Последовательность независимых испытаний. Формула

Методическая разработка урока по алгебре и началам анализа
для учащихся 11-х классов
учителя математики Катковой О.В.
Урок по теме «Последовательность независимых испытаний.
Формула Бернулли и ее применение»
Цели:
Образовательные: дать понятие о формуле Бернулли, научить ею
пользоваться, при решении задач
Развивающие:
способствовать
овладению основными способами мыслительной
деятельности учащихся (сравнивать, анализировать, обобщать.);

способствовать формированию познавательного интереса к предмету
развитие логического мышления, внимания.
Воспитательные:
Формировать у учащихся метод научного познания, как обобщение,
рассмотрев применение формулы Бернулли

повышать и развивать интерес к предмету математика;

способствовать формированию нравственных качеств личности
(уважительное отношение к мнению одноклассников и их работам).
Используемые образовательные технологии:
проблемного обучения,
технология развивающего обучения; активного обучения, эмоциональносмыслового подхода.
Методическое оснащение занятия:
Материально-техническая база: компьютеры; проектор, интерактивная доска.
Дидактическое обеспечение: мультимедийный проектор, интерактивная доска,
учебник 11 класса и задачник – автор А.Г. Мордкович.
Вид занятия. Усвоение новых знаний.
Мотивация познавательной деятельности учащихся.
Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений сложения и умножения вероятностей - при достаточно большом количестве
испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба
Бернулли, выведшего формулу.
План урока:
1 Организационный момент.
2. Повторение основных понятий прошлого урока.
3. Подготовка учащихся к восприятию нового материала
4. Домашнее задание
Ход урока
I.
II.
III.
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Решить з а д а ч и 1—3 устно, 4—8 письменно;
1. Вероятность того, что день будет дождливым, равна 0,7. Найти
вероятность того, что день не будет дождливым.
Решение: Ответ. 0,3.
2. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны наудачу вынимают один
шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. Ответ. 0,4. ,
3. В урне 10 белых и 15 черных шаров. Из урны вынимают сразу два шара.
Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Ответ. 0,15.
4. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором
— 30 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу
извлеченная деталь из наудачу взятого ящика стандартна. Ответ. 0,475.
5. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что
студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса. Ответ. 0,496.
6. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь.
Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в
сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при
повышенном напряжении тока в цепи не будет. Ответ. 0,936.
7. В группе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух
человек. Найти вероятность того (если считать выбор случайным), что
выбраны: а) два мальчика; б) две девочки; в) девочка и мальчик.
Ответ, а) 0,152; б) 0,352; в) 0,497.
8. Имеется три урны с шарами: в I урне - 4 белых и 5 черных шаров, во II - 5
белых и 4 черных шара, в III - 6 белых шаров. Некто выбирает наугад одну из
урн и вынимает из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется
белым.
Ответ. 0,667.
IV.
Повторение опорных знаний учащихся. Повторить с учащимися
определение, формулы, свойства сочетаний.
V. Изучение нового материала. Прежде чем рассматривать вывод
формулы Я. Бернулли в общем виде, нужно рассказать о повторных
испытаниях и решить з а д а ч у:
1. Производится три независимых выстрела из оружия по мишени при
условии,
что
вероятность
попадания
в
мишень
Р( А) = Р .
Найти вероятность того, что при этих выстрелах произойдет ровно два
попадания.
В общем виде формула Я. Бернулли имеет вид Pn  k   Cnk  pk  qnk , где п —
количество независимых опытов; к — количество опытов, в каждом из которых
событие А осуществляется с вероятностью р и не осуществляется с
вероятностью q  1  p . Формулу Бернулли полезно вывести, так как в процессе
вывода используются теоремы умножения и сложения вероятностей.
Теорема: Если вероятность p наступления события Α в каждом испытании
постоянна, то вероятность Pn (k ) того, что событие A наступит k раз в n
независимых испытаниях, равна: Pn  k   Cnk  pk  qnk где q  1  p
Доказательство
Так как в результате n независимых испытаний, проведенных в одинаковых
условиях, событие A наступает с вероятностью P  A  p , следовательно,
противоположное ему событие с вероятностью P  A  1  p .
Обозначим Ai — наступление события A в испытании с номером i. Так как
условия проведения опытов одинаковые, то эти вероятности равны. Пусть в
результате n опытов событие A наступает k раз, тогда остальные n − k − раз это
событие не наступает. Событие A может появиться k раз в n испытаниях в
различных комбинациях, число которых равно количеству сочетаний из n
элементов по k. Это количество сочетаний находится по формуле:
.
При этом вероятность каждой комбинации равна произведению вероятностей:
.
Применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получим
окончательную Формулу Бернулли:
где q = 1- p
Рассмотрим примеры применения:
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке
деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из
пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра
не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому,
полагая n  5, m  1, p  0,07 , по формуле получаем
P5 (1)  C51   0, 07    0,93
1
5 1
 0, 262
Ответ: 0,262
Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в
сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно
взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
12
Решение. P8  3  C  
 30 
3
8
3
 12 
1  
 30 
8 3
3
5
8!
8 243 108864
 2  3



 0, 2787
     56 
3!8  3!  5   5 
125 3125 390625
Ответ: 0,2787
Пример 3. Вероятность приема радиосигнала при каждой передаче равна 0,8.
Найти вероятность того, что при пятикратной передаче сигнал будет принят
ровно 4 раза. Ответ. 0,41.
Пример 4. Монета подбрасывается 10 раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадает ровно 8 раз. Ответ. 0,044.
VI. Применение знаний при решении типовых примеров и задач.
Решить з а д а ч и типа:
1. Баскетболист забрасывает мяч в корзину с вероятностью попадания
Р = 0,4. Что вероятнее: ожидать попадание трех мячей при четырех бросках или
попадание четырех мячей при шести бросках?
2. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8.
Найти вероятность, что из пяти посеянных семян взойдет не меньше четырех.
Ответ. 0,74.
3. Сколько испытаний потребуется для того, чтобы сделать вероятность
события, которое произошло хотя бы один раз, равной не менее 0,5, если
вероятность этого события при одном испытании равна 0,01?
Ответ. Не менее 70 испытаний.
1
4. При стрельбе в тире вероятность попадания пули в мишень равна 3 .
Сколько раз нужно выстрелить, чтобы вероятность по меньшей мере одного
попадания в мишень была больше чем 0,9?
Ответ. Более 6 раз.
Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Провести
с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у с выборочной проверкой.
Примерное содержание работы:
1. Вероятность того, что расход электроэнергии на протяжении одних суток
не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в
ближайшие шесть суток расход электроэнергии в течение четырех суток не
превысит норму.
2. В цехе имеется шесть моторов. Для каждого мотора вероятность того, что
он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный
момент: а) включено 4 мотора; б) включены все моторы, в) выключены все
моторы. Ответ. а) 0,246; б) 0,262; в) 0,000064.
Подведение итогов занятия.
Домашнее задание. Гл. 5, §23, № 23.5, 23.7, 23.10, 23.12.