«Утверждаю» Председатель Ученого совета математико- механического факультета СПбГУ, декан математико-механического факультета СПбГУ

«Утверждаю»
Председатель Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, декан
математико-механического факультета СПбГУ
профессор Леонов Г.А. ________________
«10_» мая___2012 г.
Программа вступительного экзамена
по специальности научных работников
01.02.04 – Механика деформируемого твердого тела
«Механика разрушения, динамика и реология»
Утверждена на заседании Ученого совета математикомеханического факультета СПбГУ, протокол № 5 от 10.05.2012г.
Санкт-Петербург
2012
1
Специализация «Теория упругости»
Теория упругости.
1. Теория напряженного и деформируемого состояний. Тензоры деформации
Грина и Альманси, тензоры напряжений Коши, Пиолы и Кирхгоффа. Малые
деформации и малые вращения. Обоснование линеаризации тензоров
деформаций.
2. Потенциальная энергия деформации упругого тела. Закон Гука для
изотропного и анизотропного тела. Тензор упругих постоянных. Полная
система уравнений теории упругости в напряжениях. Уравнения БельтрамиМитчела. Уравнения в перемещениях. Постановка задач теории упругости.
Теоремы существования и единственности.
3. Вариационные принципы теории упругости. Принцип Лагранжа. Теорема
Клапейрона. Теорема Бетти. Принцип Кастильяно. Вариационные методы
решения задач теории упругости. Метод Ритца. Метод Бубнова-Галеркина.
4. Плоская деформация и плоское напряженное состояние. Функция
напряжений. Дифференциальные уравнения и краевые условия для функции
напряжений. Теорема Мориса Леви. Методы решения плоских задач.
Применение теории функции комплексного переменного. Формулы
Колосова-Мусхелишвили. Применение интегралов типа Коши. Методы
решения краевых задач для комплексных потенциалов. Действие штампа на
полуплоскость, плоскость с отверстием и разрезом.
5. Допущения классической теории тонких упругих оболочек. Деформация
срединной поверхности. Внутренние усилия и моменты. Соотношения
упругости. Потенциальная энергия деформации. Полная система уравнений
теории оболочек. Безмоментная теория. Краевые эффекты в оболочках.
6. Температурные задачи теории упругости. Основные
термоупругости. Методы решения задач термоупругости.
уравнения
7. Динамические задачи теории упругости. Распространение волн в
неограниченной упругой среде. Продольные и поперечные волны.
Поверхностные волны Рэлея. Волны Лява. Сферические волны.
Собственные частоты упругих тел. Формула Рэлея.
Теория пластичности.
1. Модели упруго-пластического тела. Постулаты теории пластичности.
Деформационная теория. Теория пластического течения. Методы решения
задач теории пластичности с упрочнением и идеальная пластичность.
Разгрузка. Остаточные напряжения. Условия на границе упругой и
пластической областей. Задача о кручении, о нагружении внутренним
давлением цилиндра и полой сферы.
2
2. Модель жестко-пластического тела. Вариационные принципы для
предельного состояния. Определение верхней и нижней границ для
предельной нагрузки.
3. Плоская задача теория пластичности. Уравнения плоской задачи.
Характеристики и линии скольжения. Случай плоской деформации и
плоского напряженного состояния. Задача о штампе и полосе с вытачками.
Теория ползучести и вязкоупругости.
1. Понятие о ползучести и релаксации. Определяющие соотношения теории
ползучести. Ползучесть в случае сложного напряженного состояния
изотропного тела. Теория старения, теория течения и теория упрочнения.
Постановка задач теории ползучести. Вариационные принципы.
Установившаяся ползучесть при чистом изгибе. Ползучесть вращающихся
дисков.
2. Теория линейной вязкоупругости. Использование механических моделей.
Спектры времен релаксации и последействия. Дифференциальная и
интегральная форма соотношений между напряжениями и деформациями.
Различные типы ядер в интегральных соотношениях. Принцип
температурно-временного соответствия. Постановка и методы решения
задач теории вязкоупругости. Принцип Вольтерра. Применение
преобразования Лапласа. Понятие о нелинейных моделях наследственных
сред.
