Северо-Кавказский горно-металлургический институт

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОРНО-МЕТАЛЛУРГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра математики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 6
по теме:
"ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ"
для студентов технических специальностей ФЗО
Владикавказ 2015
В данной работе приведены индивидуальные задания к контрольной работе № 6 по теме «Элементы теории вероятностей», которая
предлагается для выполнения студентам заочной формы обучения
СКГТУ.
С о с т а в и т е л и:
проф. Григорович Г. А., доц. Вазиева, доц. Степанова С.В.,
ст.преп. Дзеранова М. Т., ст. преп. Соколова Е. И.,
-2-
СОДЕРЖАНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Задание № 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Задание № 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Задание № 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Задание № 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Задание № 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Задание № 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Задание № 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
-3-
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемая работа представляет собой приложение к методической разработке «Методические указания к выполнению контрольной работы № 6 дня студентов факультета заочного обучения»
и представляет собой сборник индивидуальных заданий, предлагаемых студентам для решения.
Контрольная работа № 6 по теме «Элементы теории вероятностей» состоит из 7 заданий. Каждое задание содержит 100 вариантов, из которых свой индивидуальный вариант студент-заочник выбирает по двум последним цифрам личного номера. Если его личный номер оканчивается двумя нулями, то студент выполняет вариант № 100.
Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради, аккуратно оформлена. Все задания решают подробно, с ссылками на соответствующие теоретические положения.
Для успешного выполнения контрольной работы студент должен тщательно проработать «Методические указания к выполнению
контрольной работы № 6», где приведены основные положения
теории и решены типовые задачи, аналогичные тем, что включены в
индивидуальные задания.
-4-
Задание № 1
Тема: "Относительная частота"
1. По цели произвели 17 выстрелов, причем было зарегистрировано 14 попаданий. Найти частоту попадания.
2. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась
равной 0,85. Найти число попаданий, если произвели 120 выстрелов.
3. Определите частоту промаха, если при стрельбе из миномета
по цели из 24 выстрелов получено 7 попаданий.
4. При стрельбе 20 патронами была получена частота попадания
4/5. Определить число промахов.
5. По цели произвели 25 выстрелов, причем зарегистрировано
20 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
6. При испытании партии приборов относительная частота пригодных приборов оказалась 0,9. Найти число годных приборов, если
всего проверили 200 приборов.
7. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания в
цель оказалась равной 0,75. Найти число попаданий, если всего было произведено 140 выстрелов.
8. По цели произвели 20 выстрелов, причем было зарегистрировано 15 попаданий. Найти частоту попадания.
9. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась
равной 0,7. Найти число попаданий, если произвели 150 выстрелов.
10. Определите частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 25 выстрелов получено 5 попаданий.
11. При стрельбе из 20 выстрелов была получена частота попадания 1/5. Определить число промахов.
12. По цели произвели 28 выстрелов, причем зарегистрировано
20 попаданий. Найти относительную частоту попаданий.
13. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных приборов оказалось равной 0,8. Найти число пригодных
приборов, если всего проверили 250 приборов.
14. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
оказалась равной 0,6. Найти число попаданий, если всего произвели
120 выстрелов.
-5-
15. По цепи произвели 25 выстрелов, причем было зарегистрировано 15 попаданий. Найти частоту попадания.
16. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась 0,5. Найти число попаданий, если произвели 100 выстрелов.
17. Определить частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 30 выстрелов получено 12 попаданий.
18. При стрельбе 40 патронами была получена частота попадания 1/8. Определите число промахов.
19. По цели произвели 50 выстрелов, причем зарегистрировано
30 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
20. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных приборов оказалась равной 0,75. Найти число годных
приборов, если всего проверили 350 приборов.
21. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,6. Найти число попаданий, если всего
произвели 120 выстрелов по цели.
22. По цели произвели 35 выстрелов, причем было зарегистрировано 20 попаданий. Найти частоту попаданий.
23. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась равной 0,75. Найти число попаданий, если произвели 140 выстрелов.
24. Определить частоту промаха при стрельбе из миномета по
цели, если из 30 выстрелов получено 15 попаданий.
25. При стрельбе 25 патронами получена частота попаданий 1/5.
Определить число промахов.
26. По цели произвели 32 выстрела, причем зарегистрировано
18 попаданий в цель. Найти относительную частоту попаданий.
27. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных
приборов, если всего проверили 450 приборов.
28. При стрельбе из винтовки относительная частота попаданий
оказалась равной 0,7. Найти число попаданий, если всего произвели
140 выстрелов.
29. По цели произвели 36 выстрелов, причем зарегистрировано
12 попаданий в цель. Найти относительную частоту попадания.
30. По цели произвели 18 выстрелов, причем было зарегистрировано 15 попаданий. Найти частоту попадания.
-6-
31. При стрельбе частота попадания в цель оказалась равной
0,45. Найти число попаданий, если произвели 120 выстрелов.
32. Определите частоту промаха при стрельбе из миномета но
цели, если из 35 выстрелов 20 попаданий.
33. При стрельбе 20 патронами частота попаданий оказалась
равной 3/4. Определить частоту промахов.
34. По цели произвели 35 выстрелов, причем зарегистрировано
30 попаданий в цель. Найти относительную частоту попаданий.
35. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных приборов оказалась равной 0,5. Найти число годных
приборов, если всего проверили 500 приборов.
36. При стрельбе из винтовки относительная частота попаданий
оказалась равной 0,8. Найти число попаданий, если всего произвели
166 выстрелов.
37. При стрельбе частота попаданий в цель оказалась равной
0,69. Найти число попаданий, если произвели 90 выстрелов.
38. Определить частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 25 выстрелов получено 18 попаданий.
39. При стрельбе 36 патронами получена частота попадания 1/3.
Определить число промахов.
40. По цели произвели 42 выстрела, причем было зарегистрировано 17 попаданий. Найти частоту попадания.
41. При стрельбе из винтовки часто попадания в цель оказалась
равной 0,4. Найти число попаданий, если произвели 135 выстрелов.
42. Определить частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 22 выстрелов получено 17 попаданий.
43. При стрельбе 27 патронами была получена частота попадания 3/7. Определите число промахов.
44. По цели произвели 47 выстрелов, причем зарегистрировано
16 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
45. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных приборов оказалась равной 0,3. Найти число годных
приборов, если всего проверили 200 приборов.
46. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,25. Найти число попаданий, если всего
было произведено 16 выстрелов.
47. По цели произвели 70 выстрелов, причем было зарегистрировано 65 попаданий. Найти частоту попадания.
-7-
48. При стрельбе частота попадания в цель оказалась равной
0,85. Найти чисто попаданий, если произвели 122 выстрела.
49. Определите частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 17 выстрелов получено 13 попаданий.
50. При стрельбе 37 патронами была получена частота попадания 4/5. Определите число промахов.
51. По цели произвели 43 выстрела, причем зарегистрировано
40 попаданий. Найти относительную частоту промахов.
52. При испытании партии приборов относительная частота
годных приборов оказалась равной 0,6. Найти число годных приборов, если всего проверили 900 приборов.
53. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,7. Найти число попаданий, если всего было произведено 38 выстрелов.
54. По цели произвели 75 выстрелов, причем было зарегистрировано 50 попаданий. Найти относительную частоту попадания.
55. По цели произвели 68 выстрелов, причем было зарегистрировано 30 попаданий. Найти частоту попадания.
56. При стрельбе частота попадания в цель оказалась равной
7/8. Найти число попаданий, если произвели 48 выстрелов.
57. Определите частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 16 выстрелов получено 7 попаданий.
58. При стрельбе 42 патронами была получена частота попадания 1/6. Определите число промахов.
59. По цели произвели 10 выстрелов, причем зарегистрировано
6 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
60. При испытании партии приборов относительная частота
годных оказалась равной 0,65. Найти число годных приборов, если
всего проверили 860 приборов.
61. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,8. Найти число попаданий, если всего было произведено 40 выстрелов.
62. По цели произвели 20 выстрелов, причем было зарегистрировано 15 попаданий. Найти частоту попадания.
63. При стрельбе частота попадания оказалась равной 0,55.
Найти число попаданий, если всего произвели 180 выстрелов.
64. Определите частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 26 выстрелов получено 13 попаданий.
-8-
65. При стрельбе 60 патронами была получена частота попадания 4/5. Определить число промахов.
66. По цепи произвели 40 выстрелов, причем зарегистрировано
18 попаданий. Найти относительную частоту промахов.
67. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего проверили 650.
68. При стрельбе относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,55. Найти число попаданий, если всего было произведено 40 выстрелов.
69. По цели произвели 80 выстрелов, причем было зарегистрировано 22 попадания. Найти относительную частоту промахов.
70. По цели произвели 18 выстрелов, причем было зарегистрировано 8 попаданий. Найти частоту промахов.
71. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась равной 0,6. Найти число попаданий, если произвели 60 выстрелов.
72. Определите частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 25 выстрелов получено 19 попаданий.
73. При стрельбе 35 патронами была получена частота попаданий 4/7. Определите число промахов.
74. По цели произвели 65 выстрелов, причем зарегистрировано
25 попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
75. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если всего проверили 1000 приборов.
76. При стрельбе из винтовки относительная частота попадания
в цель оказалась равной 0,4. Найти число попаданий, если всего было произведено 35 выстрелов.
77. По цели произвели 75 выстрелов, причем было зарегистрировано 25 попаданий. Найти частоту попадания.
78. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась равной 0,95. Найти число попаданий, если произвели 40 выстрелов.
79. Определите частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 18 выстрелов получено 6 попаданий.
80. При стрельбе 45 патронами была получена частота попадания 3/9. Определите число промахов.
-9-
81. По цели произвели 16 выстрелов, причем зарегистрировано
9 попаданий. Найти относительную частоту попадания в цепь.
82. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных оказалась равной 0,8. Найти число годных приборов, если всего проверили 400 приборов.
83. При стрельбе относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,7. Найти число попаданий, если всего было произведено 30 выстрелов.
84. По цели произвели 40 выстрелов, причем было зарегистрировано 35 попаданий. Найти относительную частоту попаданий.
85. По цепи произвели 18 выстрелов, и было зарегистрировано
12 попаданий. Найти частоту промахов.
86. При стрельбе частота попадания в цепь оказалась равной
1/7. Найти число попаданий, если произвели 42 выстрела.
87. Определять частоту промаха, если при стрельбе из миномета
по цели из 16 выстрелов получено 4 попадания.
88. При стрельбе 42 патронами была получена частота попадания 1/6. Определить число промахов.
89. По цепи произвели 35 выстрелов, причем зарегистрировано
30 попаданий. Найти относительную частоту промаха.
90. При испытании партии приборов относительная частота
годных оказалась равной 0,44. Найти число годных приборов, если
всего проверили 100 приборов.
91. При стрельбе относительная частота попадания в цель оказалась равной 1/7. Найти число попаданий, если всего произведено
56 выстрелов.
92. По цели произвели 28 выстрелов, причем было зарегистрировано 16 попаданий. Найти частоту попадания.
93. При стрельбе из винтовки частота попадания в цель оказалась равной 0,6. Найти число попаданий, если произвели 15 выстрелов.
94. При стрельбе частота попадания в цель оказалась равной
3/8. Найти число попаданий, если произвели 48 выстрелов.
95. Определите частоту промахов, если при стрельбе из миномета по цели из 18 выстрелов получено 16 попаданий.
96. При стрельбе 35 патронами была получена частота попадания 6/7. Определите число промахов.
- 10 -
97. По цели произвели 19 выстрелов, причем зарегистрировано
17 попаданий. Найти относительную частоту промаха.
98. При испытании партии приборов относительная частота
пригодных оказалась равной 0,8. Найти число годных приборов, если всего проверили 480 приборов.
99. При стрельбе относительная частота попадания в цель оказалась равной 0,65. Найти число попаданий, если всего было произведено 20 выстрелов.
100. Определить частоту промаха, если при стрельбе из миномета по цели из 25 выстрелов получено 18 попаданий.
Задание № 2
Тема: "Классическое определение вероятности"
1. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из урны наугад
вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар будет черным.
2. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из урны наугад
вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет
белым.
3. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из урны наугад
вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет
синим.
4. Стрелок имеет 70 патронов, из них 5 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон будет с осечкой?
5. В ящике перемешаны 5 кг одинаковых по размеру и весу шаров. Из них 2 кг окрашены в красный цвет, остальные белые. Какова
