6М070500 – Математическое компьютерное моделирование

Направление тем вступительных экзаменов в магистратуру по специальности
6М070500 – Математическое компьютерное моделирование :
I. Архитектура современной вычислительной техники.
Прикладное программное обеспечение, обработка информации, операционные системы
Компьютерные сети, сетевые и телекоммуникационные технологии. Общие сведения о
сетях, предпосылки и необходимость сетевого взаимодействия компьютеров.
Основы защиты информации. Информационная безопасность и ее составляющие.
Вирусы и их классификация.
Алгоритм, свойства алгоритма, средства записи алгоритмов, структуры алгоритмов.
Структура данных.
Язык программирования высокого уровня. Элементы языка.
II. Теория пределов: основные свойства и признаки существования предела;
критерий Коши существования предела.
Дифференциалы и производные: дифференцируемость функции в точке; производная
в точке, дифференциал и их геометрический смысл; применение дифференциального
исчисления к исследованию функций, признаки постоянства, монотонность, экстремумы,
выпуклость, точки перегиба, раскрытие неопределенностей; геометрические приложения.
Определенный интеграл и его свойства: критерий интегрируемости; интегрирование по
частям; длина дуги и другие геометрические, механические и физические приложения.
Числовые ряды и их свойства: сходимость и сумма числового ряда; критерий Коши.
Ряды Фурье: тригонометрическая система; равенство Парсеваля; интеграл Фурье и
преобразование Фурье.
Дифференциал и частные производные функции многих переменных; производная по
направлениям по направлению; градиент.
Двойной и тройной интегралы; геометрические интерпретации и основные свойства.
Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности: формула Грина; формула
Остроградского; элементарная формула Стокса.
Элементы теории поля: скалярное поле; векторное поле; поток, расходимость.
Аффинные и декартовы системы координат. Преобразования координат на плоскости и
в пространстве.
Простейшие задачи аналитической геометрии. Скалярное, векторное и смешанное
произведения, их геометрические и алгебраические свойства.
Понятие алгебраической линии и алгебраической поверхности.
Инвариантность
линии в алгебраической поверхности.
Понятие о группе, кольце, поле, примеры и элементарные свойства операций. Кольца и
поля вычетов.
Матричная запись систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса.
Правило Крамера. Теоремы о ранге матрицы.
Многочлены над полем. Кольцо многочленов. Деление многочленов с остатком.
Алгоритм Евклида.
Линейные пространства. Линейная зависимость системы векторов, лемма о замене.
Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации. Неравенство Коши-Буняковского.
Линейные операторы. Собственные векторы и собственные значения оператора.
Математическая индукция. Числа Фибоначчи и их свойства. Рекуррентные
соотношения.
Компьютерные тесты на простоту чисел. Криптосистема с открытым ключом ДиффиХеллмана.
Законы де-Моргана, контрапозиции, двойного отрицания. Дизъюнктивная и
конъюнктивная нормальные формы. Полные системы логических связок.
Леммы о выводимости. Лемма Кальмара. Термы фиксированной сигнатуры.
Теория первого порядка модели. Автоморфизмы модели. Формальная система
исчисления предикатов.
Элементы теории алгоритмов Машины Тьюринга. Программы вычисления
простейших числовых функций. Композиция машин Тьюринга.
III. Элементарные математические модели. Вариационные принципы. Применение
аналогий при построении моделей.
Модели, получаемые из фундаментальных законов природы. Математические модели,
основанные на вариационных принципах. Общая схема Гамильтона.
Иерархия моделей. Варианты действия заданной внешней силы. Универсальность
математических моделей.
Закон сохранения массы вещества. Модель потока невзаимодействующих частиц и
движения грунтовых вод. Основные свойства полученных моделей.
Сохранение энергии. Модель распространения тепла в сплошной среде. Краевые
задачи для уравнения теплопередачи.
Совместное применение нескольких фундаментальных законов. Математическая
модель, описывающая течение сжимаемого газа.
Уравнения движения механической системы в форме Ньютона. Уравнения движения в
форме Лагранжа. Модели некоторых механических систем.
Описание совокупности частиц с помощью функции распределения. Уравнения для
моментов функции распределения.
Цепочка гидродинамических моделей газа. Модели некоторых трудно формализуемых
объектов. Универсальность математических моделей.
Модели финансовых и экономических процессов. Взаимозачет долгов предприятий.
Макромодель экономического роста.
Некоторые модели соперничества. Взаимоотношение в системе «хищник-жертва».
Принципы максимума и теоремы сравнения. Формулировка, некоторые следствия.
Расширение автомодельного метода. Метод осреднения.
Точные методы решения систем линейных уравнений: методы главных элементов
(Методы Гаусса), метод квадратных корней, схема Халецкого.
Итерационные методы решения линейных уравнений. Метод итерации. Принцип
релаксации. Метод Зейделя.
Нахождение собственных значений и собственных векторов матрицы. Проблема
собственного значения.
Итерационные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.
Квадратурные формулы Ньютона-Котеса. Формулы трапеций и ее остаточный член.
Формула Симпсона и ее остаточный член.
Основные понятия теории разностных схем. Разностная аппроксимация простейших
дифференциальных операторов.
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Методы Эйлера. Модифицированные методы Эйлера. Методы Рунге-Кутта.
Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений и интегральных уравнений. Метод конечных разностей. Метод прогонки.
Численные методы решения интегральных уравнений. Нахождение собственных
значений и собственных функций. Метод конечных сумм.
Основные понятия операционной системы UNIX: операционная система; пользователь;
ядро ОС UNIX; файловая система UNIX. Задачи системного администрирования.
Межмашинные и межсетевые взаимодействия.
Компьютерные сети (Ethernet, OS1 модель), TCP/IP модель.
Защита системы и данных. Паролирование. Программы setuid.
Интерфейс. Состав пакета. Требования к системе. Элементы интерфейса.
Примитивы. Создание объектов. Свойства объектов.
Модификаторы. Стек модификаторов. Простые модификаторы деформации объектов.
Настройка модификаторов в стеке. Разница между трансформациями и
модификаторами. Булевские операции с объектами.
Сплайны. Понятие плоской фигуры - сплайна. Основы создания сплайнов. Изменение
типа опорной точки.
Визуализация. Основные параметры визуализации.
Моделирования простых и сложных форм. Создание объектов из сплайнов. Экструзия.
Моделирование сложных объектов. Mesh-объекты, редактирование Mesh-объектов.