Течения Куэтта и Пуазейля

Течения Куэтта и Пуазейля.
Решение системы уравнений, описывающей поведение вязкой жидкости,
аналитическими методами, в общем случае невозможно. Только в случае некоторых
простейших видов течений эти уравнения имеют аналитические решения. Задачи,
имеющие практическое значение, решаются в основном с помощью приближенных
численных методов на ЭВМ. Основная трудность аналитического решения этих
 v  v . В этом параграфе мы рассмотрим
которых член  v  v тождественно равен
уравнений обусловлена нелинейным членом
простейшие стационарные течения, для
нулю. Это течения Куэтта и Пуазейля.
Вызвать движение вязкой жидкости можно двумя способами: с помощью внешних
сил (объемных сил или сил давления, например, создав разность давлений на концах
горизонтальной трубки или выводя трубку из горизонтального положения), или
перемещая стенки, ограничивающие жидкость.
Стационарное течение, вызванное внешними силами давления, называется
течением Пуазейля, а течение, вызванное перемещением стенок, - течением Куэтта.
Течения, описанные в предыдущем параграфе, являются примерами таких течений.
1. Плоско-параллельное течение Куэтта. Исследуем распределение скоростей и
давлений в течении, изображенном на рис. 19.13а. Связав координатную плоскость XY
с нижней пластиной, для краевых условий получим:
vx (0)   0 ; vx h  u .
(19.64)
Для стационарного течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности
примет следующий вид:
v 
vx v y vz


 0,
x
y
z
(19.65)
а уравнение Навье-Стокса
 v  v  
1

P  g  v .
(19.66)
Исходя из симметрии течения, можно утверждать, что отлична от нуля только одна
составляющая скорости
vx : v  v,0,0  .
не может зависеть от координаты
неразрывности (19.65) следует, что
координаты x. Значит,
Очевидно также, что скорость (как и давление)
y :v  v  x, z  . В этом случае из уравнения
v x =0, то есть v не зависит также и от
v  iˆv  z  . При этих условиях очевидно, что
 v  v = 0; v  iˆ
d 2v
.
dz 2
Проектируя уравнение (19.66) на оси X и Z , учитывая
(19.67)
g  kˆg ,
и что в течении
Куэтта отсутствует падение давления вдоль течения, то есть p=p(z), получим
d 2v
dP
 0;
  g .
2
dz
dz
(19.68)
Второе уравнение дает распределение гидростатического давления в жидкости
P  P0   gz ,
которое не имеет никакого влияния на динамику течения, а из первого
уравнения получаем закон
v  z   A  Bz .
Постоянные интегрирования А и В определяются из краевых условий (19.64):
A  0, B  u / h . Следовательно, в плоско-параллельном течении Куэтта скорость
имеет следующее распределение:
v z  u
z
,
h
(19.69)
представленое на рис.19.13 б (линейный профиль скорости). Напряжение трения в
жидкости везде одинаково и равно по величине
 xz  
dv
u
 ,
dz
h
(19.70)
причем на нижней пластине оно имеет направление течения, а на верхней –
противоположное направление. Поэтому для того, чтобы нижняя пластина не
двигалась, к ней необходимо приложить силу F  u / h , где  – площадь
поверхности пластины.
2. Плоско-параллельное течение Пуазейля. В этом случае пластины
неподвижны, но вдоль оси X поддерживается постоянная разность давлений:
P  x  0   P1 ; P  x 
P .
(19.71)
2
И снова, исходя из соображений симметрии, пользуясь уравнением неразрывности,
получим условие
v  iˆv  x  .
Так что верны также соотношения (19.67). Проектируя
уравнение Навье-Стокса на оси X и Z, получим
P
P
d 2v
  g,
 2 .
z
x
dz
Из первого уравнения получаем
P  x, z   P  x    gx .
(19.72)
Подставляя его во второе
уравнение, получим
dP  x 
d 2v z 

