = 7 + 4 = 11 и т.д. получаем 1,3,4,7,11,… б) сп+1 = 3сп+ 1 и с1 = 2 с2 = 3*с1 + 1 = 3*2 +1 = 7 с3 = 3*с2 + 1 = 3*7 +1 = 22 с4 = 3*с3 + 1 = 3*22 +1 = 67 и т.д. получаем: 2,7,22, 67, … 2. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Выделяют два вида последовательностей: 1- 1,2,3,4,5, …. 2-1=1; 3-2=1; 4-3=1; 5-4=1 а2-а1=1 а3-а2=1 а4-а3=1 а5-а4=1 и т.д. значит а4=а3+1 а5=а4+1 и т.д. а2= а1+1 а3=а2+1 и т.д. Числовая последовательность а1 а2 а3 а4 ….ап… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство ап+1 = ап + d , где d – некоторое число, постоянное для данной прогрессии. Из определения следует, что ап+1 – ап = d число d называют разностью арифметической прогрессии. Например: 1) -1,-2,-3, -4….. –п,…. а2-а1= а3-а2== а4-а3=…..= d d =-1 2) 6,8, 10,12,…. d = 8-6=2, d =2 2 - 2:1=2 1,2,4,8,16,… 4:2=2 8:4=2 16:8=2 и т.д. В2:в1=2 в3:в2=2 в4:в3=2 в5:в4=2 и т.д. В2=в1*2 в3=в2*2 в4=в3*2 в5=в4*2 и т.д. Числовая последовательность в1 в2ва3 в4 ….вп… называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных п выполняется равенство вп+1 = вп * q, где q – некоторое число, постоянное для данной прогрессии Из определения следует, что вп+1: вп = q число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Например: 1) 2,8,32,128, …. 2) 1,2/3,4/9,8/27,…. В2:в1= в3:в2= в4:в3=….= q , q = 4 q = 2/3:1= 4/9:2/3= 2/3 3. Формула п - ого члена арифметической и геометрической прогрессий Для вычисления любого члена последовательности удобно пользоваться формулой п –ого члена прогрессии. А) По определению арифметической прогрессии: а2 = а1 + d а3 = а2 + d = а1 + 2d а4 = а3 + 3 d = а1 + 3d и т.д. ап = а1 + d( п – 1) – формула п-ого члена арифметической прогрессии Например: а1 = 5, d = 3 а50 = ? а50 = а1 + 3( 50 – 1)= 5 + 3*49 = 152 б) По определению геометрической прогрессии: в2 = в1 * q в 3 = в2 * q = в1 * q 2 в 4 = в3 * q = в1 * q 3 и т.д. вп = в1 * qп-1 - формула п-ого члена геометрической прогрессии. Например: в1 = 7, q = 1/3 в5 = ? В5 = 7*(1/3)5-1 = 7*(1/3)4 = 7*1/81 = 7/81 4 Характеристическое свойство прогрессий А) по определению арифметической прогрессии: ап+1 = ап + d и ап-1 = ап – d , откуда получаем ап = ап+1 + ап-1 / 2, п > 1 ап+1 + ап-1 = 2ап или т.е. каждый член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название «арифметическая» прогрессия) б) по определению геометрической прогрессии: вп+1 = вп * q и вп-1 = вп / q ,перемножив последовательно эти равенства, получаем : в2п = вп+1 * вп-1 , п > 1 т.е. если вп>0, каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов( этим определяется название «геометрическая» прогрессия). Например : а) ап = 3 - 4п - доказать, что это арифметическая прогрессия ап+1 = 3 – 4(п+1)= 3 – 4п -4 = -1 - 4п , ап-1 = 3 – 4(п-1) = 3- 4п +4 = 7 – 4п , ап = 7+4п-1+4п/2 = 6+8п /2 =3-4п, ап =3-4п ч.т.д. б) вп =3*2п - доказать, что это геометрическая прогрессия вп-1 = 3*2п-1 , вп+1 = 3*2п+1 вп2 = 3*2п-1 * 3*2п+1 = 9*2п-1+п+1 = 9*22п =( 3*2п)2, вп = 3*2п ч.т.д. 5 Формула суммы п первых членов прогрессий А) рассмотрим арифметическую прогрессию а1а2а3а4…….