вероятность наугад извлечь красный шар?
6. При броске игральной кости вычислить вероятность того, что
выпало два очка.
7. В ящике лежит 31 деталь первого и 6 деталей второго сорта.
Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что деталь
окажется первого сорта.
8. При броске игральной кости найти вероятность того, что выпало пять очков.
- 11 -
9. В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих шаров. Вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет синим?
10. В ящике лежат 13 зеленых, 10 красных и 7 синих шаров.
Вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет
красным?
11. Стрелок имеет 20 патронов, из них 4 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон будет без осечки?
12. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало четное число очков.
13. В ящике лежат 12 белых и 8 красных шаров. Вынули наудачу один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белый?
14. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало простое число очков.
15. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 7?
16. В ящике 13 зеленых, 10 красных и 7 синих шаров. Вынули
наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет зеленым?
17. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало три очка.
18. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что на вынутой косточке шесть очков?
19. В ящике 13 зеленых, 10 красных и 7 синих шаров. Вынули
наугад один шар. Какова вероятность того, что он будет черным?
20. Стрелок имеет 100 патронов, из них 5 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон будет с осечкой?
21. В ящике перемешаны 8 кг шаров одинаковых по размеру и
по весу, из них 6 кг окрашены в черный цвет, остальные белые. Какова вероятность того, что вынутый наудачу шар будет белый?
22. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало одно очко.
23. В ящике лежат 12 белых и 8 красных шаров. Вынули наугад
один шар. Какова вероятность того, что шар будет красным?
24. Из 28 косточек домино наугад вынимается одна. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 4?
25. В урне находится 5 белых и 7 черных шаров. Из урны
наугад вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый
шар будет белым.
- 12 -
26. В лотерее из 10 билетов 4 выигрышных. Какова вероятность
того, что вытянутый билет будет выигрышным?
27. В ящике лежат 15 синих, 4 красных и 2 белых шара. Вынули
наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет
синим?
28. Стрелок имеет 50 патронов. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон окажется е осечкой, если патронов с осечкой 5?
29. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало три очка.
30. В ящике лежат 15 синих, 4 красных и 2 белых шара. Вынули
наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар будет
белым?
31. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что на вынутой косточке есть пятерка?
32. В ящике лежит 31 деталь первого и 6 деталей второго сорта.
Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что деталь
окажется второго сорта.
33. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало четыре очка.
34. В урне находится 5 белых и 7 черных шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу один шар будет зеленым.
35. В лотерее 100 билетов. Из них 20 выигрышных. Какова вероятность того, что вынутый наудачу билет будет выигрышным?
36. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало шесть очков.
37. В ящике перемешаны 10 кг одинаковых по размеру и весу
шаров. Из них 3 кг окрашены в красный цвет. Какова вероятность
того, что взятый наудачу шар окажется красным?
38. В ящике 12 черных, 6 белых и 8 красных шаров. Наудачу
вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар
будет белым?
39. В ящике 80 патронов, из них 10 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон будет с осечкой?
40. При броске игральной кости найти вероятность того, что
выпало четыре очка.
41. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что на вынутой косточке есть четверка?
- 13 -
42. В ящике лежат 12 белых и 6 красных шаров. Вынули наудачу один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет белый?
43. В ящике 32 детали первого и 8 деталей второго сорта.
Наугад вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что деталь
окажется первого сорта.
44. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпало нечетное число очков.
45. В урне 10 синих и 4 красных шара. Наудачу вынули один
шар. Найти вероятность того, что вынутый шар синий.
46. В урне 10 синих и 4 красных шара. Наудачу вынули один
шар. Найти вероятность того, что вынутый шар красный.
47. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что на вынутой косточке есть двойка?
48. В ящике перемешаны 12 кг одинаковых по размеру и весу
шаров. Из них 5 кг окрашены в красный цвет, остальные белые. Какова вероятность того, что взятый наудачу шар окажется белым?
49. В ящике 60 патронов, из них 15 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон будет без осечки?
50. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что число выпавших очков делится на три.
51. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что на вынутой косточке есть тройка?
52. В лотерее из 50 билетов 15 выигрышные. Какова вероятность того, что взятый наудачу билет будет выигрышным?
53. В ящике 50 деталей, из них 4 бракованные. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной?
54. В урне 16 черных и 6 белых шаров. Какова вероятность того, что взятый наудачу шар будет белым?
55. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпавшее число очков делится на пять нацело?
56. В ящике 10 одинаковых шаров, пронумерованных от 1 до
10. Какова вероятность того, что вынутый наудачу шар имеет номер
не больше 10?
57. В ящике 40 патронов, из них 8 с осечкой. Найти вероятность
того, что взятый наугад патрон будет без осечки.
58. В лотерее из 11 билетов 3 выигрышные. Найти вероятность
того, что взятый наудачу билет будет невыигрышным.
- 14 -
59. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 6?
60. В ящике 12 синих, 4 зеленых и 7 красных шаров. Наудачу
вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар
будет синим?
61. В ящике 12 синих, 4 зеленых и 7 красных шаров. Наудачу
вынимают одни шар. Какова вероятность того, что вынутый шар
красный?
62. В ящике 56 деталей, из них 6 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной.
63. В урне 15 красных и 8 белых шаров. Найти вероятность того, что взятый наудачу шар будет красным.
64. В лотерее 15 билетов, 4 выигрышные. Найти вероятность
того, что взятый наудачу билет будет выигрышным.
65. В ящике 10 одинаковых шаров, пронумерованных от 1 до
10. Какова вероятность того, что взятый наудачу шар будет иметь
номер 13?
66. В ящике 40 патронов, из них 8 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон окажется с осечкой?
67. В ящике перемешаны 20 кг одинаковых по размеру и весу
шаров. Из них 2 кг окрашены в красный цвет, остальные белые. Какова вероятность извлечь красный шар?
68. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 5?
69. В ящике 30 деталей первого и 7 деталей второго сорта. Какова вероятность того, что вынутая наугад деталь окажется первого
сорта.
70. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпавшее число очков делится на два?
71. В урне 26 красных и 4 синих шара. Найти вероятность того,
что взятый наудачу шар будет синим.
72. В ящике 54 детали, из них 8 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной.
73. В ящике 56 деталей, из них 12 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная.
74. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад.
Найти вероятность того, что эти цифры набраны правильно.
- 15 -
75. В ящике 35 патронов, из них 5 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон окажется с осечкой?
76. В урне 25 красных и 5 синих шаров. Найти вероятность того, что взятый наудачу шар будет синим.
77. В ящике 45 деталей, из них 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная.
78. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры. Какова вероятность того, что это 2 и 5.
79. В урне 25 красных и 5 синих шаров. Найти вероятность того, что взятый наудачу шар красный.
80. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 4?
81. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпавшее число очков делится на четыре нацело?
82. В лотерее из 30 билетов, 6 выигрышные. Найти вероятность
того, что взятый наудачу билет будет выигрышным.
83. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры. Какова вероятность того, что это 4 и 6.
84. В ящике 34 детали первого и 15 деталей второго сорта. Какова вероятность того, что вынутая наугад деталь окажется первого
сорта.
85. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 3?
86. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпавшее число очков делится нацело на один.
87. В ящике 4 черных, 16 белых и 5 синих шаров. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар синий?
88. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру.
Какова вероятность того, что это 8?
89. В урне 12 красных и 8 зеленых шаров. Найти вероятность
того, что взятый наудачу шар красный.
90. В ящике перемешаны 6 кг одинаковых по размеру и весу
шаров. Из них 3 кг окрашены в черный цвет, остальные белые. Какова вероятность извлечь черный шар?
91. В лотерее из 55 билетов 10 выигрышные. Найти вероятность
того, что взятый наудачу билет не выигрышный.
92. При броске игральной кости вычислить вероятность того,
что выпавшее число очков делится нацело на шесть.
- 16 -
93. В ящике 65 патронов, из них 8 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон окажется с осечкой?
94. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две
цифры. Какова вероятность того, что это 3 и 4?
95. В ящике перемешаны 15 кг одинаковых по размеру и весу
шаров. Из них 5 кг окрашены в красный цвет, остальные белые.
Найти вероятность того, что взятый наудачу шар белый.
96. Из 28 косточек домино наугад вынимают одну. Какова вероятность того, что сумма вынутых очков равна 6?
97. В ящике 80 патронов, из них 8 с осечкой. Какова вероятность того, что взятый наудачу патрон окажется с осечкой?
98. Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру.
Какова вероятность того, что это 9?
99. В ящике 45 деталей первого и 10 деталей второго сорта.
Найти вероятность того, что взятая наугад деталь первого сорта.
100. В урне 25 красных и 6 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу шар синий.
Задание № 3
Тема: "Сложение и умножение вероятностей"
1. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для
второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только
один сигнализатор.
2. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для
второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.
3. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,8.
Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий только
одно стандартно.
4. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего
- 17 -
сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных
изделий будeт только два изделия высшего сорта.
5. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках.
Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула содержится только в одном справочнике.
6. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках.
Вероятность того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что формула только в двух справочниках.
7. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на
каждой из выпавших граней появится 5 очков.
8. В нашей местности среднее число пасмурных дней в июле
равно 5. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет
ясная погода.
9. В ящике имеется 10 деталей, среди которых 6 окрашенных.
Сборщик наугад извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что
все извлеченные детали окажутся окрашенными.
10. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает и предложенные экзаменатором три
вопроса.
11. В урне находятся 10 одинаковых кубиков с номерами от 1
до 10. Наугад извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что появятся последовательно кубики с номерами 1, 2 и 3.
12. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для
второго - 0,8, для третьего 0,9. Найти вероятность того, что все три
стрелка одновременно попадут в цель.
13. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка
станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней
подряд не произойдет ни одной неполадки.
14. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность того, что выбраны 2 мальчика?
15. В урне 9 белых и 1 черный шар. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары белые?
16. В ящике 10 белых, 8 черных и 2 синих шара. Вынули один
шар. Какова вероятность того, что он белый или черный.
- 18 -
17. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя
бы из одного ящика будет вынут один белый шар, если из каждого
ящика вынуто по одному шару.
18. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет
неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?
19. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наугад
две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одного
цвета?
20. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число
окажется кратным 2, либо 5, либо тому и другому одновременно.
21. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24.
Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на один
вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
22. Бросаются 4 игральные кости. Найти вероятность того, что
на них выпадет по одинаковому числу очков.
23. В урне 10 белых, 15 черных и 5 синих шаров. Вынули один
шар. Какова вероятность того, что этот шар белый или черный?
24. В одном ящике 2 белых и 10 черных шаров, в другом ящике
8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынуто по одному шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.
25. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для
второго 0,85, для третьего 0,95. Найти вероятность того, что все три
стрелка одновременно попадут в цель.
26. На станке установлены для сигнализации об аварии два
независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при
аварии сигнализатор сработает, равна 0,9 для первого сигнализатора
и 0,95 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.
27. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,75, а для
второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут оба стрелка.
28. Изделие проверяется на стандартность. Вероятность того,
что изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность того, что из
двух проверенных изделий оба стандартные.
- 19 -
29. Товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,75.
Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий будет
