+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
КЕМЕРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра экспериментальной физики
Методическое пособие по лабораторному практикуму
«Материаловедение»
часть – 2
для студентов 3 - 5 курсов физического факультета
Кемерово 2003
Методическое пособие по лабораторному практикуму
«Материаловедение» часть - 2
Кемерово 2003.- с.
Утверждено методической
Утверждено на заседании
комиссией физического
кафедры экспериментальной
факультета__________
физики____________
«__»______________2003 г.
«__»____________2003 г.
Пособие предназначено для студентов 3-5 курсов физического факультета
университета.
Составители: зав.каф. экспериментальной физики, дф-м.н.,
проф. Колесников Л.В.
ст. преп. каф. экспериментальной физики
Юдин А.Л.
Рецензент:
зав. кафедрой неорганической химии КемГУ,
д.х.н., профессор
Суровой Э.П.
Кемеровский государственный университет, 2003 г.
2
Содержание
стр.
1. Исследование температурной зависимости
электропроводности металлов и полупроводников
3
…………………
2. Изучение эффекта Холла в полупроводниках
40
3. Исследование р – n перхода в полупроводниковых
58
диодах
3
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -1
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ И ПОЛУПРОВОДНИКОВ
Методические указания для проведения работы
Содержание:
1. Краткие теоретические сведения по статистике электронов и
дырок в полупроводниках………………………………………………….2
1.1. Электронная теория проводимости. Закон Ома ……………………… 2
1.2. Функция распределения электронов по энергиям. . . . . . . .. . .. . . .. … 5
1.3. Плотность состояний. Концентрация носителей заряда.. . . . . . .. . . . 8
1.4. Концентрация электронов и дырок в полупроводниках.. . . . . . . . . .12
1.5. Уравнение электронейтральности . . . . . ………………………………14
1.6. Собственный полупроводник . . . . . . . .…………………………………16
1.7. Полупроводник с одним типом примеси . …………………………… 19
1.8. Полупроводник, содержащий акцепторную и донорную примесь . ... 25
1.9. Вырожденные полупроводники . . . . . . . .………………………………27
2. Описание и технические характеристики экспериментальной установки
3. Описание хода работы
4. Форма представления отчета
5. Контрольные вопросы
6. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . …………………………………………..29
4
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование температурной зависимости электропроводности металлов и
полупроводников.
1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО СТАТИСТИКЕ
ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
1.1. Электронная теория проводимости. Закон Ома.
Многие концепции физики полупроводников основаны на электронной теории
металлов. Прежде всего, это относится к таким понятиям как проводимость и
подвижность носителей заряда. Электронная теория проводимости металлов
рассматривает электроны как газ, находящийся в тепловом равновесии с решеткой
кристалла; это идеальный газ молекулярной физики, не имеющий собственного
объема и не взаимодействующий друг с другом. Действительно, по классической
теории радиус электрона re = 10-15м, а объем Ve10–45м3. Число электронов в единице
объема n1028м-3, а объем занимаемый электронами равен: V0=nVe=10-17м-3 от
объема тела.
Эксперимент показывает, что энергия электронов в металлах отрицательная (по
отношению к энергии электрона покоящегося на бесконечности). В тоже время,
сила, с которой электроны взаимодействуют друг с другом на расстоянии r=10 -10м
порядка 10–8н, а энергия  10эв. Поэтому полная энергия должна достигать
огромной величины. Однако существуют еще и силы притяжения между ядрами и
электронами, которые и создают видимость независимого движения электронов в
кристалле. Электрон, двигаясь хаотически, сталкиваются с ионами решетки, что
приводит к изменению его скорости, как по величине, так и по направлению. В
условиях термодинамического равновесия температуры электронного газа и ионов
решетки равны. Этот факт играет важную роль при объяснении проводимости
металлов и полупроводников.
Понятно, что хаотичное движение электронов не приводит к возникновению
тока в кристаллах. Поэтому для создания направленного движения электронов,
5
необходимы внешние воздействия: электрические поля, градиент температуры,
неоднородное освещение и т.д. Так при создании в металлах электрического поля с
напряженностью E, ускорение при его движении будет равно
F=eE=ma; a = e/m .E
(1)
и скорость направленного против поля движения Vg –дрейфовая скорость:
Vd =t=(et/m).E
(2)
Эта скорость складывается или вычитается со скоростью хаотичного движения
(тепловой скоростью). Так, что за время t электроны переместятся на расстояние:
L =Vdt = (et2/m).E,
(3)
(здесь L- длина свободного пробега).
Обозначим через Vt –среднеарифметическую скорость теплового движения,  среднее время между двумя соударениями. Тогда средняя дрейфовая скорость
движения равна:
Vd=1/2[Vd +a]=(e/2m).E.
С учетом функции распределения электронов по скоростям, вычисление Vd
приводит к выражению:
Vd = (e/m).E=E,
т.е. скорость направленного движения прямо пропорциональна напряженности
действующего поля E и подвижности носителей заряда . Пусть n – концентрация
электронов, тогда через площадку 1см2 за 1 сек. пройдет заряд, заключенный в
объеме параллелепипеда V = 1cм2.Vd; и полный ток запишется:
j=enV =enE=E
(4)
Выражение (4) – есть закон Ома в дифференциальной форме;  - удельная
проводимость. В слабых полях (E) Vd  Vt, поэтому   f(E).
С ростом напряженности электрического поля скорость Vd может сравниться с
тепловой скоростью Vt, и время свободного пробега будет уменьшаться:  = e/Vt +Vd,
что приведет к уменьшению проводимости и подвижности. В этом случае закон Ома
будет нарушаться.
Если в некоторый момент времени выключить поле E, то в результате
6
столкновения электронов с ионами решетки неравновесное состояние электронов за
время  перейдет в равновесное. Этот процесс называется релаксацией.
В системе СИ  измеряется в сименсах (сим), а удельная проводимость –
[сим.м]; []=[м2.B.сек].
2. Функция распределения электронов по энергиям.
Основной задачей изучаемого раздела «Статистика электронов и дырок в
полупроводниках» является расчет температурной зависимости концентрации
носителей заряда (n). Для расчета n, необходимо ввести функцию распределения
электронов по энергиям и выражение для плотности состояний электронов в зоне.
Для равновесного состояния системы квантовая статистика приводит к
следующему выражению для функции распределения электронов по энергиям
f(E,T):
f(E,T) = [ехр(E-F)/кТ +1]-1,
(5)
Здесь E-полная энергия, характеризующая состояние электрона; T-абсолютная
температура; k - постоянная Больцмана (1,38.10-23Дж/К=8,62. 10-5 эрг/К).
Выражение (5) известно как функция распределения Ферми-Дирака и
характеризует вероятность того, что состояние с энергией E занято электроном.
Действительно, пусть: (а)
T  0,
тогда lim T 0 fo (E,T)=
1 при EF
1/ (e-A/0+1)=1
0 при EF
1/ (e+A/0+1)=0
При E=F, функция f(E,T) не определена и терпит разрыв.
Таким образом, при T 0 все состояния с EF заняты, а с EF свободны. Энергия
Ферми – это максимальная энергия, которую имеет электрон в металле при T 0. В
общем случае, энергия Ферми представляет собой термодинамический потенциал
Гиббса, отнесенный к одному электрону;
F-также называют химическим
потенциалом, электрохимическим потенциалом, который численно равен работе,
необходимой для увеличение числа частиц в системе на единицу.
б) пусть T0, тогда:
7
При E=F
f0 (E,T) =1/eхр (0/кТ)+1 = 0,5
При EF f0(E,T) =1/eхр (-F/кТ) +1 1
Случай вырождения
При EF f0(E,T)  eхр{-(Е-F)/кТ} 
Невырожденные
 ехр (- ),
где  = Е- F) / кТ описываются
функцией
системы;
классической
распределения
Больцмана.
Рис.1. Изменение функции распределения электронов по энергиям
от температуры.
Если построить зависимость f(E,T) =f() от , то область сильного изменения f() ,
будет лежать в
пределах -2  +2. При комнатной температуре kT0,025эв,
поэтому размытие энергии Ферми при T=300K, будет равно:
E = F  2KT = F  0,05эВ.
Производная f(E,T)/E = -1/2KT. (1+сh) - четная функция
При T0
f’E(E,T)0
EF
Ch  0
E=F
f’E(E,T)=-1/4kT
Т.е. функция f(E,T) в этой точке убывает
тем быстрее, чем выше температура
Ch1
При T=0
-f10(E,T)=
Таким образом, f(E,T)– есть ступенчатая
E=F
-f10(E,T)=0
функция и интервал ее резкого изменения
EF
при T=0 равен нулю. Функция –f’(E,T) –
8
есть  -функция Дирака.
Квантовые системы, описываемые функциями Ферми-Дирака, называются
вырожденными. Рассчитаем среднее значение энергии электрона в вырожденном и
невырожденном случаях (статистика Больцмана).
Для вычисления средних значений физических величин с использованием
функции распределения f(E,T) необходимо установить связь между энергией и
скоростью (в данном случае электрона): E=mV2/2=p2/2m
В общем случае, для любой физической величины a=a(r,p,t), величина adN –
есть суммарное значение характеристики a для из dN электронов, причем:
dN = Nf(r,p,t)dГ
где: dГ  dxdydzdpx dp y dpz  d r d p - элемент объема фазового пространства. Тогда:
<a>=
1
N  adN  а(r,p,t)f(r,p,t)dГ  f(r,p,t)dГ,
N
где последний множитель введен для нормировки. Поэтому в случае статистики
Больцмана:

 Е 
p2
p2
4V 
exp(
)p 2 dp
2mkT
0 2m
(6)

p2
4V  exp(
)p 2 dp
2mkT
0
Выражение (6) получено с учетом того, что интегрирование по dr дает объем
V, а по dsind в сферических координатах (dp=p2dpd=p2dpsindd)
дает 4. Вводя замену:
p2
x=
;
2mkT
p2=(2mkT).x;

kT 
<E>=
2mkT  12
x dx
2
dp=
3
x 2 e  x dx
0
 1
x2

 e  x dx
0
9
3
 kT
2
Таким образом, невырожденный электронный газ ведет себя как классический
аналог. Для вырожденной системы электронов:

p2
4v 

2
m
0
<E>=
1
2
p 2 dp
p
F
2
m
exp(
) 1
kT

1
4V 
p 2 dp
2
p
0
F
2
m
exp(
) 1
kT
При высоких температурах exp(-

3
x 2 dx

F
0 exp( x 
) 1
kT
 kT
1

x 2 dx

F
0 exp( x 
) 1
kT
F
)  1 и квантовая статистика переходит в
kT
классическую. При низких температурах функция Ферми-Дирака
имеет вид
ступеньки и интеграл можно вычислить в пределах от 0 до F/kT. Учитывая, что
F 

ехр х 
  1  1 при T  0, получим:
kT 

F
kT
 E  kT

0
F
kT

3
x 2 dx
1
x 2 dx
3
 F , т.е. энергия вырожденного электронного газа не
5
0
зависит от температуры, поэтому он не вносит вклад в теплоемкость, что полностью
объясняет закон Дюлонга-Пти для твердых тел.
Переход от квантовой статистики к классической можно определить условием:
TвырF/k. При TTвыр электронный газ является классическим, невырожденным. А
при TTвыр - квантовым, т.е. вырожденным.
3. Плотность состояний. Концентрация носителей заряда.
Для расчета концентрации носителей заряда необходимо знать число
(плотность) состояний и вероятность заполнения этих состояний. Рассмотрим этот
вопрос в общем виде. На один электрон в фазовом пространстве приходится элемент
10
объема равный
VeзБ=h3.
Действительно, VзБ=
h3
a3
и, учитывая, что число состояний в зоне, равно
числу ячеек N (N= размер кристалла), получим VзБ=
h3
3
. Отсюда для кристалла
a N
единичного объема a3N = V= 1, получаем VeзБ = h3. В элементе фазового объема dГ
будет содержаться 2
dГ
h
3
- состояний, в которых находится dN=f(r,k,t)2.
dГ
.
h3
Учитывая, что dГ=dp.dr=dr.dk.h3, после интегрирования по объему кристалла и
первой зоне Бриллюэна, получим полное число электронов, находящихся в
некоторой энергетической зоне кристалла (dr = V; h=2  )
n=
N
2

V Vh 3
 
 
1
3
f
(
r
,
k
,
t
)
d


d




f
(
r , k, t, )d k , (7)
k
r

3 
4

Vr k k
Vk
Получили общее выражение для концентрации носителей заряда, используя
функцию распределения, зависящую только от энергии и температуры: f(E,T)  f(r,t).
Определим dS = N(E)dE –число состояний в единице объема кристалла в
интервале dE; здесь N(E) – плотность состояний. Тогда с учетом спина электрона:

n= 2  f 0 (E, T )  N (E )dE
(8)
Ec
Пределы интегрирования выбраны от дна зоны проводимости до  . Итак, в
единичном объеме кристалла число состояний равно:
N(E)dЕ =
1 dГ d p d k

 3  3
V h3
h
8
(9)
где 1/Vh3; 1/h3; 1/83; – можно рассматривать как плотность состояний в фазовом
пространстве и в пространстве квазиимпульса.
Плотность состояний N(E) связана с формой изоэнергетических зон в зоне
Бриллюэна.
Задача 1: рассмотрим случай сферических изоэнергетических зон с Emin,
находящейся в центре зоны Бриллюэна:
11
E(k)= Eс +
2k 2
2m 
,
(10)
где Ес – энергия дна зоны проводимости; mn* - эффективная масса электрона в зоне
проводимости. Из выражения (9): N(E)dЕ = dk/83, где dk = 42d. Определим из
(10) 2, , d и подставляя в dk, получим:

3
2
1
 2m
2

N(E)dЕ = dk/83 = 4кd/83 = 2 
  2  (E  Ec )



3
2
1
 2m
2

N(E) = 2 
  2  (E  Ec ) ,


(11)
Задача 2: Сферические изоэнергетические поверхности с минимумом энергии в
точке k0:
E(k)=Ec+
h 2( (k  k 0 ) 2
2m 
N(E) = M.2( (
2m 
h2
, где k-k0 радиус сфер, тогда:
3
) 2 (E
 Ec
1
)2
,
(12)
М – число минимумов в зоне Бриллюэна.
Задача 3: Эллиптические изоэнергетические поверхности.
2
h2 k 2 x k y
k 2z
Е(k)=Eс +
(


),
2 m1 m2 m3
где m1,
m2, m3 – компоненты тензора
эффективной массы в главных осях эллипса. В этом случае:
1
1
M 2
N(E) =
(m1m2 m3 ) 2 ( E  Ec ) 2 ,
3
h
M – число минимумов в зоне Бриллюэна. Например, в германии M = 4; в кремнии M
*3
= 6. Обозначим M2(m1m2m3) = m d
– эффективную массу плотности состояний.
Тогда:
12
2mcd  2
N(E) = 2 (
) ( E  Ec ) 2 , (13), что аналогично формуле (11).
2
h
3
1
Задача 4. Плотность состояний для дырок в валентной зоне в случае 1 и 3
запишется соответственно:
N(E)=2( (
2m 
h
2
3
) 2 (E
v

