Рабочая учебная программа по дисциплине «Математическая логика»

Рабочая учебная программа по дисциплине
«Математическая логика»
ГОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет»
Екатеринбург, 2007. – 9 с.
Составитель:
Ильиных А.П., зав. кафедрой алгебры и теории чисел.
Рабочая учебная программа обсуждена на заседании кафедры алгебры и
теории чисел УрГПУ
Протокол от 07.04.2006 № 8
И.о. зав. кафедрой
С.С. Коробков
1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Современная математика может быть представлена как наука об
абстрактных
объектах таких, как вещественные числа, функции,
поверхности, алгебраические системы и т.д. Математическая
логика
рассматривает новое направление в этой науке, сосредоточивая внимание на
языке, используемом в математике, на способах определения абстрактных
объектов и на законах логики, которыми мы руководствуемся, когда
рассуждаем об этих объектах. Логики предприняли это изучение с надеждой
понять природу математического опыта и в конечном счете внести вклад в
математику как важными результатами, возникающими в самой логике
(теорема Гёделя о неполноте является наиболее известным примером), так и
их приложениями к другим разделам математики.
Курс математической логики для студентов математических
специальностей педагогических вузов имеет своей целью изложить основы
этой науки, познакомить студентов с формализованным аксиоматическим
методом построения математических теорий, охватывающим также и
логические средства; его основными составными
частями:
языком,
аксиомами, правилами вывода; проблемами непротиворечивости, полноты,
разрешимости теорий.
Изучение математической логики, безусловно, будет способствовать
более ясному представлению об общей структуре математических теорий, о
математике в целом, а значит, и о школьной математике. Курс
математической логики имеет разнообразные межпредметные связи с
алгеброй и теорией чисел, геометрией, математическим анализом. Настоящая
программа предусматривает также существенную связь его с курсом
информатики. Это касается
изучения языка первого порядка и
формализованного построения математических теорий. Исчисление
высказываний может быть изложено на основе книги Д.Шенфилда
“Математическая логика”.
На практических занятиях студенты решают задачи по разделам «Логика
высказываний», «Исчисление высказываний», «Логика предикатов», «Теории
1-го порядка», «Модели теорий». Они должны овладеть техникой логических
преобразований, особенно обращению с кванторами, научиться доказывать
выводимость формулы счисления высказываний с использованием правил
вывода. По курсу математической логики предусматривается проведение
двух контрольных работ.
2. УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
2.1. Учебно-тематический план очной формы обучения
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование раздела, темы
Всего
трудоем
кость
Аксиоматический метод в
математике
Алгебра высказываний.
Нормальные формы
Исчисление высказываний
Предикаты и кванторы
Теории 1-го порядка
Модель теории 1-го порядка
Теорема полноты К.Геделя
Теорема Геделя о неполноте
Итого:
8
32
24
16
16
10
10
10
126
Аудиторные занятия
Всег Лек Практ
о
ции
ическ
ие
Самостоятельн
ая работа
4
2
2
4
16
8
8
16
12
8
8
4
4
4
60
6
4
4
2
2
2
30
6
4
4
2
2
2
30
12
8
8
6
6
6
66
2.2 Учебно-тематический план заочной формы обучения
2
№
п/п
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Наименование раздела, темы
Всего
трудоем
кость
Аксиоматический метод в
математике
Алгебра высказываний.
Нормальные формы
Исчисление высказываний
Предикаты и кванторы
Теории 1-го порядка
Модель теории 1-го порядка
Теорема полноты К.Геделя
Теорема Геделя о неполноте
Итого:
11
22
16
16
16
16
16
13
126
Аудиторные занятия
Всег Лек Практ
о
ции
ическ
ие
Самостоятельн
ая работа
1
1
10
2
1
1
20
2
2
2
2
2
1
14
1
1
1
1
1
1
8
1
1
1
1
1
14
14
14
14
14
12
112
6
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Аксиоматический метод в математике
Аксиоматический метод в математике. Математическая логика и
формализация математических теорий. Применение математической логики
в других областях знаний.