только одно высшего сорта.
30. Нужная формула содержится в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем
справочнике, соответственно равны 0,6; 0,9; 0,75. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.
31. Три стрелка стреляют по мишени. Вероятность того, что
первый стрелок попадет в мишень равна 0,9; второй - 0,8, третий 0,7. Найти вероятность того, что в мишень попадут только два
стрелка одновременно при одном балле.
32. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на
каждой грани появится 6 очков.
33. У нас в городе среднее число пасмурных дней в июле равно
6. Найти вероятность того, что 4-го и 5-го июля будет ясная погода.
34. В ящике имеется 20 стандартных деталей, среди которых 10
окрашенных. Рабочий наугад извлекает 5 деталей. Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
35. Студент знает 30 из 35 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные экзаменатором два вопроса.
36. 10 шаров пронумерованы от 1 до 10 и находятся в урне.
Наугад по одному шару вынимают из урны. Найти вероятность того, что появятся последовательно шары с номерами 1, 2, 3.
37. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,8, для
второго - 0,9, для третьего 0,85. Найти вероятность того, что в цель
попадут только два стрелка.
38. В течение дня на станке может произойти авария с вероятностью 0,02. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней подряд не произойдет ни одной аварии?
39. В группе 16 девушек и 14 юношей. Нужно выбрать делегацию
из двух человек. Какова вероятность того, что выбраны 2 юноши?
40. В урне 15 белых и 5 черных шаров. Вынули сразу 2 шара.
Какова вероятность того, что вынуты черные шары?
41. В ящике 20 белых, 8 черных и 2 синих шара. Вынули один
шар. Какова вероятность того, что он синий или черный?
- 20 -
42. В одной урне 5 белых и 10 красных шаров, в другой урне 10
белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из
одного ящика будет вынут один красный шар, если из каждого
ящика вынуто по одному шару.
43. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет
неполадка станка равна 0,03. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за две смены?
44. В ящике имеются 10 красных и 16 синих пуговиц. Вынимают наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что обе пуговицы красные?
45. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число
окажется кратным 2.
46. Студент пришел на зачет, зная из 20 вопросов только 15.
Какова вероятность того, что студент ответит на вопросы билета, в
котором 2 вопроса?
47. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на
них выпадет по 5 очков одновременно.
48. В урне имеются 8 белых, 10 черных и 12 красных шаров.
Вынули один шар наугад. Какова вероятность того, что этот шар
белый или красный?
49. В одном ящике 12 белых и 8 черных шаров, в другом ящике
15 белых и 5 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному
шару. Найти вероятность того, что оба шара белые.
50. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,85, а для
второго - 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка одновременно попадут в цель.
51. На приборе установлены два сигнализатора аварии, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что при аварии
сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и
0,98 дня второго. Найти вероятность того, что при аварии сработают оба сигнализатора.
52. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,75, а для
второго - 0,85. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут оба стрелка.
53. Технический контроль проверяет изделия на стандартность.
Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,85. Найти веро- 21 -
ятность того, что из трех проверенных изделий два стандартные.
54. Товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,85.
Найти вероятность того, что из двух проверенных изделий одно
высшего сорта.
55. Студент разыскивает нужную формулу в трех справочниках.
Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что формула содержится только в двух справочниках.
56. На станке установлены три прибора. Вероятности выхода из
строя каждого из приборов соответственно равны 0,75; 0,8; 0,85.
Станок работает, если два прибора из трех функционируют. Найти
вероятность работы станка.
57. Брошены 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на
каждой из выпавших граней появится 4 очка.
58. В местности среднее число ясных дней в августе 25. Найти
вероятность того, что 3-го и 4-го августа будет пасмурная погода.
59. В ящике имеется 20 деталей, из которых 12 окрашенных.
Сборщик наугад вынимает 3 детали. Найти вероятность того, что 2
детали из трех окажутся окрашенными.
60. Ученик знает 18 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что ученик знает предложенные учителем два вопроса.
61. В урне находятся 10 одинаковых кубиков с номерами от 1
до 10. Наугад извлекается по одному 3 кубика. Найти вероятность
того, что появятся последовательно кубики с номерами 1, 2 и 3.
62. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, а для
второго - 0,3. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.
63. Вероятность того, что течение дня произойдет неполадка
станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что за два дня подряд
не произойдет ни одной неполадки?
64. В группе 10 мальчиков и 20 девочек. Нужно выбрать двух
человек на слет. Какова вероятность того, что выбраны 2 девочки?
65. В урне 10 белых и 1 черный шар. Вынули сразу 2 шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары белые?
66. В урне 20 белых, 16 черных и 4 синих шара. Вынули один
шар. Какова вероятность того, что он синий?
- 22 -
67. В одной урне 10 белых и 8 черных шаров, в другой урне 8
белых и 10 черных шаров. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, если из каждой урны вынуто по одному шару.
68. Вероятность того, что в течение одной смены возникнет
неполадка станка, равна 0,02. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за две смены?
69. В ящике 20 красных и 14 синих пуговиц. Вынимают наугад
две пуговицы. Какова вероятность, того, что обе пуговицы будут
одного цвета?
70. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число
окажется кратным 5.
71. Ученик пришел на экзамен, зная из 30 вопросов только 25.
Какова вероятность сдать экзамен, если после отказа отвечать на
один вопрос учитель задает еще один вопрос?
72. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на
них выпадет по 5 очков.
73. В урне 20 белых, 10 черных и 8 синих шаров. Вынули один
шар наугад. Какова вероятность того, что этот шар синий?
74. В одном ящике 4 белых и 10 черных шаров, во втором ящике 8 белых и 6 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному
шару. Найти вероятность того, что оба шара черные.
75. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для
второго - 0,83, а для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что все
три стрелка одновременно попадут в цель.
76. По мишени стреляют два стрелка. Вероятность попадания в
мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,85, а для
второго - 0,75. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет только один стрелок.
77. На приборе установлены для аварии два сигнализатора, работающих независимо друг от друга. Прибор функционирует, если
хота бы один из сигнализаторов не фиксирует аварии. Какова вероятность работы прибора, если вероятность выхода из строя одного
сигнализатора равна 0,92, а другого - 0,95?
78. Изделие проверяется на стандартность. Вероятность того,
что изделие стандартно, равна 0,85. Найти вероятность того, что из
трех проверенных изделий два будут стандартные.
79. Отдел технического контроля отбирает изделия высшего
- 23 -
сорта. Вероятность того, что наугад взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий одно будет высшего сорта.
80. Учащийся ищет формулу в трех справочниках. Вероятности
того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике, соответственно равны 0,7; 0,65; 0,8. Найти вероятность того,
что формула окажется во всех справочниках одновременно.
81. Два стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в
цель для первого стрелка равна 0,85, а для второго - 0,8, Найти вероятность того, что при одновременном залпе цель будет поражена.
82. Брошены 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на
всех игральных костях выпадет одно и то же очко.
83. В нашей местности среднее число ясных дней в августе равно 24. Найти вероятность того, что 1-го и 2-го августа будут пасмурные дни.
84. В ящике имеется 15 стандартных деталей, из которых 10
окрашенных. Рабочий наугад вынимает 2 детали. Найти вероятность того, что одна из извлеченных деталей окрашенная.
85. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что ученик знает предложенные экзаменатором три вопроса.
86. Имеются кубики с номерами 1, 2, 3, …, 10. Наугад извлекают по одному 3 кубика. Найти вероятность того, что на вынутых
кубиках получится число 123.
87. По цели стреляют независимо друг от друга три стрелка.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для
второго - 0,8, а для третьего 0,6. Найти вероятность того, что хотя
бы два стрелка попадут в цель.
88. На станке может произойти авария в течение смены с вероятностью 0,03. Какова вероятность того, что в течение двух смен
подряд не произойдет ни одной аварии?
89. В классе 8 мальчиков и 20 девочек. Нужно выбрать двух человек на слет. Какова вероятность того, что выбраны 2 мальчика?
90. В ящике 20 белых, 10 черных и 5 синих шаров. Вынули 3
шара. Какова вероятность того, что все вынутые шары черные?
91. В урне 10 белых, 18 черных и 12 синих шаров. Вынули один
шар из урны. Какова вероятность того, что вынутый шар черный
или синий?
- 24 -
92. В одном ящике 8 белых и 12 красных шаров, в другой урне
10 белых и 8 красных шаров. Из каждого ящика вынуто по одному
шару. Какова вероятность того, что хотя бы из одной урны вынут
белый шар.
93. Вероятность того, что за смену возникнет неполадка станка,
равна 0,01. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной
неполадки за три смены подряд?
94. В ящике имеются 14 красных и 16 синих пуговиц. Вынимают наугад две пуговицы. Какова вероятность того, что вынутые пуговицы разных цветов?
95. Найти вероятность того, что наугад взятое двузначное число
окажется кратным 5.
96. Студент пришел на зачет, зная из 20 вопросов только 12.
Найти вероятность того, что студент сдаст зачет, если ему зададут
одни вопрос.
97. Брошены 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на
них выпадет 1 очко.
98. В урне имеются 12 белых, 8 черных и 7 синих шаров. Вынули один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар белый или черный?
99. В одном ящике 18 белых и 12 черных шаров, в другом ящике 15 белых и 5 черных шаров. Из каждого ящика вынуто по одному
шару. Какова вероятность того, что оба шара черные.
100. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели.
Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,85, а для
второго - 0,9. Найти вероятность того, что оба стрелка одновременно попадут в цель.
Задание 4
Тема: "Условная вероятность. Полная вероятность.
Формула Бейесса"
1. В группе 15 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжников 0,95, для велосипедистов - 0,85, для бегунов - 0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму. Какова вероятность того, что он принадлежит к числу велосипедистов.
- 25 -
2. В вычислительной лаборатория имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения
некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,95; для полуавтомата эта вероятность = 0,8. Студент производит расчет наугад на
выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
3. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1 автомата вдвое
больше производительности 2-го. 1 автомат производит в среднем
60 % деталей отличного качества, а второй – 84 %. Наудачу взятая
деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что
эта деталь произведена 1-ым автоматом.
4. В специализированную больницу поступают в среднем 50 %
больных с заболеванием К, 30 % с заболеванием L, 20 % с заболеванием М. Вероятность полного излечения больных К = 0,7, для больных L - 0,8, для больных М - 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал болезнью К.
5. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных, во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад взятого ящика - стандартная. Какова вероятность того, что эта стандартная деталь принадлежит ящику № 3?
6. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для
лыжников - 0,9, для велосипедистов - 0,85, для бегуна - 0,75. Найти
вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит
норму. Какова вероятность того, что он принадлежал к числу велосипедистов.
7. На трех автоматических линиях изготавливаются одноименные детали. Первая линия дает 70 %, вторая – 20 % и третья – 10 %
всей продукции. Вероятность получения брака на каждой линии соответственно равна 0,02; 0,01; 0,05. Определить вероятность того,
что бракованная деталь изготовлена на 1-ой линии.
8. В вычислительной лаборатории имеются 8 клавишных автоматов и 3 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения
некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,9; для полуавтомата эта вероятность 0,75. Студент производит расчет наудачу на
- 26 -
выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
9. В инспекторских стрельбах участвуют 30 стрелков, из которых
15 отличных стрелков могут выполнить стрельбу с вероятностью
0,9; 10 хороших стрелков - с вероятностью 0,8; 5 слабых стрелков с вероятностью 0,3. Какова вероятность выполнения задача наугад
вызванным стрелком?
10. Известно, что 20 % всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а остальные поровну два специалиста средней
квалификации Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации = 0,95; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации = 0,7. Найти вероятность того,
что наугад взятый прибор окажется надежным. Найти вероятность
того, что этот прибор собран специалистом высокой квалификации.
11. В первом ящике содержится 25 деталей, из них 18 стандартных, во втором 40 деталей, из них 32 стандартных, в третьем - 12 деталей, из них 8 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад взятого ящика - стандартная. Какова вероятность того, что эта стандартная деталь принадлежит ящику № 2?
12. На двух поточных линиях производятся одинаковые изделия,
которые поступают на ОТК. Производительность первой поточной
линии вдвое больше производительности второй. Первая поточная
линия производит 70 % изделий I сорта, а вторая – 90 %. Найдите
вероятность того, что наугад взятое для проверки в ОТК изделие
будет I сорта. Найдите вероятность того, что это изделие произведено на первой поточной линии,