1
E) 2 ;
N(E)= 2 (
2m*pd
h2
3
) 2 (E
v
1
 E) 2 ;
Задача 5. Плотность примесных состояний с учетом спина запишется:
Ng(a)(E)=
dS
 N g ( а ) ( E  E g ( а ) ) , Ng(a)(E)=Ng(a)(E-Eg(a)),
dE
где Ng и Na – концентрация доноров и акцепторов. При больших концентрациях
примеси следует пользоваться выражениями, полученными для зон.
Задача 6. Общий подход к вычислению плотности состояний заключается в
раздельном интегрировании по объему зоны Бриллюэна: сначала по площади
изоэнергетической поверхности, затем по энергии.
Выразим элемент объема dk через элемент площади dSE и нормальную к ней
компоненту волнового вектора dkn:
dk = dSEdkn
(12)
Поскольку с изменением k меняется и энергия, то:
dE dE
dE
dE
cos(kk); dE =
cos(kk)dk =
dkn,

dk dk
dk
dk
отсюда dkn=
dE
; здесь k – единичный вектор нормали к поверхности E=const.
к E
В итоге, получаем, подставляя dkn в (14):
dk = dSE
dE
лE
(15)
Подставляя (15) в общее выражение для концентрации электронов (7):
n=
1
4
 f ( E ,T )d k

ЗБ
13
1
  4 3   f ( E, T )
dS E dE
1
dS E
 3  f ( E , T )dE 
.
к E

E
4 E
k
SЕ
Сравнивая полученное выражение с n=2f(E,T)N(E)dE, имеем:
N(E)=
1

8 3 S E
dS E
к E
(16)
В знаменателе (16) присутствует средняя скорость электрона, которая зависит
от формы изоэнергетических зон в зоне Бриллюэна. Выражение (16) полезно для
понимания и интерпретации многих физических явлений в кристаллах. Так в
спектральных зависимостях оптических констант будут проявляться особенности,
связанные с обращением в нуль  к E , что возможно в точках E=E(k) c нулевыми
или равными наклонами в зоне проводимости и в валентной зоне. Для простейшего
закона дисперсии
h2k 2
h2
k , ∫dS =42 и
E=
, поэтому  k E 

m
2m
1 4 к 2
2m  2 2
N(E) =
 2 ( 2 ) Eс , что аналогично результату, полученному
8 3  к E
h
3
1
ранее (случай 1).
4.Концентрация электронов и дырок в полупроводниках.
Используя полученные выражения для плотности состояний электронов в зонах
и функции распределения электронов по состояниям в зонах f0(E,T), рассчитаем
концентрацию электронов в полупроводниках.
2m  2
2
 2 ( 2 ) ( E  Ec )
h
f 0 ( E , T ) N ( E )dE  2 
dE 
E

F
Ec
exp(
) 1
kT
3

N=2

Ec
введем замену:
E  Ec
dE F  E c
,
 x ; dx= ;
kT
kT
kT
14
1
 - приведенный уровень Ферми, тогда
1
2m  2 2
2
3
 2 ( 2 ) x ( kT ) kTdx

2m kT 2
x 2 dx
h
;
 2 
 4 (
) 
2




exp
x



1
exp
x



1
h
E
0
3
1
1
c
n=
здесь Nc = 2 (

2N c

Ф1/2(),
2m  kT
h
2
3
)2
(17)
, эффективное число состояний в зоне; Ф1/2()=
1
x 2 dx
 expx     1 - интеграл Ферми порядка ½.
0
Для концентрации дырок f0p(E,T)=f-f0n(E,T)=
1
;
FE
exp(
) 1
kT
Ev
Вычислим концентрации дырок: P = 2
 f 0 p N ( E )dE 
подставляя f0p , N(E) и

проводя замену:
Ev  E
dE E  F
  , получим:
 x ; dx = - ; v
kT
kT
kT
p=
2Nv

Ф1 ( )
(18)
2
Для интеграла Ферми можно получить:
1. ½ехр()
при
Невырожденные
полупроводники
Ф1/2()=
2. ½[0.2+
при-15
ехр(-)]-1
3. (2·3/2)/3
при5
Вырожденные
полупроводники
15
Покажем это для невырожденных полупроводников:
=
F  Ec
 1 ; F  Ec-kT, т.е. полупроводник невырожден, если уровень Ферми
kT
лежит ниже дна зоны проводимости на kT. Рассмотрим интеграл Ферми при всех
значениях -1 и х0:
1
x 2 dx

Ф1/2()= 
0
exp( x  )  1



1
x2

exp  x dx  exp  
0
1
x 2 e  x dx
0
 e

2
Запишем выражения для концентрации электронов в невыраженном
полупроводнике:
2N c
Ф 1 ()  N c e
N=
 2
 Ee F
2
, (19)
Подставляя в Nc все постоянные величины и вводя m-массу свободного
электрона, получим:
E F
mn 2 2
.
15
) T  exp(  c
) , (20)
n = 4,8 10 (
m
kT
3
3
Если экспериментально (или расчетным путем) получить значение энергии
Ферми, то можно оценить концентрацию электронов.
Аналогично для концентрации дырок можно получить:
P = Nvexp(-
F  Ev
),
kT
(21)
5. Уравнение электронейтральности.
Для расчета энергии Ферми используется уравнение электронейтральности. На
рис.2 приведена энергетическая диаграмма полупроводника, содержащего примеси
и приведены все обозначения, используемые выше. Условиe электронейтральности
заключается в том, что во всем кристалле и в малом его объеме суммарный заряд
всех заряженных частиц равен нулю. Это можно записать в нескольких формах,
используя обозначения на рис.2.
16
______________________________0
n___________________________Ec
ng pg N+g - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Ng
--*--*--*--*--*--*--*--*--*-F- энергия Ферми
na pa Na- -+-+-+-+-+-+-+-+-+-+- Na
_____
___________Ev
р
Рис.2 Энергетическая диаграмма полупроводника: 0 – уровень вакуума; Ev,Ec –
энергии дна зоны проводимости (ЗП) и потолка валентной зоны (ВЗ);
Ng,N+g,ng,pg – число нейтральной и ионизованной донорной примеси, электронов
и дырок на примеси, соответственно; Na,N-a,na,pa – концентрация нейтральной и
заряженной акцепторной примеси; электронов и дырок на акцепторах; n,p –
число электронов и дырок в зонах; Ea,Eg – энергии примесных уровней.
(n + Na-)-(p + Ng+)=0
Выражение
(22)
или n + ng – p - pa = Ng-Na ,
наиболее
удобное
для
расчета
(22)
F
для
различных
полупроводников. Однако для нахождения концентрации ноcителей заряда на
примесях (ng, pa) необходимо знать функцию распределения носителей. Очевидно,
что функция f0(E,T) не годится, поскольку она учитывает возможность нахождения
двух электронов на одном уровне (согласно принципу Паули с противоположным
направлением спина). Для примесных уровней, однократное или двукратное их
заряжение, приводит к изменению их энергии (Ea,Eg) относительно краев зон Ev, Ec.
Расчет по методу Гиббса для систем с перечисленным числом частиц приводит к
следующему выражению для функции распределения:
f 
1
1
E  F 
exp  i
1

gi
kT


где gi – степень вырождения, для Ei = Eg, gi = 2; для Ei=Ea, gi=1/2.
17
Таким
образом,
функции
распределения
электронов
по
донорным
и
акцепторным уровням запишутся в виде:
Fe (E g , T) 
1
 1 , (23)
i
Eg  F
exp(
)
2
kT
Fe ( E a ,T ) 
1
, (24)
Ea  F
2 exp(
) 1
kT
Функция распределения для донорных и акцепторных уровней, с учетом fр = 1
- fe , запишется в виде:
Fp ( E g ,T ) 
2 exp(
1
F  Eg
kT
, (25)
Fp (E a , T) 
) 1
1
, (26)
F  Ea
1
exp(
) 1
2
kT
Зная функции распределения fe и fp можно найти число электронов и дырок на
соответствующих уровнях примеси Na и Ng
n g   N g  f eg dE  N g   ( E  E g )
1
exp(
2
dE
Eg  F

) 1
kT
Ng
Ng

  ( E  E g )dE 
Eg  F
Eg  F
1
1
exp(
) 1
exp
1
2
kT
2
kT
т.к.   ( E  E g ) dE  1
Аналогичный расчет дает:
Ng
Na
Na
na 
; pa 
; pg 
Ea  F
F  Ea
F  Eg
1
2 exp(
) 1
exp(
) 1
2 exp(
) 1
kT
2
kT
kT
6.Собственный полупроводник
Полупроводник называется собственным, если Na = Ng. В этом случае
уравнение электронейтральности n + ng - p - pa = Ng - Na , запишется в виде:
n=p,
(29)
Представляя значения n и p и решая уравнение относительно F, получим:
18
2(
2m ck kT
h2
3
)2
F  Fv
2m*p kT 32
Fc  F
exp(
)  2(
)
exp(

)
kT
kT
h2
m *p 34
Ec  Ev
F
 kT ln( * ) ,
2
mn
(30)
Получили, что энергия уровня Ферми зависит от температуры.
При T=0,
F
Ec  Ev
2
(31), т.е. уровень Ферми лежит посередине
запрещенной зоны.
Для проводников с равными эффективными массами электронов и дырок m*n
=m*p уровень Ферми лежит посередине запрещенной зоны, независимо от
температуры.
Зная выражение для F, можно рассчитать концентрацию носителей заряда:
n  N c exp( 
n = N c exp( 
Ec  F
E  Еv

)  для F  c
kT
kT
E0
E
)  N c exp(  a ) ,
2kT
2kT
(32)
где E 0 - ширина запрещенной зоны.
Величина Eа =½E0 –называется энергией активации образования носителей заряда
и рассчитывается на 2kT.
Найдем
температурную
зависимость
концентрации
носителей
(электронов).
n  p  n i  n  p  N v N c exp(

 * *
15  mn m p
4.8  10
2

 m
3
4
E 0
) 
2kT
3
2
 T exp   E0  ,

 2kT 

3 1 E0 1
ln ni  const  ln 

2 T
2k T
Пренебрегая слагаемым, слабо зависящим от температуры, получим:
19
заряда
ln ni  const 
E0 1
,
2k T
(33)
Измеряя проводимость (=en) полупроводников в зависимости от
температуры, можно определить ширину (термическую) запрещенной зоны по
тангенсу угла наклона экспериментальной кривой: 0 = 2kTtg, рис.3. Это
значение может не совпадать со значением 0, определенной по краю поглощения
полупроводника, так как при увеличении температуры изменяется ширина
запрещенной зоны. Для концентрации дырок можно получить аналогичное (32)
выражение:
p  N v  exp( 
E0
),
2kT
(32’)
Рис.3. Температурная зависимость концентрации носителей заряда
в собственных полупроводниках.
7. Полупроводник с одним типом примеси
Пусть в полупроводнике присутствует только донорная примесь, тогда уравнение
электронейтральности можно записать в виде (Nа=0; ра=0):
N + ng – p = Ng , или n = р + Ng - ng = p + Ng+; или
n = p + Ng+,
(34)
т.е. электроны возникают благодаря переходам из валентной зоны и с уровней
примеси в зону проводимости. Эти два типа переходов резко отличаются по
энергии, (см. рис.4. Eg  E0). Поэтому в области низких температур (кТ мало)
основную роль в проводимости играют примеси: Ng + kT  Ng+ + e-, следовательно,
20
p  Ng+. Это неравенство сохранится до полной ионизации примеси. При
дальнейшем росте температуры T, p  Ng+ = Ng и полупроводник будет вести себя
как собственный.
0
Ес
Eg
+
Ng + - + - + - + - + - - + -- Ng
E0
Еv
Рис.4. Энергетическая диаграмма полупроводника с одним типом примеси: 0 –
уровень вакуума; Ес, Еv – энергии дна зоны проводимости и потолка валентной
зоны; Eg, E0 – энергии активации проводимости в примесной и собственной
температурных областях.
1. Рассмотрим случай низких температур. Уравнение электронейтральности:
n = Ng+ + p  = Ng  n = pg ,
(35)
Подставляя ранее полученные выражения для n и pg (19,28), производя замену
x=eхр(F/kT) , получим квадратноe уравнениe:
Eg
Ng
 Ес  Е g
1
х 2  exp( ) x 
exp 
2
kT
2Nc
 kT

  0 ,

решение которого запишем в виде:
x
E
e kT
Eg
8N g
1
 e kT ( 1 
e
4
Nc
Eg
kT
 1) ,
где Eg =Ec-Eg.
Из (37) получим для F выражение:
(38)
21
(37)
(36)
Eg
8N g
1
F  kT ln{ e kT ( 1 
e
4
Nc
Eg
kT
1 8N g
 1)}  E g  kT ln{ (
e
4
Nc
Eg
kT
 1)}
Выражения (38) пригодно для очень низких температур, таких, что pNg+=n.
Рассмотрим два предельных случая:
T  растет, при этом возможно:
exp(
E g
kT
)  1 , что верно для мелких примесных уровней. Тогда, учитывая, что Nс
с температурой растет, при определенной концентрации Ng будет выполнено:
8N g
Nc
exp
E g
x  exp(
F=
При T = 0, F =
 1 , c учетом этого из (37) получим:
kT
Eg
8N g
Ec  E g
F
1
)  exp( ) 
 exp(
)
kT
4
kT
Nc
2kT
Ec  E g
2
E c  Fg
2

kT N g
ln
2 2Nc
,
(39)
(40)
Е
Ес
2
1
Ng
3
Т, К
Рис. 5. Изменение энергии Ферми с ростом температуры при:
1 - Ng2Nc; 2 - Ng=2Nc; 3 - Ng2Nc.
Таким образом, уровень Ферми при T = 0 находится посередине между Ec и Eg и
22
с повышением T поднимается и проходит через максимум (в случае Ng  Nc), в
дальнейшем снова проходит через середину между Ec и Eg (при температуре, когда
Ng = 2Nc) и опускается к середине запрещенной зоны (см. рис. 5).
Найдем концентрацию электронов для случая низких температур. Подставляя в
выражение (19) :
n  N c exp( 
Ec  F
)
kT
значение F из (39), получим:
Nc N g
n
2
 exp( 
E g
2kT
),
(41)
График lnn – 1/T есть линия с углом наклона tg=
E g
2k
, в то время как для
области собственной проводимости, энергия активации образования носителей
заряда .E a 
E 0
.
2K
2. Рассмотрим случай более высоких T, тогда величина  Ng станет меньше Nc ,
так что в выражении (38):
8N g
Nc
exp(
E g
kT
)  1 ,
Используя разложение
x  exp(
1 x 1
(42)
1
x  ....., из (37) получим:
2
Eg
E g
E
1
1 8N g
)  exp( )(1 
exp(
)  1)
kT
4
kT
2 Nc
kT
F  kT ln
Ng
Nc
 Ec ,
(43)
Получили, что в рассматриваемых условиях, уровень Ферми опускается от дна
зоны проводимости с ростом T (так как: Ng< Nc)
Найдем теперь концентрацию электронов; для этого подставим (43) в
выражение (19):
23
E F
n  N c exp(  c
)  Nc
kT
 Ec
e kT
Ec kT ln N g
e kT e kT N c
 Nc
Ng
Nc
 N g , (44)
Концентрация электронов не зависит от T и равна концентрации примеси Ng. Эта
температурная область носит название – область истощения примеси. Носители
заряда называются основными, если их концентрация больше концентрации
собственных носителей ni при данной T. Если же концентрация носителей меньше
ni, то их называют неосновными носителями заряда. В полупроводниках с донорной
примесью основными носителями заряда являются электроны. Таким образом, в
области истощения примеси концентрация основных носителей остается
постоянной, а концентрация неосновных носителей резко растет с температурой.
Это видно из следующего:
ni 2 ni 2 N c N v 
p


e
n
Ng
Ng
E0
kT
Это выражение остается справедливым, пока концентрация дырок остается
много меньше концентрации электронов.
Случай высоких температур.
При росте температуры, концентрация дырок (P) растет и может сравняться с
концентрацией электронов (n). Тогда уравнение электронейтральности примет вид:
n = p + Ng ,
(45)
Учитывая, что произведение np=ni2 , запишем:
ni 2
n
 N g ; n2 - nNg - ni2 = 0,
n
Отсюда:
Пусть
(
n
4ni
Ng2
Ng
2
(1  1 
4ni 2
Ng
2
) ,
(46)
 1 , тогда из (46) следует: n = Ng; далее, учитывая, что n=Ncexp
Ee  F
) , подставляя это выражение в n=Ng, получим:
kT
24
F = Eс + kTln
Ng
Nc
, что совпадает с ранее полученным выражением для области
истощения примеси.
Пусть теперь
4ni 2
Ng
2
 1, тогда, пренебрегая единицей в (46) получим
N g 2ni
E F
) и n i=
n

 ni ; подставляя в последнее равенство n=Ncexp ( c
kT
2 Ng
N c N v exp( 
E0
E  Ev kT N v
, что и должно быть в

ln
) , получим: F= c
2
2 Nc
kT
случае собственной проводимости. Таким образом, в невырожденном
полупроводнике во всем интервале температур 0  T  Tист:
8N g
1
F = Eg + kTln{ ( 1 
e
4
Nc
E g
 1)}
kT
(47)
Для области от Tист и выше, подставляя в выражение (45) n = Ncexp (
 N g 
4ni2