2. Алгебра высказываний. Нормальные формы
Алгебра высказываний. Операции над высказываниями и их свойства.
Истинностные значения формул. Тавтологии - законы логики высказываний.
Равносильность и преобразования формул. Нормальные формы.
Представление истинностных функций формулами. Применение алгебры
высказываний к переключательным схемам.
3. Исчисление высказываний
Принципы построения исчислений высказываний (гильбертовского и
генценовского типа). Классическое и конструктивное (Интуиционистское)
исчисления. Аксиомы, правила вывода. Доказуемость формул. Выводимость
из гипотез. Производные правила. Теорема дедукции. Характеристики
исчислений высказываний – непротиворечивость, полнота, разрешимость и
связанные сними теоремы. Независимость аксиом, правила вывода. Законы
исключенного третьего и снятия двойного отрицания – законы классической
логики. Эффективные и неэффективные доказательства.
4. Предикаты и кванторы
Понятие предиката. Формулы логики предикатов. Истинностные значения
формул. Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул.
Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение
языка логики предикатов для записи математических предложений,
определений, построение отрицаний предложений.
5. Теории 1-го порядка
Языки 1-го порядка: переменные, логические и нелогические символы,
3
термы и формулы. Однозначность построения термов и формул, часть
формулы. Cвободные и связанные вхождения переменных. Операция
подстановки терма в формулу и ее допустимость. Логические и нелогические
аксиомы, правила вывода. Теоремы и доказательства в теории 1-го порядка
6. Модели теории 1-го порядка
Структуры для языка 1-го порядка. Истинность формулы в структуре для
языка 1-го порядка. Теорема истинности. Модель теории.
7. Теорема полноты К. Геделя
Истинность формулы в теории. Две формы теоремы полноты К.Геделя.
Изоморфизм моделей. Категоричность теории.
8. Теорема Геделя о неполноте
Формализация математических теорий.
Примеры формализации математических теорий: теория групп, теория N,
теория множеств. Проблема непротиворечивости в математике. Программа
Гильберта. Метод формализации. Конструктивное направление в
математике.
4. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА И ОРГАНИЗАЦИЯ
КОНТРОЛЬНО-ОЦЕНОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
4.1. Темы, вынесенные на самостоятельное изучение
Формулы
логики
предикатов
Истинностные
значения
формул.
Равносильность. Общезначимость и выполнимость формул. Проблема
разрешения для общезначимости и выполнимости. Применение языка логики
предикатов для записи математических
предложений, определений,
построение отрицаний предложений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
4.2. Примерные темы курсовых работ
Аксиоматический метод в математике.
Решение логических задач.
Математическая логика и формализация математических теорий.
Некоторые применения математической логики.
Теория формальных систем.
Теории 1-го порядка. Формализация математических теорий.
Теорема Геделя о неполноте.
4.3. Вопросы для экзамена
1. Аксиоматический метод в математике и формализация математических
теорий.
2. Алгебра высказываний.
4
3. Конъюнктивная и дизъюнктивная нормальные формы.
4. Построение исчисления высказываний в виде формальной системы.
5. Свойства выводимых формул.
6. Совпадение классов выводимых и тождественно истинных формул.
7. Функции и предикаты.
8. Формализация математических теорий на языке первого порядка.
9. Аксиомы и правила вывода теории первого порядка.
10.Модель теории первого порядка.
11.Теорема о полноте.
12.Алгоритмы и машина Тьюринга.
13.Теорема Геделя о неполноте.
5. ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ОСВОЕНИЯ СОДЕРЖАНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ
Студент, изучивший дисциплину, должен знать:
– о применениях математической логики в вопросах обоснования
математики;
– формализованный аксиоматический метод построения математических
теорий, его основные составные части;
– проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий;
алгебру высказываний и нормальные формы;
– применение алгебры высказываний;
– изложение исчисления высказываний в виде формальной теории;
предикаты и кванторы;
– проблему разрешения для общезначимости и выполнимости;
– теории 1-го порядка, язык теории, теоремы и доказательства,
модель теории, изоморфизм моделей, категоричность теории; теорему К.