13. В вычислительной лаборатории имеются 9 клавишных автоматов и 3 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,9; для полуавтомата эта вероятность = 0,7. Студент производит расчет на
наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. Какова вероятность того,
что вышедшая из строя машина полуавтомат?
14. На трех автоматических линиях изготавливаются одноименные детали. Первая линия дает 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 %
всей продукции. Вероятность получения брака на каждой линии соответственно равна 0,02; 0,04; 0,05. Определить вероятность того,
что взятая наугад деталь окажется бракованной. Чему равна вероят- 27 -
ность того, что эта деталь изготовлена на первой линии?
15. В инспекторских стрельбах участвуют 22 стрелка, из которых 8 отличных стрелков могут выполнить стрельбу с вероятностью
0,95; 12 хороших стрелков - с вероятностью 0,8; 2 слабых стрелка с вероятностью 0,4. Какова вероятность выполнения задачи наугад
вызванным стрелком?
16. Известно, что 40 % всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а остальные поровну два специалиста средней
квалификации Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации = 0,95; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации = 0,6. Найти вероятность того,
что наугад взятый прибор окажется надежным. Найти вероятность
того, что этот прибор собран специалистом высокой квалификации.
17. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при
выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: что стрелок
стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него.
18. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что будет
заправляться грузовая машина = 0,1, для легковой машины эта вероятность 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина.
Найти вероятность того, что эта машина грузовая.
19. В пирамиде 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность 0,7. Найти вероятность
того, что мишень будет выражена, если стрелок произведет один
выстрел из наудачу взятой винтовки.
20. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе
№ 1, 20 деталей на заводе № 2 и 18 деталей на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,9. Для деталей, изготовленных на заводах № 2 и №
3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь отличного качества.
21. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во вто- 28 -
рой урне 20 шаров, из них 4 белых. Из любой урны наудачу извлекли один ша. Найти вероятность того, что этот шар белый.
22. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара.
Из наудачу выбранной урны наугад извлечен один шар. Найти вероятность того, что этот шар окажется белым.
23. Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по
одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая
перфораторщица допустит ошибку равна 0,05. Для второй эта вероятность = 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка.
Найти вероятности того, что ошиблась первая перфораторщица
(предполагается, что оба перфоратора были исправны).
24. В специализированную больницу поступают в среднем 40 %
больных с заболеванием А, 35 % - с заболеванием В, 25 % - с заболеванием С. Вероятность полного излечения больных А = 0,7, для
больных В - 0,8, для больных С - 0,9. Больной, поступивший в
больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот
больной страдал заболеванием В.
25. Имеется три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число
стандартных деталей в I, II и III партиях соответственно равно 15,
10, 11. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь.
Найти вероятность того, что эта деталь стандартная.
26. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность 1 автомата вдвое
больше производительности 2-го. 1 автомат производит в среднем
70 % деталей отличного качества, а второй – 85 %. Наудачу взятая
деталь отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь
произведена 1-ым автоматом.
27. Имеется 4 урны. В I урне: белый и 1 черный шары. Во II
урне: 2 белых и 3 черных шара. В III урне 3 белых и 4 черных шара.
В IV урне 4 белых и 7 черных шаров. Вероятности выбора урн соответственно равны 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Выбирается наугад одна из урн и
вынимается из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
28. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В I ящике - 20 белых
шаров, во II ящике - 12 белых и 8 черных шаров. В III ящике - 20
черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар.
Вычислить вероятность того, что шар вынут из I ящика.
29. В вычислительной лаборатории имеются 8 клавишных ав- 29 -
томатов и 6 полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,9; для полуавтомата эта вероятность = 0,8. Студент производит расчет на
наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
30. Студент пришел на экзамен по высшей математике не полностью подготовленным: он выучил лишь 36 билетов из 40. В каком
случае вероятность вытащить «хороший» билет будет для него выше: когда он берет билет первым или вторым?
31. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для 1 стрелка 0,9, для второго 0,6. После стрельбы в
мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что
эта пробоина принадлежит 1 стрелку.
32. Имеются 3 одинаковых по виду урны. В I урне - 5 белых и 4
черных шара, во II урне - 10 белых и 3 черных, а в III урне - 8 белых
шаров. Из одной из урн вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
33. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2)
ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 85 % всех случаев работы прибора: ненормальный - в 15 %. Вероятность выхода
прибора из строя за время t в нормальном режиме - 0,1; в ненормальном - 0,7. Найти полную вероятность выхода прибора из строя
за время t.
34. Приборы одного наименования изготавливаются двумя заводами. Первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих
на производство; второй - 1/3. Надежность прибора, изготовленного
первым заводом равна 0,9; второго - 0,85. Определить полную
надежность прибора, поступившего на производство.
35. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4
бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова:
для лыжников - 0,8, для велосипедистов - 0,7, для бегуна - 0,75.
Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму. Какова вероятность того, что он принадлежал к числу
велосипедистов.
36. Вероятность взять для данного измерения I прибор равна
0,2, второй - 0,3 и третий - 0,5. Вероятность неисправности в первом
приборе 0,1, во втором 0,2 и в третьем - 0,3. Найти вероятность то- 30 -
го, что взят был исправный прибор.
37. 15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 25
вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на 2 вопроса из одного билета или
на 1 вопрос из 1 билета и на дополнительный вопрос из другого билета.
38. В некоторой отрасли 30 % продукции производится фабрикой I, 25 % - фабрикой II, а остальная часть продукции - фабрикой
III. На фабрике I в брак идет 1 % всей продукций, на фабрике II 1,5 %, на фабрике III - 2%. Купленная покупателем единица продукции оказалась браком. Какова вероятность того, что она произведена фабрикой I?
39. Студент пришел на экзамен по высшей математике не полностью подготовленным: он выучил лишь 35 билетов из 40. В каком
случае вероятность вытащить «хороший» билет будет для него выше: когда он берет билет первым или вторым?
40. На трех станках при одинаковых и независимых условиях
изготавливают одноименные детали. На I станке изготавливают
10 %, на втором – 30 %, на третьей – 60 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной соответственно равна 0,7;
0,8; 0,9 для I, II и III станка. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бездефектной.
41. В вычислительной лаборатории имеются 8 клавишных автоматов и 6 полуавтоматов. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,9; для полуавтомата эта вероятность = 0,7. Студент производит расчет на
наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
42. В стрельбах участвуют 25 стрелков, из которых 18 отличных
стрелков могут выполнить стрельбу, вероятностью 0,95; 5 хороших
стрелков - с вероятностью 0,85; 2 слабых стрелка – с вероятностью
0,4. Какова вероятность выполнения задачи наугад вызванным
стрелком?
43. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 18 стандартных, во втором 30 деталей, из них 28 стандартных, в третьем - 12 деталей, из них 10 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад взятого ящика - стандартная. Какова веро- 31 -
ятность того, что эта стандартная деталь принадлежит ящику № 3?
44. На трех автоматических линиях изготавливают одноименные детали. Первая линяя дает 25 %, вторая – 40 % и третья – 35 %
всей продукции. Вероятность получения брака на каждой линии соответственно равна 0,03; 0,02; 0,04. Определить вероятность того,
что взятая наугад деталь окажется бракованной. Чему равна вероятность того, что эта деталь изготовлена на второй линии?
45. Имеется 15 винтовок, их которых 10 снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом 0,95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность 0,8. Стрелок поразил мишень
из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
46. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 5:4. Вероятность того, что будет
заправляться грузовая машина = 0,2, для легковой машины эта вероятность 0,3. К бензоколонке подъехала для заправки машина.
Найти вероятность того, что эта машина легковая.
47. В ящике содержится 20 деталей, изготовленных на заводе
№ 1, 15 деталей - на заводе № 2 и 25 деталей на заводе № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0,95. Для деталей, изготовленных на заводах № 2 и
№ 3, эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,85. Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь отличного качества.
48. В первой урне содержится 15 шаров, из них 10 белых; во второй урне 20 шаров, из них 12 белых. Из наугад взятой урны наудачу
извлекли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шaр.
49. В больницу поступают в среднем 60 % больных с заболеванием А, 25 % - с заболеванием В, 15 % - с заболеванием С. Вероятность полного излечения больных А = 0,75, для больных В - 0,85,
для больных С - 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал
заболеванием В.
50. Три орудия произвели залп по цели, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что II орудие дало попадание,
если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны Р1 = 0,7; Р2 = 0,5; Р3 = 0,6.
- 32 -
51. Имеется 4 урны. В I урне 2 белых и 3 черных шары. Во II
урне 3 белых и 1 черный шар. В III урне 5 белых и 4 черных шара. В
IV урне 3 белых и 7 черных шаров. Вероятности выбора равны 0,2;
0,1; 0,5; 0,2. Выбирают наугад одну из урн и вынимают из нее шар.
Найти вероятность того, что этот шар черный.
52. Имеются 3 одинаковых с виду ящика. В I ящике - 15 белых
шаров, во II ящике - 10 белых и 8 черных шаров. В III ящике - 20
черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар.
Вычислить вероятность того, что шар вынут из II ящика.
53. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по одной
мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для I стрелка 0,9, для второго 0,7. После стрельбы в
мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что
эта пробоина принадлежит II стрелку.
54. Студент выучил лишь 25 билетов из 30. В каком случае вероятность вытащить «хороший» билет будет для него выше: когда
он берет билет первым или вторым?
55.. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2)
ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 90 % всех случаев работы прибора: ненормальный – в 10 %. Вероятность выхода
прибора из строя за время t в нормальном режиме = 0,1; в ненормальном – 0,6. Найти полную вероятность выхода прибора из строя
за время t.
56. Имеются 3 одинаковых с виду урны. В I урне 10 белых и 4
красных шара, во II урне – 8 белых и 3 красных шара, а в III урне –
12 белых шаров. Из одной из урн вынимают один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
57. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 10 стандартных, во втором 30 деталей, из них 26 стандартных, в третьем – 10 деталей, из них 7 стандартных. Найти вероятность того, что наугад извлеченная деталь из наугад взятого ящика - стандартная. Какова вероятность того, что эта стандартная деталь принадлежит ящику № 3?
58. Вероятность взять для данного измерения I прибор равна
0,2, второй - 0,3 и третий - 0,5. Вероятность неисправности в первом
приборе 0,1, во втором 0,08 и в третьем - 0,05. Найти вероятность
того, что взят был III прибор.
59. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 19 стандартных, во втором 40 деталей, из них 30 стандартных, в третьем - 14
- 33 -
деталей, из них 10 стандартных. Найти вероятность того, что наугад
извлеченная деталь из наугад взятого ящикa стандартная. Какова вероятность того, что эта стандартная деталь принадлежит ящику № 2?
60. На трех станках при одинаковых и независимых условиях
изготавливают одноименные детали. На 1 станке изготавливают
25 %, на втором – 35 %, на третьем – 40 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной соответственно равна 0,7;
0,85; 0,95 для I, II и III станка. Определить вероятность того, что
взятая наугад деталь окажется бездефектной.
61. В стрельбах участвуют 30 стрелков, из которых 20 отличных
стрелков могут выполнить стрельбу с вероятностью 0,9; 8 хороших
стрелков – с вероятностью 0,8; 2 слабых стрелка – с вероятностью
0,5. Какова вероятность выполнения задачи наугад вызванным
стрелком?
62. Известно, что в партия из 600 электрических лампочек изготовлены на I заводе, 250 - на II, 150 – на III. Известны также вероятности - 0,97, 0,91 и 0,93 того, что лампочка окажется стандартного
качества при изготовлении ее соответственно I, II и III заводами.
Какова вероятность того, что наудачу выбранная из данной партии
лампочка окажется стандартной?
63. При массовом производстве некоторого изделия вероятность того, что оно окажется стандартным равна 0,95. Для контроля
производится некоторая упрощенная проверка стандартности изделия, которая дает положительный результат в 99 % случаев для
стандартных и в 3 % случаев для нестандартных изделий. Какова
вероятность стандартности изделия, выдержавшего упрощенную
проверку?
64. На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на I заводе, 460 на II, 340 на III. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным для I завода равна 0,03, для II 0,02 и для III - 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен на I заводе?
65. В I урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во II - 1
черный и 5 белых шаров. Из любой урны по схеме случайного выбора взяли шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
66. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца = 0,9 и 5 телевизоров
с вероятностью, равной 0,95. Найти вероятность того, что два теле- 34 -
визора, взятые наудачу в пункте проката будут работать исправно в
течение месяца.
67. В стройотряде 70 % первокурсников и 30 % студентов II
курса. Среди первокурсников 10 % девушек, а среди студентов II
курса – 5 % девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне.
Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне
дежурит первокурсница.
68. В магазин поступили электрические лампочки одного типа,
изготовленные на 4-х ламповых заводах: с I завода 250 штук, со II 525 штук, с III - 275 штук, с IV - 250 штук. Вероятность того, что
лампочка прогорит более 1500 часов для I завода равна 0,15, для II 0,3, для III - 0,2, для IV - 0,1. При раскладке по полкам магазина
лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов.
69. В I урне содержатся 2 белых и 3 черных шара, во второй - 5
белых и 4 черных. Из наудачу взятой урны наугад извлекают 1 шар.
Найти вероятность того, что этот шар белый.
70. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 красных, а во второй 1
белый и 7 красных. Достают 1 шар из наудачу выбранной урны. Какова вероятность, что этот шар белый?
71. В инспекторских стрельбах участвует 22 стрелка, из которых 8 отличных стрелков могут выполнить стрельбу с вероятностью
0,9; 12 хороших стрелков - с вероятностью 0,8; 2 слабых стрелка - с
вероятностью 0,3. Какова вероятность выполнения задачи наугад
вызванным стрелком?
72. Известно, что 30 % всех приборов собирает специалист высокой квалификации, а остальные поровну два специалиста средней
квалификации. Надежность прибора, собранного специалистом высокой квалификации = 0,9; надежность прибора, собранного специалистом средней квалификации = 0,75. Найти вероятность того, что
наугад взятый прибор окажется надежным. Найти вероятность того,
что этот прибор собран специалистом высокой квалификации.
73. Самолет вооружен тремя ракетами. Вероятности того, что I,
II и III ракеты попадают в некоторый объект равны соответственно
0,75, 0,9 и 0,87. Наудачу производится пуск одной из ракет. Найти
вероятность попадания ракеты в объект.
74. В пирамиде 20 винтовок, из которых 8 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при
- 35 -
выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,98; для винтовки без оптического прицела эта вероятность 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет
один выстрел из наудачу взятой винтовки.
75. Команда состоит из 3-х отличных, 5-ти хороших и 2-х посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном
выстреле для отличного стрелка равна 0,9; для хорошего - 0,8; для
посредственного - 0,6. Наугад производится выстрел. Какова вероятность того, что стрелок попадет в цель?
76. В вычислительной лаборатории имеются 8 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя = 0,8; для полуавтомата эта вероятность = 0,7. Студент производит расчет на
наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. Какова вероятность того,
что вышедшая из строя машина полуавтомат?
77. Два охотника выстрелили по медведю, в результате чего он
был убит одной пулей. Априорные вероятности попадания охотников равны 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что медведь был убит
первым охотником?
78. Подводная лодка выпускает по атакуемому кораблю торпеду. Вероятность попадания торпеды в носовую часть корабля равна
0,3, в среднюю - 0,5 и в корковую 0,1. Вероятность потопления корабля при попадании в носовую часть равна 0,4, в среднюю - 0,9 и в
кормовую 0,6. Какова вероятность потопления корабля одной торпедой?
79. Управление беспилотной мишенью при посадке осуществляется по радиолинии посредством двух команд: «вверх» и «вниз».
Вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,6 и 0,4.
Какова вероятности искажения команды, если вероятности искажения команд «вверх» и «вниз» соответственно равны 0,3 и 0,7.
80. В пирамиде 15 винтовок, из которых 6 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при
выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность 0,85. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: что стрелок
стрелял из винтовки с оптическим прицепом или без него.
81. Батарея из двух орудий произвела залп, причем только один
- 36 -
снаряд попал в цель. Найти вероятность того, что этот снаряд был
выпущен первым орудием, если вероятности попадания в цель для I
орудия = 0,7, а для II - 0,5.
82. Вероятности того, что во время работы электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной
памяти, в остальных устройствах - относятся как 2:1:3. Вероятности
обнаружения сбоя в течение 1 часа соответственно равны 0,81, 0,9 и
0,8. Какова вероятность обнаружения сбоя за I час?
83. В группе 25 лыжников, 10 велосипедистов и 7 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжников - 0,9, для велосипедистов - 0,7 для бегуна - 0,7. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад выполнит норму. Какова вероятность того, что он принадлежал к числу велосипедистов?
84. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность I автомата вдвое
больше производительности II-го. I автомат производит в среднем
80 % деталей отличного качества, а второй – 85 %. Наудачу взятая
деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что
эта деталь произведена I-ым автоматом.
85. На трех автоматических линиях изготавливают одноименные детали. Первая линия дает 65 %, вторая – 15 % и третья – 20 %
всей продукции. Вероятность получения брака на каждой линии соответственно равна 0,02; 0,1; 0,08. Определить вероятность того, что
взятая наугад деталь окажется бракованной. Чему равна вероятность того, что эта деталь изготовлена на первой линии?
86. В I урне 10 шаров, из них 6 белых, во второй - 15 шаров, из
них 10 белых. Из наудачу выбранной урны наугад извлекли 1 шар.
Найти вероятность того, что он будет белым.
87. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе, как 6:4. Вероятность того, что будет
заправляться грузовая машина = 0,3, для легковой машины эта вероятность 0,4. К бензоколонке подъехала для заправки машина.
Найти вероятность того, что эта машина легковая.
88. Имеются 3 одинаковых с виду ящика. В I ящике -15 белых и
5 красных шаров, во II ящике -10 белых и 7 красных шаров. В III
ящике - 10 белых шаров. Из выбранного наугад ящика вынули бе- 37 -
лый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из I ящика.
89. Вероятность взять для данного измерения прибор А равна
0,3, прибор В -0,4, прибор С - 0,3. Вероятность неисправности в
приборе А - 0,1, в В - 0,15 и в С - 0,2. Найти вероятность того, что
наугад взятый исправный прибор является прибором С.
90. Студент выучил лишь 20 билетов из 25. В каком случае вероятность вытащить «хороший» билет будет для него выше: когда
он берет билет первым или вторым?
91. Самолет вооружен тремя ракетами. Вероятности того, что I,
II и III ракета попадают в некоторый объект, равны соответственно
0,8, 0,9 и 0,95. Наудачу производится пуск одной из ракет. Найти
вероятность попадания ракеты в объект.
92. Два охотника выстрелили по медведю, в результате чего он
был убит одной пулей. Вероятности попадания охотников равны
0,75 и 0,9. Какова вероятность того, что медведь был убит вторым
охотником?
93. Имеется 4 урны. В I урне: 5 белых и 1 черный шары. Во II
урне: 2 белых и 4 черных шара. В III урне: 5 белых и 3 черных шара.
В IV урне 4 белых и 9 черных шаров. Вероятности выбора урн соответственно равны 0,2; 0,3; 0,5; 0,4. Выбирают наугад одну из урн и
вынимают из нее шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
94. Имеются 3 одинаковых по виду ящика. В I ящике - 15 белых
шаров, во II ящике - 15 белых и 7 черных шаров. В III ящике - 25
черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар.
Вычислить вероятность того, что шар вынут из I ящика.
95. Приборы одного наименования изготавливают два завода;
первый завод поставляет 2/3 всех изделий, поступающих на производство, второй -1/3. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного первым заводом, равна 0,95, вторым - 0,8. Определить
вероятность безотказной работы любого прибора, поступающего на
производство.
96. В стрельбах участвуют 25 стрелков, из которых 17 отличных
стрелков могут выполнить стрельбу с вероятностью 0,9; 6 хороших
стрелков - с вероятностью 0,75; 2 слабых стрелка - с вероятностью
0,35. Какова вероятность выполнения задачи наугад вызванным
стрелком?
97. Имеется 26 винтовок, из которых 11 снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при вы- 38 -
стреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,9; для винтовки
без оптического прицела эта вероятность 0,85. Стрелок поразил
мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
98. Одна из четырех независимо работающих ламп прибора отказала. Найти вероятность того, что отказала I лампа, если вероятности отказа I, II, III и IV ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и
0,4.
99. Пластмассовые болванки изготавливают на трех прессах.
I пресс вырабатывает 50 % всех болванок, II – 30 % и III – 20 %. При
этом вероятность нестандартных болванок I пресса в среднем 0,025,
II - 0,02 и III -0,015. Найти вероятность того, что наудачу взятая со
склада болванка стандартна.
100. Детали для сборки вырабатывают на двух станках, из которых I производит деталей в 3 раза больше II-го. При этом вероятность брака составляет в выпуске I станка 0,02, а в выпуске второго 0,015. Одна взятая наудачу деталь оказалась годной для сборки.
Найти вероятность того, что она выработана на II станке.
Задание № 5
Тема: "Повторные независимые испытания.
Формулы Бернулли, Пуассона"
1. Вероятность выиграть по одному билету лотереи равна 1/7.
Какова вероятность, имея 6 билетов, выиграть: а) по двум билетам;
б) по трем билетам?
2. Принимая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 10 новорожденных 6
мальчиков.
3. Вероятность выиграть одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность не выиграть по двум из 6 билетов?
- 39 -
4. Вероятность лицу умереть на 71 году жизни равна 0,04. Какова вероятность того, что из 3-х лиц 70-летнего возраста двое доживут до 71 года?
5. Ожидается прибытие трех судов с бананами. Статистика показывает, что в 1 % случаев груз бананов портится в дороге. Найти
вероятность того, что придут с испорченным грузом: а) одно судно;
6) два; в) все три; г) ни одного судна.
6. На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на
линию каждой из них равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо иметь
на линии не менее 8 автомашин.
7. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 %. Какова вероятность того, что из 10 посеянных семян взойдут: а) 8; б)
по крайней мере 8.
8. Всхожесть семян составляет 70 %. Определить вероятность
того, что из 8 посеянных семян взойдут не менее трех.
9. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартна равна 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу
5 деталей не более двух нестандартных.
10. Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь
41 размера равна 0,2. Найти вероятность того, что из 5-ти первых
покупателей обувь этого размера будет необходима: а) одному; б)
по крайней мере одному.
11. В хлопке 70 % длинных волокон. Какова вероятность того,
что среди взятых наудачу 10 волокон не более 8 длинных.
12. Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в
течение гарантийного срока равна 0,2. Найти вероятность того, что
в течение гарантийного срока из 6-ти телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один не потребует ремонта.
13. Найти вероятность того, что в семье, имеющей 6 детей, не
менее двух девочек. Предполагается, что вероятность рождения
мальчика и девочки одинакова.
14. Вероятность выиграть по билету лотереи равна 1/7. Найти
вероятность выиграть не менее, чем по двум билетам из шести.
15. Найти вероятность разрушения объекта, если для этого
необходимо не менее трех попаданий, а сделано 15 выстрелов. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4.
16. Вероятность изготовления стандартной детали равна 0,9.
- 40 -
Какова вероятность того, что среди 10 деталей не более одной нестандартной?
17. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех
партий из пяти.
18. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб»
выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
19. Найти вероятность того, что событие А появится не менее
3-х раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4.
20. В партии деталей двух сходных форматов число крупных
деталей вдвое больше числа мелких. Детали сложены без всякого
порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 20 деталей окажется 6 крупных?
21. Вероятность поражения мишени при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 5-ти выстрелах
мишень будет поражена.
22. В хлопке имеется 10 % коротких волокон. Какова вероятность того, что в наудачу взятом пучке из 5 волокон окажется не
более 2 коротких.
23. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 8 посеянных семян взойдет
не менее 6.
24. Вероятность того, что лампа останется исправной после
1000 часов работы равна 0,2. Какова вероятность того, что хотя бы
одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы.
25. Вероятность попадания стрелком в десятку равна 0,7, а в девятку 0,3. Определить вероятность того, что данный стрелок при
трех выстрелах наберет не менее 29 очков.
26. Вероятность хотя бы одного появления события при 4-х независимых испытаниях равна 0,59. Какова вероятность появления
события А при одном опыте, если при каждом опыте эта вероятность одинакова.
27. В партии деталей двух сходных размеров число крупных деталей вдвое больше числа мелких. Детали сложены без всякого порядка. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 10 деталей окажется 6 крупных?
- 41 -
28. Вероятность поражения мишени при каждом отдельном выстреле = 0,7. Найти вероятность того, что при 5-ти выстрелах мишень будет поражена.
29. Вероятность появления события А в отдельном испытании
равна 0,75. Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это событие появится более 6 раз?
30. Всхожесть семян данного растения оценивается вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет
не менее 4.
31. По данным ОТК на сотню металлических брусков, заготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Какова вероятность, что из случайно взятых 7 брусков окажется без дефектов не
более двух?
32. При установившемся технологическом режиме зафиксировано 120 обрывов на 1000 веретен в час. Определить вероятность
того, что число обрывов в час на 28 веретенах будет больше двух,
но меньше восьми.
33. Данные длительной проверки качества выпущенных стандартных деталей показали, что в среднем брак составляет 7,5 %.