ап.. Sп = а1+а2+а3+….+ап и сумму , Sп= а1+а2+а3+….+ап или поменяем местами Можно записать иначе: Или Sп = ап+ап-1+ап-2 +..+а2+а1 Sп=а1+(а1+d)+( а1+2d)+( а1+3d)+…+(а1+(п-1) d) Sп=ап+(ап- d) +(ап-2 d)+ (ап- 3d)+…+ (ап- (п-1)d) Сложим эти два равенства почленно, получим: 2Sп=(а1+ап) + (а1+ап)+…+ (а1+ап) - п слагаемых равных (а1+ап).т.е. 2 Sп= (а1+ап) * п ,значит Sп= (а1+ап) * п / 2 Если воспользоваться формулой п-ого члена , то формулу суммы можно Sп=(2а1+(п-1) d)/ 2 записать иначе: Например : 1) а1 = 5, ап = 20, п = 10 Найти сумму первых 10 членов прогрессии. S10 = ( 5 + 20) / 2 * 10 = 25/2 *10 = 125, 2) 9,13,17…. S11= S11 = 2а1+(п−1)𝑑 2 П =11, S11= ? ∗ п , а1= 9, d = 13-9 = 4,п = 11 2∗9+(11−1)∗4 2 S10 = 125 *11 = 18+10∗4 58 2 2 *11 = *11 = 319, S11 = 319, В)Рассмотрим геометрическую прогрессию. в1,в2,в3,…,вп,… S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1 (1) умножим обе части равенства (1) на q, Получим: q S п=в q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п (2), Преобразуем равенства (1) и(2),и вычтем из (1)-(2) S п = в1+в1 q +в1 q 2+…+в1 q п-1 q S п = в1 q +в1 q 2+в1 q 3+…+в1 q п S п - q S п= в1- в1 q п отсюда следует S п(1-q) = в1(1-qп), тогда Sп= в𝟏(𝟏−𝒒п ) 𝟏−𝒒 , q≠1 Eсли раскрыть скобки и воспользоваться формулой п-го члена,то получим другую формулу; S п= В𝟏− Вп𝐪 𝟏−𝒒 = Вп𝐪−В𝟏 𝒒−𝟏 ,q≠1 Например: 1) в1 = 6, q = 2, п = 10, S 10 - ? S10 = 6∗(1−210 ) 6∗(1−1024) 1−2 = −1 = -6*(-1023) = 6138 S10=6138, 2)5,10,20,…., S 7- ? в1 = 5, q = 10:5 = 2, в7 = в1*q6 = 5*26 = 5*64 S7 = 5−5∗64∗2 1−2 = 5−640 −1 = −635 −1 =635, S 7 = 635 Задания к зачёту по теме «Прогрессии» Вариант 1 1. Последовательность задана рекуррентной формулой ап+1=2ап, а1= 5. Найти а7. Какой способ задания последовательности ты ещё знаешь? 2. Дайте определение геометрической прогрессии. Приведите пример. Что называют знаменателем геометрической прогрессии? 3. Формула п-го члена геометрической прогрессии. 4. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. 5. Какие ты знаешь формулы нахождения суммы п первых членов арифметической прогрессии? 6. Последовательность задана формулой вп = 2п2 + 3п. найти в5. 7. В арифметической прогрессии а1=10, d = 4. Найти а12. 8. Найти сумму 10 членов геометрической прогрессии: 2 , 4, 8… 9. Найти разность арифметической прогрессии : 12, 19, 26… Вариант 2 1. Последовательность задана формулой п-го члена ап = п + (п +1). Найти а7. Какой способ задания последовательности ещё ты знаешь? 2. Дать определение арифметической прогрессии. Привести пример. Что называется разностью арифметической прогрессии? 3. Формула п-го члена арифметической прогрессии. 4. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. 5. Какие ты знаешь формулы суммы п первых членовгеометрической прогрессии? 6. Найти первые три члена последовательности: а1=1 ап+1 = ап +1. 7. Найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если в1=8, q = 1\2. 8. Доказать, что последовательность ап = 5п -1 является арифметической прогрессией. 9. Найти 23- ий член арифметической прогрессии: -8; -6,5; …