получим: F = EC + kTln 
1 1 2

2
N
Ng
 c 
 
 
 

Ee  F
),
kT
(48)
Найдем температуру перехода Т2ист от области примесной проводимости к
собственной. Для оценки можно принять, что в этом случае: р = Ng, тогда:
n = p + Ng = 2Ng.
Вычислим произведение np=ni2: 2 N g  ni  N c N v exp( 
2
2
Tист

k ln
2
E0
,
N c (Tист ) N v (Tист )
E0
) , отсюда:
кTист
(49)
2N g 2
Найдем нижнюю границу истощения примеси (Т1ист) из условия: Nc=8Ng;
25
3
2  mе*kT 2
2(
)  8 N g ; отсюда:
2
h
1
Tист
2
2,5mе N g 3

( 18 ) ,
*
mе 10
(50)
Температурная зависимость концентрации носителей зарядов в полупроводнике
приведена на рис. 6:
lnn
1
2
1
3
T2
T1
3
Т-1
Рис. 6. Температурная зависимость концентрации носителей заряда в
полупроводниках:
T1 и T2 – нижняя и верхняя границы истощения примеси;
3 – область примесной проводимости, tg3  g/2kT;
2 – область истощения примеси, nNg;
1 – область собственной проводимости, tg1  0/2kT.
8. Полупроводник, содержащий акцепторную и донорную примесь.
Энергетическая диаграмма полупроводника с двумя типами примеси приведены
на рис.7.
Ec
Eg
Ng
E0’
26
+++++++++++++++++++++++++++ Ng
Ea
Ev
Рис.7. Энергетическая диаграмма полупроводника с двумя типами примеси.
Так как электроны находятся на состояниях донорной примеси, Ng , которые
выше по энергии свободных акцепторных уровней, то при обычных температурах
будет наблюдаться компенсация – заполнения свободных состояний (акцепторных)
электронами с донорных уровней. Если Na=Ng, то в результате Ng+=Na- и ширина
запрещенной зоны в рассматриваемом случае (E0’) будет отличаться от ширины
запрещенной зоны в беспримесном полупроводнике (E0) на сумму Ea +Eg.
Практически можно принять равенство E0  E0’, так как энергии примесных
уровней обычно равны ~0.01эВ. Поэтому концентрация носителей в данном случае
(n) будет расти как и в собственном полупроводнике, т.к.:
F
Eg  Ea
2

Eс  Ev
, при T=0.
2
Уравнение электронейтральности в случае Ng  Na:
n +ng –p - pa = Ng-Na, для: Ng  Na
n + ng – p - pa = Ng1, где: Ng1 = Ng-Na
При T=0, n=p=0; и ng-pa=Ng1:
Ng
1
e
2
Eg  F
kT
Na

1
1
e
2
F  Ea
kT
 N g1
1
Учитывая, что F  Ea, второе слагаемое при T=0 будет равно нулю. Решая
оставшееся уравнение, получим:
Eg  F
2N a
ln

;
Ng  Na
kT
F  E g  kT ln
N g  Na
2N a
,
(51)
При T=0, F=Eg – уровень Ферми совпадает с донорными уровнями. Для
концентрации носителей получаем по обычной схеме:
27
N g  Na 
F  Ec
n  N c exp(
)  Na
e
kT
2Na
Eg
kT
 Ae

Ea
kT
,
(52)
Таким образом, в полупроводниках с двумя типами примеси энергия активации
равна энергии ионизации большей по концентрации примеси и рассчитывается на
кТ, в то время как в чисто донорном полупроводнике энергия активации
рассчитывается на 2kT. Это означает, что компенсация существенно меняет свойства
полупроводников, такие как: проводимость и ее изменения при легировании,
подвижность носителей зарядов, ширину запрещенной зоны в изолированных и
контактных системах.
Выражение (51) показывает, что уровень Ферми (F) при повышении
температуры ведет себя в зависимости от соотношения Ng и Na и при Ng = 3Na, F =
Eg и не зависит от температуры; при Ng  3Na уровень Ферми поднимается при росте
температуры тем быстрее, чем меньше Na; при Ng3Na, уровень Ферми опускается с
ростом температуры к середине запрещенной зоны. Изложенные выводы
справедливы с учетом исходных предположений.
9. Вырожденные полупроводники
Для вырожденных полупроводников 5 
Ec  F
 
kT
3
2
Интеграл Ферми при этом, равен:  1 ( )  T 2 , а концентрация носителей
3
2
зарядов:
2 Ec  F 2
2kTm 2 Ec  F 2
n  Nc  (
)  2(
) (
)  A  ( Ec  F ) 2 не зависит от
2
3 kT
kT
h
3
3
3
3
температуры.
Покажем,
что
вырождение
наступает
при
сильном
легировании
полупроводника. Выше было показано, что с увеличением температуры в
полупроводниках с одним типом примеси (например, Ng) уровень Ферми
приближается к зоне проводимости при условии, что Ng 2Nc. Найдем положения
28
Fmax при данных условиях. Согласно (39):
F
Ec  Ev kT N g

ln
, и дифференцируя по Т, получим:
2
2 2Nc
dF k N g kT N g 2 dN c
 ln




0
dT 2 2 N c
2 2 N c N g dT
Учитывая, что:
3
Ng
Ng
dN c 3 N c
2
 ,
e 2

,получим: ln
dT
2 T
2 N c 3 N c (T )
Таким образом, температура, при которой F достигает максимума, определяется из
выражения:
N c (Tmax ) 
Tmax
Ng
3
2e 2
,
(53)
3
m Ng 2
 8.15( * )( 18 ) ,
mc 10
(54)
Найдем теперь выражение для Fmax:
Fmax 
Ng
Ec  Ev kTmax

ln
2
2
2 N c (Tmax )
Учитывая (53), запишем:
F max 
Ec  E g
2
kp 2
N
3kTmax Ec  E g
m
g


 5.3  10 4 ( * )( 18 ) 3
4
2
mс 10
Найдем критическую концентрацию примеси, при которой F совпадает с зоной
проводимости:
F max  Ес 
3
Ec  E g
N g (см )  10
kp
2
kp 2
N
m
g
 5.3  10 4 ( * )( 18 ) 3
mс 10
3
22.5
3
m
( * ) 2 [E g , эв ] 2 ,
mс
29
(55)
где Eg – энергия ионизации примеси.
Полученное выражение (55) позволяет определить концентрацию примеси, при
которой полупроводник становиться вырожденным. Эта концентрация очень
чувствительна к величине энергии ионизации примеси. Например: если m=m;
Eg=0,03эв,
Nkp1020см.;
при
m
 0,3 ,
m
Nkp1013см-3.
В
соединениях
A3B5
Nkp1012см2(m/m=10-3; Eg=10-4эв). Значение Nkp определяет начало вырождения
полупроводников. При больших Nkp примесные уровни превращаются в зону,
которая совмещается с зоной проводимости. При этом примесная зона оказывается
не заполненной и вырождение не снимается даже при низких температурах. При
образовании примесной зоны энергия ионизации ее уменьшается. Вырожденные
полупроводники
используются
для
изготовления
туннельных
диодов
и
полупроводниковых квантовых генераторов. Для вырожденных полупроводников
независимо от закона дисперсии:
n
VF
1
, где VF=4k3F/3 – объем сферы Ферми, kF – радиус

f
(
E
,
T
)
d


k
3
3
8
8
сферы Ферми; kF =
3
6 2 n .
2. ОПИСАНИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Установка предназначена для исследования температурной зависимости
электропроводности металлов и полупроводников при проведении лабораторной
работа «Изучение температурной зависимости электропроводности металлов и
полупроводников" по курсу «Введение в Физику твердого тела".
Установка позволяет исследовать изменение электропроводности образцов
металлов и полупроводников при изменении температуры путем непосредственного
измерения электрического сопротивления образцов при прогреве в лабораторной
электропечи.
Количество образцов (установлены в электропечи), шт.
Пределы изменения температуры образцов, 0С, не менее
30
3
+ 100
Максимальное значение температуры нагрева, 0С
+ 120
Максимальное значение температуры нагрева при срабатывании защиты
(ограничение температуры нагрева образцов), 0С, не более + 125
Пределы измерения температуры образцов, 0С, не менее +20…+130
Пределы измерения сопротивления, Ом
0…200
Погрешности измерения температуры и сопротивления от максимальной
величины соответствующего предела измерения, %, не более
4
Примечание: Нижний предел изменения и измерения температуры
определяется температурой окружающей среды.
Ориентировочное время нагрева образцов до 1000С, мин
15…20
Питание установки осуществляется от сети переменного тока
частотой, Гц
50+0,4
напряжением, В
220 В+10%
2.1. КОМПЛЕКТНОСТЬ
Комплект поставки указан в табл. 1.
Обозначение документа
Наименование
Кол.
1. ФПК07.00.00.00.00
Устройство измерительное
1
2. ФПК07.01.00.00.00
Объект исследования
1
(электропечь с образцами)
3.
Шнур сетевой для печи
1
Паспорт
1
4. ФПК07.00.00.00.00 ПС
2.2. УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ
Установка состоит из объекта исследования (электропечи с установленными в
ней образцами) и устройства измерительного, выполненных в виде конструктивно
законченных изделий, устанавливаемых на лабораторном столе и соединенных
между собой кабелем.
Объект исследования конструктивно выполнен в виде сборного корпуса, в
котором установлены электропечь с помещенными внутри образцами, датчик
31
(термометр сопротивления), вентилятор для работы объекта исследования в режиме
охлаждения и источники питания электропечи и вентилятора со схемами
управления, а также коммутации и индикации. Электропечь служит для нагрева
образцов, температура которых измеряется датчиком измерителя температуры.
Вентилятор служит для ускорения охлаждения образцов путем охлаждения
электропечи при работе объекта исследования в режиме охлаждения. источники
питания со схемами управления предназначены для питания электропечи и
вентилятора и управления их работой с устройства измерительного. На передней
панели объекта исследования находится окно, позволяющее наблюдать электропечь
и образцы, установленные в ней. На этой же панели размещены следующие органы
управления и индикации:

выключатель СЕТЬ – предназначен для включения и выключения питания
объекта исследования;

переключатель ОБРАЗЕЦ – предназначен для поочередного подключения
образцов к измерительному входу устройства измерительного.
Положения переключателя ОБРАЗЕЦ соответствует подключению следующих
образцов:
"1" – металл (медь);
"2" – сплав с низким температурным коэффициентом сопротивления
(манганин или константан);
"3" – полупроводник (полупроводниковый терморезистор);
"0" – измерительный вход устройства измерительного закорочен.
Индикаторы СЕТЬ и ВЕНТ – предназначены для индикации включения
питания
объекта
исследования
и
включения
вентилятора
(управляется
выключателем СЕТЬ и устройством измерительным соответственно; при включении
питающей сети и во время работы вентилятора соответствующие индикаторы
светятся).
На задней панели объекта исследования расположены клемма заземления,
держатели предохранителей, сетевой шнур с вилкой и соединительный шнур с
разъемом для подключения объекта исследования к устройству измерительному.
32
Устройство измерительное выполнено в виде конструктивно законченного
изделия. В нем применена однокристальная микро-ЭВМ с соответствующими
дополнительными
устройствами,
позволяющими
производить
измерение
температуры образцов (температуры в электропечи) объекта исследования и
сопротивление образцов в процессе нагрева (охлаждения), а также осуществлять
функции управления установкой (включение и выключение электропечи и
вентилятора объекта исследования, остановка индикации при снятие показаний с
индикаторов и т.п.). В состав устройства измерительного входит также источник его
питания.
На передней панели устройства измерительного размещены следующие
органы управления и индикации:

кнопки НАГРЕВ и ВЕНТ – предназначены для включения и выключения
(путем повторного нажатия) электропечи и вентилятора объекта исследования
соответственно;

кнопка СТОП ИНД – предназначена для включения и выключения
(путем повторного нажатия) режима остановки индикации значений температуры и
сопротивления при снятии показаний с индикаторов (при включении этого режима,
показания на измерительных индикаторах фиксируются в том состоянии, в котором
они находились при нажатии кнопки СТОП ИНД, при этом режим работы установки
не изменяется. При повторном нажатии происходит выключение данного режима и
на индикаторе снова отображаются текущие значения измеряемых величин);

индикаторы 0С и Ом – предназначены для индикации значений величин
температуры и сопротивления образцов в процессе работы;

