Программа курса лекций по математике

Утверждаю.
Председатель учёного совета СУНЦ НГУ
проф.
Яворский Н.И.
Программа курса лекций по математике
для учащихся 10-11 «Е» класса гимназии № 1
Лектор - д.ф.-м.н., доцент С.В.Судоплатов
Первый семестр, 2012/2013 учебный год
1. Краткий исторический обзор развития математики и математических идей. (2 часа)
2. Высказывания. Истинность и ложность высказываний. Логические связки.
Таблицы истинности. Формулы исчисления высказываний. Понятие предиката. Кванторы
всеобщности и существования. (4 часа)
3. Множество.
Подмножество.
Способы
задания
множеств.
Теоретикомножественные парадоксы. Основные операции над множествами (объединение,
пересечение, разность, дополнение, декартово произведение множеств) и их свойства.
Отношения. Примеры бинарных отношений. Рефлексивность, симметричность,
антисимметричность,
транзитивность.
Отношения
эквивалентности.
Классы
эквивалентности. Фактор-множество. Векторы и классы вычетов по модулю, как фактормножества. Отношения порядка. (4 часа)
4. Отображения множеств. Область определения, область значений, образ, прообраз,
график отображения. Виды отображений: наложение, вложение, разнозначность, взаимная
однозначность. Композиция отображений. Обратное отображение, условие обратимости.
Мощность множества, объединения и произведения двух множеств. Формула включений
и исключений. Счетные и континуальные множества. Континуум-гипотеза. (2 часа)
5. Числовые функции. Область определения, область значений, образ, прообраз,
график функции. Способы задания функций. Композиция, обратная функция, условие
обратимости. График обратной функции. График функции при преобразованиях переноса,
симметрии, растяжения. Чётные и нечётные функции, представление функции в виде
суммы чётной и нечётной функции. Монотонность и ограниченность. Выпуклость и
вогнутость. Локальный и глобальный экстремум. Асимптоты функций. Период и главный
период функции. Простейшие функциональные уравнения. (4 часа)
6. Комбинаторика. Принцип суммирования и принцип умножения. Количество слов
данной длины над алфавитом. Перестановки, размещения, перестановки с повторениями,
сочетания. Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты и их простейшие свойства.
Число подмножеств, число цепочек подмножеств, число разбиений. (2 часа)
7. Конструктивное и аксиоматическое построение системы натуральных чисел.
Аксиомы равенства, следования, индукции. Доказательство основных свойств операций
сложения и умножения натуральных чисел. Отношение порядка на множестве
натуральных чисел. Принцип и метод математической индукции. Полная индукция. (2
часа)
8. Целые числа как классы эквивалентности пар натуральных чисел. Построение
операций на множестве целых чисел. Свойства делимости. Доказательство существования
и единственности деления с остатком на ненулевое число. НОД и НОК целых чисел.
Алгоритм Евклида. Основная теорема арифметики. Простые числа. Доказательство
бесконечности множества простых чисел. Сравнение по модулю. Свойства сравнений.
Малая теорема Ферма. Признаки делимости. Позиционные системы счисления. (4 часа)
9. Рациональные числа как классы эквивалентности пар целых чисел. Операции над
рациональными числами и их корректность. Представление рациональных чисел в
различных позиционных системах счисления. (2 часа)
10. Определение иррационального числа (сечение Дедекинда). Множество
вещественных (действительных) чисел и их упорядочение. Представление вещественного
числа бесконечной десятичной дробью. Непрерывность множества вещественных чисел,
теорема Дедекинда. Границы числовых множеств. Арифметические действия над
вещественными числами. (2 часа)
Второй семестр, 2012/2013 учебный год
1. Числовые последовательности. Способы задания числовых последовательностей.
Пределы числовых последовательностей. Единственность предела. Ограниченность
сходящейся последовательности. Некоторые числовые последовательности. (4 часа)
2. Предельная точка множества. Два определения предела функции в точке, теорема
об их эквивалентности. Признак сходимости Больцано-Коши. Замечательные пределы.
