Математическое моделирование поведения потребителей

Математическое моделирование поведения потребителей
Байыр-оол Чинчи Кара-кысовна
Руководитель: Панасенко Елена Александровна
Для изучения различных экономических явлений экономисты используют их
упрощенные
формальные
описания,
называемые
экономическими
моделями.
Экономическая модель – это математическое описание экономического процесса или
объекта, произведенное в целях их исследования и управления ими: математическая
запись решаемой экономической задачи [1].
Примерами экономических моделей
являются модели потребительского выбора, модели фирмы, модели экономического
роста, модели равновесия на товарных, факторных и финансовых рынках и многие другие.
Экономические модели позволяют выявить особенности функционирования
экономического объекта и на основе этого предсказывать будущее поведение объекта при
изменении каких-либо параметров. Предсказание будущих изменений, например,
повышение обменного курса, ухудшение эконмической конъюнктуры, падение прибыли
может опираться только на интуицию. Однако при этом могут быть упущены,
неправильно определены или неверно оценены важные взаимосвязи экономических
показателей, влияющие на рассматриваемую ситуацию. В модели все взаимосвязи
переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более
качественный и надежный прогноз.
Для любого экономического субъекта возможность прогнозирования ситуации
означает, прежде всего, получение лучших результатов или избежание потерь, в том числе
и в государственной политике [2].
Целью моего проекта является изучение математического
моделирования
поведения потребителей.
Для изучения моделирования поведения потребителей потребуется рассмотреть
понятия бюджетное множество, функция полезности, предельная полезность.
Под товаром понимается некоторое благо или услуга, поступившая продажу в
определенное время в определенном месте.
Будем считать, что имеется n различных товаров, количество i-того товара
обозначается xi, тогда некоторый упорядоченный набор товаров обозначается X=(x1,…,
xn) и является n-мерным вектором товаров. Набор товаров можно трактовать как корзину,
в которой лежат эти товары в соответствующем количестве.
Каждый товар имеет цену. Пусть цена единицы i-того товара есть pi, тогда P=(p1,…,
pn) есть n-мерный вектор цен.
Для набора товаров X и вектора цен P их скалярное произведение PX= p1x1+…+
pnxn есть число, называемое ценой набора X или его стоимостью, и будет обозначаться
C(X).
Пусть некоторая денежная сумма Q является доходом потребителя. Множество
наборов товаров стоимости не более Q при данных ценах P называется бюджетным
множеством B; множество наборов товаров стоимости, равной Q, называется границей
бюджетного множества G.
Бюджетное множество и его граница зависят от цен и дохода, так что точнее их
было B(P,Q) и G(P,Q). Бюджетное множество и его границу можно определить с помощью
обычных неравенств и равенств так:
B(P,Q)={( x1 ,…, xn): x1,…, xn 0, p1 x1+…+ pnxn
Q}
G(P,Q)={( x1 ,…, xn): x1,…, xn
Q}
0, p1 x1+…+ pnxn
с помощью векторных неравенств и равенств:
B(P,Q)={X:X
0, PX
Q}; G(P,Q)={X:X
0, PX
Q} [3].
Итак, бюджетное множество – это множество тех товаров и услуг, которые
потребитель способен приобрести при фиксированном своем доходе. Поведение
потребителя описывается следующей аксиомой: каждый потребитель принимает решение
о потреблении, покупках и т.п. исключительно исходя из своей системы предпочтений. То
есть выбор потребителя некоторого набора товаров во многом зависит от его вкусов и ,
желаний.
Система
предпочтений
индивида
указывает,
какой
из
двух
наборов
предпочтительнее. Во многих случаях, однако, удобно оценивать привлекательность
набора товаров количественно, т.е. приписывать каждому набору x из пространства
товаров C какое-то число u(x), что удовлетворяет условиям:
u(x)
u(y), если и только если x y;
u(x) u(y), если и только если x=y;
u(x) u(y), если и только если x y.
Такая функция называется функцией полезности. Введение функции полезности
обладает следующими свойствами:
1.
2.
-
с ростом потребления блага полезность растет;
-
небольшой прирост блага при его первоначальном
отсутствии резко увеличивает полезность;
3.
- с ростом потребления блага скорость роста полезности замедляется;
- при очень большом объеме блага его дальнейшее увеличение
4.
приводит к увеличению полезности.
Предельной полезностью товара называется предел отношения приращения
полезности к вызвавшему этот прирост приращению товара:
. Таким
образом, предельная полезность показывает, насколько возрастает полезность, если товар
возрастает на малую единицу [4].
Потребитель, имея доход, желает его потратить с максимальной пользой. Польза
понимается в смысле системы его предпочтений и его функция полезности. Это приводит
к следующей задаче математического программирования: найти набор товаров X=(x1,…,
xn), максимизирующий функцию полезности u=(x1,…, xn) при выполнении бюджетного
ограничения p1 x1+…+ pnxn Q.
Эту задачу можно сформулировать более кратко: u(x) max, PX Q, X 0 (рисунок
1), т.е.
Решение этой задачи сводится к решению системы:
Любая точка максимума лежит на границе бюджетного множества. Если u –
вогнута, то решение задачи потребителя – единственно, т.е. существует только одна точка
максимума функции полезности на бюджетном множестве (рисунок 1).
x2
x1
Рисунок 1. Кривая безразличия и граница бюджетного множества
Таким образом, у потребителя даже нет выбора того, как с наибольшей пользой
потратить
свои
деньги,
так
как
существует
единственный
набор
товаров,
максимизирующий полезность. Эта единственная точка максимума называется спросом
потребителя. Как видно, точка спроса зависит от цен и дохода Q. В точке касания
выполняется следующее условие:
Это условие является условием равновесия потребителя на рынке [3].
Пример задачи максимизации полезности: для известной функции полезности
требуется найти наиболее предпочтительный потребительский набор при данном доходе и
ценах на товары.
Пусть функция полезности для первого товара
Цена первого товара
, цена второго товара
, второго
.
. Доход Q=180. Какое количество
товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?
Для решения этой задачи необходимо решить систему:
Решая систему, получаем:
,
. Этот набор товаров является
оптимальным для потребления с точки зрения максимизации полезности.
В дальнейшем на занятиях группового проектного обучения будут использоваться
и другие методы решения задач потребительского спроса и будет осуществлена их
программная реализация.
Список использованных источников
1 http://slovari.yandex.ru
2 Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в
экономике: Учебник. 2-е изд. – М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и
сервис», 1999. – 368 с.
3 М.Г. Сидоренко Математические модели в экономике: Учебное пособие –
Министерство
образования
Российской
Федерации,
Томский
государственный
университет систем управления и радиоэлектроники, Кафедра экономики. - Томск:
ТМЦДО, 2000. - 129 с.
4 Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. – 2-е изд.,
перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 399 с.