Лекции 3 Автор - Трушин А.М. Уравнения движения реальной жидкости В потоке реальной жидкости будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Рассмотрим сначала идеализированный случай однонаправленного движения несжимаемой вязкой жидкости, в котором все скорости имеют одинаковые направления. Выделим в потоке жидкости двигающейся параллельно оси z элементарный параллелепипед, грани которого ориентированы по осям координат (Рис.5). Рис.5. К выводу уравнения баланса сил при одномерном движении вязкой несжимаемой жидкости Будем считать, что скорость wz уменьшается вдоль осей x и y . С учетом условия однонаправленности имеем wx = wy = 0 Определим проекции внешних сил на ось z, действующих на элементарный объём. P P dz dx dy dx dy dz Сила давления: P dx dy P z z Сила тяжести: g dx dy dz Сила трения, возникающая при изменении скорости по оси x: S dz dy S S dx dz dy S dx dy dz x x Сила трения при изменении скорости по оси y ( на Рис.5 не показана) S dz dx S S dy dz dx S dy dz dx y y При равенстве скоростей wx и wy нулю касательные напряжения, действующие по оси z, при изменении скорости wz по осям x и y выражаются по закону внутреннего трения Ньютона (4). При изменении wz по оси x: S xz wz x При изменении wz по оси y: S yz wz y Следовательно, проекция сил трения на ось z равна 2 wz 2 wz 2 2 dx dy dz y x Из уравнения неразрывности при wx = wy = 0 следует ускорения равна wz 0 , поэтому величина z wz ( индивидуальная производная равна частной). t В соответствии с основным принципом динамики получим уравнение баланса сил, действующих по оси z 2w 2w wz P dx dy dz dx dy dz g dx dy dz 2z 2z dx dy dz t z y x Сократив на величину элементарного объёма, получим уравнение баланса сил, отнесённых к единице объёма 2 wz 2 wz wz P g 2 2 t z y x (49) Полученное уравнение выражает одновременно как баланс сил, так и баланс количества движения (импульса), так как левая часть уравнения (49) (произведение ускорения на массу единицы объёма) равна скорости изменения импульса в единице объёма, а правая часть этого уравнения равна потоку импульса, входящего в единицу объёма, за счёт действия внешних сил. В общем случае, когда вектор скорости направлен произвольно, уравнения движения несжимаемой вязкой ньютоновской жидкости (баланса сил) в проекциях на оси координат, имеет вид ось z: 2w 2w 2w wz P g 2z 2z 2z t z y z x ось x: 2 w 2 w 2 wx wx P g 2x 2x t x y z 2 x ось y: 2 wy 2 wy 2 wy P g 2 2 2 t y x y z (50) wy Эти уравнения называются системой уравнений Навье-Стокса. Уравнение Навье-Стокса в векторной форме: dw g grad P w dt Где - оператор Лапласа При = 0, уравнение Навье-Стокса переходит в уравнение Эйлера (28) (51) Совместное решение уравнения (51) и уравнения неразрывности (17) позволяет получить поле скоростей и давлений в движущейся несжимаемой ньютоновской жидкости. Точные аналитические решения этой системы в силу её нелинейности удаётся найти для небольшого числа простых симметричных течений. Получим решение этой задачи для одного из таких простых движений. Рассмотрим стационарное ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в прямой круглой трубе, радиуса R и длины L. Расположим ось трубы по координате x. Для стационарного, однонаправленного движения несжимаемой жидкости из уравнения неразрывности при wz = wy = 0 имеем w x w dw ,тогда x x 0 x t dt Следовательно, уравнение Навье-Стокса для оси x из системы уравнений (50) принимает вид 2 wx 2 wx P 2 2 z x y (52) Для осесимметричного течения в прямой круглой трубе удобно использовать цилиндрические координаты. Для осесимметрического неразрывного движения несжимаемой жидкости зависит только от текущего радиуса трубы, wx f r , т.к wx wx 0 , следовательно, в x цилиндрических координатах имеем две переменные: радиус трубы в произвольной точке сечения (r) и длину трубы (х), причем r y2 z2 Найдём по правилам дифференцирования неявной функции вторые производные wx. 2 2 wx 2 wx dr wx 2 r y 2 r 2 dy r y 2 2 wx 2 wx dr wx 2 r z 2 r 2 dz r z 2 2 2 dr dr Легко найти, что 1 dy dz 2 2r 2r 1 , следовательно, уравнение (52) в цилиндрических координатах y 2 z 2 r имеет вид 2 wx 1 dwx 1 dP r 2 r dr dx (53) Поскольку левая часть уравнения зависит от r, а правая от х, порознь они должны быть равны некоторой константе, следовательно зависимость Р от x линейна, тогда dP P dx x Для удобства интегрирования, запишем уравнение (53) в компактной форме 1 d dwx 1 P r r dr dr x Граничные условия: 1) r = 0; 2) r = R; dwx 0 ( условие экстремума по теореме Ролля) dr wx = 0 ( условие прилипания) Интегрируя, получим r dwx 1 P r 2 C1 dr x 2 (54) Из граничного условия (1) wx С1=0, отсюда 1 P r 2 C2 x 4 Из граничного условия (2) получим 1 P R 2 , следовательно C2 x 4 wx Поскольку 1 P 2 R r2 4 x (55) P P2 P1 x L величина отрицательна, в технике часто рассматривают Р как разницу давлений на входе и выходе, т.е. Р = Р1-Р2. Эту величину называют гидравлическим сопротивлением или потерянным давлением. При использовании Р = Р1-Р2. ( в виде потерянного давления) получим wx P 2 2 R r 4L (56) Полученное параболическое распределение скорости (профиль скорости) по радиусу трубы называется уравнением Пуазейля. Из уравнения (56) видно, что скорость по оси трубы (r = 0) имеет максимальное значение на оси трубы wx max P 2 R 4L Найдём среднюю скорость по поперечному сечению трубы S: wx ср wx dS S S 1 2 R r 2 2r dr P 2 L R 2 R 8L 0 R Обозначим wx ср = w w P 2 R 8L Отсюда видно, что средняя скорость вдвое меньше максимальной. Умножив величину средней скорости на площадь поперечного сечения, получим объёмный поток ( расход) жидкости в трубе круглого сечения. Q PR 4 8L (57)