Случайный эксперимент: повторяемый в одинаковых условиях. Исходы эксперимента: (элементарные, фиксируемые), непредсказуемые, независимые от предыдущих исходов. События эксперимента: фиксированные наборы исходов. Мера событий вероятностная: неотрицательная, конечная (ограниченная 1). Модель случайного эксперимента: (Ω, A, P). Ω: A: совокупность (множество, пространство) всех элементарных исходов. алгебра событий (подмножеств Ω) : совокупность всех событий, замкнутая относительно операций: объединения (ᴜ) – «сложения» и пересечения (∩) – «умножения» (конечного или счетного числа событий). Если А и В события ( А ∈ 𝑨 и В ∈ 𝑨 ), то события (А ᴜ В) ∈ 𝑨 и (А ∩ В) ∈ 𝑨 . Как следствие, для A определены события: «достоверное» Ω; «невозможное» ∅ ; (А ᴜ Ω) = Ω ; (А ᴜ ∅) = А ; (А ᴜ А) = А ; (А ∩ Ω) = А ; (А ∩ ∅) = ∅ ; (А ∩ А) = А ; ̅; операции: «дополнения или отрицания» события А до Ω, обозначаемое А ̅ ) = Ω. (А ∩ А ̅ ) = ∅; и «вычитания событий»: (А ᴜ А P: (А ⃥ В) = (А ∩ В̅ ) . вероятность, вероятностная мера событий: неотрицательная P(А) ≥ 0, P(∅)= 0; нормированная единицей P(А)≤ 1, P(Ω)=1; аддитивная – вычисляется по формуле сложения вероятностей P(А ᴜ В) = P(А) + P(В) - P(А ∩ В) ; если P(А ∩ В) = 0, то P(А ᴜ В) = P(А) + P(В). Условная вероятность. P(В|А) = Р(А ∩ В) Р(А) , P(А) > 0, вероятность события В при условии что в эксперименте произошло событие А. Следствие (формула умножения вероятностей) P(А ∩ В) = Р(А) · Р(В|А). Если P(В|А) = P(В), то на вероятность события В не влияет событие А. Независимые события. Если P(В|А) = P(В) и P(А| В) = P(А), то на вероятность одного события не влияет другое. Такие события называют независимыми. Критерий независимости событий P(А ∩ В) = P(А) · P(В). 1 Примеры простых случайных экспериментов 1. Модель Бернулли В(p), друг друга) исходами. ( 0 < p <1 ); с двумя альтернативными (исключающими Ω = {ω1 , ω2 }. A = { Ω, ω1 , ω2, ∅ }. P: Р(Ω) = 1; Р(ω1) = p; Р(ω2) = q = 1- p ; Р(∅) = 0. Примеры: 1. Бросание монеты. Модель Бернулли В(0,5), p = 0,5. ω1 = герб; ω2 = решетка. 2. Стрельба по мишени. Модель Бернулли В(p). ω1 = попадание; ω2 = промах. 3. Регистрация выполнения задания в срок для регулярно проводимой процедуры. Модель Бернулли В(p), ω1 = задание выполнено в срок; ω2 = в срок не выполнено. 4. Извлечения шара из урны с n шарами двух цветов (n = n1 + n2). Модель Бернулли В(p), p = n1 n . 2. Полиномиальная модель В(p 1 , p 2 ,… , p m) , {p k > 0 , k = ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑚 }, p 1 + p 2 +… + p m = 1; c m альтернативными (исключающими друг друга) исходами. Ω = {ω1 , ω2, … , ωm }. Р(ωk) = p k , k = ̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑚; Пример. Извлечения шара из урны с n шарами m различных цветов. Элементарный исход ω – цвет извлеченного шара. (n = n1 + n2 + … + nm ). Ω = {ω1 , ω2 ,… , ωm }. Случайный эксперимент с m различных несовместных исходов. Р(ωk) = pk = nk n ; Р((ωk ᴜ ωr) = pk + pr , k ≠ r. Геометрические модели случайного эксперимента. Если Ω можно представить как геометрическое множество, на котором определена конечная мера 𝝁 (длина l , площадь s, объем v), то удобно рассматривать вероятность событий, как нормированную единицей меру событий: А ∈ 𝑨 , А ⊆ Ω; P(А) = 𝝁(А) 𝝁(𝛀) . Примеры: 1. Ω = [a; b]. А = [c; d ], a ≤ c ≤ d ≤ b; 𝝁(А) тогда P(А) = 𝝁(𝛀) = 𝒍(А) 𝒍(𝛀) = 𝒅−𝒄 𝒃−𝒂 . 2. Ω = {(x; y) : a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d }; A = {(x; y) : a ≤ aA ≤ x ≤ bA ≤ b ; c ≤ cA ≤ y ≤ dA ≤ d }. Тогда P(А) = 𝝁(А) = 𝝁(𝛀) 𝒔(А) = 𝒔(𝛀) (bA−aA )·(dA−cA) (𝒃−𝒂)·(d− c) . Или Ω = {(x; y) : 0 ≤ x ≤ 3 ; 1 ≤ y ≤ 5 }; A = {(x; y) : 1 ≤ x ≤ 2 ; 2 ≤ y ≤ 3 ≤ d }. Тогда P(А) = 𝒔(А) 𝒔(𝛀) = (𝟐−1 )·(3−2) (𝟑−𝟎)·(5− 1) 𝟐 𝟏 = 𝟏𝟐 = 𝟔. 2