Задача 2 Для изготовления четырех видов продукции

Задача 2
Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья.
Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида
продукции приведены в таблице.
Тип сырья
I
II
III
Цена изделия
1.
2.
3.
4.
Нормы расхода сырья на одно изделие
А
Б
В
Г
2
1
3
2
1
2
4
8
2
4
1
1
5
7
3
6
Запасы сырья
200
160
170
Требуется:
Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки
от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска
продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с
помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
 проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане
исходной задачи;
 определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее
выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц
соответственно и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;
 оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10
денежных единиц, на изготовление которого расходуется по две
единицы каждого вида сырья.
Решение
1. Данная
задача
оптимизации
является
задачей
линейного
программирования. Обозначим количество выпускаемых изделий А, Б, В, Г
соответственно как х1, х2, х3, х4. Целевой функцией задачи является общая
стоимость выпускаемой продукции, которая должна быть наибольшей. Число
ограничений задачи равно числу ресурсов, используемых для изготовления
изделий — 3. Дополнительно вводится условие неотрицательности
переменных. Зная цены изделий, нормы их расхода и запасы ресурсов,
формулируем математическую модель исходной задачи линейного
программирования:
f ( X )  5  x1  7  x 2  3  x3  6  x 4  max;
I) 2  x1  1  x 2  3  x3  2  x 4  200,

II) 1  x1  2  x 2  4  x3  8  x 4  160,
III) 2  x  4  x  1  x  1  x  170, ;
1
2
3
4

x1 , x 2 , x3 , x 4  0.
Задачу оптимизации решаем с помощью надстройки «Поиск решения»
табличного процессора EXCEL (меню «Сервис»):
Использование надстройки позволило получить значения переменных
оптимального плана выпуска изделий: Х*=(80; 0; 0; 10). Целевая функция
имеет наибольшее для данных условий задачи значение f(X*)=460 (прил. 1).
Таким образом, для получения наибольшей выручки от реализации
продукции следует производить x1*=80 изделий А, x4*=10 изделий Г, и не
производить изделия В (x3*=0) и Б (x2*=0).
2.Обозначим двойственные оценки ресурсов I, II, III, как y1, y2, y3,
соответственно. Целевой функцией двойственной задачи является общая
стоимость запасов ресурсов в двойственных оценках, которая должна быть
наименьшей. Число ограничений двойственной задачи равно числу
переменных исходной задачи — 4. Математическая модель двойственной
задачи имеет вид:
 (Y )  200  y1  160  y 2  170  y3  min;
1) 2  y1  1 y 2  2  y3  5,
2) 1 y  2  y  4  y  7,