Механика разрушения.
1. Квазихрупкое и вязкое разрушение. Феноменологические теории прочности.
Линейная механика квазихрупкого разрушения. Напряжения вблизи трещин
в упругом теле. Энергетический и силовой подходы в механике разрушения.
2. Условия разрушения тел с трещинами. Устойчивая и неустойчивая трещина.
Критический коэффициент интенсивности напряжений. Инвариантные
интегралы. Учет пластической деформации в конце трещины.
Характеристики раскрытия трещины.
3. Применение механики разрушения к задачам усталостного разрушения.
Теория накопления повреждений. Разрушение в условиях ползучести.
3
Литература:
1. А.А.Ильюшин. Пластичность. М.: Наука, 1948.
2. Г.И.Марчук. Методы вычислительной математики. М., 1977.
3. Е.М.Морозов, В.З.Партон. Механика упруго-пластического разрушения.
2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, Гл. ред. физ-мат. литературы, 1985. 504 с.
4. Н.И.Мусхелишвили. Некоторые основные задачи математической теории
5. упругости. М.: Наука, 1966.
6. В.Новацкий. Теория упругости. М.: Мир, 1975.
7. В.В.Новожилов. Теория тонких оболочек.Л.:Судостроение,1962.
8. В.В.Новожилов. Теория упругости. Л., 1958.
9. Ю.Н.Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М.,1979
10. Л.М.Качанов. Основы теории пластичности. М., 1969
11. Л.М.Качанов. Основы механики разрушения. М., 1974
12. Л.М.Качанов. Теория ползучести. М., ГИФЛМ., 1969
13. А.И.Кошелев, М.А.Нарбут. Механика деформируемого твердого тела.
СПб: Изд-во СПбГУ, 2003.
14. V. Bratov, N. Morozov, Y. Petrov. Dynamic Strength of Continuum. 2009,
St.-Petersburg University Press, 289 pp.
15. Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров, В.И.Смирнов. Предельное равновесие
хрупких тел с концентраторами напряжений: структурный подход.
Учебное пособие. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011, – 80с.
16. Тимошенко С.П., Гере Дж. Механика материалов. СПб.: Лань,2002.
17. Потапова Л.Б., Ярцев В.П. Механика материалов при сложном
напряженном состоянии. Как прогнозируют предельные напряжения?
М.: Изд-во Машиностроение-1, 2005. – 244 с.
18. Fu Y.B., Ogden R.W. (Eds.). Nonlinear Elasticity: Theory and Applications.
CUP, 2001. – 535 pp. OCR. – (London Mathematical Society Lecture Note
Series.283).
19. Zehnder A.T. Fracture Mechanics. Lecture Notes in Applied and
Computational Mechanics. Volume 62. Series Editors Friedrich Pfeiffer, Peter
WriggersSpringer, 2012. – 234 p.
20. Vasiliev V.V., Morozov E. Advanced Mechanics of Composite Materials.
Elsevier, 2nd edition, 2007, – 504 pages
21. Bertram A. Elasticity and Plasticity of Large Deformations: An Introduction.
Springer-Verlag Berlin, 3rd edition, 2012, – 345 pages
Специализация «Физическая механика»
Теория упругости
1. Подход Эйлера и Лагранжа к исследованию задач механики сплошных
сред. Тензоры деформации Грина и Альманси. Линеаризация
соотношений деформации-перемещения в случае малых деформаций и
поворотов. Условия совместности Сен-Венана.
4
2. Тензор напряжений (Коши). Дифференциальные уравнения равновесия.
Главные напряжения и главные направления. Инварианты тензора
напряжений. Тензоры напряжений Пиолы и Кирхгоффа.
3. Потенциальная энергия деформации упругого тела. Закон Гука.
Основные граничные задачи статики изотропного упругого тела.
Уравнения в перемещениях. Постановка задач теории упругости в
напряжениях.
