Любовь потребителя к качеству товара в модели

Любовь потребителя к качеству товара в модели монополистической
конкуренции1
Вербус В.А.1, 2 , Кичко С.И.3, Ошарин А.М. 1
1
НИУ ВШЭ, Нижний Новгород, 2 ИФМ РАН, Нижний Новгород, 3 НИУ ВШЭ, Санкт Петербург
Аннотация
В работе рассмотрена модель монополистической конкуренции, включающей в себя помимо любви к разнообразию,
любовь к качеству продукции. Предложена функция полезности, обладающая этими свойствами, рассмотрены состояния
равновесия в долгосрочном и краткосрочном периодах. Рассмотрена задача межрегиональной торговли в ситуации когда
предпочтения потребителей относительно качества продукции неоднородны.
Введение
Рост качества и конкурентоспособности продукции, вопросы стандартизации, сертификации,
уровень развития систем менеджмента качества, общая культура качества в каждой конкретной
стране являются ключевыми для определения относительного уровня экономического развития. Под
качеством товара в данном контексте подразумевается степень его сложности и функциональности,
которая косвенным образом связана с количеством комплектующих, промежуточных товаров
входящих в конечный продукт. Качество выпускаемой продукции в настоящее время стало одним из
ключевых факторов международной конкуренции. Уже с начала 1990 - ых гг. на мировых рынках
обостряется конкуренция, следствием чего явилось ужесточение требований к качественным
параметрам поставляемой продукции. Ценовая конкуренция производителей все больше уступает
место неценовой, то есть ориентации на удовлетворение будущих потребностей и ожиданий
потребителя. Размещение заказов как на внешних, так и внутренних рынках стали определяться не
низкой стоимостью факторов производства, а уровнем качества выпускаемой продукции, как
конечного, так и промежуточного потребления (комплектующих). Вопросы качества продукции, его
обеспечения и контроля из традиционно технических и организационных переходят
экономических факторов
в разряд
и приоритетов торговой политики, становятся мощным фактором
повышения конкуренции.
В эндогенных моделях экономического роста движущей силой роста является любовь
потребителей к разнообразию продуктов, это приводит к созданию новых видов продуктов и к
расширению разнообразия. Эти модели опираются на модели монополистической конкуренции
Диксита-Сиглица (1977) [4], которые были развиты Ромером (1990) [5] , Гросманом и Хелпменом
1
Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) № 14-
06-00253
(1991) [6] - в дальнейшем названные моделями RGH. В этих моделях каждая новая фирма вводит на
рынок новый вид продукта, который требует инновационных усилий для создания приоритета.
Другой подход при моделировании экономического роста, предложенный в работе Aghion, Ph. and
Howitt, P. (1992). [7] возникает не из-за входа других фирм, а из-за повышения качества и
созидательного разрушения. Источником роста в этих моделях помимо стремления улучшения
технологии производства производителей может служить любовь к качеству продукции
потребителей, под качеством потребляемой продукции здесь понимается степень сложности и
функциональности товара.
Все представленные выше модели опираются на модель монополистической конкуренции и
используют предпочтения потребителей типа CES функций. Наряду с большими преимуществами
данного подхода, связанного, прежде всего с возможностью получения компактных аналитических
конечных выражений, существует ряд недостатков связанных с нереалистичностью поведения цен на
рынке. В работе [9] был предложен способ решения этой проблемы за счет рассмотрения более
общей функции полезности потребителя.
Цель данной работы является построение модели, описывающей как не только любовь к
разнообразию (как это описывается в эндогенных моделях роста) а также и любовь к качеству
продукции потребителей влияет на результаты экономической деятельности, для начала решается
стационарная задача. При этом мы будем в общем случае пользоваться подход, предложенный в
статье [9]. В первой части представлена двухсекторная модель для CES функции потребителей
обобщённой на случай любви к качеству продукции. Наличие второго, сельскохозяйственного,
сектора для нахождения равновесия в промышленном секторе не принципиально, оно влияет лишь
на долю потребительских расходов, приходящие на промышленные товары. Наличие второго
сектора становится принципиально важно при рассмотрении эффекта домашнего рынка в
межрегиональной торговле, где за счёт сельскохозяйственного сектора и мобильности рабочей силы
между секторами происходит выравнивание зарплаты в регионах. Во второй части рассмотрена
односекторная модель для более общей функции полезности потребителей, включающей любовь
потребителей к качеству продукции и к его разнообразию.