1
2
3

3) 3  y1  4  y 2  1 y3  3,
4) 2  y1  8  y 2  1 y3  6;
y1 , y 2 , y3 , y 4  0.
При решении исходной задачи с помощью EXCEL одновременно
определяется и оптимальное решение двойственной задачи. В «Отчете по
устойчивости» (прил. 2) приводятся теневые цены ресурсов: y1*0;
y2*0,467; y3*=2,267.
Наименьшее значение целевой функции двойственной задачи
 (Y *)  200  0  160  0,467  170  2,267  460
совпадает (в пределах погрешности округления) с наибольшим значением
целевой функции исходной задачи f(X*).
3. Выпуск изделий Б и В невыгоден для данных условий задачи. Это
объясняется тем, что стоимость ресурсов на изготовление единицы
продукции в теневых ценах превышает цену реализации:
a12  y1 *  a 22  y 2 *  a32  y3 * 
 1  0  2  0,467  4  2,267  10,002  (c2  7).
a13  y1 *  a23  y2 *  a33  y3 * 
 3  0  4  0,467  1  2,267  4,135  (c3  3).
(для Б)
(для В)
4. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. Для этого
подставим в ограничения исходной задачи значения переменных
оптимального плана Х*=(80; 0; 0; 10) и проверим выполнение неравенств:
I)
(2  80  1  0  3  0  2  10  180)  200;
II) (1  80  2  0  4  0  8  10  160)  160;
III) (2  80  4  0  1  0  1  10  170)  170;
Видно, что ресурсы II и III используются в оптимальном плане
полностью, т. е. являются дефицитными. На это обстоятельство указывает и
то, что теневые цены этих ресурсов больше нуля (y2*>0; y3*>0). Самым
дефицитным является ресурс III, так как он имеет наибольшую теневую цену
(y3*2,267); наименее дефицитен ресурс II (y2*0,467).
Ограниченные запасы дефицитных ресурсов II и III сдерживают рост
объемов выпускаемой продукции и наибольшей выручки от ее реализации.
Увеличение объема ресурса II на одну единицу при неизменных объемах
других ресурсов ведет к росту наибольшей выручки на 0,467 руб.,
увеличение объема ресурса III на единицу — на 2,267 руб.
Ресурс I
является недефицитным (y1*=0), т. е. избыточным в
оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не повлияет на
оптимальный план выпуска продукции и не увеличит ее общую стоимость.
Определим, насколько изменится общая стоимость выпускаемой
продукции при заданных изменениях запасов сырья. Из «Отчета по
устойчивости» видно, что эти изменения происходят в пределах
устойчивости (см. «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение»
правых частей ограничений в прил. 2), что дает возможность сразу
рассчитать изменение наибольшей выручки от реализации выпускаемой
продукции, не решая новую задачу линейного программирования:
f ( X *)  b1  y1 *  b2  y 2 *  b3  y3 * 
 8  0  10  0,467  5  2,267  6,665 руб.
При этом «новая» наибольшая выручка составит
~
f ( X *)  f ( X *)  f ( X *)  460  6,665  453,335 руб.
Для определения целесообразности включения в план выпуска еще и
изделия И5 с заданными характеристиками рассчитаем стоимость ресурсов на
изготовление единицы этого изделия в теневых ценах и сравним это значение
с ценой реализации:
a15  y1 *  a 25  y 2 *  a35  y3 * 
 2  0  2  0,467  2  2,267  4,534  (c5  10).
Следовательно, продукцию И5 выпускать выгодно, так как затраты на
ресурсы при выпуске одного данного изделия вида И5 будут меньше цены
изделия вида И5.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист EXCEL;
2) «Отчет по устойчивости».
ЗАДАЧА 4
Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа
одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t)
(млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t)
этого показателя приведен в таблице:
t
yt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
10
11
15
17
21
25
23
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель yˆ t  a0  a1  t , параметры которой оценить
МНК ( ŷ t — расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную линейную модель Брауна.
4. Оценить адекватность линейной модели, используя свойства
независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия
нормальному закону распределения.
5. Оценить точность модели на основе использования средней
относительной ошибки аппроксимации.
6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две
недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной
вероятности р=70 %).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и
прогнозирования представить графически.
Решение
1. Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина. Для
каждого уровня временного ряда рассчитывается статистика
y  yt 1
t  t
,
Sy
n
где S y 
 ( yt  y ) 2
t 1
— стандартное отклонение уровней ряда.
n 1
Стандартное отклонение определяется с помощью встроенной функции
EXCEL «СТАНДОТКЛОН»: Sy7,52 млн. руб. (прил. 1). Расчет значений t
для всех уровней ряда, начиная со второго, приведен в прил. 1. Табличное
значение критерия Ирвина для уровня значимости =0,05 и длины
временного ряда n=9 составляет =1,5. Видно, что ни одно из значений t не
превышает критического значения, что свидетельствует об отсутствии
аномальных наблюдений.
2. Линейную трендовую модель yˆ t  a0  a1  t строим с помощью
надстройки EXCEL «Анализ данных… Регрессия» (меню «Сервис»):
Уравнение линейного тренда имеет вид (см. «Коэффициенты» в прил. 1):
yˆ t  1,167  2,7  t .
Угловой коэффициент показывает, что спрос на кредитные ресурсы
финансовой компании за одну неделю возрастает в среднем на 2,7 млн. руб.
Коэффициент детерминации уравнения R20,967 (см. «R-квадрат» в прил. 1)
2
превышает критическое значение Rкр
 0,444 для =0,05 и n=9, что
свидетельствует о статистической значимости линейной модели и наличии
устойчивого линейного тренда во временном ряду. Само значение R2
показывает, что изменение спроса во времени на 96,7 % описывается
линейной моделью.
Оценим адекватность линейной модели. Рассчитанные по модели
значения спроса ŷ t , остатки et  yt  yˆ t и их график были получены в EXCEL
одновременно с построением модели (см. «ВЫВОД ОСТАТКА» в прил. 1).
Случайность остаточной компоненты проверим по критерию
поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда остатков сравниваем с
двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень
одновременно больше или одновременно меньше обоих соседних уровней, то
точка считается поворотной (на графике остатков такие уровни выглядят как
«пики» и «впадины»). В нашем случае общее число поворотных точек в ряду
остатков составляет p=5.
Критическое число поворотных точек для =0,05 и n=9 определяется
по формуле
2
16  n  29 
q  целое  (n  2)  1,96 