4. Плоская задача теории упругости. Функция напряжений Эри. Формулы
Колосова-Мусхелишвили. Теорема Мориса Леви. Растяжение пластинки,
ослабленной круговым отверстием. Действие сосредоточенной силы на
полуплоскость.
5. Задача Сен-Венана. Растяжение бруса продольной силой. Кручение
цилиндрического бруса. Изгиб бруса моментом.
6. Пространственные и осесимметричные задачи. Сосредоточенная сила в
изотропной неограниченной упругой среде. Задача Буссинеска о силе,
приложенной на границе упругого полу пространства. Контактная задача
Герца.
7. Температурные
напряжения.
Уравнения
Дюамеля-Неймана.
Термоупругий потенциал перемещений.
8. Изгиб пластин. Гипотезы Кирхгоффа. Уравнение С.Жермен.
9. Динамические задачи теории упругости. Продольные и поперечные
волны. Поверхностные волны Рэлея. Продольные и поперечные
колебания упругого стержня. Энергетический метод определения
собственных частот колебаний.
10. Устойчивость равновесия упругих систем. Критические нагрузки.
Формула Эйлера для критической нагрузки сжатого стержня.
11. Решение задач теории упругости на ЭВМ. Метод конечных элементов.
Теория пластичности и ползучести
12. Условия текучести и упрочнения. Теория пластического течения.
Деформационная теория пластичности.
13. Упруго-пластическая задача о деформации цилиндрической трубы,
нагруженной внутренним давлением. Полый шар под действием
внутреннего давления. Предельные нагрузки.
14. Плоская деформация в случае идеальной пластичности. Линии
скольжения, их свойства. Основные краевые задачи и численные методы
их решения. Вдавливание плоского штампа.
15. Определяющие соотношения ползучести. Теория течения.
Установившаяся ползучесть при чистом изгибе бруса.
Механика разрушения
16. Хрупкие и вязкие разрушения. Критерии разрушения изотропных
материалов.
17. Напряжения вблизи трещины в упругом теле. Коэффициенты
интенсивности. Энергетический и силовой подход в механике
разрушения. Учет пластической деформации у вершины трещины.
18. Разрушение в условиях ползучести. Время вязкого разрушения
растягиваемого стержня. Схемы накопления повреждений при
квазихрупком разрушении. Разрушение при циклических нагрузках.
19. Применение метода конечных элементов в механике разрушения.
5
20. Принципы построения гибких моделей динамических процессов.
21. Описание переходных процессов в рамках самосогласованной
нелокально-гидродинамической теории переноса.
Литература
1. В.В. Новожилов. Теория упругости. – Л.: Судпроигиз, 1958. – 372 с.
2. Ю.Н. Работнов. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука,
1988. – 712 с.
3. Е.М. Морозов, Г.П. Никишков. Метод конечных элементов в механике
разрушения. – М.: URSS, 2010. – 256 с.
4. Н.Ф. Морозов, Ю.В. Петров. Проблемы динамики разрушения твердых
тел. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 1997. – 132 с.
5. Г.И. Марчук. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1977. –
456 с.
6. А.И. Кошелев, М.А. Нарбут. Лекции по механики деформируемого
твердого тела. – СПб.: Изд-во СПбГУ, 2003. – 276 с.
7. Б.В. Филиппов, Т.А. Хантулева. Граничные задачи нелокальной
гидродинамики. – Л:., Изд-во Ленингр. ун-та, 1984. – 82 с.
8. В.А. Морозов. Динамика высокоскоростного нагружения материалов. –
СПб.: Изд-во. С.-Петербургского ун-та, 2003. – 112 с.
9. А.М. Кривцов Деформирование и разрушение твёрдых тел с
микроструктурой. – М.: Физматлит, 2007. – 304 с.
10. В.А. Морозов. Динамика высокоскоростного нагружения материалов.
Изд-во. С.-Петербургского ун-та, 2003.
Специализация «Теория оболочек»
Теория упругости
1. Подходы Эйлера и Лагранжа к исследованию задач механики
сплошных сред. Тензоры деформации Грина и Альманси. Линеаризация
соотношений деформации-перемещения в случае малых деформаций и
поворотов. Условия совместности Сен-Венана.