Геделя о полноте;
– алгоритмы, рекурсивные функции и их связь с аксиоматическим
методом; теорему Геделя о неполноте.
Студент, изучивший дисциплину, должен уметь:
– записывать математические утверждения с использованием логической
символики;
– преобразовывать формулы, в частности, формулы с кванторами и
предикатами;
– вычислять нормальные формы;
– применять алгебру высказываний;
– доказывать выводимость формулы исчисления высказываний;
записывать математические утверждения на языке 1-го порядка;
– строить модели теории;
– проверять непротиворечивость, независимость системы аксиом.
5
6. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ
ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
6.1.Рекомендуемая литература
Основная
1. Ершов, Ю.Л. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для вузов /
Ю.Л. Ершов, Е.А. Палютин. – 4-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2005. – 336 с.
2. Игошин, В.И. Задачник-практикум по математической логике [Текст]:
учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов / В.И.
Игошин. – Подольск: Академия, 2005. – 156 с.
3. Ильиных, А.П. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие / Урал. гос.
пед. ун-т. – Екатеринбург: УрГПУ, 2002. – 76 с.
4. Лавров, И.А. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов [Текст] / И.А. Лавров, Л.Л. Максимова. – М.: Наука, 1995. –
240 с.
5. Мендельсон, Э. Введение в математическую логику [Текст] / Э.
Мендельсон. – М.: Наука, 1976. – 287 с.
6. Новиков, П.С. Элементы математической логики [Текст] / П.С. Новиков. –
М.: Наука, 1973. – 399 с.
7. Шенфилд, Д.Р. Математическая логика [Текст] / Д.Р. Шенфилд. – М.:
Наука, 1975. – 527 с.
Дополнительная
1. Гжегорчик, А. Популярная логика [Текст] / А. Гжегорчик. – М.: Наука,
1979. –
2. Гладкий, А.В. Математическая логика [Текст] / А.В. Гладкий. – М.: Рос.
гос. гум. ун-т, 1998. – 479 с.
3. Градштейн, И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики
[Текст] / И.С. Градштейн. – М.: Наука, 1972. – 128 с.
4. Клини, С.К. Математическая логика [Текст] / С.К. Клини. – М.: Мир, 1973.
480 с.
5. Колмогоров, А.Н. Математическая логика: Доп. гл. [Текст]: учеб. пособие
для вузов по спец. «Математика» / А.Н. Колмогоров, А.Г. Драгалин. – М.:
Изд-во Моск. ун-та, 1984. – 119 с.
6. Лихтарников, Л.М. Математическая логика [Текст]: курс лекций,
задачник-практикум и решения / Л.М. Лихтарников, Т.Г. Сукачева. –
СПб.: Лань, 1998. – 288 с.
7. Мадер, В.В. Школьнику об алгебре логики [Текст]: книга для
внеклассного чтения учащихся 10-11 кл. сред. школы / В.В. Мадер. – М.:
Просвещение, 1993. –
6
8. Математическая логика: для спец. «Математика» [Текст]: МГЗПИ; сост.
отв. ред. Ф.Л. Варпаховский. – М.,1991. –
9. Математическая логика [Текст]: учеб. пособие для мат. спец. пед. ин-тов;
под общ.ред. А.А.Столяра. – Минск.: Вышэйшая школа, 1991. – 269 с.
10.Основы математической логики [Текст]: метод. разраб. / В.Б. Репницкий;
Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск: СГПИ, 1987. – 122 с.
6.2. Информационное обеспечение дисциплины
Локальная сеть математического факультета УрГПУ, сайт кафедры
алгебры и теории чисел, «Информационная обучающая среда».
7. СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ ПРОГРАММЫ
Ильиных Анатолий Петрович, доктор физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой
алгебры и теории чисел
7