Определить наиболее вероятное число вполне исправных деталей в
партии из 39 штук.
34. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно 16, если вероятность попадания в отдельном выстреле
составляет 0,7,
35. Вероятность производства стандартной детали в некоторых
условиях равна 0,98. Найти наивероятнейшее число стандартных
деталей среди 625 деталей.
36. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий в цель при 14 выстрелах.
37. Пусть вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда равна 0,02. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 855 пассажиров.
38. Пусть вероятность того, что денежный приемник автомата
при опускании одной монеты сработает неправильно равна 0,03.
Найти наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата, если будет опущено 150 монет.
39. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна
- 42 -
0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность такого
исхода стрельбы, если будет сделано 9 выстрелов.
40. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,1.
Найти наивероятнейшее число стандартных среди 20 деталей и вероятность такого числа стандартных деталей.
41. Сколько нужно взять деталей, чтобы наивероятнейшее число годных было равно 50, если вероятность того, что наудачу взятая
деталь будет бракованной равна 0,1.
42. Сколько нужно посеять семян, всхожесть которых 70 %,
чтобы наивероятнейшее число не взошедших было равно 60.
43. На каждые 20 приборов приходится в среднем 6 неточных.
Определить наивероятнейшее число точных приборов из наудачу
взятых 8 приборов.
44. Сколько раз следует стрелять из орудия, чтобы при вероятности попадания 0,9 наивероятнейшее число попаданий оказалось
равным 17.
45. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий
и вероятность этого числа попаданий.
46. Вероятность попадания в цель при каждой выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число испытаний было равно 20.
47. Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки 0,485.
В некоторой семье 6 детей. Найти вероятность того, что среди них
не больше двух девочек.
48. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна
0,001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если
число выстрелов равно 5000.
49. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800
абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 5 абонентов?
50. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в
сентябре в среднем бывает 12 дождевых дней. Какова вероятность,
что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
51. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество = 7.
- 43 -
52. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака.
Найти вероятность того, что среди 5 взятых наудачу изделий: а) нет
ни одного испорченного; б) будут два испорченных.
53. Стрелок производит 5 независимых выстрелов по мишени с
вероятностью попадания 0,2. Найти вероятность того, что при этом
стрелок получит: а) три попадания; 6) не менее трех попаданий; в)
не более одного попадания.
54. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,6. Произведено 4 независимых выстрела. Определить вероятность:
а) поражения цели, если для поражения достаточно одного попадания; б) того, что цель не будет поражена; в) ровно двух попаданий.
55. Стрелок попадает в цель в среднем 4 раза из 6 выстрелов.
Какова вероятность того, что он сделает 5 удачных выстрелов из 7?
56. Вероятность попадания в цепь при одном выстреле = 0,7.
Какова вероятность того, что в результате 6 независимых выстрелов
будет: а) 4 попадания; б) не менее 4-х попаданий; в) более трех
промахов.
57. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что "герб"
выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
58. Вероятность попадания в танк при одном выстреле из 57-мм
орудия равна 0,2. Какова вероятность того, что при двух выстрелах
будет: а) хотя бы одно попадание; б) одно попадание; в) три промаха.
59. Что вероятнее выиграть у равносильного противника: три
партии из четырех или пять из восьми?
60. Изделия некоторого производства содержат 5 % брака.
Найти вероятность того, что среди 5-ти взятых наугад изделий: а)
нет ни одного испорченного; 6) будут два испорченных.
61. Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берется на пробу 2 дм3 воздуха.
Найти вероятность того, что в нем будет обнаружен хотя бы один
болезнетворный микроб.
62. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 900
абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят 6 абонентов?
63. Имеется общество из 500 человек. Найти вероятность того,
что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать,
что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
- 44 -
64. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб
выпадет 5 раз?
65. По данным технического контроля 2 % изготовленных автоматических станков нуждаются в дополнительной регулировке.
Найдите вероятность того, что из 6-ти изготовленных станков 4
нуждаются в дополнительной регулировке.
66. Найдите наиболее вероятное число выпадений шестерки при
46 бросаниях игральной кости.
67. Вероятность изготовления стандартной детали 0,95. Сколько
деталей должно быть в партии, чтобы наиболее вероятное число нестандартных деталей в ней равнялось 55?
68. На автобазе имеется 16 автомашин. Вероятность выхода на
линию каждой из них равна 0,85. Найти вероятность нормальной
работы автобазы в ближайший день, если для этого необходимо
иметь на линии не менее 10 автомашин.
69. Вероятность того, что покупателю необходима обувь 41
размера равна 0,15. Найти вероятность того, что из 5-ти первых покупателей обувь этого размера будет необходима: а) одному; б) по
крайней мере одному.
70. Производится 10 независимых выстрелов по мишени с вероятностью попадания при одном выстреле 0,2. Найти: а) наиболее
вероятное число попаданий; б) вероятность того, что число попаданий равно наиболее вероятному число попаданий.
71. Рабочий обслуживает 12 станков одного типа. Вероятность
того, что станок потребует внимания рабочих в течение часа, равна
1/3. Найдите: а) вероятность того, что в течение часа 4 станка потребуют внимания рабочего; б) наиболее вероятное число станков,
которые потребуют внимания рабочего в течение часа.
72. Проведено 5 независимых испытаний, каждое из которых
заключается в одновременном подбрасывании 2-х монет. Найдите
вероятность того, что ровно в трех испытаниях появились по два
герба.
73. В круг вписан квадрат. Найдите вероятность того, что среди
4-х точек, наудачу брошенных в круг, ровно одна попадет внутрь
квадрата.
74. В круг вписан правильный треугольник. Найдите вероятность того, что из 5 наудачу брошенных в круг точек ни одна не
упадет внутрь указанного треугольника.
- 45 -
75. Мишень имеет форму квадрата, в который вписан круг. По
мишени наудачу производится 4 независимых выстрела. Какова вероятность ровно 3-х попаданий в круг?
76. Найти наивероятнейшее число появления некоторого события при 16 испытаниях, если вероятность появления его в отдельном испытании = 0,1.
77. При некоторых условиях стрельбы вероятность попадания в
цель = 1/3. Производится 6 выстрелов. Какова вероятность в точности 2-х попаданий?
78. Игральная кость бросается 5 раз. Найти вероятность того,
что 2 раза появится число очков, кратное трем.
79. Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность того, что
герб появится не менее 2-х раз.
80. Принимая вероятности рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди 4-х новорожденных
два мальчика.
81. Пусть всхожесть семян некоторого растения составляет
70 %. Какова вероятность того, что из 3-х посеянных семян взойдут:
а) 2; б) по крайней мере 2.
82. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей 2 мальчика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,5.
83. Монету бросили 4 раза. Чему равна при этом вероятность
выпадения герба 2 раза?
84. Монета подбрасывается 3 раза. Какова вероятность того, что
герб появится не менее 2 раз?
85. Что вероятнее - выиграть у равносильного противника не
менее 3 партий из 4-х или не менее 5 партий из 7?
86. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в
корзину при броске равна 0,4. Произведено 10 бросков. Найти
наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
87. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что герб
выпадет: а) менее двух раз; б) не менее 2-х раз.
88. Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти вероятность
того, что объект будет разрушен, если для этого достаточно хотя бы
двух попаданий.
89. Прибор состоит из 5-ти независимо работающих элементов.
- 46 -
Вероятность попадания в момент включения прибора равна 0,2.
Найти вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов.
90. Батарея произвела 6 выстрелов по объекту. Вероятность попадания в объект при одном выстреле равна 0,3. Найти вероятность
наивероятнейшего числа попаданий.
91. Прибор состоит из 5-ти независимо работающих элементов.
Вероятность отказа элемента в момент включения прибора равна
0,2. Найти вероятность отказа прибора, если для этого достаточно,
чтобы отказали хотя бы 4 элемента.
92. Вероятность появления события А = 0,4. Какова вероятность
того, что при 10 испытаниях событие А появится не более 3-х раз?
93. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6
раз она упадет гербом вверх?
94. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что
она упадет гербом вверх не больше 3-х раз?
95. В урне 20 белых и 40 черных шаров. Вынимают подряд 14
шаров, причем цвет вынутого шара регистрируют, а затем шар возвращают в урну. Определить наивероятнейшее число появлений белого шара.
96. В урне 100 белых и 80 черных шаров. Из урны извлекают n
шаров (с возвратом каждого вынутого шара). Наивероятнейшее
число появлений белого шара равно П. Найти п.
97. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова
вероятность того, что среди ответивших было два мальчика и одна
девочка?
98. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет 3 девочки и 2 мальчика. Вероятности рождения мальчика
и девочки предполагаются одинаковыми.
99. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того,
что в одном взятом наудачу ящике детали окажутся стандартными
равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все
детали стандартные.
100. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращается в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Какова вероятность того, что из 4-х вынутых шаров окажется 2 белых?
- 47 -
Задание № 6
Тема: "Дискретная случайная величина"
Варианты № 1 – 50
Дискретная случайная величина X может принимать только два
значения x1 и х2. Найти закон распределения этой случайной величины, если известны P1, М (х) и D(x).
1.
Р1 = 0,1
М(х) = 5,7
D(х) = 0,81
2.
Р1 = 0,5
М(х) = 1,5
D(х) = 0,25
3.
Р1 = 0,3
М(х) = 2,4
D(х) = 0,84
4.
Р1 = 0,9
М(х) = 2,2
D(х) = 0,36
5.
Р1 = 0,6
М(х) = 2,8
D(х) = 0,96
6.
Р1 = 0,2
М(х) = 1,8
D(х) = 0,16
7.
Р1 = 0,7
М(х) = 1,7
D(х) = 0,21
8.
Р1 = 0,4
М(х) = 3,6
D(х) = 0,24
9.
Р1 = 0,8
М(х) = 5,4
D(х) = 0,84
10.
Р1 = 0,6
М(х) = 1,8
D(х) = 0,96
11.
Р1 = 0,1
М(х) = 3,9
D(х) = 0,09
12.
Р1 = 0,9
М(х) = 2,8
D(х) = 0,36
13.
Р1 = 0,2
М(х) = 3,8
D(х) = 0,16
14.
Р1 = 0,3
М(х) = 3,7
D(х) = 0,21
15.
Р1 = 0,8
М(х) = 1,4
D(х) = 0,64
16.
Р1 = 0,5
М(х) = 3
D(х) = 0,1
17.
Р1 = 0,7
М(х) = 2,4
D(х) = 0,84
18.
Р1 = 0,4
М(х) = 3,2
D(х) = 0,96
19.
Р1 = 0,8
М(х) = 1,8
D(х) = 0,16
- 48 -
20.
Р1 = 0,3
М(х) = 3,4
D(х) = 0,84
21.
Р1 = 0,1
М(х) = 4,9
D(х) = 0,09
22.
Р1 = 0,6
М(х) = 3,8
D(х) = 0,96
23.
Р1 = 0,5
М(х) = 2,5
D(х) = 0,25
24.
Р1 = 0,2
М(х) = 3,6
D(х) = 0,64
25.
Р1 = 0,7
М(х) = 3,1
D(х) = 1,89
26.
Р1 = 0,4
М(х) = 2,2
D(х) = 0,96
27.
Р1 = 0,9
М(х) = 1,9
D(х) = 0,09
28.
Р1 = 0,1
М(х) = 3,7
D(х) = 0,81
29.
Р1 = 0,8
М(х) = 3,2
D(х) = 0,16
30.
Р1 = 0,9
М(х) = 2,1
D(х) = 0,09
31.
Р1 = 0,6
М(х) = 3,4
D(х) = 0,24
32.
Р1 = 0,2
М(х) = 2,8
D(х) = 0,16
33.
Р1 = 0,5
М(х) = 2
D(х) = 1
34.
Р1 = 0,7
М(х) = 3,3
D(х) = 0,21
35.
Р1 = 04
М(х) = 1,6
D(х) = 0,24
36.
Р1 = 0,3
М(х) = 3,1
D(х) = 1,89
37.
Р1 = 0,5
М(х) = 3,5
D(х) = 0,25
38.
Р1 = 0,9
М(х) = 3,1
D(х) = 0,09
39.
Р1 = 0,1
М(х) = 3,8
D(х) = 0,36
40.
Р1 = 0,3
М(х) = 1,7
D(х) = 0,21
41.
Р1 = 0,6
М(х) = 3,2
D(х) = 0,96
42.
Р1 = 0,4
М(х) = 2,6
D(х) = 0,24
43.
Р1 = 0,7
М(х) = 2,3
D(х) = 0,21
44.
Р1 = 0,2
М(х) = 2,6
D(х) = 0,64
- 49 -
45.
Р1 = 0,8
М(х) = 6,6
D(х) = 0,84
46.
Р1 = 0,1
М(х) = 4,7
D(х) = 0,81
47.
Р1 = 0,3
М(х) = 2,7
D(х) = 0,21
48.
Р1 = 0,8
М(х) = 2,6
D(х) = 0,64
49.
Р1 = 0,4
М(х) = 4,6
D(х) = 0,24
50.
Р1 = 0,7
М(х) = 3,7
D(х) = 0,21
Варианты № 51  100
Задан закон распределения случайной величины X.
Найти: 1) математическое ожидание М (х), найдя предварительно неизвестные Рi.;
2) cреднее квадратическое отклонение .
51.
х
Р
6
0,2
2
Р2
1
0,3
4
0,1
52.
х
Р
12
0,2
10
0,1
1
Р3
4
0,3
53.
х
Р
2
Р1
5
0,38
8
0,4
54.
х
Р
6
0,2
4
Р2
1
0,3
0
0,1
55.
х
Р
16
0,4
19
0,2
24
0,1
4
Р4
56.
х
Р
120
Р1
122
0,4
125
0,5
57.
х
Р
40
0,02
50
0,03
60
0,25
- 50 -
70
0,3
80
Р5
58.
х
Р
81
0,2
85
Р2
89
0,5
59.
х
Р
1
0,15
3
0,25
7
Р3
60.
х
Р
31
Р1
35
0,5
39
0,4
61.
х
Р
21
0,1
23
0,2
28
Р3
62.
х
Р
140
0,6
152
Р2
167
0,3
63.
х
Р
6
0,2
3
0,4
1
0,25
64.
х
Р
121
Р1
132
0,3
143
0,5
65.
х
Р
х
Р
1
0,08
11
0,4
2
Р2
15
0,2
3
0,17
17
0,3
4
0,03
19
Р4
67.
х
Р
50
0,1
52
0,5
57
Р3
61
0,2
68.
х
Р
43
Р1
45
0,3
48
0,4
50
0,2
69.
х
Р
91
0,5
94
0,4
99
Р3
70.
х
Р
х
0
0,02
141
2
Р2
143
4
0,3
147
66.
71.
- 51 -
9
0,4
32
0,4
4
Р4
7
0,2
5
0,3
9
0,4
0
0,4
Р
Р1
0,7
0,2
72.
х
Р
9
0,1
10
0,3
12
0,1
13
Р4
73.
х
Р
25
0,1
27
Р2
30
0,2
32
0,4
74.
х
Р
16
Р1
14
0,1
12
0,2
10
0,3
75.
х
Р
156
0,2
162
Р2
171
0,5
76.
х
Р
2
0,03
1
0,27
0
0,2
77.
х
Р
84
0,6
81
0,3
78
Р3
78.
х
Р
8
0,35
9
Р2
10
0,05
79.
х
Р
114
0,1
111
0,6
98
Р3
80.
х
Р
40
0,4
30
0,3
20
0,07
10
Р4
81.
х
Р
21
0,01
22
Р2
20
0,6
30
0,09
82.
х
Р
115
Р1
125
0,2
135
0,3
83.
х
Р
х
30
0,1
5
33
0,5
10
37
Р3
15
84.
- 52 -
3
0,1
14
0,2
5
Р5
11
0,1
20
0
0,02
Р
0,08
Р2
0,12
85.
х
Р
180
0,3
183
Р2
186
0,1
86.
х
Р
3
0,15
2
0,65
1
0,1
87.
х
Р
61
Р1
60
0,18
65
0,22
88.
х
Р
150
0,1
130
0,35
110
0,05
89.
х
Р
24
Р1
22
0,27
20
0,33
90.
х
Р
113
0,01
110
Р2
127
0,09
91.
х
Р
2
0,12
1
0,13
7
Р3
92.
х
Р
210
Р1
203
0,2
198
0,5
93.
х
Р
71
0,03
74
Р2
77
0,07
94.
х
Р
4
Р1
3
0,16
2
0,24
1
0,37
95.
х
Р
13
0,3
16
0,1
19
Р3
20
0,2
96.
х
Р
24
0,21
29
Р2
35
0,09
- 53 -
0,3
7
Р4
100
Р4
4
0,15
97.
х
Р
190
Р1
183
0,3
181
0,1
98.
х
Р
8
0,12
9
0,4
10
Р3
99.
х
Р
69
0,13
67
Р2
65
0,37
100.
х
Р
13
Р1
18
0,17
25
0,33
- 54 -
12
0,08
Задание № 7
Тема: "Непрерывная случайная величина"
Варианты № 1  50
Непрерывная случайная величина задана функцией распределения F(x).
1) Найти функцию плотности вероятности f(х) случайной величины X.
2) Построить графики F(x) и f(x).
3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.
4) Найти вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (; ).
1.
2.
3.
4.
при
х  0;
0,

