Задачи - Теория управления организационными системами.

Вопросы
Место теории игр в теории управления организационными системами.
Модель игры в нормальной форме.
Удаление доминируемых стратегий.
Равновесие в доминантных стратегиях.
Оптимальность по Парето.
Определение равновесия Нэша в чистых и смешанных стратегиях.
Условия существования равновесия Нэша в чистых и смешанных стратегиях.
Модель игры в развернутой форме.
Переход от игры в развернутой форме к игре в нормальной форме.
Совершенное равновесие по подыграм, его сравнение с равновесием Нэша. Равновесие
Штакельберга.
11. Модель байесовой игры.
12. Равновесие Байеса.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Задачи
1.
Имеется n игроков с целевыми функциями
n
f i ( x )  xi (nX   x j ) ,
j 1
i = 1, …, n (X – некоторая положительная константа), и действиями xi  [0, X ] .
Найти все равновесия Нэша в чистых стратегиях этой игры.
2.
В условиях задачи 1 найти множество недоминируемых стратегий
каждого игрока. Показать, каким образом в данной игре строится множество
итерационно недоминируемых стратегий (проиллюстрировать несколько
итераций).
3.
В условиях задачи 1 найти все оптимальные по Парето исходы для
случая двух игроков (n = 2).
Подсказка: множество оптимальных по Парето исходов совпадает с
множеством точек, на которых достигает максимума функция
f1 ( x1 , x2 )  (1   ) f 2 ( x1 , x2 ) при различных   [0,1] .
4.
Задана игра n лиц с целевыми функциями
n
f i ( x )  xi    x j
и
j 1
стратегиями xi  [0,1] . Найти все равновесия Нэша в чистых стратегиях.
5.
В условиях задачи 4 найти все равновесия в доминантных стратегиях.
6.
В условиях задачи 4 найти все оптимальные по Парето ситуации. При
каких значениях исходных параметров  и  равновесие Нэша оптимально по
Парето?
Игра двух лиц задается следующей матрицей:
Стратегии
первого Стратегии второго игрока
игрока
L
T
0, 0
B
1, 0
Найдите все равновесия Нэша в смешанных стратегиях.
7.
R
0, -1
-1, 3
8.
Два игрока могут обмениваться одним из двух видов ресурса. Начальное
количество ресурсов у первого игрока x10  1 , x20  0 , у второго – y10  0 ,
y20  1. Полезность первого игрока от обладания ресурсами –
второго
–
Найти
f1 ( x1 , x2 )  x1 ( x2  0.1) ,
f 2 ( y1 , y2 )  ( y1  0.1) * y2 .
контрактную кривую (множество оптимальных по Парето исходов обмена).
Подсказка: множество оптимальных по Парето исходов совпадает с
множеством точек, на которых достигает максимума функция
f1 ( x1 , x2 )  (1   ) f 2 ( x1 , x2 ) при различных   [0,1] .
9.
В условиях задачи 8 найти равновесия Штакельберга (совершенные
равновесия по подыграм) для игры, в которой сначала первый игрок предлагает
объемы товаров для обмена, а второй игрок может или согласиться, или не
согласиться на это предложение (в случае отказа обмен не происходит).
10.
В условиях задачи 8 найти равновесия Штакельберга (совершенные
равновесия по подыграм) для игры, в которой сначала первый игрок заявляет
цену p (количество второго товара, передаваемого за единицу первого товара),
потом второй игрок – объем X1 первого товара для обмена по этой ценe, после
чего второй игрок получает X1 единиц первого товара и отдает pX1 единиц
второго товара.
11.
Две страны решают, куда вкладывать средства – в развитие теории игр
(Т) или в создание новых вооружений (В). Если президент второй страны
привержен идеям пацифизма, то матрица выигрышей имеет следующий вид
Стратегии
страны
Т
В
первой Стратегии второй страны
Т
2, 2
0, 0
В
0, 0
1, 1
То есть совместная работа в одной области приводит игроков к успеху.
Однако если президент второй страны – милитарист, то он объявит первой
стране войну, и тогда в зависимости от действий игроков их выигрыши
выглядят так:
Стратегии
страны
Т
В
первой Стратегии второй страны
Т
1, 1
3, -1
В
-1, 3
0, 0
Президент первой страны считает вероятность того, что второй игрок –
пацифист, равной 0.5. Построить байесову игру, соответствующую описанной
ситуации. Вычислить равновесия Байеса.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.:
СИНТЕГ, 2002. – 139 с.