Прикладная математика

Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра математического анализа
Учебно-методический комплекс курса
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
Специальность 260901 «Технология швейных изделий»
Согласовано:
Рекомендовано кафедрой:
Учебно-методическая комиссия факультета
Протокол № ______
«____» __________________ 2010 г.
«____» ____________________ 2010 г.
________________________
Зав. кафедрой ______________
ПГПУ 2010
1
Автор-составитель: старший преподаватель Неволина О.А.
Учебно-методический комплекс дисциплины «Прикладная математика»
составлен в соответствии с Государственным образовательным стандартом
высшего профессионального образования по специальности 260901 –
«Технология швейных изделий».
Дисциплина входит в региональный компонент цикла общих математических и естественнонаучных дисциплин и является обязательной для изучения.
Согласовано:
декан физического факультета
Б.Г. Петров
Директор библиотеки ________________
2
СОДЕРЖАНИЕ
I. Рабочая программа дисциплины
1. Цели и задачи изучения дисциплины
2.Требования к уровню освоения содержания дисциплины
3. Объем дисциплины
4. Содержание дисциплины
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
II. Материалы, устанавливающие содержание и порядок проведения
4
4
4
4
5
9
12
промежуточных и итоговых аттестаций
3
I. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
1. Цели и задачи изучения дисциплины
Целью курса является формирование у студента представлений о численных методах решения задач на ЭВМ. Задачами курса являются:
 углубление математического образования и развитие практических
навыков в области прикладной математики;
 изучение элементов теории погрешностей и теории приближений;
 основных численных методов алгебры и математического анализа в
соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования.
Студенты должны быть готовы использовать полученные в этой области
знания при изучении смежных дисциплин и в профессиональной деятельности.
2. Требования к уровню освоения содержания курса
Студент, изучивший данный курс, должен:
знать: основы теории погрешностей и теории приближений, основные численные методы алгебры, методы построения интерполяционных многочленов, методы численного дифференцирования и интегрирования, методы численного
решения дифференциальных уравнений;
уметь: численно решать уравнения, применяя для этого следствия из теоремы
о сжимающих отображениях; использовать основные понятия теории среднеквадратичных приближений для построения элемента наилучшего приближения (в интегральном и дискретном вариантах);
владеть (приобрести опыт): интерполировать и оценивать возникающую погрешность; применять формулы численного дифференцирования и интегрирования; применять методы численного решения дифференциальных уравнений;
иметь представление: об основных понятиях численных методов, их классификациях, основах теории погрешностей и теории приближений.
3. Объем дисциплины
3.1. Объем дисциплины и виды учебной работы
Вид учебной работы
№ семестров
Аудиторные занятия:
Лекции
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Всего часов на дисциплину
Текущий контроль
Виды промежуточного контроля
Количество часов
Очная
4
38
16
22
52
90
Выполнение и защита лабораторных работ, опрос, решение задач
Зачет – 4
4
3.2 Распределение часов по темам и видам учебной работы
п/п
Учебная тема
1
2
Теория погрешностей.
Численные методы решения
нелинейных
уравнений.
Численные методы решения систем линейных уравнений.
Интерполирование
функций.
Численное дифференцирование.
Численное интегрирование.
Численные методы решения обыкновенных
дифференциальных
уравнений.
Численные методы решения уравнений в
частных производных.
Оптимизация функций.
Итого
3
4
5
6
7
8
9
Всего
часов
Аудиторные занятия, в том числе
6
лабораторлекции семинары ные работы
1
-
СРС
5
11
2
3
6
10
2
2
6
10
2
3
5
10
2
2
6
11
2
3
6
11
2
3
6
11
2
3
6
10
90
1
16
3
22
6
52
4. Содержание курса
Тема 1. Теория погрешностей.
Тема 2. Численные методы решения нелинейных уравнений.
Тема 3. Численные методы решения систем линейных уравнений.
Тема 4. Интерполирование функций.
Тема 5. Численное дифференцирование.
Тема 6. Численное интегрирование.
Тема 7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Тема 8. Численные методы решения уравнений в частных производных.
Тема 9. Оптимизация функций.
Краткое содержание учебных тем
1. Основы теории погрешностей
5
Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа. Источники классификаций погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Верные знаки, связь количества верных знаков и относительной погрешности. Правила округления и погрешность округления. Основные задачи
теории погрешностей, способы их решения. Применение дифференциального
исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей.