Односторонние пределы. Теорема об эквивалентности существования предела функции и
существования односторонних ее пределов. Ограниченные функции. Достаточные
условия ограниченности функций в окрестности точки. (4 часа)
3. Бесконечно малые функции и их свойства. Теорема о связи предела функции с
пределом бесконечно малой. Теоремы о пределах суммы, разности, произведения и
частного функций. Теорема о двух милиционерах. Сравнение бесконечно малых.
Основные эквивалентности. Теорема об эквивалентных бесконечно малых. (4 часа)
4. Непрерывность функции в точке и на множестве. Классификация точек разрыва.
Теорема о сумме, разности, произведении и частном непрерывных функций. Теорема о
непрерывности сложной функции. Теорема об обращении непрерывной функции в нуль.
Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Теорема об ограниченности
непрерывной функции. Теорема о наименьшем и наибольшем значениях непрерывной
функции. Монотонные функции. Обратные функции. Теорема о существовании и
непрерывности обратной функции. (4 часа)
5. Определение производной. Физический и геометрический смысл производной.
Касательная к графику функции: определение и уравнение. Формула для приращения
функции. Непрерывность функции, имеющей производную. Производные основных
элементарных функций. Теорема о производной обратной функции. Алгебраические
правила вычисления производных. Производная сложной функции. (4 часа)
6. Дифференциал функции. Связь между дифференцируемостью и существованием
производной. Формулы и правила дифференцирования. Приближенные вычисления с
помощью дифференциалов. (2 часа)
7. Понятие экстремума. Теорема Ферма о производной в точке экстремума. Теорема
Ролля. Теорема Лагранжа. Теорема Коши. Правило Лопиталя-Бернулли. Раскрытие
неопределенностей с помощью правила Лопиталя-Бернулли. Достаточные условия
монотонности функции на интервале. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции. (4 часа)
8. Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Асимптоты. Исследование
функций и построение графиков. (2 часа)
9. Производные высших порядков. Формула Тейлора для многочленов. Формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано. Применения формулы
Тейлора. (2 часа)
Третий семестр, 2013/2014 учебный год
1. Первообразная и неопределенный интеграл. Определение первообразной. Таблица
неопределенных интегралов. Интегрирование заменой переменных. Интегрирование по
частям (2 часа).
2. Определенный интеграл. Интегральная сумма, интегрируемость. Понятие
равномерной непрерывности. Теорема Кантора о равномерной непрерывности. Сумма
Дарбу. Условие существования интеграла. Интегрируемость непрерывной функции на
отрезке. Интегрируемость ограниченной функции и монотонной функции. Свойства
определённых интегралов: интеграл по ориентированному промежутку; свойства,
выражаемые равенствами и неравенствами, теорема о среднем, обобщенная теорема о
среднем. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Связь интеграла и
первообразной. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям
в определенном интеграле (4 часа).
3. Приложения интегрального исчисления. Вычисление площадей под графиками в
декартовой и полярной системах координат. Объём тела вращения, объём произвольного
тела под графиком. Объём сферы, конуса. Принцип Кавальери. Длина кривой. Кривая на
плоскости, параметризация и спрямляемость. Спрямляемость гладкой кривой.
Вычисление длины гладкой кривой в декартовой и полярной системах координат.
Площадь поверхности вращения. Площадь произвольной поверхности (4 часа).
4. Понятие
обыкновенного
дифференциального
уравнения.
Решение
дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Уравнения с разделяющимися
переменными. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами второго и третьего порядков. Примеры решения некоторых линейных
неоднородных дифференциальных уравнений (4 часа).
5. Геометрическое векторное пространство. Геометрические векторы. Свободные и
приложенные векторы. Операции сложения, вычитания векторов и умножения вектора на
число. Линейная зависимость. Коллинеарность. Признак коллинеарности векторов.
Компланарность. Признак компланарности векторов. Базис в пространстве, на плоскости
и на прямой. Теорема о разложении вектора по базису. Координаты вектора. Координаты
суммы векторов и произведения вектора на число (4 часа).
6. Декартова система координат на плоскости. Прямоугольная декартова система
координат (ПДСК) на плоскости. Длина вектора и расстояние между точками. Правила
треугольника для сложения и вычитания векторов. Уравнение кривой, уравнение
окружности. Задача Аполлония. Скалярное произведение, эквивалентность двух
определений. Свойства скалярного произведения. Угол между векторами. Уравнение
прямой. Задание прямой в алгебраической, параметрической, векторной форме. Нормаль,
направляющий вектор. Уравнение в отрезках на осях. Расстояние от точки до прямой.