1. Обобщённая CES функция
Задача Потребителя
Экономика состоит из двух секторов: из сельскохозяйственного (или традиционного сектора) и
промышленного (или современного сектора). В сельском хозяйстве, однородный продукт
производится с постоянной отдачей от масштаба и продается на совершенно конкурентном рынке; в
промышленном секторе, фирмы производят дифференцированные продукты с возрастающей
отдачей от масштаба и монополистической конкуренцией.
2
В экономике существует L потребителей, чьи предпочтения идентичны и задаются функцией
полезности Кобба-Дугласа ( Cobb-Douglas):
U = M mA 1- m,
В формуле (1.1)
A
0 < m< 1
(1.1)
обозначает количество сельскохозяйственных товаров,
M
обозначает
количество композитного дифференцированного товара с постоянной эластичностью замещения
(CES - constant elasticity of substitution), что означает, что при любом относительном использовании
двух благ одинаково качества они имеют постоянную эластичность замещения в полезности
потребителя.
s ( s - 1)
æN
ö
( s - 1) s ÷
÷
M = çççå a ib x i
÷
÷
çè
ø
(1.2)
i= 1
здесь
xi
- количество продукта
доступных вариантов,
i
- го типа потребляемого потребителем,
1    ,
N
- общее количество из
эластичность замены между любыми двумя вариантами
потребления одинаково качества. Мы предполагаем, что варианты потребления дифференцированы
и что они дают вклад в M с различными весами, характеризующие качество i товара  i . Под
качеством товара будем понимать степень его сложности и функциональности. Необходима
объективная и верифицируемая характеристика, оцениваемая качество товара, в качестве таковой
можно рассматривать число комплектующих, промежуточных, товаров, входящих в конечную
продукцию, которое может быть измерено. Коэффициент
 определяет степень любви к качеству
продукции потребителей, чем он больше, тем в большой степени потребители оценивают качество
продукции. Для разных потребителей этот коэффициент может принимать разное значение. Для
начала, будем рассматривать случай однородных потребителей с одинаковым отношением к
качеству продукции. Функция полезности (1.2) обладает свойством любви потребителя к качеству и
разнообразию продукции.
Если
pA
- цена сельскохозяйственных продуктов и
P
ценовой индекс промышленных товаров
(который определим позднее), бюджетное ограничение потребителя, доход которого равен
c = PM + pA A £ y
y:
(1.3)
Для потребителя цена и качество товара являются экзогенными. Поэтому он определяет оптимальное
количество потребляемой продукции при заданных ценах и качестве и при заданных расходах
как решение оптимизационной задачи (1.2) при ограничении
этом случае имеет вид:
3

n
j 1
e,
p j x j  e . Функция Лагранжа в
s
( s - 1) ù( s - 1)
én
æ
b
ê
ú
s
L = êå a i x i
+ l çççe ú
çè
êëi = 1
ú
û
ö
÷
å pi x i ÷÷÷÷ø
i= 1
n
(1.4)
Условие первого порядка определяет функцию спроса потребителя с учётом любви к качеству
продукции:
xi 

e
 p
n
i 1
 i 
(1 )
i



  i 
e  P  
( 1)   i 

  eP

    i
P  pi 
 pi 
 pi 
(1.5)
Здесь P индекс цен на промышленные товары
æ
ç
P = çççå
çç
è
-
1
ö ( s - 1)
æa b ÷
ö÷
n
÷
ç
÷
pi çç i ÷
÷
÷
÷
i= 1 ç p ÷ ÷
è i ø÷
÷
ø
s
(1.6)
Задача производителя и краткосрочное равновесие
Для нахождения мгновенного рыночного равновесия рассмотрим задачу производителя. Функция
прибыли
i
- ой фирмы имеет следующий вид
(
)
p i = pi - m (a i ) qi ( pi , a i ) - f (a i ) =
s
(
)
= pi - m (a i )
Здесь
m (a i )и f (a i )
æ bö
( s - 1) ça i ÷
çç ÷
LeP
÷ - f (a i )
çè pi ÷
÷
ø
(1.7)
предельные и постоянные издержки соответственно, q = Lx - рыночный
i
i
спрос на товар i - ой фирмы ( L - число потребителей, каждый из которых потребляет i - ый товар в
размере x ). Будем полагать, что предельные и постоянные издержки в свою очередь зависят от
i
качества продукции a i :
dm
df
> 0 ; хотя для высокотехнологичной продукции может
> 0,
da
da
наблюдаться и другая зависимость:
dm
df
> 0 , что соответствует тому, что производство
< 0,
da
da
высокотехнологичного оборудования может сопровождаться увеличением постоянных издержек и
уменьшением переменных. Фирма определяет объем выпускаемой продукции q и величину
i
качества продукции i исходя из максимизации своей прибыли. Причем процедура принятия
решения производителем может быть различна. В первом случае фирма сначала определяет уровень
качества производимой продукции, а потом уже для фиксированного значения
 определяет цену
товара. В другом варианте фирма одновременно решает задачу нахождения оптимальной цены и
качества. Рассмотрим первый сценарий. Для этого, используя метод обратной индукции, записываем
4
условие первого порядка для цены:
s
m (a )
(s - 1)
pi (a ) =
(1.8)
Зависимость цены от качества продукции проявляется через зависимость предельных издержек от
качества продукции. Условие первого порядка для качества продукции дает следующее равновесное
значение для качества продукции.