Оценка погрешностей вычислений, возникающих в ЭВМ.
2. Численные методы решения нелинейных уравнений
Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной
точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного
решения уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности.
Практические схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с
заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и устойчивость
численного метода. Методы деления отрезка пополам, хорд, секущих, касательных (Ньютона). Решение нелинейных уравнений на ЭВМ.
3. Численные методы решения систем линейных уравнений
Линейные системы. Операции над матрицами. Методы решения систем
линейных алгебраических уравнений. Обусловленность СЛАУ. Погрешности.
Метод исключения Гаусса. Число операций при решении системы линейных
уравнений методом Гаусса. Итерационные методы решения СЛАУ. Достаточные условия сходимости. Погрешности округления при практической реализации итерационного процесса. Решение систем линейных уравнений на ЭВМ.
4. Интерполирование функций
Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен: единственность, форма Лагранжа, оценка
погрешности интерполирования. Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая
оценка погрешности интерполирования. Метод наименьших квадратов. Понятия о сплайнах. Практические схемы интерполирования на ЭВМ. Обратное интерполирование. Многочлены Чебышева. Обработка экспериментальных результатов на ЭВМ.
5. Численное дифференцирование
Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности
численного дифференцирования в точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление первой производной во внутреннем узле
таблицы. Общий случай вычисления производной произвольного порядка. Метод неопределенных коэффициентов. Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Численное дифференцирование на ЭВМ.
6. Численное интегрирование
Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла,
формула прямоугольников. Формулы Ньютона-Котеса. Метод неопределенных
коэффициентов. Формула трапеций. Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона. Квадратурная формула Гаусса, оценка по6
рядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных
формул. Метод Монте-Карло. Численное интегрирование на ЭВМ.
7. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных
уравнений
Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные
методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Решение краевой задачи для
линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на
ЭВМ.
8. Численные методы решения уравнений в частных производных
Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость.
Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на
ЭВМ. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных
производных, начальные и краевые условия.
9. Оптимизация функций
Постановка задачи. Одномерная задача оптимизации. Методы поиска
(равномерного поиска, поразрядного приближения, дихотомии, золотого сечения, парабол). Многомерная задача оптимизации. Минимум функции многих
переменных. Рельеф поверхности уровня. Спуск по координатам. Градиентные
методы. Наискорейший спуск. Решение задач оптимизации на ЭВМ.
Содержание лекционных занятий
Лекция 1. Основы теории погрешностей. Точные и приближенные значения величин, точные и приближенные числа. Источники классификаций погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности. Верные знаки, связь
количества верных знаков и относительной погрешности. Правила округления
и погрешность округления. Основные задачи теории погрешностей, способы их
решения. Применение дифференциального исчисления при оценке погрешности. Обратная задача теории погрешностей. Оценка погрешностей вычислений,
возникающих в ЭВМ.
Лекция 2. Численные методы решения нелинейных уравнений. Отделение корней. Приближенное вычисление корня уравнения с заданной точностью методом половинного деления. Метод простой итерации численного решения уравнений. Условия сходимости итерационной последовательности.
Практические схемы вычисления приближенного значения корня уравнения с
заданной точностью методом простой итерации. Сходимость и устойчивость
численного метода. Методы деления отрезка пополам, хорд, секущих, касательных (Ньютона). Решение нелинейных уравнений на ЭВМ. Линейные системы. Операции над матрицами. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Обусловленность СЛАУ. Погрешности. Метод исключения
Гаусса. Число операций при решении системы линейных уравнений методом
Гаусса. Итерационные методы решения СЛАУ. Достаточные условия сходимо7
сти. Погрешности округления при практической реализации итерационного
процесса. Решение систем линейных уравнений на ЭВМ.
Лекция 3. Интерполирование функций. Задачи, приводящие к аппроксимации одной функции другой. Алгебраический интерполяционный многочлен: единственность, форма Лагранжа, оценка погрешности интерполирования. Разделенные разности. Первый и второй многочлены Ньютона. Связь разделенной разности и производной. Практическая оценка погрешности интерполирования. Метод наименьших квадратов. Понятия о сплайнах. Практические
схемы интерполирования на ЭВМ. Обратное интерполирование. Многочлены
Чебышева. Обработка экспериментальных результатов на ЭВМ.
