Functions of several variables - (МИИГАиК)

Кафедра высшей математики
МГУГиК
Экзаменационные задачи для студентов второго курса ГФ заочно-дистанционной формы
обучения.
Тема 1. Функции нескольких переменных.
1. Найти частные производные второго порядка
y
2 z 2 z  2 z
,
функции
.
z

arccos
2
x
x 2 y xy
2 z 2 z  2 z
2
2. Найти частные производные второго порядка
, 2
функции z  ln x  4 y .
2
x y xy
3. Найти частные производные второго порядка
y
2 z 2 z  2 z
,
функции
.
z

arctg
2
x
x 2 y xy
4. Найти градиент функции u ( x, y, z )  x y  x ln( z  2) в точке M (1,2,3) и
3
2
производную функции в этой же точке в направлении вектора MN , где N (0,4,1) .
5. Найти градиент функции u ( x, y, z )  x y  x( z  2) в точке M (1,2,1) и
2
4
2
производную функции в этой же точке в направлении в направлении вектора MN , где
N (1,2,3) .
6. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности,
заданной в неявном виде x y  4 xyz  y z  x  3  0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где
3
2
x0  1, y0  4 .
7. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности,
заданной в неявном виде yz  x  2 xz  1  0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где
2
x0  3, y0  2 .
8. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности,
заданной в неявном виде xyz  x  y z  y  1  0 в точке M ( x0 , y0 , z 0 ) , где
2
2
3
x0  1, y0  2 .
9. Исследовать функцию z  x  2 xy  y  6 x  10 y  1 на экстремум.
2
2
10. Исследовать функцию z  3x  5 xy  3 y  x  y  5 на экстремум.
2
2
11. Исследовать функцию z  4  5 x  4 xy  y  4 x  2 y на экстремум.
2
2
12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x  y  6 x  4 y  2 в
2
2
прямоугольнике 0  x  4,3  y  2.
13. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x  xy  3x  y в
2
прямоугольнике 0  x  2,0  y  3.
14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z  x  y  2 xy  2 x  2 y  3 в
2
треугольнике, ограниченном прямыми y  0, x  2, y  x  2.
2
Тема 2. Двойные интегралы.
1. Вычислить
 (4 x  y ) , если область D определена неравенствами
x 2  y 2  9. y  3  x .
D
2. Вычислить
 (3x  2 y ) , если область D определена неравенствами
x 2  y 2  16. y  4  x .
D
3. Переходя к полярным координатам, вычислить

sin x 2  y 2
x2  y2
D
D ограничена линиями x 2  y 2 
2
16
dxdy , если область
.x 2  y 2   2 .
4. Переходя к полярным координатам, вычислить

x 2  y 2 dxdy , если область D ограничена
D
линиями x  y  16, x  y  64. .
2
2
2
2
5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  2 y  2 x  1  0, y  2 x  2.
2
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r  2, r  4, 

, 
3
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями r  cos , r  sin .

6
.
8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x  y  9, z  0, z  xy.
2
2
9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x  y  4, z  3x, z  0.
2
10. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
z  1  x  y, x  y  1, y  0, z  0, z  0.
2