Проекция точки на прямую. Угол между прямыми. Определитель второго порядка,
вычисление площадей на плоскости. Определитель Грама системы двух векторов,
площади на плоскости (6 часов).
7. Декартова система координат в пространстве. ПДСК в пространстве. Уравнение
поверхности, уравнение сферы. Скалярное произведение. Векторное произведение.
Определитель
третьего
порядка.
Вычисление
векторного
произведения
в
ортонормированном базисе. Смешанное произведение векторов и объем параллелепипеда.
Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Уравнение
плоскости. Расстояние от точки до плоскости. Запись уравнения плоскости в виде
определителя. Задание прямой в пространстве. Расстояние от точки до прямой, расстояние
между прямыми. Угол между прямыми в пространстве. Определитель Грама системы из
трёх векторов, вычисление объемов. Уравнение конуса, пары пересекающихся и пары
параллельных прямых (6 часов).
Четвертый семестр, 2013/2014 учебный год
1. Понятие группы, примеры. Действие группы на множестве. Псевдоплоскости,
плоскости и проективные плоскости, примеры. Группы сторон и группы углов.
Тригонометрии и полигонометрии, примеры. Конечные и бесконечные полигонометрии,
критерий конечности. Полигонометрические множества, задание полигонометрий
полигонометрическими
множествами.
Изоморфизм
полигонометрий,
критерий
изоморфизма. Сферическая геометрия и тригонометрия. Сферические двуугольники и
треугольники. Теоремы синусов и косинусов для сферических треугольников. Решение
сферических треугольников. Площадь сферического треугольника. Сферические
координаты. Задачи геодезии и картографии. (6 часов)
2. Геометрические
преобразования,
примеры.
Группа
преобразований.
Ортогональные отображения и ортогональные преобразования. Механическое и
геометрическое движение. Общие свойства ортогональных отображений. Ориентация.
Ортогональные преобразования первого и второго рода, движения. Параллельный
перенос: определение и основные свойства. Центральная симметрия. Симметрия
относительно прямой. Симметрия относительно плоскости. Поворот вокруг прямой:
определение и основные свойства. Фигуры вращения. Осевая симметрия в пространстве.
Представление ортогональных преобразований в виде произведения основных
ортогональных преобразований: переноса, симметрии и поворота. Ортогональные
преобразования плоскости и пространства в координатах. Классификация движений.
Композиция отражений в плоскости. Движения первого рода как винтовые движения.
Движение второго рода, имеющее неподвижную точку, как зеркальный поворот.
Движения второго рода, не имеющие неподвижных точек, как скользящие отражения.
Группа симметрий. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера для выпуклых
многогранников. Правильные многогранники. Симметрия правильных многогранников.
(12 часов)
3. Подобные преобразования. Отображение подобия. Свойства подобных
преобразований. Гомотетия. Представление подобного преобразования в виде
произведения гомотетии на ортогональное преобразование. Подобные преобразования
плоскости и пространства в координатах. (4 часа)
4. Функции многих переменных. Функциональная зависимость между переменными,
примеры. Область определения функции двух переменных. Арифметическое n-мерное
пространство. Общее определение открытой и замкнутой областей. Функции n
переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность и разрывы
функций нескольких переменных. Операции над непрерывными функциями. Теорема об
обращении функции в нуль. Лемма Больцано-Вейерштрасса. Теорема об ограниченности
функции. Равномерная непрерывность. (6 часов)
5. Дифференцирование функций нескольких переменных. Частные производные.
Полное приращение функции. Производные от сложных функций. Полный
дифференциал. Производные высших порядков. Теорема о смешанных производных.
Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремумы функции нескольких
переменных, необходимые условия. Исследование стационарных точек. Наибольшее и
наименьшее значения функции. (4 часа)
6. Геометрические приложения дифференциального исчисления. Касательная к
кривой на плоскости и в пространстве. Касательная плоскость к поверхности и
нормальная прямая. Кривизна плоской кривой. Круг кривизны и радиус кривизны. (4 часа)
Лектор, д.ф.-м.н., доцент
С.В.Судоплатов