F( x )  x 2 ,
0  x  1;
1,
x  1.

при
х  2;
0,
 х
F( x )    1,
2  x  4;
2

x  4.
1,
при
х  1;
0,
 2
х  х
F( x )  
, 1  x  2;
2

x  2.
1,

при
х  1;
0,

х 1
F( x )  
,  1  x  2;
3

x  2.

1,
- 55 -
 = 1/2;
 = 1;
 = 1,5;
 = 0;
 = 3/4.
 = 2,5.
 = 2.
 = 1,5.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
при
х  0;
0,
 4
х  х2
F( x )  
, 0  x  1;
2

x  1.
1,

при
х  0;
0,

F( x )  x 2 / 4,
0  x  2;
1,
x  1.

при
х  0;
0,
1

 x 2 2 x 3
F( x )   
, 0  x  3;
3
27

x  3.
1,


при
х  0;
0,

F( x )  3x 2  2 x , 0  x  1 / 3;
1,
x  1 / 3.

при
х  5;
0,
 x  5
F( x )  
,
5  x  7;
2

x  7.
1,
при
х  0;
0,
 3
x  x
F( x )  
, 0  x  1;
2

x  1.
1,

- 56 -
 = 1/2;
 = 1;
 = 1;
 = 1/8;
 = 5,5;
 = 1/4;
 = 3/4.
 = 3/2.
 = 2.
 = 1/4.
 = 6.
 = 1/2.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
при
х  0;
0,

F( x )  x 2 / 9,
0  x  3;
1,
x  3.

при
х  1;
0,
 2
1
х
F( x )    ,  1  x  1;
2 2
x  1.
1,

при
х  0;
0,

F( x )  x 4  2х 2 , 0  x  2;
1,
x  2.

при
х  4;
0,

x  4
F( x )  
,
4  x  1;
3

x  1.

1,
при
х  2;
0,

F( x )  x  2 2 ,  2  x  1;
1,
x  1.

при
х  0;
0,
 2
F( x )  x / 16, 0  x  4;
1,
x  4.

- 57 -
 = 1;
 = 0;
 = 1/2;
 = 5;
 = -1,5;
 = 1;
 = 2.
 = 1/2.
 = 3/4.
 = 6.
 = 0.
 = 3.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
при
х  4;
0,

x
F( x )    2,
4  x  6;
2

x  6.

1,
при
х  1;
0,

 x  12
F( x )  
, 1  x  3;
4

x  3.
1,

при
х  1;
0,

F( x )  ( x  1) 2 ,  1  x  0;
1,
x  0.

при
х  4;
0,

x  4
F( x )  
,
4  x  6;
10

x  6.

1,
при
х  0;
0,
 2
F( x )  x / 25, 0  x  5;
1,
x  5.