2. Тензор напряжений (Коши). Дифференциальные уравнения
равновесия. Главные напряжения и главные направления. Инварианты
тензора напряжений. Тензоры напряжений Пиолы и Кирхгофа.
3. Потенциальная энергия деформации упругого тела. Закон Гука.
Основные граничные задачи статики изотропного упругого тела.
Уравнения в перемещениях. Постановка задач теории упругости в
напряжениях.
4. Плоская задачи теории упругости. Функция напряжений Эри.
Формулы Колосова-Мусхелишвили. Растяжение пластинки, ослабленной
круговым
отверстием.
Действие
сосредоточенной
силы
на
полуплоскость.
5. Задача Сен-Венана. Растяжение бруса продольной силой. Кручение
цилиндрического бруса. Изгиб бруса моментом.
6. Изгиб пластин. Гипотезы Кирхгофа. Уравнение Софи Жермен.
7. Динамические задачи теории упругости. Продольные и поперечные
волны. Поверхностные волны Релея. Продольные и поперечные
6
колебания упругого стержня. Энергетический метод определения
собственных частот колебаний.
8. Устойчивость равновесия упругих систем. Критические нагрузки.
Формула Эйлера для критической нагрузки сжатого стержня.
9. Решение задач теории упругости на ЭВМ. Метод конечных элементов.
Асимптотические методы.
10. Асимптотические ряды и их свойства. Алгебраические уравнения с
малым параметром. Диаграмма Ньютона.
11. Асимптотические оценки интегралов. Метод Лапласа. Метод
стационарной фазы. Метод перевала.
12. Интегралы линейного уравнения с малым параметром при
производных. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с
малым параметром при производных.
13. Неоднородные краевые задачи. Регулярное вырождение.
Асимптотика решений краевых задач на собственные значения.
14. Асимптотические свойства функции Эри. Асимптотическое
интегрирование уравнения второго порядка при наличии точек поворота.
Теория тонких упругих оболочек.
15. Основные уравнения теории тонких оболочек. Классификация видов
колебаний оболочки. Задачи устойчивости оболочек вращения.
16.
Уравнения
осесимметричных
колебаний
оболочки.
Неосесимметричные колебания оболочки. Низкочастотные колебания
оболочек вращения.
17. Локализованные собственные функции. Локальные формы потери
устойчивости и колебаний оболочки. Локализация решений вблизи края
пластины и оболочки.
18. Асимптотическое интегрирование нелинейных дифференциальных
уравнений. Задача Коши. Вырождение краевых задач.
19. Ветвление решений нелинейных уравнений. Метод ЛяпуноваШмидта. Нелинейные задачи устойчивости оболочек. Метод Ритца.
Литература.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
А. Л. Смирнова и П.Е. Товстика), СПбГУ, 2003.
В.В.Новожилов. Теория упругости. Л., 1958.
Ю.Н.Работнов. Механика деформируемого твердого тела. М., 1988.
А.И. Кошелев, М.А. Нарбут, Лекции по механике деформируемого
твердого тела. СПб.: СПбГУ, 2003.
Г.И.Марчук. Методы вычислительной математики. М., 1977.
Т. Атанацкович, А.Гуран, Лекции по теории упругости (под
редакцией А. Л. Смирнова и П.Е. Товстика), СПбГУ, 2003.
П.Е.Товстик, С.М.Бауэр, А.Л.Смирнов, С.Б.Филиппов. Асимптотические
методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: СПбГУ. 1995.
С.М.Бауэр, А.Л.Смирнов, П.Е.Товстик, С.Б.Филиппов.
Асимптотические методы в механике твердого тела. М.-Ижевск: РХД. 2007.
Гольденвейзер А.Л., Лидский В.Б., Товстик П.Е. Свободные
7
колебания тонких упругих оболочек. М: Наука 1979.
10. Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек. Асимптотические
методы. Физматлит, Наука, 1995.
8