- 1
æ
ö
f ¢(a )÷
ç
sb
÷
a* =
m (a ) ççm ¢(a ) +
÷
÷
çç
÷
s - 1
q ø
÷
è
(1.9)
Равновесное значение качества выпускаемой продукции зависит от предпочтений потребителей, а
так же от технологии производства - зависимости постоянных и предельных издержек от качества
выпускаемой продукции. Причем с ростом объёма продукции качество выпускаемой продукции
растёт, т.е. при прочих равных условиях более крупные предприятия выпускают более качественную
продукцию. Следует отметить, что другой сценарий поведения производителя дает такой же
результат. Это связано с видом CES функции полезности потребителя, в случае же другой функции
полезности разный подход может давать разные результаты.
Обобщим полученные результаты для более общей функции потребителя в духе статьи [9].
Для этого будем рассматривать аддитивную функцию полезности, включающей в себя любовь к
качеству продукции.
2. Обобщённая функция полезности потребителя
Рассмотрим задачу потребителя для более общей функции полезности потребителя, обладающей
свойством любви к качеству и разнообразию продукции в рамках односекторной модели.
Репрезентативный потребитель имеет функцию полезности верхнего уровня U (M ) , где
M имеет
следующий вид:
N
M =
ò u(x , a )di
i
(2.1)
i
0
Здесь
u ( xi ,  i )
- функция полезности нижнего уровня, зависящая от потребления товара
разновидности в объеме
xi и качества
i - ой
0   i  1 . Чем больше принимает значение параметр  i , тем
больше пользы от его потребления получает потребитель. В формуле (2.1) одновременно
учитывается любовь к разнообразию и любовь к качеству продукции:
¶ u (x i , a i )
¶ xi
5
> 0,
¶ u (x i , a i )
¶ ai
> 0
(2.2)
В дальнейшем мы будем накладывать дополнительные ограничения на вид функции полезности
нижнего уровня
u (x i ) , как это делалось в [9].
Бюджетное ограничение:
Доход, который получает потребитель, складывается из заработной платы
rk ( r
-процентная ставка,
w
и дохода на капитал
k - удельный капитал). Этот доход тратится на потребление ci :
N
c=
ò p (a )x di
i
i
(2.3)
i
0
т.е. предполагается, что потребители потребляют всё разнообразие товаров, представленных на
рынке. То есть потребитель потребляет товар
i -ой разновидности в количестве xi качества i . Цена
товара зависит от его сложности pi i  (в общем случае
dp
> 0 )
da
В
дальнейшем
будем
рассматривать симметричный случай, т.е. когда цены и величина потребления всех товаров
одинакова, следовательно
c = Np(a )x
(2.4)
Оптимизационная задача
Оптимизационная задача для
i - го потребителя U i (M ) в предположении ¶ U i (M ) / ¶ M > 0
сводится к оптимизационной задачи нижнего уровня. Каждый индивид решает задачу максимизации
функции полезности [6], исходя из заданного уровня своих номинальных расходов
N
M =
c:
N
ò u(x , a )di ®
i
i
max
0
ò p (a )x di
c=
xi a i
i
i
i
(2.5)
0
В дальнейшем мы будем следовать подходу, предложенному в работе [6]. Чтобы определить
равновесное потребление, продифференцируем Лагранжиан
æ
ç
L = M + l ççc çè
ö
÷
p
(
a
)
x
di
ò i i i ø÷÷÷÷ = l c +
0
N
N
ò (u (x , a ) i
i
l pi (a i )x i )di
(2.6)
0
по xi , и получим обратную функцию спроса на i - ый товар качества i :
pi (x i , a i ) =
u x¢(x i , a i )
l
(2.7)
Здесь полагаем, что цена на товар зависит от его качества и за более качественный товар потребитель
готов платить большую цену. Но величину качества продукции, которую надо производить,
определяет производитель, который учитывает любовь к качеству продукции потребителей.