3
90


2
16  9  29 
 целое  (9  2)  1,96 
  целое(2,45)  2.
3
90


Так как p  q , остатки признаются случайными.
Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина–Уотсона.
Для расчета d-статистики используется выражение, составленное из
встроенных функций EXCEL:
=СУММКВРАЗН(«Остатки
1, …,n»)
2, …, n»;
«Остатки
1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки
d-статистика имеет значение (см. прил. 1):
n
d
 (e
 et 1 ) 2
t
t 2
n
e
t 1
2
t
 2,21 .
Критические значения d-статистики для =0,05 и n=9 составляют:
d1=0,82; d2=1,32. Так как выполняется условие
(d 2  1,32)  (d  2,34)  (4  d 2  4  1,32  2,68) ,
остатки признаются независимыми (автокорреляция остатков не выявлена).
Проверим независимость остатков также и по коэффициенту
автокорреляции первого порядка, который равен (см. прил. 1):
n
r(1) 
e
t 2
t
 et 1
n
e
t 1
2
t
 -0,341 .
Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение,
составленное из встроенных функций EXCEL:
=СУММПРОИЗВ(«Остатки
1, …,n»)
2, …, n»;
«Остатки
1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки
Критическое значение коэффициента автокорреляции для =0,05 и n=9
составляет 0,666. Так как коэффициент автокорреляции не превышает по
абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на
отсутствие автокорреляции в остатках.
Проверим равенство нулю математического ожидания уровней ряда
e  e  ...  en
остатков. Среднее значение остатков равно нулю: e  1 2
0
n
(определено с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1).
Поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений
остаточного ряда нулю не отклоняется.
Нормальный закон распределения остатков проверяем с помощью R/Sкритерия, определяемого по формуле
R/S 
emax  emin 2,23  (2,47)