индикаторы НАГРЕВ, ВЕНТ и СТОП ИНД – предназначен для
индикации установленных режимов работы (управляются одноименными кнопками
и во время установления режима светятся.
На задней панели устройства измерительного расположены выключатель
СЕТЬ,
клемма
заземления,
держатели
предохранителей
предохранительной скобой) и сетевой шнур с вилкой.
33
(закрытые
Принцип действия установки основан на измерении сопротивления образца в
процессе его нагрева или охлаждения.
В процессе выполнения лабораторных работ снимаются зависимости
сопротивления образцов от их температуры при нагреве образцов от температуры
окружающей среды до максимальной рабочей температуры и последующего
охлаждения для образцов из различных материалов (металл, сплав, полупроводник).
2.3. УКАЗАНИЯ МЕР БЕЗОПАСНОСТИ
К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с ее устройством,
принципом действия и знающие правила техники безопасности при работе с
напряжением до 1000 В. Перед началом работы с установкой необходимо убедиться,
что она заземлена. В установке имеется опасное для жизни напряжение, поэтому
при
эксплуатации
необходимо
строго
соблюдать
соответствующие
меры
предосторожности: перед включением установки в сеть убедиться в исправности
сетевого соединительного шнура; замену любого элемента производите только при
отключенном от сети соединительном шнуре. При работе установки происходит
нагрев печи до температуры 125 0С. Поэтому при необходимости вскрытие печи
категорически запрещается до ее полного охлаждения.
2.4. ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ
Техническое
обслуживание
проводится
с
целью
обеспечения
работоспособности установки в течение всего периода ее эксплуатации.
Ежедневное техническое обслуживание проводиться перед началом работы и
включает в себя:
 проверку действия органов управления;
 проверку исправности индикаторов;
 удаление пыли с наружных поверхностей с помощью сухой мягкой ткани;
 проверку работы установки, согласно настоящих указаний.
34
2.5. СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ ВОЗМОЖНЫХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Для быстрого поиска неисправностей установки необходимо ознакомиться с
принципом работы, ее конструкцией по настоящим указаниям.
Отыскание несложных неисправностей производите в следующем порядке:
проверьте надежность контактов в разъемах; проверьте наличие питающих
напряжений.
Перечень возможных неисправностей установки приведен в табл. 2.
Наименование неисправности
Не
включается
Причина
Способы
неисправности
устранения
питание Перегорел
устройства измерительного или предохранитель
Заменить
предохранитель
объекта исследования
Отсутствие показаний величин Нарушение контакта в Проверить
температуры и сопротивления
разъеме подключения
присоединение
разъема
3. ОПИСАНИЕ ХОДА РАБОТЫ
3.1. ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ
Внимательно ознакомьтесь с настоящими указаниями.
Установите установку на лабораторный стол. Подключите кабель объекта
исследования
к
соответствующему разъему на измерительном устройстве.
Заземлите установку (на задних стенках панелей устройства измерительного и
объекта исследования имеются клеммы заземления). Перед включением установки в
сеть выключатели СЕТЬ устройства измерительного и объекта исследования
должны находиться в положение "Выкл", а переключатель ОБРАЗЕЦ объекта
исследования в положении "0".
3.2. ПОРЯДОК РАБОТЫ
Подключите сетевые шнуры к сети и включите установку выключателями
СЕТЬ на задней панели устройства измерительного и передней панели объекта
35
исследования. При этом на индикаторе Ом устройства измерительного должны
установиться нули (допускается индикация до значения 2 младшего разряда), а на
индикаторе
0
С – температура окружающей среды. Остальные индикаторы
устройства измерительного не должны светиться. На объекте исследования должен
светиться индикатор СЕТЬ и не светиться индикатор ВЕНТ. Дать прогреться в
течение 5 минут.
Переключателем ОБРАЗЕЦ, расположенным на передней панели объекта
исследования, выберите образец, сопротивление которого будет исследоваться.
Измерение сопротивления образца производите в следующем порядке:
3.2.1. Нажмите кнопку НАГРЕВ устройства измерительного (при этом
индикатор НАГРЕВ должен засветиться).
3.2.2. Наблюдая за индикатором 0С, (его показания должны возрастать), при
достижении необходимой температуры измерения (ряд температур измерения
рекомендуется выбирать через 5 или 10 0С) нажмите кнопку СТОП ИНД (при этом
индикатор СТОП ИНД должен светиться) и снимите показания с индикатора Ом.
Нажмите кнопку СТОП ИНД (при этом индикатор СТОП ИНД погаснет).
Проделывая аналогичные действия при достижения каждой температуры
измерений из выбранного ряда, получите данные для построения зависимости
сопротивления образца от температуры при нагреве. При достижении максимальной
температуры нагрева (100…120 0С), нажмите кнопки НАГР и ВЕНТ объекта
исследования (или сразу кнопку ВЕНТ). При этом должен погаснуть индикатор
НАГРЕВ устройства измерительного и засветиться индикаторы ВЕНТ устройства
измерительного и объекта исследования.
Наблюдая за индикатором 0С, (его показания должны понижаться), при
достижении необходимых температур измерения по вышеупомянутому ряду
температур, включая и выключая режим СТОП ИНД с помощью одноименной
кнопки и снимая показания с индикатора Ом, получите данные для построения
зависимости сопротивления образца от температуры при охлаждении.
36
Переключателем ОБРАЗЕЦ, расположенным на передней панели объекта
исследования, выберите 2 и 3 образцы, сопротивление которых будет исследоваться
и проделайте действия согласно п. 3.2.1. и 3.2.2.
Примечание: При нагреве образцов до максимального значения температуры
нагрева и срабатывания защиты автоматически отключается нагрев образцов и
включается вентилятор (при этом включаются и выключаются соответствующие
индикаторы устройства измерительного и объекта исследования). При этом
повторное включение режима НАГРЕВ возможно только после охлаждения
образцов до 100 – 30 0С.
При
исследовании
сопротивлений
могут
наблюдаться
несоответствия
значений сопротивлений образцов при одних и тех же температурах при измерении
их в режиме нагрева и охлаждения, что приводит к искажениям при дальнейшей
обработке результатов и построении графиков. Это явление объясняется различной
тепловой инерционностью измерителя температуры и образцов при нагревании и
охлаждении. Для уменьшения этой погрешности измерений необходимо:
3.2.3. Нажмите кнопку НАГРЕВ устройства измерительного (при этом
индикатор НАГРЕВ должен засветиться).
3.2.4. Наблюдая за индикатором 0С (его показания должны возрастать), при
достижении необходимой температуры измерения (ряд температур измерения
рекомендуется выбирать через 5 или 10 0С), повторно нажмите кнопку НАГРЕВ
(при этом индикатор НАГРЕВ должен погаснуть). После этого, наблюдая за
показаниями индикатора (они будут возрастать на 1…2 0С, а затем уменьшаться),
при достижении необходимой температуры нажмите кнопку СТОП ИНД (при этом
индикатор СТОП ИНД должен светиться) и снимите показания с индикатора Ом.
Нажмите кнопку СТОП ИНД (при этом индикатор СТОП ИНД погаснет).
Проделывая действия по пп. 3.2.3-4. при достижении каждой температуры
измерений из выбранного ряда, получите данные для построения зависимости
сопротивления образца от температуры.
По
окончании
работе
необходимо
отключить
питание
установки
выключателем СЕТЬ (на задней панели устройства измерительного и на передней
37
панели объекта исследования) и отключить сетевые вилки устройств от питающей
сети.
Режим работы установки прерывистый – через каждые 2 часа работы делается
перерыв на 10-15 минут.
ЗАДАНИЕ
1. По полученным данным постройте таблицы и графики изменения удельного
электрического сопротивления от температуры для всех образцов во всем диапазоне
изменения температуры в режимах нагрева и охлаждения. Шаг изменения
температуры 5-100 С.
2. Из полученных графических характеристик R(T) определите
3. Опишите полученные результаты.
4. ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТЧЕТА
Исследуемый образец
Нагревание
№
Т, 0С
Охлаждение
R, Ом
Т, 0С
R, Ом
1
2
3
…
Исследуемый образец
Нагревание
№
Т, 0С
R, Ом
Охлаждение
Т, 0С
1
2
3
…
-//-//-//-//38
R, Ом
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Какое свойство носителей заряда описывает функция f(E,T)? Какие типы функций
f(E,T) могут описывать состояние электронов?
2. Какая связь между функциями fn(E,T) и fp(E,T)? Найдите их вид для вырожденного
и невырожденного полупроводников.
3. Дайте определение функции плотности состояний для электронов и дырок; чему
она равна в к – пространстве и р - пространстве; (для квадратичного закона
дисперсии при скалярной, при тензорной эффективной массе?)
4. Выведите формулу эффективной массы для плотности состояний для электронов
в м - долинном полупроводнике и для дырок в случае сложной структуры валентной
зоны (как в германии и кремнии).
5. Закон дисперсии для электронов изотропен, но не параболичен:
E(k)=Eс+h2k2/1m8 .(I-2k2).
Найдите N(E) в этом случае.
6. Дайте графическую иллюстрацию выражений для концентрации электронов и
дырок в случае вырожденного и невырожденного полупроводников n-или p-типа.
7. Что такое интеграл Ферми порядка 1/2? Как можно приближенно вычислить его?
8. Как подсчитать эффективное число состояний в разрешенных зонах?
9. Покажите, что в сильно вырожденном полупроводнике концентрация электронов
не зависит от температуры.
10. Приведите формулу для концентраций носителей заряда в собственном
полупроводнике; для вырожденного и невырожденного полупроводника. Как
экспериментально
найти
ширину
запрещенной
зоны
в
невырожденном
полупроводнике. Какова величина ni в германии и кремнии при Т=300К?
11. Покажите графически температурную зависимость уровня Ферми для:
а) собственного полупроводника;
в) невырожденного акцепторного или донорного полу проводника;
в) частично скомпенсированного полупроводника с NgNa и NgNa.
12. Запишите и поясните смысл уравнения электронейтральности в общем случае.
13. Чем отличается распределение носителей заряда по состояниям в разрешенных
зонах и на примесных уровнях? Что учитывает фактор gi в функции распределения?
39
14. Иллюстрируйте графическую температурную зависимость концентрации
носителей заряда:
а) собственного полупроводника;
б) донорного полупроводника с одним типом примеси;
в) акцепторного полупроводника с одним типом примеси;
г)
частично
компенсированного
полупроводника
при
различных
степенях
компенсации примеси.
15. Каково условие вырождения полупроводника при введении в него примесей? В
какой из полупроводников InAs или Ge нужно ввести большую концентрацию
примеси для достижения вырождения? Сравните концентрации вырождения в
случае n- и p-типа проводимости.
16. Вычислите, на каком температурном интервале в n-Ge можно стабилизировать
по величине концентрацию электронов:
а). n=1015см-3, б) для =1016см-3. Как изменится этот температурный интервал для
кремния? (Считать энергию активации примесей одинаковой и равной 0,01эв.)
6. ЛИТЕРАТУРА
1. Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1985.
2. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Т. Физика полупроводников. –М.: Наука, 1977.
3. Шалимова К.В. Физика полупроводников. – М.: Энергоатомиздат, 1985.
4. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. – М.: Высшая школа,
1977.
5. Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников. –М.: Физматгиз, 1962.
6. Мотт И., Герни Р. Электронные процессы в твердых телах. –М., ИЛ, 1949.
7. Блейкмор Дж. Статистика электронов в полупроводниках. - М.: Мир,1969.
8. Цидильковский И.М. Электроны и дырки в полупроводниках. –М.: Наука, 1972.
9. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. М.: Высшая школа, 1985.
40
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА- 2
ИЗУЧЕНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА
В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
Методические указания для проведения работы
Содержание
1. Краткие теоретические сведения

Кинетическое уравнение Больцмана

Движение носителей заряда в магнитном поле

Эффект Холла
2. Экспериментальная установка
2.1. Устройство и принцип работы
2.2. Указания мер безопасности.
3. Описание хода работы
4. Форма представления отчета
5. Контрольные вопросы
41
6. Литература
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
Ознакомление с эффектом Холла и определение электродвижущей силы
Холла в полупроводнике при постоянном магнитном поле и постоянном токе.
1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Эффект Холла относится к физическим явлениям, обусловленным движением
носителей заряда под действием внешних и внутренних полей или разности
температур, которые называются кинетическими явлениями, или явлениями
переноса. К ним относятся также электропроводность и теплопроводность, многие
гальваномагнитные и термоэлектрические явления. Кинетические явления лежат в
основе фотоэлектронных и фотомагнитных эффектов. Для описания кинетических
явлений используют представление о движении частиц под действием внешних сил
и мощный теоретический метод исследования – кинетическое уравнение Больцмана.
Гальваномагнитными
эффектами
называются
физические
эффекты,
возникающие в веществе, находящемся в магнитном поле, при прохождении через
вещество электрического тока под действием электрического поля. К ним относятся:
эффект
Холла,
магниторезистивный
или
магнетосопративление,
эффект
Эттингсгаузена или поперечный гальванотермомагнитный эффект, эффект Нернста
или
продольный
гальванотермомагнитный
эффект.
Указанные
направления
эффектов отражают направления градиентов температуры относительно тока и
магнитного поля.
КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА
В идеальном кристалле волновая функция состояния k(r) и функция
распределения электронов по состояниям f(r,k) остаются неизменными. Если
наложить на кристалл внешнее силовой поле V(r), то состояние каждого электрона
изменится в соответствии с уравнением:
42
dP
dk 1
 Fa
 V или
dt 
dt
Внешние силы Fa (не периодическое поле кристалла) приводят к изменению
функции распределения электронов по состояниям.
Уравнение, определяющее изменение функции распределения во времени,
есть полная ее производная по времени.
df (r, k, t ) f
1

 ( r f  V)  ( k f  Fa)
dt
t

(1)
Т.к. полное число состояний в кристалле постоянная величина, следует, что
полная производная по времени от функции f(r, k, t) равна нулю.
А уравнение можно переписать в виде:

f
1
 ( r f  V)  ( k f  Fa)
t

(2)
где показано, что изменение функции распределения со временем в каждой точке
фазового пространства (r, k) обусловлено движением частиц в обычном
пространстве и в пространстве волнового вектора (обратном).
Под внешней силой Fа можно понимать как внешние макроскопические поля
(F), так и любые нарушения идеальности поля решетки из-за дефектов, примесей,
тепловых колебаний решетки (Fд). Fа=F+Fд. Действия этих сил противоположны.
Внешние силы F приводят к возникновению направленного движения частиц в
пространстве квазиимпульса и в пространстве координат. Силы Fд есть результат
огромного числа локальных полей и их учет на функцию распределения на
основании динамических закономерностей невозможен и необходимо использовать
статистические закономерности. Если внешние поля приводят к "медленным
изменения", то внутренние поля за короткое время резко изменяют состояние в
малой локальной области. Например, размеры локального возмущения 10 -7см,
тепловая скорость частицы 107 см/сек, т.о. время взаимодействия 10-14 сек.
Кратковременное взаимодействие приводит к значительному изменению скорости,
квазиимпульса электрона, что эквивалентно удару в механике, и поэтому оно
называется соударением или столкновением. Процессы столкновения называют
также процессами рассеяния.
43
Перепишем прежнее уравнение через слагаемые:
(
f
1
) пол  ( r f  V)  ( k f  F) (3)
t