6
Для
нахождения
мгновенного
рыночного
равновесия
необходимо
решить
задачу
производителя. В отличие от предыдущей части, где рассматривалась процедура последовательного
принятия решение, т.е. искалось равновесие в динамической задачи, здесь будем искать равновесие
для случая принятии одновременного решения, т.е. рассмотрим статический вариант задачи. В
отличие обобщённой CES функции, где оба подхода дают одинаковый результат, теперь
рассмотрение динамического варианта задачи затруднено в случае же Таким образом, мы находим
функцию реакции для величины выпуска и для качества продукции для следующей функция
прибыли:
æu ¢(x , a )
ö
÷
p i = p(x i , a i ) - m (a i ) Lx i - f (a i ) = ççç x i i - m (a i )÷
Lx i - f (a i )
÷
÷
çè
l
ø
(
)
(2.8)
Считая множитель Лагранжа постоянной величиной, находим сначала условие первого порядка по x:
ö
u x¢(x i , a i ) æ
ççx u xx¢¢(x i , a i ) + 1÷
÷
= m (a i )
÷
çç i u ¢(x , a )
÷
l
è
ø
x
i
i
(2.9)
В дальнейшем для простоты обозначения будем опускать индекс i . Если выполняются два условия:
lim (u x¢(x , a ) + xu xx¢¢(x , a )) = ¥
x® 0
и
lim (u x¢(x , a ) + xu xx¢¢(x , a )) £ 0
x® ¥
,
(2.10)
тогда работает теорема о промежуточном значении, и для (2.10) имеет место положительное
решение. Как в работе [9] вводим следующую величину
ru (x , a ) º -
xu xx¢¢(x , a )
> 0
u x¢(x , a )
(2.11)
Которая определяет «относительную склонностью к разнообразию. Используя
(2.11),
получаем
уравнение реакции для цены, а следовательно и величины выпуска модели:
p(a ) =
1
m (a );
(1 - ru (x , a ))
x (a ) =
c
Np (a )
(2.12)
Для нахождения уравнение реакции для уровня качества продукции решаем следующую задачу:
ö
u ¢¢(x , a )
dp æ
÷
= ççç x a
- m ¢(a )÷
Lx - f ¢(a ) = 0
÷
÷
çè l
da
ø
(2.13)
Введем следующее обозначение
u ¢¢(x , a )
r = a xa
,
xa
u x¢(x , a )
(2.14)
Коэффициент, определяющий относительную любовь к качеству продукции. Действительно если
u (x , a ) = a b u (x ) , где 
7
– любовь к качеству товара, имеем
rx a
ba b - 1u ¢(x )
= a
= b
a b u ¢(x )
(2.15)
тогда
- 1
æ
f ¢(a )ö
÷
çç
*
÷
¢
a (x ) = p(a )rx a çm (a ) +
÷
÷
çç
÷
q
÷
è
ø
(2.16)
Таким образом, с учетом бюджетного ограничения краткосрочное равновесие монополистической
конкуренции может быть охарактеризовано следующими равенствами:
1
p(a ) =
(1 -
)
m (a )
(2.17)
ru (c Np , a )
- 1
æ
f ¢(a ) ö
÷
çç
*
÷
¢
a = p(a )rx a (c Np , a ) çm ( a ) +
÷
÷
çç
÷
L c Np ø
÷
è
x=
(2.18)
c
Np
(2.19)
Следует отметить, что для случая обобщённой CES – функции, u(x i , a i ) = a ib x ir
полученный
результат совпадает с (1.8) (1.9).