 3,481 ,
Se
1,35
где emax=2,23; emin=(–2,47) — наибольший и наименьший остатки
соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и
n
«МИН»); S e 
 (e
t
 e)2
 1,35 стандартное отклонение ряда остатков
n 1
(определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН»;см. прил.1).
Критические границы R/S-критерия для =0,05 и n=9 имеют значения:
(R/S)1=2,59 и (R/S)2=3,55. Так как R/S-критерий попадает в интервал между
критическими границами, то ряд остатков признается соответствующим
нормальному закону распределения вероятностей.
Таким образом, выполняются все пункты проверки адекватности
модели: модель признается адекватной исследуемому процессу.
t 1
Оценим точность линейной модели. Стандартная ошибка модели Sмод была
определена одновременно с ее построением (см. «Стандартная ошибка» в
прил. 1):
n
S мод 
(y
t 1
где y 
S мод
y
 yˆ t ) 2
n2
Среднюю относительную
приближенной формуле:
E отн  0,8 
t
 1,44 млн. руб.
ошибку
 100 %  0,8 
аппроксимации
находим
по
1,44
 100 %  7,85 %,
14,67
y1  y 2    y n
 14,67 млн. руб. — средний уровень временного ряда
n
(определен с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ»; см. прил. 1).
Значение Eотн показывает, что предсказанные моделью значения спроса на
кредитные ресурсы отличаются от фактических значений в среднем на
7,85%. Модель имеет хорошую точность.
Строим точечный и интервальный прогнозы спроса на 1 и 2 недели вперед.
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
1) Точечный прогноз yˆ n  k  a0  a1  (n  k ) :
yˆ 91  1,167  2,7  (9  1)  28,167 млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 28,167 млн. руб.
2) Интервальный прогноз yn  k  yˆ n  k  t таб  Sмод  K пр с надежностью
(доверительной вероятностью) =0,7:
y91  yˆ 91  t таб  S мод  K пр  28,167  1,12  2,7  1,24  (28,167  3,75) млн. руб.,
где tтаб=1,12 — табличное значение t-критерия Стьюдента для доверительной
вероятности =0,7 и числа степеней свободы df  n  2  9  2  7 ; Kпр=1,24 —
коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=1.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные
ресурсы будет находиться в интервале от 24,41 до 31,92 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
1) Точечный прогноз:
yˆ 9 2  1,167  2,7  (9  2)  30,87 млн. руб.
Среднее прогнозируемое значение спроса равно 30,87 млн. руб.
2) Интервальный прогноз с надежностью =0,7:
y9 2  yˆ 9 2  t таб  S мод  K пр  30,87  1,12  2,7  1,31  (30,87  3,96) млн. руб.,
где Kпр=1,31 — коэффициент интервального прогноза для n=9 и k=2.
С вероятностью 70 % фактическое значение спроса на кредитные
ресурсы будет находиться в интервале от 26,91 до 34,83 млн. руб.
График временного ряда спроса строим с помощью надстройки «Диаграмма»
EXCEL. Предварительно выделяется блок ячеек «t» и «yt» вместе с
заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» «Диаграмма…»:
Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» 
«Добавить линию тренда…»  «Линейная»), и устанавливаем «Прогноз»
вперед на 2 единицы и назад на 1 единицу, а также вывод на диаграмме
уравнения тренда и коэффициента детерминации R2:
Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график
вручную (см. прил. 2).
Модель Брауна строится за несколько этапов.
1. По первым пяти точкам временного ряда методом наименьших
квадратов оцениваем параметры а0 и а1 линейной модели
yˆ t  a0  a1  t .
Получаем начальные значения параметров модели Брауна
a 0( 0)  a0  0,800 и a1( 0 )  a1  2,800 , которые соответствуют моменту времени t=0
(определены с помощью функций EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН»
соответственно; прил. 3).
2. Находим прогноз на первый шаг (t=1):
yˆ1  a 0 ( 0 )  a1( 0 )  1  0,800  2,800  1  3,600 .
3. Определяем величину отклонения расчетного значения от
фактического:
e1  y1  yˆ1  3  3,600  0,600 .
4. Корректируем параметры модели по формулам:
a0(t )  a0(t 1)  a1(t 1)  (1  2 )  e(t ) ;
a1(t )  a1(t 1)  (1  ) 2  e(t ) ,
где  — коэффициент дисконтирования данных, отражающий степень
доверия к более поздним наблюдениям; e(t )  y(t )  yˆ (t ) — отклонение
(остаточная компонента).
Оптимальное значение  находится по формуле
n3 93


 0,75 .
n 1 9 1
Получим:
a 0(1)  a 0(11)  a1(11)  (1   2 )  e(1)  a 0( 0)  a1( 0 )  (1   2 )  e(1) 
;
2
 0,800  2,800  (1  0,75 )  (0,600)  3,225;
a1(1)  a1(11)  (1   ) 2  e(1)  a1( 0 )  (1   ) 2  e( 0 ) 
,
 2,800  (1  0,75) 2  (0,600)  2,425.
5. По модели со скорректированными параметрами a0(t) и a1(t) находим
прогноз на следующий момент времени:
yˆt 1  a0(t )  a1(t ) 1 .
Для t=2:
yˆ 2  a 0(1)  a1(1)  1  3,225  2,425  1  5,65 .
6. Возвращаемся к пункту 3 и повторяем вычисления до конца
временного ряда (см. прил. 3).
7. Параметры модели, полученные для последнего уровня временного
ряда (т. е. для t=n=9), используются для построения прогноза спроса по
формуле:
yˆ n  k  a0( n)  a1( n)  k .
Прогноз на 1 неделю вперед (период упреждения k=1):
yˆ10  a 0(9)  a1(9)  1  25,231  2,675  1  27,906 млн. руб.
Прогноз на 2 недели вперед (период упреждения k=2):
yˆ11  a0(9)  a1(9)  2  25,231  2,675  2  30,581 млн. руб.
Оценим точность модели Брауна. Средняя относительная ошибка
аппроксимации имеет значение

1 n  et
E отн    
 100 %   9,2 % (см. прил. 3)
n t 1  y t

Модель Брауна также имеет хорошую точность, однако она несколько
ниже, чем у линейной трендовой модели.
ПРИЛОЖЕНИЕ:
1) рабочий лист с исходными данными и моделью;
2) график временного ряда и линии тренда.