 A,
dx
dz 2
(19.73)
левая часть которой зависит только от X, а правая – от z. Это возможно, если левая
и правая части уравнения равны одной и той же постоянной А, которая и выражена в
(19.73). Пользуясь условием (19.71), получим
A
где
P1  P2

P
,
 P  P2  P1  0 . Интегрирование уравнения (19.73) по z даст
(19.74)
v z   
P 2
z  Bz  C .
2
(19.74)
Постоянные B и C интегрирования определим, исходя из условия «сцепления»
v  z  0  v  z  h   0 .
(19.75)
Определив постоянные B, C и подставив их в (19.74), получим:
P
v z  
2
2

h  h2 
 z     .
2
4

(19.76)
Рис.19.14
Как
видим,
плоско-параллельное
течение
Пуазейля
характеризуется
параболическим профилем поля скоростей (рис. 19.14). Напряжение трения на стенках
направлено по оси X и равно h P / 2 .
3. Течение Пуазейля в круглой цилиндрической трубке. Так как в прямой
трубке течение симметрично относительно сои цилиндра, то удобно вдоль этой оси
направить ось
Z , а с основанием связать координатную плоскость  r , 
(рис. 19.15).
Течение создается и поддерживается постоянной разностью давлений:
P  z  0   P1 ; P  z 
P.
Понятно, что скорость в цилиндре имеет только составляющую
осевой симметрии течения, величины
vz , P
(19.77)
2
vz .
будут независимы от координаты
Благодаря

(в этой
задаче сила тяжести не учитывается). Из уравнения неразрывности следует, что
может зависеть также от
z:
vz  v  r 
.
В этом случае
 v  v  0;
С учетом последних, составляющие
r
1 d  dv 
v  kˆ
r .
r dr  dr 
и
z
уравнения Навье-Стокса дадут
vz
не
(19.78)
P
 0;
r
1 d  dv  1 dP
 A.
r  
r dr  dr   dz
Из первого уравнения следует, что
P  P z ,
(19.79)
а левая и правая части второго
уравнения, будучи зависимы от разных независимых переменных, должны быть равны
одной и той же постоянной величине A . Из условия (19.77) определим
A    P  ,  P  P2  P1  0 .
рис.19.15
Подставляя это в (19.79) и интегрируя по
r , получим:
v  r    Pr 2 4  B ln r  C .
Из конечности скорости на оси следует, что
условия скорости
vr  R  0 :
B  0,
а
C
определяется из краевого
C   PR2 4 ,
где
R – радиус
параболическим
цилиндра.
Значит,
(19.80)
профиль
скорости
снова
v  r    P  R2  r 2  4 ,
является
(19.81)
в котором скорость достигает максимального значения на оси цилиндра:
vmax  v  0    PR 2 4
Масса жидкости, протекающая по поперечному сечению трубки за единицу времени,
будет
R
Q    v  r  2 rdr  
0
 P 4
R ,
8
(19.82)
то есть прямо пропорциональна произведению четвертой степени радиуса трубки и
падения давления и обратно пропорциональна кинетической вязкости жидкости.
Напряжение трения на стенке трубки в данном случае равно
 zx  
dv R  P
,
 
dr 2
и направлено вдоль течения.
Течения, рассмотренные в данном параграфе, являются идеализациями, так как
твердые тела (пластинки, трубка) предполагаются бесконечными. Однако полученные
результаты применяются на практике, если, например, длина и ширина пластин
намного больше расстояния между ними или если длина цилиндра намного больше его
радиуса. Эксперименты, проведенные в подобных цилиндрах, привели Хагена (1839) и
Пуазейля (1840) к результату (19.82), которое впоследствии было теоретически
получено Стоксом (1845). Существенно, что Хаген утверждал также, что результат
(19.82) имеет место в опыте при небольших скоростях и не очень маленьких значениях
вязкости.