Лекция 4. Численное дифференцирование. Постановка задачи численного дифференцирования. Численное дифференцирование на основе интерполяционных многочленов. Оценка погрешности численного дифференцирования в
точке, не лежащей внутри отрезка интерполирования. Численное вычисление
первой производной во внутреннем узле таблицы. Общий случай вычисления
производной произвольного порядка. Метод неопределенных коэффициентов.
Неустранимая погрешность формул численного дифференцирования. Численное дифференцирование на ЭВМ.
Лекция 5. Численное интегрирование. Постановка задачи приближенного вычисления определенного интеграла, формула прямоугольников. Формулы
Ньютона-Котеса. Метод неопределенных коэффициентов. Формула трапеций.
Практическая оценка погрешности квадратурных формул. Формула Симпсона.
Квадратурная формула Гаусса, оценка порядка убывания погрешности. Вычислительная погрешность квадратурных формул. Метод Монте-Карло. Численное
интегрирование на ЭВМ.
Лекция 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Рунге-Кутта. Многошаговые методы. Решение
краевой задачи для линейного 2-ого порядка сведением к разностной краевой
задаче. Метод прогонки. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ.
Лекция 7. Численные методы решения уравнений в частных производных. Решение дифференциальных уравнений в частных производных с помощью построения разностных схем. Аппроксимация, устойчивость, сходимость. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных на ЭВМ. Численное интегрирование дифференциальных уравнений в частных производных, начальные и краевые условия.
Лекция 8. Оптимизация функций. Постановка задачи. Одномерная задача оптимизации. Методы поиска (равномерного поиска, поразрядного приближения, дихотомии, золотого сечения, парабол). Многомерная задача оптимизации. Минимум функции многих переменных. Рельеф поверхности уровня.
Спуск по координатам. Градиентные методы. Наискорейший спуск. Решение
задач оптимизации на ЭВМ.
8
Темы лабораторных работ
1. Численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным.
– методом половинного деления;
– методом хорд;
– методом Ньютона (касательных);
– методом Ньютона (касательных) в комплексной области.
2. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений:
– методом Гаусса;
– методом Гаусса с выбором главного элемента столбца;
– методом Зейделя.
3. Приближение значения таблично заданной функции в точке с помощью:
– интерполяционного многочлена Лагранжа заданной степени;
– многочленов Ньютона;
– метода наименьших квадратов;
– кубических сплайнов.
4. Вычисление производной в узле таблично заданной функции с помощью:
– интерполяционного многочлена Лагранжа;
– многочленов Ньютона.
5. Вычисление интеграла (применяется практическая оценка погрешности):
– по различным квадратурным формулам;
– с использованием метода Монте-Карло.
6. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений.
7. Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных.
Безусловная одномерная оптимизация функций:
 методом поразрядного приближения;
 дихотомии;
 золотого сечения;
 квадратичной интерполяции-экстраполяции функций.
Безусловная многомерная оптимизация функций:
 методом покоординатного спуска;
 методом спирального координатного спуска;
 методом координатного спуска с квадратичной интерполяциейэкстраполяцией функций;
 методом градиентного спуска.
5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины
Список литературы
Основная
1. Жидков Е.Н. Вычислительная математика. М.: Академия, 2010. 208 с.
2. Лапчик М.П. Численные методы. М.: Академия, 2004. 384 с.
3. Срочко В.А. Численные методы. СПб.: Лань, 2010. 208 с.
9
Дополнительная
1. Бахвалов Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высш.
шк., 2000. 190 с.
2. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 2001. 381 с.
3. Грэхем Р. Конкретная математика: Основание информатики. М.: Мир,
1998. 703 с.
4. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир,
1998. 575 с.
5. Кузнецов А. В. Высшая математика: Математическое программирование:
учеб. для студентов экон. спец. вузов. Минск: Высш. шк., 2001. 351 с.
6. Пирумов У. Г. Численные методы: учеб. пособие для студентов вузов. М.:
Дрофа, 2003. 224 с.
7. Рыжиков Ю.И. Вычислительные методы. СПб.: БХВ-Петербург, 2007. 400
с.
8. Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование. М.: СОЛОНР, 2002. 112 с.
Интернет-ресурсы
1. http://mechmath.ipmnet.ru/math/links/
2. http://elementy.ru
3. http://www.exponenta.ru/
Средства обеспечения освоения дисциплины
1.
2.
3.
4.
Математическая система MathCAD (MathSoft).
Электронные таблицы Excel.
Системы программирования: Turbo Pascal, Borland C++.