и
(
f
1
) ст  ( k f  FД )
t

(4)
Выражение (f/t)пол носит название полевого члена уравнения Больцмана,
отражает действие внешних сил. Обозначим через (f/t)ст –интеграл столкновений,
изменение функции распределения в результате соударений.
Т.о. общее изменение функции распределения во времени представим в виде
суммы полевого члена и интеграла столкновения.
f
f
f
 ( ) пол  ( ) ст
t
t
t
(5)
Для нахождения интеграла столкновения используем статистические методы
описания
физических
явлений.
Уравнение
Больцмана
является
интегро-
дифференциальным. Его решения в общем виде не получено.
Для стационарного случая, когда (f/t)=0, кинетическое уравнение имеет вид:
(
f
f
) пол  ( ) ст . Что означает, что в стационарном состоянии изменения функции
t
t
распределения, создаваемое внешними полями и движением частиц компенсируется
столкновениями носителей заряда с локальными нарушениями периодичности поля
решетки. Если (f/t)пол (f/t)ст , то (f/t)0 и функция распределения меняется во
времени в ту или иную сторону, в зависимости от превалирования определенного
процесса.
Решение кинетического уравнения значительно упрощается вводом так
называемого времени релаксации. Предположим, что в некоторый момент времени
t=0 полевой член обращается в нуль (Выключается поле).
(
f
f
f
) пол  0 или
 ( ) ст
t
t
t
(6)
В момент выключения поля система частиц находилась в стационарном
неравновесном состоянии, после выключения поля процессы соударений должны
привести системы в равновесное состояние, т.е. соударения восстанавливают
нарушенное полями равновесное состояние. Процесс релаксации протекает так, что
44
скорость восстановления равновесия пропорциональна величине отклонения [f(r, k,
t)-f0(r, k)] от равновесия.
f (r, k, t )  f 0 (r, k )
f
f
 ( ) ст  
t
t
(k )
f0
–есть
функция
распределения
в
(7)
равновесном
состоянии,
f
–
в
неравновесном, а 1/(k) – коэффициент пропорциональности, зависящий от k. Знак
минус обеспечивает возвращение системы к равновесному состоянию. Решение
данного уравнения элементарно:
f (r, k, t )  f 0 (r, k )  (f (r, k,0)  f 0 (r, k ))e

t

(8)
Величина (k) показывает, насколько быстро восстанавливается нарушенное
полями равновесное состояние, поэтому она называется время релаксации. Явно
выразить время релаксации можно через вероятность рассеяния и функцию
распределения.
Время релаксации(k) однозначно характеризует процессы соударений как во
время релаксации, так и в отсутствии внешних полей, т.е. оно не зависит от полей. И
стационарное уравнение Больцмана перепишим в виде:
( r f  V) 
f (r, k )  f 0 (r, k )
1
( k f  F)  

(k )
(9),
решение которого имеет вид f(r,k) = f0(r,k) + fi(r,k), где
f 1 (r, k )  
f 0
(  (r, k ), V)
E
(10)
 

, B ,
где Х(r, k) – векторная функция  (r, k )  A  e
m * 
(11)
а A  L   r (e  F)  (E  F) r ln T
(12)
Полученные уравнения одинаково справедливы как для электронов, так и для
дырок. Каждый носитель заряда может быть описан своей функцией распределения.
Направленный поток заряженных частиц создает ток, который можно
характеризовать
вектором
плотности
тока,
неравновесных систем имеет вид:
45
выражение
для
которого
для
j 
f 0
e
 V E (, V)d k
4 3
(13)
После подстановки значения Х выражение для тока можно выразить через
тензора типа K'rs, которые называются тензорами обобщенного кинетического
коэффициента, и имеют вид:
n
K rs 

m*
E r s
e 2 2
1
( B, m * B )
m*

(14)
После разложения выражения (13) для плотности тока появится слагаемое
определяющее омический ток (т.е. зависит от градиента электростатического
потенциала ), токи, обусловленные градиентом химического потенциала F и
температуры T, т.е. связанные с диффузионным и термическим токами, поперечные
гальвано- и термомагнитные токи, и изменение продольных токов, вызываемых
магнитным полем B. Также плотности тока и энергии зависят от эффективной массы
и прочих характеристик вещества.
Кинетические
коэффициенты
пропорциональными
тензору
обратной
эффективной массы, что означает, что на протекание кинетических явлений
существенное влияние оказывает форма изоэнергетических поверхностей.
Для описания электрической проводимости полупроводников необходимо
найти связь между плотность тока j и электрическим полем E, вызывающим этот
ток. Положим индукцию магнитного поля B=0, изменение энергии Фермии F=0 и
градиента температуры T=0. В таком случае:
j  e 2 K 11 E  E
(15)
Кинетический коэффициент тензор К11 связан с тензором проводимости 
соотношением:
e2K11 = 
или воспользовавшись выражением для К11 можно записать:

en  E 
e
 en
 en d
m*
m*
46
(16)
где n- концентрация носителей заряда, m* - тензор эффективной массы,  - время
релаксации, а d - тензор подвижности носителей заряда.
Кинетическое уравнение Больцмана не только приводит к закону Ома, но и
раскрывает иной смысл проводимости. Удельная проводимость и подвижность d
определяются усредненным временем релаксации <> с весом Е.
Если в веществе имеются носители заряда разного типа с разными
эффективными массами, то для таких веществ плотность тока будет иметь вид:
j =  j = E = ()E , где  – тип носителя заряда.
ДВИЖЕНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Качественное описание гальваномагнитных эффектов заложено в рассмотрении
движения частицы в электрическом и магнитном поле под действием силы Лоренца:
F  eE  eVd B  m * r
(17),
где m* - эффективная масса носителей заряда.
Вообще говоря, в параллельных электрических и магнитных поля частица
движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом. В одном
магнитном поле движение происходит по кругу со скоростью V поперек поля B, по
радиусу R, с угловой скоростью w.
R
m*V V

eB


eB
m*
Электрическое поле увеличивает только продольную составляющую скорости.
В скрещенных полях Е и B движение без начальной скорости идет по циклоиде
радиуса R и с дрейфовой скоростью Ud в направлении перпендикулярно
электрическим и магнитным полям.
R
m*E
Ud 
eB 2
EB
B2
47
В присутствии начальной скорости траекторией движения будет трахоида
(укороченная или удлиненная циклоида).
В твердом теле необходимо учесть соударения, которые нарушают
направленное движение частиц. После каждого соударения, частица будет двигаться
с новыми параметрами.
Величины полей оцениваются сравнением периода вращения частицы под
действием магнитного поля со временем релаксации. Если время релаксации
превосходит период >>2/wc, то за время  частица совершает несколько оборотов.
Это возможно в больших магнитных полях. Если за время  частица не совершает
даже одного оборота, то такие поля называются малыми. Т.о. в сильных полях:
wc/2 = eB/2m* >> 1
а в малых полях:
wc/2 = eB/2m* << 1
Понятие "силы" поля зависит также от величины подвижности носителей
заряда. Иногда для понимания явлений достаточно только учесть дрейфовое
движение, а иногда важен разброс скоростей электронов.
ЭФФЕКТ ХОЛЛА
Теперь рассмотрим действие магнитного поля на полупроводник, по которому
течет ток (рассматриваемый случай относиться к слабым магнитным полям, когда
B<<1 или <<Tс. Пусть п/п имеет вид в виде параллелепипеда с сечением а.с, где а
- ширина, а с - высота образца (см. рисунок 1).
Рис. 1. Возникновение поля Холла в электронном полупроводнике
48
Электрическое поле направим вдоль оси х, Е=(Е,0,0). Магнитное вдоль оси у,
В=(0,В,0).При включении электрического поля возникает ток
j  E ,
где  – проводимость. Носители заряда получают скорость направленного движения
Vd по полю для дырок и против поля для электронов. При включении магнитного
поля на электроны и дырки действует сила:
F  qVd B,
которая перпендикулярна вектора индукции магнитного поля В и скорости V d. Но, с
другой стороны,
Vd  E 
qE
m*
(18),
поэтому
q 2    EB
F
m*
(19),
т.е. сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда, а определяется только
направлением полей Е и В, или j и В. На рисунке сила Лоренца направлена вверх, а
носители заряда - электроны и дырки отклоняются в одну и ту же сторону, со
скоростью определяемой электрическим полем.
В результате такого движения произойдет накопление носителей заряда на
верхней стороне образца и дефицит на нижней грани. Противоположенные стороны
заряжаются, и возникает поперечное по отношению к Е электрическое поле. Это
поле носит название поля Холла, а явление возникновения этого поперечного поля
под действием магнитного поля называется эффектом Холла. Направление поля
Холла Ен зависит от знака носителей заряда, на нашем рисунке оно направлено
вверх для n-полупроводника и вниз для p-образца. Разность потенциалов на
противоположенных сторонах
1   2  U H  E Н c
(20)
полупроводника называется Э.Д.С. Холла или холловая разность потенциалов.
Суммарное электрическое поле Ес=Е+Ен будет повернуто на некоторый угол 
относительно оси х или вектора j (см. рисунок 2).
49
Рис. 2. Угол Холла в ограниченном полупроводнике n-типа.
Т.е.
в
ограниченном
полупроводнике
вектор
электрического
поля
поворачивается и между j и Еc возникает угол  называемый углом Холла.
Холл
экспериментально
обнаружил.
что
значение
Ен
определяется
плотностью тока j и индукцией магнитного поля В, а также свойствами и природой
самого образца, которые можно определить некоторой величиной R, называемой
коэффициентом Холла или постоянной Холла. Все эти четыре величины связаны
эмпирическим соотношением:
E H  R Bj  R  jB
(21).
Найдем величину R. Т.к. холлово поле должно компенсировать силу Лоренцу,
то имеем
qE H  F  0 или qE  qVd B
(22)
Из чего следует
E H  F / e  Vd B   d EB.
А с другой стороны
E H  R  jB  REB .
Сравнивая последние выражения, видно, что
R = d
или
R
d
1