при
х  1 / 2;
0,
 2x  1
F( x )  
,  1 / 2  x  2;
5

x  2.
1,
- 58 -
 = 5;
 = 3/2;
 = 5,5.
 = 2.
 = -1/2;  = -1/4.
 = 0;
 = 2.
 = 1;
 = 3.
 = 0;
 = 1.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
при
х  0;
0,

F( x )  x 3 / 8,
0  x  2;
1,
x  2.

при
х  5;
0,
 x  5
F( x )  
,
5  x  15;
10

x  15.
1,
при
х  0;
0,
 2
 x  4x
F( x )  
, 0  x  1;
 12
x  1.
1,

при
х  0;
0,

F( x )  x 2 / 36, 0  x  6;
1,
x  6.

при
х  1;
0,

F( x )  ( x  1) / 4, 1  x  5;
1,
x  5.

при
х  1;
0,

F( x )  ( x  1) 2 / 9,  1  x  2;
1,
x  2.

при
0,

F( x )  ( x  2) / 3,
1,

х  2;
 2  x  1;
x  1.
- 59 -
 = 1;
 = 1,5.
 = 8;
 = 12.
 = 1;
 = 1,5.
 = 1;
 = 5.
 = 3;
 = 4.
 = 0;
 = -3/2;
 = 1,5.
 = 0.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
х  0;
при
0,

F( x )  3x 2  2 x,
1,

0  x  1 / 3;
x  1 / 3.
при
х  0;
0,

F( x )  x 2 / 49, 0  x  7;
1,
x  7.

при
0,

F( x )  ( x  5) / 7,
1,

х  5;
 5  x  2;
x  2.
при
0,

F( x )  ( x 3  2 x ) / 4,
1,

 = 1/2.
 = 1;
 = 3.
 = -3;
 = 0.
 = 1/2;
 = 1.
х  0;
0  x  2;
x  2.
при
х  1;
0,

F( x )  ( x  1) 2 ,  1  x  0;
1,
x  0.

при
0,

F( x )  ( x  2) / 5,
1,

 = 1/4;
х  2;
 2  x  3;
x  3.
при
х  0;
0,

F( x )  x 2 / 64, 0  x  8;
1,
x  8.

- 60 -
 = -1/2;  = -1/4.
 = 1;
 = 2.
 = 1;
 = 3.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
при
х  3;
0,

F ( x )   x / 4  3 / 4,  3  x  1;
1,
x  1.

х  1;
0, при

2
F ( x )  ( x  1) / 9, 1  x  4;
1,
x  4.

при
х  0;
0,
 2
3
x
 3x
F ( x)  
 , 0  x  2;
4
 4
x  2.
1,
при
х  3;
0,

F ( x )   x / 3  1, 3  x  6;
1,
x  6.

х  0;
0, при
 2
F ( x )   x / 100, 0  x  10;
1,
x  10.

при
х  1;
0,
 x 1
F ( x )    ,  1  x  3;
4 4
x  3.
1,
при
0,
 2
F ( x )  (3x  x ) / 4,
1,

0, при

F ( x )  ( x  4) / 3,
1,

 = -1/2;  = 3/4.
 = 2;
 = 3.
 = 3;
 = 4.
 = 4;  = 5.
 = 3;
 = 5.
 = 0;
 = 2.
х  0;
0  x  1;
x  1.
 = 1/3;  = 1/2.
х  4;
4  x  7;
x  7.
при
х  0;
0,

2x x2
F ( x )    , 0  x  3;
9
3
x  3.
1,
- 61 -
 = 5;
 = 6.
 = 1;
 = 2.
46.
47.
48.
49.
50.
0, при х  0;

F ( x)   x 3 ,
0  x  1;
1,
x  1.

 = 132;  = 1/2.
х  1;
0, при
 x 1
F ( x )    ,  1  x  3;
4 4
x  3.
1,
при
0,

F ( x )  ( x  2) 2 / 9,
1,

при
0,
 2
F ( x )  ( x  4) / 5,
1,

0, при

F ( x )  ( x  4) / 6,
1,

 = 0;
 = 2.
 = 3;
 = 4.
х  2;
2  x  5;
x  5.
х  2;
2  x  3;
x  3.
 = 2,5;  = 3,5.
х  4;
 4  x  2;
x  2.
 = 0;
 = 1.
Варианты № 51  100
Случайная величина X задана функцией плотности вероятности
f(х).
1) Найти функцию распределения F(x) случайной величины X.
2) Построить графики функций F(x) и f(х);
3) Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратичное отклонение.
4) Найти вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала (; ).
51.
0,
 x
f ( x)   ,
2
0,
при
х  0;
0  x  2;
 = 1/2;
x  2.
- 62 -
 = 3/4.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
при х  0;
0,
 2
f ( x )  3х ,
0  x  1;
0,
x  1.

при
х  1;
0,

f ( x )  (2 x  1) / 2, 1  x  2;
0,
x  2.

при х  0;
0,
 2 x
f ( x)   ,
0  x  7;
49

x  7.
0,
при х  0;
0,
 2 2 x
f ( x)   
, 0  x  3;
3
9

x  3.
0,
при
0,

f ( x )  3( x  1) 2 ,
0,

х  0;
0,
 x
f ( x)   ,
8
0,
х  0;
при
0  x  1;
x  1.
0  x  4;
x  4.
при х  0;
0,

f ( x )  6 x  2, 0  x  1 / 3;
0,
x  1 / 3.

при х  0;
0,
 3
f ( x )  2 x  x, 0  x  1;
0,
x  1.

при х  0;
0,
 3
f ( x )   ( 2 x  x 2 ),
0  x  2;
4

x  2.
0,
- 63 -
 = 1/2;
 = 3/4.
 = 3/2;
 = 5/2.
 = 2;
 = 3.
 = 1;
 = 2.
 = 1/3;
 = 1;
 = 1/2.
 = 2.
 = 1/4;
 = 1/2.
 = 1/4;
 = 1/2.
 = 1;
 = 3/2.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
при
0,

f ( x )  2( x  1),
0,

х  1;
 1  x  0;
x  0.
при х  0;
0,
 1
f ( x )   (3x 2  1), 0  x  1;
2
x  1.
0,
при х  4;
0,
 1
f ( x)   ,
 4  x  6;
10
x  6.
0,
при х  0;
0,
 x
f ( x)   ,
0  x  6;1,
18
0, x  6.
0,
 x
f ( x)   ,
2
0,
при
при
0,
 x  2
f ( x)  
,
6

0,
 = -1/2;  = -1/4.
 = 1/4;
 = 1/2.
 = 0;
 = 5.
 = 2;
 = 3.
х  0;
0  x  2;
x  2.
 = 1/2;
 = 3/4.
х  0;
0  x  2;
x  2.
при х  0;
0,
 2 x
f ( x)   ,
0  x  5;
25

x  5.
0,
при х  0;
0,

2
2x 2x
f ( x)   
,
0  x  3;
9
3
x  3.

0,
- 64 -
 = 1/2;
 = 1.
 = 2;
 = 4.
 = 1;
 = 2.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
0,
 1
f ( x)   ,
2
0,
при
0,

x
f ( x)   ,
6
0,
при
х  2;
2  x  4;
x  4.
 = 3.
х  0;
0  x  2 3;
x  2 3.
при х  0;
0,
 x
f ( x)   ,
0  x  8;
 32
x  8.
0,
при
0,
 x  1
f ( x)  
,
 2
0,
х  0;
0,
 2
f ( x)   ,
5
0,
при
х  1 / 2;
0,

x
f ( x)   ,
7
0,
при
0  x  3;
x  3.
 1 / 2  x  2;
x  2.
 = 1;
 = 2.
 = 4;
 = 5.
 = 3/2;
 = 2.
 = 0;
 = 1.
 = 2;
 = 3.
х  0;
0  x  14 ;
x  14 .
при х  0;
0,
 1
f ( x )   ( x 2  x ),
0  x  2;
2

x  2.
0,
при
0,

f ( x )  2( x  2),
0,

 = 3/2;
 = 1/2;
 = 3/2.
х  2;
 2  x  1;
x  1.
- 65 -
 = -1/2;
 = 0.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
0,
 1
f ( x)   ,
7
0,
при
х  5;
 5  x  2;
x  2.
при х  0;
0,
 x
f ( x)   ,
0  x  10;
 50
x  10.
0,
при
0,
 2
 3x
f ( x)  
,
8


0,
0,
 1
f ( x)   ,
5
0,
при
0,

x
f ( x)   ,
9
0,
при
 = 0;
 = 1.
 = 3;
 = 5.
х  0;
0  x  2;
x  2.
 = 1;
 = 3/2.
х  2;
 2  x  3;
x  3.
 = 0;
 = 1.
х  0;
0  x  3 2;
x  3 2.
при
0,
 x  2
f ( x)  
,
2

0,
х  0;
при
0,
 2
f ( x )   ( x  1),
9
0,
х  1;
0  x  2;
x  2.
1  x  4;
x  4.
0,
при х  0;

x
f ( x)   ,
0  x  2 5;
10
0,
x  2 5.
- 66 -
 = 1;
 = 1/2;
 = 2.
 = 1.
 = 2;
 = 3.
 = 1;
 = 2.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
0,

f ( x )  2 x ,
0,

при
х  0;
0  x  1;
x  1.
 1  x  2;
x  2.
0,
при х  0;

x
f ( x)   ,
0  x  4 2;
16

0,
x  4 2.
при
 3  x  1;
x  1.
при х  0;
0,
 2
 3x  2
f ( x)  
, 0  x  2;
 4
x  2.
0,
при
 = 0;
 = 1.
 = 1;
 = 2.
 = -2;
 = 0.
 = 1;
 = 2.
х  3;
0,
при х  0;

x
f ( x)   ,
0  x  2 10 ;
20

0,
x  2 10 .
0,
 1
f ( x)   ,
3
0,
 = 42
х  1;
при
0,
 2
f ( x )   ( x  1),
9
0,
0,
 x
f ( x)   ,
2
0,
 = 1/3;
 = 1;
 = 3/2.
х  3;
3  x  6;
x  6.
при х  0;
0,
 2 x
f ( x)   ,
0  x  3;
9

x  3.
0,
- 67 -
 = 4;
 = 5.
 = 1;
 = 2.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
при х  0;
0,
 6 x  1
f ( x)  
, 0  x  1;
4

x  1.
0,
0,

x
f ( x)   ,
5
0,
при
x  10 .
0,
при х  0;

x
f ( x)   ,
0  x  2 6;
12
0,
x  2 6.
при
2  x  5;
x  5.
 = 3.
 = 1;
 = 2.
 = 3;
 = 4.
 = 1;
 = 2.
 = -2;
 = 0.
 = 1;
 = 2.
х  4;
 4  x  2;
x  2.
при х  0;
0,
 2 x
f ( x)   ,
0  x  5;
5
x  5.
0,
при
0,
 x  1
f ( x)  
,
 2
0,
 = 1;
х  2;
0,
при х  0;

x
f ( x)   ,
0  x  4 3;
14

0,
x  4 3.
0,
 1
f ( x)   ,
6
0,
 = 1/2.
х  0;
0  x  10 ;
при
0,
 2
f ( x )   ( x  2),
9
0,
 = 1/3;
х  1;
 1  x  1;
x  1.
- 68 -
 = -1/2;  = 1/2.
Литература
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, т.1.М.: Наука (1970 – 1985).
2. Шнейдер В. Е., Слуцкий А. И., Шумов А. С. Краткий курс
высшей математики. т.1.М.: Высшая школа (1987).
3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевников Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, т.1.М.: Высшая школа (1980).
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука (1988).
5. Рябушко А. П., Бархатов В. В., Державец В. В. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 2. Минск:
Высшая школа (1990).
- 69 -