Учебные и методические пособия (учебники, учебно-методические пособия,
пособия для самостоятельной работы, сборники упражнений и др.).
Методические рекомендации студентам
Вопросы и задания для самостоятельной работы
1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа, границы
погрешностей.
2. Понятия значащей, верной и сомнительной цифры в записи приближенного
числа.
3. Правила округления и погрешность округления.
4. Методы отделения корней нелинейных уравнений.
5. Приближенное вычисление значения корня нелинейного уравнения.
6. Точные методы решения систем линейных уравнений: метод Гаусса; метод
Зейделя.
7. Вычисление коэффициентов интерполяционного алгебраического многочлена с помощью решения системы линейных уравнений.
10
Построение интерполяционного многочлена Лагранжа, Ньютона.
Общий случай вычисления значения производной произвольного порядка.
Численное дифференцирование на основе интерполяционного многочлена.
Квадратурные формулы прямоугольников, Ньютона–Котеса и их погрешности.
12. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения 1-ого порядка с
помощью одного из изученных способов численного решения.
13. Численное решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2ого порядка.
14. Численное решение линейного уравнения в частных производных с использованием разностных схем.
8.
9.
10.
11.
Дополнительно выполняются задания из учебника:
Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях. М.: Высш. шк.,
2000. 190 с.
Методические рекомендации преподавателю
1. Глубокое овладение содержанием курса “Прикладная математика”.
2. Проблемное изложение материала, диалог с целью активизации познавательной деятельности студентов.
3. Разработка учебно-методических материалов для практических занятий по
наиболее значимым вопросам учебной программы курса.
4. Обеспечение студентов набором справочных материалов, включающим
учебную программу курса, список рекомендуемой литературы, сведения об
индивидуальных консультациях по содержанию курса.
5. Установление критериев оценки знаний и доведение их до сведения студенческой группы.
11
II. МАТЕРИАЛЫ, УСТАНАВЛИВАЮЩИЕ СОДЕРЖАНИЕ И ПОРЯДОК ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ И ИТОГОВЫХ АТТЕСТАЦИЙ
Примерные вопросы к зачету
1. Этапы решения задач на ЭВМ. Вычислительные алгоритмы. Технология
программирования вычислительных задач.
2. Источники погрешностей значения величин и их классификация. Устойчивость, корректность, сходимость.
3. Нелинейные уравнения. Методы решения нелинейных уравнений. Метод
дихотомии (деления отрезка пополам) решения уравнений и его реализация
на ЭВМ.
4. Метод хорд численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.
5. Метод Ньютона (касательных) численного решения уравнений и его реализация на ЭВМ.
6. Общая характеристика точных методов решения систем линейных уравнений на ЭВМ. Метод Гаусса.
7. Общая характеристика итерационных методов решения систем линейных
уравнений на ЭВМ. Метод Зейделя.
8. Понятие о приближении функций. Задача аппроксимации функции. Линейная и квадратичная интерполяция.
9. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные формулы Ньютона.
10. Интерполяционный многочлен Лагранжа и оценка его погрешности.
11. Метод наименьших квадратов, наилучшее квадратичное приближение. Реализация метода наименьших квадратов на ЭВМ.
12. Интерполирование сплайнами.
13. Численное дифференцирование. Вычисление значений производных различного порядка на ЭВМ. Погрешность численного дифференцирования.
14. Аппроксимация производной каноническим многочленом и интерполяционным многочленом Ньютона.
15. Аппроксимация производной интерполяционным многочленом Лагранжа.
16. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса и
оценка их погрешности.
17. Частная и общая квадратурные формулы трапеций; оценка погрешности
общей формулы и реализация на ЭВМ.
18. Численное интегрирование. Методы Симпсона и Монте-Карло.
19. Численные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка. Метод Эйлера. Модифицированный метод Эйлера.
20. Метод Рунге–Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, оценка его погрешности и реализация на ЭВМ.
21. Многошаговый метод Адамса решения задачи Коши. Общие представления
о методах прогноза и коррекции.
22. Метод разностных схем решения дифференциальных уравнений в частных
производных.
12
23. Одномерная задача оптимизации. Метод равномерного поиска. Метод золотого сечения и дихотомии. Метод поразрядного приближения и квадратичной экстраполяции-интерполяции.
24. Многомерная задача оптимизации. Метод координатного спуска. Метод
градиентного спуска.
13