 en
(23).
В данном случае, n - это концентрация носителей заряда (электронов или
дырок). Т.к. знак коэффициента Холла R совпадает со знаком носителей заряда, то,
определив его из эксперимента, можно тем самым найти знак носителей заряда или
определить тип проводимости. Знак же R определяется по знаку поля Холла Eн или
ЭДС Холла Uн.
50
Угол Холла  можно определить из соотношения:
tg  E H
E
  RBE
E
  d B
(24).
При заданных значениях Е и В поле Холла определяется только
подвижностью носителей заряда.
Экспериментально
определяют
Холловую
разность
потенциалов
Vн,
U H  E Н c . А вместо плотности тока измеряют ток I, I  jac  qnVd ac , поэтому R
можно выразить в виде:
UH 
E
U a
1 IB
или R  H  H
jB
IB
qn a
(25).
Следовательно, постоянную Холла можно измерить, измерив в эксперименте
толщину образца и ток.
Оценить порядок величины R можно исходя из формулы R=1/en, тогда для
n=1016 см-3 R=6.10-4 м3/к.
Т.к. знак Uн различен для электронов и дырок при одинаковых направлениях тока и
магнитного поля, то постоянная Холла имеет различный знак в дырочном (р) или
электронном (n) полупроводнике. Т.о. в полупроводнике n-типа постоянная Холла
отрицательна, т.е. R n  
1
, а в полупроводнике p-типа положительна, т.е.
qn
Rp 
1
.
qp
Две последние формулы не являются вполне верными. При более строгом анализе
эффекта Холла на основе кинетического уравнения Больцмана с учетом
статистического распределения носителей заряда по энергиям и с учетом
зависимости времени релаксации от энергии в выражении для коэффициента Холла
вводиться численный множитель r, называемый холл-фактором, т.е.
R
r
qn
(26).
Множитель r изменяется в пределах от 1 до 2 в зависимости от механизма
рассеяния, степени вырождения носителей заряда, а также величины магнитного
51
поля. В слабых полях, где основной механизм рассеяния носителей заряда это
тепловые колебания решетки r= 3/8=1,18, при рассеянии на ионах решетки r = 1,93.
В вырожденных полупроводниках и металлах, а также в сильных магнитных полях
r=1.
Критерием величины магнитного поля являются выполнение следующих
соотношений: для слабого магнитного поля 2B2 << 1, а для сильного поля 2B2 >>
1.
При сравнимых концентрациях электронов и дырок в образце (т.е. в п/п со
смешанным типом проводимости) постоянная Холла R определяется сложным
соотношением их концентраций и подвижностей:
r ( p p   n n )
2
R np 
2
e( p p   n n ) 2
В случае собственного полупроводника:
Ri 
r ( p   n )
en i ( p   n )
Если в собственном образце подвижности носителей заряда одинаковы, то Холлово
поле будет равно нулю. Т.к. подвижность электронов обычно больше, чем у дырок,
то в собственном полупроводнике R < 0.
Для п/п n-типа R  
r
r
, а для п/п p-типа R  .
en
ep
Исследование температурных зависимостей концентрации носителей заряда,
электропроводности, коэффициента Холла и других параметров позволяет
определить ряд важнейших характеристик полупроводниковых материалов, таких
как ширину запрещенной зоны E0, энергию ионизации основной примеси (энергию
образования основных носителей заряда), концентрации заряженных и нейтральных
примесных центров, полные концентрации основных и неосновных носителей
заряда, подвижность  и температурную зависимость подвижности электронов и
дырок.
Коэффициент Холла также зависит от температуры. Температурная
52
зависимость коэффициента Холла позволяет получить температурную зависимость
концентрации носителей заряда, т.к. ln(n)= - ln(enRn) или ln(p) = - ln(epRp). И,
наоборот, на температурную зависимость R оказывают влияние зависимости n(T),
(T), так что R(T) можно представить в виде
R (T )  T
3
2
exp(
E o
2kT
)
(27).
Зависимость R(T) в примесной области непосредственно воспроизводит
зависимость 1/n(T) со всеми выводами относительно возможности определения
соответствующих величин.
 lg RT
E 0 , эВ  0,397
3
10 3
(
)
T
2
(28)
Для определения типа основной примеси в полупроводнике (донорная или
акцепторная) кроме абсолютного знака R существенно, что в п/п p-типа с ростом
температуры и при переходе из области примесной проводимости в область
собственной проводимости постоянная Холла R меняет знак. Поэтому из кривой
R(T) в соответствующем интервале температур можно определить тип примесной
проводимости.
Также из значения коэффициента Холла для одно и того же образца можно
определить концентрацию носителей заряда из выражения (), а, зная
электропроводность =en, можно вычислить холловскую подвижность, как =|R|..
И это в случаи несмешанного полупроводника.
При измерении Э.Д.С. Холла необходимо иметь в виду следующее. На
противолежащих поверхностях образца при пропускании тока уже в отсутствии
магнитного поля всегда есть разность потенциалов U0, обусловленная
неэквипотенциальностью плоскостей поперечных контактов. Эту немагнитную
составляющую разности потенциалов необходимо исключить, замерив напряжение
при двух противоположенных полярностях магнитного поля U+ и U-. Далее, в
случае, когда Uн>U0, а знаки U+ и U- разные и совпадают со знаками Uн:
U+ = U0 + Uн
53
-U- = U0 - Uн
Uн = (|U+| + |U-|)/2.
Или, когда Uн<U0, а знаки U+ и U- одинаковые и совпадают со знаком U0:
U+ = U0 + Uн
U- = U0 - Uн
Uн = (|U+| - |U-|)/2.
Изменение величины магнитной индукции в рабочем зазоре магнита можно
осуществлять, изменяя расстояние между полюсами магнита, применяя магнитные
концентраторы или регулируя величину тока электромагнита. Желательно, чтобы
источник тока имел высокое выходное сопротивление, и протекающий через
образец ток не изменялся за счет эффекта магнитосопротивления,
сопровождающего эффект Холла, при включении магнитного поля.
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКИ
Установка ФПК-08 предназначена для проведения лабораторной работы «Изучение
эффекта Холла в полупроводниках» по курсу "Квантовая физика".
Установка позволяет исследовать явление эффекта Холла, путем измерения Э.Д.С.
Холла соответствующего датчика при изменении направления и величины тока
через датчик и направления и величины индукции внешнего магнитного поля.
Установка предназначена для эксплуатации в закрытых, сухих, отапливаемых
помещениях при температуре окружающего воздуха от 283 до 308 К и
относительной влажности воздуха до 80% при температуре 298 К и атмосферном
давлении от 84,4 до 106,7 кПа.
Пределы установки тока датчика, мА, не менее
0…9,9
Пределы установки тока электромагнита, мА, не менее
0…10,0
Питание установки осуществляется от сети переменного тока
частотой, Гц
50+1
напряжением, В
220 В
Потребляемая мощность, ВА, не более
20
54
2.1. УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ
Установка состоит из объекта исследования и устройства измерительного,
выполненных в виде конструктивно законченных изделий, устанавливаемых на
лабораторном столе и соединенных между собой кабелем. Схематичное
изображение соединения устройств установки приведено на рисунке 3.
Объект исследований конструктивно выполнен в виде сборного корпуса, в котором
установлены электромагнит и датчик Холла. Сверху объект исследования имеет
окно, через которое видны полюса электромагнита и плата с датчика Холла. Для
подключения объекта исследования к устройству измерительному имеется
соединительный шнур с разъемом.
Устройство измерительное выполнено в виде конструктивно законченного изделия.
В нем применена однокристальная микро-ЭВМ с соответствующими
дополнительными устройствами, позволяющими проводить измерение тока
электромагнита и датчика, установленного в объекте исследования, а также
осуществлять функции управления установкой (установка режимов прямого и
обратного измерения и т.п.). В состав устройства измерительного входит также
источник его питания.
На передней панели устройства измерительного размещены следующие
органы управления и индикации:
кнопки НАПРАВЛЕНИЕ и ТОК "+", "-" задают направление и значение тока через
датчик Холла и через электромагнит;
ЭЛ. МАГНИТ – ДАТЧ. ХОЛЛА включает индикацию тока электромагнита или
датчика Холла, что индицируется соответствующим светодиодом;
табло мА и мВ индицируют значения тока через датчик Холла и электромагнит и
э.д.с. Холла.
На задней панели устройства измерительного расположены выключатель
СЕТЬ, клемма заземления, держатели предохранителей (закрытые
предохранительной скобой), сетевой шнур с вилкой и разъем для подключения
объекта исследования.
Принцип действия установки основан на эффекте Холла, состоящем в
55
возникновении на гранях полупроводника, параллельных протекающему в нем току
и помещенном в магнитное поле, электродвижущей силы (Э.Д.С. Холла).
2.2. УКАЗАНИЯ МЕР БЕЗОПАСНОСТИ
К работе с установкой допускаются лица, ознакомленные с ее устройством,
принципом действия, знающие правила техники безопасности и прошедшие
соответствующий инструктаж с записью в журнале по технике безопасности.
Перед началом работы с установкой необходимо убедиться, что установка
заземлена.
В установке имеется опасное для жизни напряжение, поэтому при
эксплуатации необходимо строго соблюдать соответствующие меры
предосторожности и перед включением установки в сеть убедиться в исправности
сетевого соединительного шнура.
3. ОПИСАНИЕХОДА РАБОТ
Внимательно ознакомьтесь с настоящими указаниями.
Проверьте заземление каждого блока установки, для чего на задней стенке
панели имеются клеммы. Соедините устройство измерительное с объектом
исследования, как показано на рисунке 3. Перед включением установки в сеть все
кнопки включения должны быть выключены.
Включите установку. На всех индикаторах должны высветиться нули. Выберите
полярность источников питания для датчиков Холла и электромагнита нажатием на
соответствующие кнопки.
Задав ток электромагнита, измерьте ЭДС Холла.
Меняя направление и значение тока через электромагнит проведите
следующие измерение ЭДС Холла. Все данные занесите в таблицы измерений для
построения графических зависимостей.
По окончании работы отключите установку от сети. Режим работы установки
прерывистый – через каждые 2 часа работы делается перерыв на 10-15 минут.
ЗАДАНИЕ: 1. Измерьте ЭДС Холла во всем допускаемом предельном диапазоне
изменения тока проводника и тока магнита, а также изменяя полярность тока
56
проводника и тока магнита. Шаг изменения указанных параметров выбирается
преподавателем.
2. Постройте таблицы и графики изменения холловой разности потенциалов от тока
через проводник для нескольких выбранных значений тока магнита.
3. Постройте таблицы и графики зависимости ЭДС Холла от величины тока магнита
для нескольких выбранных значений тока через полупроводник. Из замеров
сделанных при различных направлениях магнитного поля (но равных по
абсолютной величине) вычислите паразитную разность потенциалов на образце.
4. Проанализировав графики холловской разности потенциалов от тока идущего
через образец и тока магнитного поля, сделайте вывод о типе проводимости в
исследуемом полупроводнике и знаке носителей заряда.
5. Оцените знак постоянной Холла R для данного образца.
4. ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТЧЕТА
Iм, мА
№
I, мА
U, мВ
Iм, мА
I, мА
Iм, мА
U, мВ
I, мА
U, мВ
1
2
3
…
I, мА
№
Iм, мА
I, мА
U, мВ
Iм, мА
I, мА
U, мВ
1
2
3
57
Iм, мА
U, мВ
…
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Приведите примеры кинетических явлений в твердых телах.
2. Кинетическое уравнение Больцмана для функции распределения. Условия
применимости.
3. Смысл полевого члена и интеграла столкновений стационарного кинетического
уравнения Больцмана.
4. Определите плотность электрического тока и потока энергии.
5. Определите подвижность и дрейфовая скорость носителей заряда.
6. Закон Ома. Электропроводность полупроводников.
7. Состав выражения для плотности тока в полупроводнике во внешнем поле.
8. Оценка слабых и сильных магнитных полей для гальваномагнитных эффектов.
9. Движение частиц в электромагнитных полях.
10. Классификация гальвано-магнитных эффектов.
11. Элементарная теория эффекта Холла.
12. Как определить знак и подсчитать концентрацию носителей заряда в опыте по
эффекту Холлу?
13. Как определить постоянную Холла?
6. ЛИТЕРАТУРА:
7. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. – М.: Наука, 1978.
8. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. –М.: Высшая школа, 1985.
9. Ормонт
Б.Ф.
Введение
в
физическую
химию
и
кристаллохимию
полупроводников. – М. Высшая школа, 1971.
10.Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. Т. 1,2. –М.: Мир, 1979.
11.Слетер Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. –М.: Мир, 1969.
12.Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1985.
13.Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Т. Физика полупроводников. –М.: Наука,
1977.
58
14.Шалимова К.В. Физика полупроводников. – М.: Энергоатомиздат, 1985.
15.Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. – М.: Высшая
школа, 1977.
10. Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников. –М.: Физматгиз, 1962.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА -3
ИССЛЕДОВАНИЕ p-n ПЕРЕХОДА
В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ДИОДАХ
Методические указания для проведения работы
Содержание:
1. Краткие теоретические сведения по контактным явлениям в твердых телах
 Дебаева длина экранирования.
 Работа выхода.
 Контактная разность потенциалов. Контакт металл-металл.
59
 Контакт металл-полупроводник.
 Электронно-дырочный p-n переход в неоднородных полупроводниках.
2. Описание и технические характеристики экспериментальной установки
3. Описание хода работы
4. Форма представления отчета
5. Контрольные вопросы
6. Литература
ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование прямой и обратной вольтамперной характеристик (ВАХ)
диодов, измерение зависимости барьерной емкости от величины напряжения.
1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ПО КОНТАКТНЫМ ЯВЛЕНИЯМ В
ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ
Дебаева длина экранирования
Явление p-n перехода относится к физическим явлениям, обусловленным
наличием контакта между двумя телами. При приведении в контакт двух веществ
между ними возникает обмен носителями заряда, что приводит к изменению
свойств полупроводника не только на контактной поверхности, но и в объеме. Для
60
понимания многих явлений, обусловленных наличием контакта, необходимо
рассмотреть изменение свойств полупроводника, внесенного в электрическое поле,
например, в однородное поле конденсатора. В полупроводнике произойдет
перераспределение
носителей
заряда,
возникнет
объемный
заряд
(r)
и
электрическое поле Е(r), связанные уравнением Пуассона:
div  0 E(r )  (r ) или 2(r )   (r)

(1.1).
0
Потенциальная энергия V(r) связана с потенциалом (r) выражением V(r) =
e.(r). Потенциальное электрическое поле искривляет зоны энергии Е, так что Е(r) =
E + V(r). Смещение испытывают все уровни, в том числе и в запрещенной зоне. В
состоянии термодинамического равновесия положение уровня Ферми постоянно и,
следовательно, расстояние ((Ес+V)-F) и (F-(Ev+V)) изменяются на величину V.
Поскольку изменяется положение уровней энергии, меняется и распределение
частиц по уровням энергии.
Исходя из уравнения электронейтральности можно записать объемный заряд в
виде
(r) = e(n + nд - p - pa)
(1.2),
где входящие в уравнение (1.2) величины есть в общем виде: x = x(r) – x0.
Используя выражения для концентрации электронов и дырок на собственных
и примесных уровнях невырожденного полупроводника, получим уравнение для
V(r):
1/ 2
V
V
 2e2kT 


V
V  2e
kT
kT
 V(r )  
 n 0 (e  )  p 0 (e  )    ( r )  C 

kT
kT  0
 0 

(1.3),
где (r) есть некая специальная функция, т.ч. (r )  (n Д  pa )V(r ) .
Дальнейшее решение (1.3) в общем виде невозможно, так что необходимо
перейти к частным случаям.
1). Собственный полупроводник (Nд = Na =0, nд =na=0, n0 = p0 = ni).
61
Введем обозначение LD, названное дебаевой длиной экранирования и равное
LД 
 0 kT
2e 2 n i
. Решение (1.3) в одномерном случае при прочих упрощениях и
приближениях дает выражение справедливое при любом х:
V( x )  VS e

x
LД
(1.4)
В случае малых х (x<<LD) решение (1.3) для потенциальной энергии можно
представить в виде линейного закона V( x )  VS (1 
V
2kT
x
sh S 
) , который
VS
2kT L Д
при x>>LД переходит в выражение (1.4). При Vs>>kT все изменения V(x)
происходит в области толщиной порядка LД.
Рассмотрим напряженность электрического поля исходя из выражения Е(х)=(dV(x)/dx)/e. Из (1.3) имеем:

E( x ) 
V
4kT
th ( S )
eL Д
4kT
e
1  th 2
x
LД
VS
e
4kT

(1.5).
2x
LД
На поверхности (х=0) Е достигает значения: E(0)  E S 
V
2kT
sh( S ) .
eL Д
2kT
Объемная плотность S на поверхности (х=0) равна:
(0)   S  
4 0 kT
eL Д
2
th (
VS
V
)(1  th 2 S )
4kT
4kT
V
(1  th 2 S ) 2
4kT
(1.6).
Последнее выражение, учитывая LD, можно записать в виде  S  en i (e

VS
kT

VS
e kT
).
Знак плотности заряда на поверхности зависит от знака Vs. При Vs>0 (зоны
вмещаются вверх) и S >0, и при Vs<0 наоборот.
Полученный
результат
показывает
образование
у
поверхности
полупроводника объемного заряда в результате того, что возрастают концентрация
электронов (при Vs<0) или дырок (Vs>0). В связи с тем, что поверхностная
62
концентрация может значительно превосходить концентрацию частиц в объеме, т.к.
nS  ni
VS
e kT ,
явление
то и проводимость поверхностных слоев может резко возрастать. Это
называется
эффектом
поля.
Кроме
внешних
полей,
изменение
концентрации и заряда в приповерхностном слое могут вызвать поверхностные
состояния.
Рис. 1. Искривление зон энергии, изменение объемного заряда и
потенциального поля во внешнем поле.
2). Примесный донорный полупроводник.
Рассмотрим температуры, при которых примесь полностью ионизована. При
этом n0 = Nд+=Nд, p0 = ni2/Nд. Далее для примесного полупроводника можно по
аналогии получить выражения: для дебаевой длины экранирования примесного
полупроводника
LД 
 0 kT
2e 2 n 0i
,
потенциальной
энергии
V( x )  VS e

x
LД
и
VS
концентрации n S  n i e kT .
Данный результат, как и для собственного полупроводника, свидетельствует
об искривление зон энергии и изменение концентрации электронов и дырок. Если
приповерхностный слой обогащен дырками, то зоны изгибаются вверх, и, наоборот,
в случае электронов.
63
При достаточно больших полях в приповерхностном слое толщиной LD
происходит изменение типа основных носителей заряда – возникает инверсный
или обогащенный слой. Поскольку, тип проводимости у поверхности меняется, то
можно найти при удалении от поверхности такой слой, в котором n=p, т.е. слой с
собственной проводимостью, или i-слой, а область полупроводника, в которой
меняется тип проводимости, носит название физического p-n-перехода, который
исчезает при снятие внешнего поля. Это "p-n-переход" не следует путать с p-nпереходом в неоднородных полупроводниках. В металле концентрация свободных
электронов высока, поэтому для них Дебаева длина экранирования значительно
больше межатомного расстояния.
Работа выхода
Хорошо известно, что для перевода электрона из твердого тела в вакуум
необходимо затратить определенную энергию. Если за начало отсчета принять
энергию покоящегося электрона, находящегося в вакууме вдали от твердого тела, то
уровню дна зоны проводимости Ес в указанной шкале энергий отвечает некоторая
величина –W (W>0), равная работе, необходимой для перевода покоящегося в
твердом теле электрона в вакуум без сообщения ему кинетической энергии. W
называется истинной работой выхода, определяемой глубиной потенциальной
ямы, которая соответствует электронам проводимости металла. В металлах уровни
выше Ес заняты вплоть до уровня Ферми F. Электрон, имеющие полную
отрицательную энергию не могут выйти из металла, но среди электронов есть и
такие, полная энергия которых больше нуля и они способны выйти из металла.
Кинетическая энергия электронов способных преодолеть прямоугольный
потенциальный барьер высотой W и выйти из металла должна быть не меньше
глубины потенциальной ямы, т.е.
2
m * Vx
W
2
(2.1).
Тогда для плотности потока электронов из металла в вакуум за счет их
тепловой энергии (при условии E- F >> kT) имеем
64
jx  e