Долгосрочное равновесие
Долгосрочный период при условии свободного входа фирм характеризуется нулевым значением
прибыли:
(
)
p = p(x , a ) - m (a ) q(x , a ) - f (a ) = 0
p (x , a ) =
1
m (a )
1 - ru (x , a )
(2.20)
(2.21)
Подставляя (2.21) в (2.20) для равновесного объема выпуска фирмы получаем
æ1 - r (x , a ) ö÷ f (a )
u
÷
q * = ççç
÷
èç ru (x , a ) ÷
øm ( a )
(2.22)
Равновесное значение выпуска зависит от технологии производства и соотношения величин
постоянных и переменных издержек.
Подставив равновесное значение выпуска и цену (2.22) и (2.21) в (2.18), получим оптимальный
показатель качества продукции в долгосрочном периоде:
8
- 1
(a )
*
В случае если
1
=
rx a
æ
f ¢(a )ö÷
çç
m ¢(a )
÷
+ ru (x , a )
÷
çç(1 - ru (x , a ))
÷
m (a )
f (a ) ø÷
÷
çè
u (x , a ) = a b u (x ) ,
(2.23)
и для CES-функции ( ru (x , a ) = 1 s ,
rx a (x , a ) = b )
равновесное значение качества товара будет равно
- 1
(a )
*
æ
ö
1 ççæ
1 ö÷m ¢(a ) 1 f ¢(a )÷
÷
ç
= ççç1 - ÷
+
÷
÷
÷
b ççèè
s ø÷ m (a ) s f (a ) ø÷
÷
(2.24)
Из последнего выражения видно, что с ростом σ (то есть при приближении рынка к рынку
совершенной конкуренции) вклад в уровень качества товаров оказывает в большей
степени
переменные издержки, что вполне соответствует тому факту, что на конкурентном рынке имеет
место постоянная отдача от масштаба и влияние постоянных издержек уменьшается. В случае слабой
зависимости издержек
от качества продукции наблюдается высокое значение уровня качества
товара и наоборот, если для увеличения качества продукции необходимо понести значительные
затраты, равновесный уровень качества принимает более низкое значение.
Число фирм в долгосрочном периоде определяется из бюджетного ограничения
pxN = Lc Þ N =
В случае
ru (x , a )
f (a )
Lc
(2.30)
f ¢(a ) > 0 рост качества продукции сопровождается уменьшением количества фирм.
Литература
[1] E. Baldwin, Richard & Ito, Tadashi, 2011. "Quality Competition Versus Price Competition Goods: An
Empirical Classification," Journal of Economic Integration, Center for Economic Integration, Sejong
University, vol. 26, pages 110-135.
[2] Sproles, G. B. (1977), New Evidence on Price and Product Quality. Journal of Consumer Affairs,
11: 63–77.
[3] Gerstner, Eitan (1985), Do Higher Prices Signal Higher Quality?, Journal of Marketing Research, 22
(May), 209-215.
[4] Dixit, A. K. and Stiglitz, J. E. (1977). Monopolistic competition and optimum product diversity.
American Economic Review 67: 297–308
[5] Romer, P. (1990). Endogenous technological change. Journal of Political Economy, 98: S71–S102
[6]Grossman, G., Helpman, E., 1991. Innovation and Growth in the Global Economy. MIT Press,
9
Cambridge, Mass.
[7]Aghion, Ph. and Howitt, P. (1992). A model of growth through creative destruction.
Econometrica, 60: 323–351
[8] Thompson, P. and Waldo, D. (1994). Growth and trustified capitalism. Journal of Monetary Economics,
34: 445–462
[9] Zhelobodko E., Kokovin S., Thisse J.-F. «Monopolistic competition: Beyond the CES» - CEPR
Discussion Paper, No. 7947, 2010.
[10] Heijdra, B. J. and van der Ploeg, F. (1996). Keynesian multipliers and the cost of public funds under
monopolistic competition. Economic Journal, 106: 1284–1296
[11] B´enassy, J.-P. (1996). Taste for variety and optimum production patterns in monopolistic competition.
Economics Letters, 52: 41–47; (1998). Is there always too little research in endogenous growth with
expanding product variety? European Economic Review, 42: 61–69
[12] P. Combes, T. Mayer, J.Thisse, Economic Geography, The Integration of Regions and Nations, 2008,
Princeton University Press
[13] Malerba, F. and Orsenigo, L. (1995). Schumpeterian patterns of innovation. Cambridge Journal of
Economics, 19: 47–65
10