  Vx e

E F
kT
d p
(2.2).
h3
Vx (min)
Примем, что все вышедшие электроны захватываются неким внешним полем
и не возвращаются в металл. Выразим энергию электронов через скорость и
проинтегрируем (2.2). В итоге получается выражение для jх:
F
F
4em * k 2 T 2 kY
jx 
e  AT 2 e kT
3
h
(2.3).
Обозначим расстояние от начала отсчета энергии до уровня Ферми F через Ф
(F= -Ф, Ф>0), после чего для jх имеем:
jx  AT
2
Ф
e kT
 jT
(2.4).
Величина Ф носит название термодинамической работы выхода электронов
из металла. Численно она равна работе, необходимой для удаления из металла
электрона с уровня Ферми. Выражение (2.3) носит название формулы Ричардсона
для плотности тока термоэлектронной эмиссии. В реальных условиях, возникающее
электрическое поверхностное поле на металле из-за зарядки, удерживает
термоэлектроны в металле. Установившиеся динамическое равновесие двух
встречных потоков электронов обращает jх в нуль. Т.о. для поддержания jт
необходимо захватывать приповерхностное термоэлектронное облако внешним
электрическим полем и одновременно компенсировать потерю заряда металлом.
Данный механизм имеет место в двухэлектродной лампе.
Рис. 2. Диаграмма энергетических уровней металла и п/п.
Покажем величину плотности тока термоэлектронной эмиссии jт для
электронов из полупроводника. Исходя из расположения энергетических уровней
65
полупроводника (см. рис.2), энергию Ферми можно представить в виде суммы двух
слагаемых Ес = - (>0) и Ес - F = . Тогда F = Ec - = -( +). Величина  зависит
только от природы полупроводникового вещества, а  зависит от температуры вида
и количества примесей. А значение работы выхода Ф = -F =  +. Т.о. можно
записать для полупроводника:
jx 
F
2 kT
AT e
 AT e
2

 
kT
 AT e
2

Ф
kT
(2.5).
Используя выражения для положения уровня Ферми относительно зоны
проводимости, можно записать выражения для работы выхода для различных
случаев, например:
1. Для собственного полупроводника: Ф(T)   
E 0 kT
Nc

ln(
)
2
2
Nv
2. Донорный полупроводник:
область слабой ионизации примеси: Ф(T)   
E Д
2
kT
Nc
ln(
)
2
NД

область сильной ионизации примеси: Ф(T)    kT ln(
Nc
)
NД
3. Акцепторный полупроводник:
область слабой ионизации примеси: Ф(T)    E 0 
E a kT Nv

ln(
)
2
2
Na
область сильной ионизации примеси: Ф(T)    E 0  kT ln(
Nv
)
Na
Заметим, что работы выхода электронов у дырочного полупроводника больше,
чем у электронного почти на ширину запрещенной зоны.
Контактная разность потенциалов. Контакт металл-металл
Изобразим энергетические диаграммы двух изолированных металлов М1 и М2.
Если привести металлы в контакт, то они начнут обмениваться электронами.
Частицы будут переходить из подсистемы, в которой уровень Ферми находится
выше, в подсистему, где он расположен ниже, что мы сейчас и докажем ниже.
66
Рис. 3. Энергетические диаграммы контакта двух металлов.
Изменение
термодинамического
потенциала
системы
Ф
равно
dФ   Fi dN i  F1dN1  F2 dN 2 . Так как dN1= - dN2, то dФ  dN 1 (F1  F2 ) . Если F1=F2
i
и dФ=0, то рассматриваемое состояние является равновесным. Если же F1F2 , то
dФ0, и система не находиться в равновесии. Переход к равновесному состоянию
означает, что dФ<0. Если F1<F2 , то из dФ<0 следует dN1 >0, т.е. число частиц
первой подсистемы увеличивается. Если F1>F2 , то dN 1<0. Т.о. число частиц
подсистемы с большим химическим потенциалом должно уменьшаться, или переход
системы к равновесному состоянию означает наличие направленного потока частиц
к системе с меньшим химическим потенциалом, до тех пор, пока уровни Ферми не
выровняться. Т.к. положение уровня Ферми определяется термодинамической
работой выходы, то можно следует вывод, что при контакте двух тел возникает
направленный поток частиц из тела с меньшей работой выхода в тело с большей
работой выхода. Поток прекратится, когда произойдет выравнивание заселенности
уровней энергии в обоих телах. Уход электронов заряжает тело первого металла
положительно, т.ч. электроны получают дополнительную отрицательную энергию,
что приводит к снижению уровней энергии на некоторую величину. Уровни второго
металла, зарядившегося отрицательно, наоборот поднимаются на некую, вообще
говоря, отличную величину. Поток прекратится, когда F1 = F2, но необходимо иметь
в виду, что F1 и F2 отличаются как от F10, так и от F20.
Т.к. тела зарядились, то между ними возникает разность потенциалов и
электрическое поле, которое локализуется в тонком слое меньше периода решетки.
Заряд, сообщенный металлу, распределяется в общем случае по его поверхности.
Между двумя любыми точками наружной поверхности металлов М1 и М2 должна
67
существовать внешняя контактная разность потенциалов k. Ее величина
следует из определения смещения уровней энергии в М1 и М2 (см. рис. 3) и равна
разности работ выхода:
e k 21 = Uk 21 = Ф1 – Ф2
(3.1)
Uк представляет собой потенциальный барьер. Возникновение внешней
контактной разности потенциалов возможно не только в случае непосредственного
соприкосновения, но и без контакта, когда металлы обмениваются электронами
вследствие термоэлектронной эмиссии.
На
самом
контакте,
после
совпадения
уровней
Ферми,
существует
потенциальный барьер и электрическое поле. Это поле Ек называется контактным, а
разность потенциалов – внутренней контактной разностью потенциалов i (см. рис.
3):
e i
21
= Ui 12
(3.2)
Ui можно выразить через разность энергий дна зоны проводимости или
кинетической энергии частиц. В общем случае, она равна разности энергии Ферми
изолированных металлов М1 и М2, отсчитываемой от дна зоны проводимости, т.е.
Ui 12 = Ec1 – Ec2 = T2 – T1 = (F20 –E c20) – (F10 – Ec10)
(3.3)
Для некоторых практических целей удобно следующее выражение для
внутренней контактной разности потенциалов:
2/3
Ui 12
2/3
n
h2 3 2/3 n2

( ) (
 1 )
2 8
m *1
m *2
(3.4).
Контакт металл-полупроводник
Изобразим энергетическую диаграмму контакта металла и полупроводника.
Это состояние является неравновесным, поэтому электроны из вещества с большей
энергией Ферми будут переходить в вещество с меньшей энергией.
68
Рис. 4. Энергетическая диаграмма контакта металл-полупроводник.
Например, уровень Ферми металла Fм лежит ниже уровня Ферми Fпп
полупроводника, то электроны будут переходить из полупроводника в металл.
Однако, если у металлов потенциал распределяется между металлами одинаково, и
внутри металла постоянен, т.к. концентрации электронов у металлов примерно
одинаковы, то с полупроводниками дело обстоит иначе. Потенциал полупроводника
может быть различен в разных точках, и внешнее электрическое поле может
приникать на большую глубину в полупроводник. Контактная разность потенциалов
полностью падает в приконтактном слое и искривляет зоны энергии, в зависимости
от
относительного
положения
уровней
Ферми.
Искривление
зон
меняет
концентрацию электронов и дырок, изгиб зон вверх увеличивает концентрацию
дырок, а изгиб вниз увеличивает концентрацию электронов. Т.о. если работа выхода
из полупроводника меньше, чем из металла, то приконтактный слой обогащается
дырками, и наоборот.
В собственном полупроводнике искривление зон увеличивает проводимость
контактного слоя. В примесном полупроводнике проводимость увеличивается,
когда происходит обогащение приконтактного слоя основными носителями заряда,
и наоборот. Слой с повышенной проводимостью называется антизапирающим,
слой с пониженной проводимостью (обогащенный неосновными носителями)
называется запирающим. Слой называется инверсным, если в нем изменяется тип
проводимости. Условия возникновения данных слоев для электронного и дырочного
п/п противоположно различные. При сильном искривлении зон возможно
наступление условий вырождения полупроводника.
69
Обогащение приконтактного слоя полупроводника имеет важнейшие значение
для физических процессов в полупроводниках при прохождении через них тока.
Состав тока меняется из-за перераспределения электронов и дырок, а величина его
остается постоянной. Другими словами, ток, проходя через контактный слой, меняет
концентрацию основных и неосновных носителей заряда в объеме полупроводника
и соответственно его свойства. При этом возможны следующие дрейфовые явления:
инжекция
(увеличение
неосновных
носителей
для
запирающего
слоя),
аккумуляция (для антизапирающего слоя) и экслюзия (обеднение неосновными
носителями запирающего слоя), экстракция (для антизапирающего слоя). Если
контакт не меняет концентрацию неосновных носителей – то он называется
омическим. Контакт называют выпрямляющим, если он инжектирует или
эксклюзирует неосновные носители, и невыпрямляющим, если он экстрагирует или
аккумулирует неосновные носители заряда. В случае, когда контактные слои
создаются поверхностными состояниями, их свойства слабо зависят от природы
металла.
Электронно-дырочный переход (p-n переход)
в неоднородном полупроводнике
Рассмотрим контакт одного и того же полупроводника с электронной и
дырочной проводимостью или неоднородный полупроводник с некоторым
произвольным расположением акцепторной и донорной примеси Na и Nд. При этом
концентрация электронов и дырок зависит от КООРДИНАТЫ. Положение уровня
Ферми зависит теперь не только от концентрации, но и также от координаты.
Возникновение диффузионного тока jД приводит к разделению зарядов, вследствие
чего возникает объемный заряд и порождаемое им электрическое поле, которое
искривляет зоны энергии. В термодинамическом равновесии F=Fo. В отсутствии
внешнего напряжения диффузионный ток компенсируется дрейфовым током jЕ, т.ч.
j = jД + jЕ.
Рассмотрим донорный полупроводник Nд=Nд(r). Если примесь
ионизована полностью Nд=Nд+, а температура соответствует области примесной
70
проводимости, то напряженность электрического поля определяется градиентом
концентрации электронов и дырок:
E i (r ) 
kT n kT N Д kT


 ln N Д (r)
e n
e N
e
(4.1)
Пусть концентрация примеси меняется по экспоненциальному закону
N Д (r)  N Д (r0 )e (,r r0 ) ,
тогда напряженность поля определяется величиной
E i (r )  
, т.е.
kT

e
Рассмотрим частный случай, когда примесь одного вида распределена
равномерно при x<0 и x>0, а в точке х=0 меняется тип примеси. Вдали от точки x=0
V(х)=0, т.е. поле и объемный заряд отсутствуют. Пусть при х<0 Nд(х)=Nд, т.е. у нас
будет n-область, а при x>0 Na(x)=Na будет p-область. Электроны из n-области
перейдут в p-область, а дырки из p-области в n-область. В результате n-область
заряжается положительно, а p-область отрицательно, и в области перехода
возникает электрическое поле направленное от n к p-области.
Область объемного заряда, разделяющая n- и p- области, называется n-p
или p-n переходом или запорным слоем. В ней происходит резкое изменение типа
проводимости. Толщина каждой области объемного заряда (tn и соответственно tp)
обратно пропорциональна концентрации легирующей примеси. Напряженность
поля в области перехода линейно зависит от координаты, а потенциальная энергия
имеет вид квадратичной параболы.
 e2
N ( t  x ), если x  0

dV( x )  0 Д n
(4.3),
 2
e
dx

N ( t  x ), если x  0
 0 a p
 e2
N Д ( t n  x ) 2 , если x  0

 2
(4.4)
V( x )   2 0
e
2

N ( t  x )  U k , если x  0
 20 a p
71
Высота потенциального барьера для электронов, разделяющего n- и pобласти равна разности работ выхода электрона, и совпадает с внешней контактной
разностью потенциалов:
U k  (   p )  (   n )  Фp  Фn
2
Uk 
или
e2 N Д t n
20
2
(
(4.5)
1
1

)
N Д Na
(4.6)
Барьер Uk препятствует переходу основных носителей заряда из каждой
области и способствует переходу неосновных носителей. Ширина потенциального
барьера t  t n  t P 
2 0 U k ( N a  N Д )
e
Na NД
(4.7).
Рис. 5. Потенциальный барьер для p-n перехода.
Наличие объемных полей приводит к нарушению закона Ома для
участка цепи: сопротивление зависит от величины тока, что приводит к нелинейной
зависимости между напряженностью и током. В нашем случае сопротивление
зависит еще и от НАПРАВЛЕНИЯ тока, на чем и основано действие
полупроводниковых приборов на основе диодов с p-n переходом. Если измерить
сопротивление p-n перехода при двух противоположных направлениях тока, то оно
будет сильно различаться.
Предположим, что мы приложим внешнее напряжение от p- к n-области, т.е.
против внутреннего контактного поля Ек. Внешнее поле уменьшит высоту
потенциального барьера Uк, в результате чего поток электронов из n-области (и
дырок из p-области в равном количестве) возрастет почти по экспоненциальному
закону и инжектируется на глубину значительно больше запорного слоя. Это
72
явление называется прямым p-n переходом, а создаваемый ток – прямым дрейфовым
током (см. рис.6). При противоположной полярности напряжения, внешнее
электрическое поле увеличит высоту потенциального барьера, основные носители
заряда будут стянуты из области перехода, что приведет к увеличению толщины
области объемного заряда. Ток через переход будет создаваться только в результате
движения неосновных носителей заряда, концентрация которых мала, поэтому при
обратном p-n переходе обратный тепловой диффузионный ток Iдиф мал.
Рис. 6. Вольт-амперная характеристика p-n перехода.
Ток, текущий через p-n переход определяется с помощью уравнений
j n  e n nE  eD n
dp
dn
и j p  e p pE  eD p
, где Dn,p – коэффициенты
dx
dx
диффузии. В случае небольшого уровня инжекции, т.е. небольших внешних полей,
ток диффузии больше дрейфового тока, т.ч. j n  eD n
dp
dn
, j p  eD p
. При больших
dx
dx
полях преобладает дрейфовая составляющая тока. Общий ток складывается из суммы
тока электронов и дырок. Уравнение непрерывности для статической вольтамперной
характеристики имеет вид:
p n
1 j p p  p n 0 1 j n n  n p 0

 0 или



0
t t
e x
p
e x
n
(4.8)
Решая уравнения (4.8), получим:
n ( x )  n p 0  (n p1  n p 0 )e
x
Ln
, p( x )  p n 0  (p n1  p n 0 )e
73

x
LP
,
(4.9)
где L P  D P  P и L n  D n  n -диффузионные длины дырок и электронов,
а np1 и pn1 – концентрации электронов в p-области у границы перехода и
концентрации дырок в n-области, которые при наложении U в прямом направлении
будут иметь вид:
n p1  n p0
eU
e kT
, p n1  p n 0
eU
e kT
.
(4.10)
В итоге электронный ток в p-области и дырочный ток в n-области будут
определяться равенствами:
jn (x) 
eD n n po
Ln
eU
(e kT
 1)e
x
Ln
eU
x

eD P p no kT
(e  1)e L P . (4.11)
, jP (x) 
LP
Полный ток можно определить из (4.11), если положить х=0, как:
I  Is
eU
(e kT
 1) , где I s  S(
eD P p n 0 eD n n p 0

) , а S – площадь перехода.
LP
Ln
Графическая зависимость прямого тока через p-n переход показана на правой
ветви рис. 6. Поскольку ширина запорного слоя увеличивается пропорционально
U с ростом обратного напряжения, то обратный ток будет расти по тому же
закону. При достаточно больших обратных напряжениях становятся возможным
явление пробоя, и ток становиться большим. Существует три механизма пробоя:
туннельный (определяющийся туннелированием носителей через барьер), лавинный
(обязанный размножению носителей за счет ударной ионизации атомов решетки) и
тепловой (обусловленный выделением тепла в переходе и резким паданием
сопротивления).
Учет явления рекомбинации электронов и дырок, учет ловушек в запрещенной
зоне приводят к "задержки" напряжения при увеличении прямого тока. За счет
сопротивления базы реального диода ВАХ при больших прямых токах переходит в
прямую линию.
Изменение протяженности запорного слоя в связи с изменением напряжения
приводит к изменению объемного заряда в p- и n- областях. Поэтому p-n переход
ведет себя подобно емкости. Эту емкость называют барьерной. Ее величина
74
определяется классически, как С 
dQ
. После подстановки приращения напряжения
dU
и заряда барьерную емкость можно записать в виде С 
0
, где D – ширина
D
перехода. После подстановки D из (4.7) и с учетом Nд>>Na мы имеем:
СS
e 0 N a
. Зная параметры диода и измерив зависимость емкость перехода
2( U k  U )
от напряжения легко найти контактную разность потенциалов и концентрацию
примеси.
2. ОПИСАНИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ
Установка предназначена для изучения свойств p-n перехода, при проведении
лабораторной работы «Исследование p-n перехода в полупроводниках» по курсам
специализаций.
Установка позволяет производить снятие вольт-амперных характеристик при
прямом и обратном направлении протекающего через переход тока (далее ВАХ, ВАХ
прямая и ВАХ обратная соответственно) и вольт-фарадной (зависимость емкости
перехода от приложенного напряжения) характеристики (далее ВФХ) p-n перехода.
Диапазоны установки и измерения напряжения, В, не менее
при исследовании ВАХ прямой
0,00…4,00
при исследовании ВАХ обратной и ВФХ
0,00…30,0
Дискретность установки и измерения напряжения, В
при исследовании ВАХ прямой
0,01
при исследовании ВАХ обратной и ВФХ 0,01 (до 10В) и 0,1 (выше 10В)
Диапазоны измерения тока
при исследовании ВАХ прямой,
000…999 мкА и 1,00…9,99 мА
при исследовании ВАХ обратной, мкА,
Диапазоны измерения емкости при исследовании ВФХ, пФ,
0 … 999
0 … 999
Примечание: Переключение диапазонов установки и
75
измерения производиться автоматически.
Максимальное значение срабатывания защиты образцов:
по току, мА, не более
10
по напряжению, В, не более
30
Питание установки осуществляется от сети переменного тока
частотой, Гц
50+0,4
напряжением, В
220 В+10%
КОМПЛЕКТНОСТЬ. Комплект поставки указан в табл. 1.
Таблица 1
Обозначение документа
Наименование
Кол.
1. ФПКИ06.01.00.00.00
Устройство измерительное
1
2. ФПК06М.01.00.00.00
Объект исследования
1
Паспорт
1
3. ФПК06.00.00.00.00 ПС
Примечание: Диоды Д7, КД521 и КД226 установленные в объекте
исследования могут быть замены на аналогичные по параметрам.
УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ.Установка состоит из объекта исследования
и устройства измерительного, выполненных в виде конструктивно законченных
изделий. Устройство измерительное устанавливается на лабораторном столе, а
объект исследования присоединяется к гнезду, установленному на передней панели
устройства измерительного.
Объект исследования ФПК06М.01.00.00.00 конструктивно выполнен в виде
единого устройства - вилки, в котором установлены серийно выпускаемые диоды (3
шт.) и переключатель образцов, ручка управления которыми выведена на переднюю
панель. Корпус вилки выполнен из прозрачного материала для возможности
ознакомления с его устройством. Тип диодов указан на корпусе вилки или на
шпильке, помещенной внутри вилки. В положении переключателя "0" образцы
отключены. На задней стенке объекта исследования установлены штыри для
подключения его к устройству измерительному. Верхняя стенка объекта
76
исследования выполнена прозрачной для возможности ознакомления с его
устройством.
Устройство измерительное выполнено в виде конструктивно законченного
изделия. В нем применена однокристальная микро-ЭВМ с соответствующими
дополнительными устройствами, позволяющими проводить установку величины и
полярности напряжения, подаваемого на p-n переход образца в объекте
исследования, измерение емкости p-n перехода и тока через него в зависимости от
приложенного напряжения, а также осуществлять функции управления установкой
(регулирование напряжения, установка режимов работы при снятие ВАХ прямой,
ВАХ обратной или ВФХ). В состав устройства измерительного входит также
источник питания для питания как самого устройства, так и объекта исследования.
На передней панели устройства измерительного размещены гнезда для
подключения объекта исследования и следующие органы управления и индикации:

кнопки "+", "-" и СБРОС – предназначены для регулирования
напряжения и установки его в 0 (при этом при кратковременном нажатии
происходит установка единиц, а при длительном – десятков, переключение
диапазонов происходит автоматически);

кнопка ВАХ – ВФХ – предназначена для установки соответствующего
режима работы (снятие ВАХ или ВФХ);

кнопка ПРЯМАЯ – ОБРАТНАЯ – предназначена для установки режима
работы при снятии ВАХ (снятие прямой ВАХ и обратной ВАХ);

индикаторы В, мА, мкА, пФ – предназначены для индикации значения
величины регулируемого напряжения, единиц измерения и величины измеряемых
значений тока или емкости в процессе работы;

индикаторы
ВАХ
–
ВФХ
–
предназначены
для
индикации
установленного режима работы (управляется кнопкой ВАХ-ВФХ, во время
установки соответствующего режима индикатор светится);

индикаторы ПРЯМАЯ – ОБРАТНАЯ – предназначены для индикации
установленного режима работы при снятие ВАХ (управляется кнопкой ПРЯМАЯОБРАТНАЯ, во время установки соответствующего режима индикатор светится).
77
Примечание: При работе переключение диапазонов измерения происходит
автоматически.
На задней панели устройства измерительного расположены выключатель
СЕТЬ,
клемма
заземления,
держатели
предохранителей
(закрытые
предохранительной скобой) и сетевой шнур с вилкой.
Принцип действия установки основан на измерении тока через p-n переход
или емкости p-n перехода при фиксированных значениях приложенного к нему
напряжения. В процессе выполнения лабораторных работ снимаются зависимости
тока через p-n переход и емкости p-n перехода от приложенного напряжения для
различных образцов.
УКАЗАНИЯ МЕР БЕЗОПАСНОСТИ. К работе с установкой допускаются лица,
ознакомленные с ее устройством, принципом действия и знающие правила техники
безопасности при работе с напряжением до 1000 В.
Перед началом работы с установкой необходимо убедиться, что установка
заземлена. В установке имеется опасное для жизни напряжение, поэтому при
эксплуатации
необходимо
строго
соблюдать
соответствующие
меры
предосторожности: перед включением установки в сеть убедиться в исправности
сетевого соединительного шнура; замену любого элемента производите только при
отключенном от сети соединительном шнуре.
ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБСЛУЖИВАНИЕ. Техническое обслуживание проводится с
целью обеспечения работоспособности установки в течение всего периода ее
эксплуатации.
Ежедневное техническое обслуживание проводиться перед началом работы и
включает в себя:
 проверку действия органов управления;
 проверку исправности индикаторов;
 удаление пыли с наружных поверхностей с помощью сухой мягкой ткани;
 проверку работы установки, согласно настоящих указаний.
78
СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ ВОЗМОЖНЫХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ. Для быстрого
поиска неисправностей установки необходимо ознакомиться с принципом работы,
ее конструкцией по настоящим указаниям. Перечень возможных неисправностей
установки приведен в табл. 2.
Таблица 2
Неисправности
Причина
Способы устранения
неисправности
Не
включается
питание Перегорел
устройства измерительного
Заменить
предохранитель
предохранитель
Отсутствие индикации тока Нарушение контакта в Проверить
(емкости) при работе
разъеме подключения присоединение
объекта исследования
разъема
Отыскание несложных неисправностей производите в следующем порядке:
проверьте надежность контактов в разъемах; проверьте наличие питающих
напряжений.
3. ОПИСАНИЕ ХОДА РАБОТЫ
ПОДГОТОВКА УСТАНОВКИ К РАБОТЕ.Внимательно ознакомьтесь с
настоящими указаниями.
Установите
установку
на
лабораторный
стол.
Подключите
объект
исследования ФПК06М.01.00.00.00 к гнезду на передней панели измерительного
устройства, так, чтобы прозрачная стенка располагалась сверху (если смотреть на
объект исследования спереди).
Заземлите устройство измерительное (на задней стенке панели имеется
клемма заземления). Перед включением установки в сеть сетевой выключатель
устройства измерительного должен находиться в положение "Выкл".
ПОРЯДОК РАБОТЫ. Подключите сетевой шнур и включите устройство
измерительное выключателем СЕТЬ на задней панели (при этом на индикаторах В и
мА, мкА, пФ должны установиться нули и светиться индикаторы ВАХ и ПРЯМАЯ
79
(допускается индикация до значения 2 младшего разряда). Дать прогреться в
течение 5 минут.
В объекте исследования ФПК06М.01.00.00.00 переключателем образцов на
его передней стенке выберите образец диода (p-n перехода), характеристики
которого будут исследоваться, например №1 (КД 521).
Устанавливая с помощью кнопок "+" и "-" необходимые значения напряжения
на p-n переходе и считывая при этом с индикатора мА, мкА, пФ значения прямого
тока через переход (размерность при этом индицируется светодиодами индикатора,
знак тока не индицируется), подготовьте данные для построения прямой ветви
вольт-амперной характеристики. По окончании измерений нажмите кнопку СБРОС.
Примечание: При достижении значения тока 10 мА следует прекратить
измерения, так как при этой величине (она является максимальной) источник
питания p-n перехода переходит в режим ограничения тока.
Нажмите кнопку ПРЯМАЯ-ОБРАТНАЯ для включения режима подготовки
данных для построения обратной ветви вольт-амперной характеристики. При этом
погаснет индикатор ПРЯМАЯ и будет светиться индикатор ОБРАТНАЯ.
Считывая с индикатора мА, мкА, пФ значения обратного тока через переход,
подготовьте
данные
для
построения
обратной
ветви
вольт-амперной
характеристики. По окончании измерений нажмите кнопку СБРОС.
Примечание: При достижении значения напряжения -30 В следует
прекратить измерения, так как при этой величине (она является максимальной)
источник питания p-n перехода переходит в режим ограничения.
Нажмите кнопку ВАХ-ВФХ для включения режима подготовки данных для
построения вольт-фарадной характеристики. При этом погаснет индикатор ВАХ и
будет светиться индикатор ВФХ.
Устанавливая с помощью кнопок "+" и "-" необходимые значения напряжения
на p-n переходе и считывая при этом с индикатора пФ значения емкости перехода,
подготовьте данные для построения вольт-фарадной характеристики. По окончании
измерений нажмите кнопку СБРОС.
80
Нажмите кнопку ВАХ-ВФХ и ПРЯМАЯ-ОБРАТНАЯ для режима подготовки
данных для построения прямой ветви вольт-амперной характеристики. При этом
должны засветиться индикаторы ВАХ и ПРЯМАЯ.
В объекте исследования переключателем образцов на его передней стенке
выберите следующие образцы диодов (p-n перехода), характеристики которых будут
исследоваться, и повторите указанные выше действия настоящей инструкции с
целью подготовки данных для построения характеристик оставшихся двух образцов.
По
окончании
работе
необходимо
отключить
питание
установки
выключателем СЕТЬ (на задней панели устройства измерительного), отключить
сетевую вилку устройства от питающей сети, отсоединить объект исследования от
устройства измерительного.
Режим работы установки прерывистый – через каждые 2 часа работы делается
перерыв на 10-15 минут.
ЗАДАНИЕ. 1. По полученным данным постройте прямую и обратную ВАХ и ВФХ
для исследуемых диодов во всем предельном диапазоне изменения напряжения
источника питания. Шаг изменения напряжения выбирается исходя из дискретности
изменения тока через p-n переход.
2. Из полученных графических характеристик p-n переходов оцените: напряжение
открытия диода, напряжение пробоя, ток насыщения.
3. Постройте зависимость f(U)=1/C2. По точке пересечения графика с осью абсцисс
определите контактную разность потенциалов Uk. Оцените ширину запорного слоя.
4. ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОТЧЕТА
Название образца исследуемого диода
Прямая ВАХ
№
U, В
Iпр, мА
Обратная ВАХ
U, В
Iобр, мА
ВФХ
U, В
С, пФ
1..4
Название образца исследуемого диода
Прямая ВАХ
Обратная ВАХ
81
ВФХ
№
U, В
Iпр, мА
U, В
Iобр, мА
U, В
С, пФ
1…4
5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Термоэлектронная эмиссия. Уравнение Ричардсона.
2. Смысл дебаевой длины экранирования. Поверхностный обогащенный слой.
Толщина поверхностного слоя.
3. Искривление уровней энергии и зоны в полупроводниках во внешнем поле.
Эффект поля.
4. Обогащенный и инверсионный слои в полупроводнике. Физический "p-n"
переход.
5. Потенциальное поле, заряд и концентрация в полупроводнике во внешнем поле.
6. Работа выхода в металлах и в полупроводниках.
7. Контакт металл-металл, металл-полупроводник.
8. Контактная разность потенциалов. Перенос носителей заряда. Выравнивание
термодинамических потенциалов. Связь работы выхода и контактной разности
потенциалов.
9. Электронно-дырочный переход в неоднородном полупроводнике.
10. Дрейфовый и диффузионный ток через p-n переход. Выпрямление.
11. Вольт-амперная и вольт-фарадная характеристики p-n перехода.
6. ЛИТЕРАТУРА
5. Киреев П.С. Физика полупроводников. – М.: Высшая школа, 1985.
6. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Т. Физика полупроводников. –М.: Наука, 1977.
7. Шалимова К.В. Физика полупроводников. – М.: Энергоатомиздат, 1985.
8. Орешкин П.Т. Физика полупроводников и диэлектриков. – М.: Высшая школа,
1977.
5. Ансельм А.И. Введение в физику полупроводников. –М.: Физматгиз, 1962.
6. Миддлбрук Р.Д. Введение в теорию транзисторов. – М.: Атомиздат, 1960.
7. Пикус Г.Е. Основы теории полупроводниковых приборов. –М.: Наука, 1965.
82
Л. В. Колесников, А.Л. Юдин. Методические указания к лабораторному
практикуму «Исследование температурной зависимости проводимости металлов и
полупроводников». - Кемерово: Кемеровский госуниверситет, 2003 г.
Практикум является основным для специализации “Физика твердого тела”,
при изучении которого студенты знакомятся с основными характеристиками
кристаллов, типами связи в твердых телах. В рамках зонной модели кристаллов
вводятся основные понятия физики полупроводников, такие как: проводимость и
подвижность
носителей
заряда;
выясняется
зависимость
концентрации
и
подвижности носителей заряда от внешних условий и, в первую очередь, от
температуры. Усвоение изложенного материала позволяет далее перейти к
рассмотрению конкретных методов исследования твердых тел.
Также изложены принцип работы экспериментальной установки и порядок
выполнения лабораторной работы.
Указания
предназначены
подготовлены
для
студентов
на
кафедре
физического
экспериментальной
факультета,
физике
обучающихся
и
по
специализации "Физическое материаловедение".
 кафедра экспериментальной физики Кемеровского государственного
университета, 2003
Редактор О.С. Григорьева
Подписано к печати 10.03.99. Формат 60х841/16.
Печать офсетная. Бумага типографская. Печ.л. 2,6. Уч-изд.л. .
Тираж 100 экз. Заказ №.
Кемеровский государственный университет.
50043 Кемерово, ул.Красная, 6.
83
Издательство «Кузбассвузиздат». 650043 Кемерово, ул. Ермака, 7.
Тел. 23-34-48
84