Контрольная работа Вариант 4 Задание 1 По данной

Контрольная работа
Вариант 4
Задание 1
По данной производственной функции найти средние и предельные
производительности
каждого
ресурса,
частные эластичности выпуска по
каждому ресурсу, эластичность производства и предельную технологическую
норму замены.
y  ax1  x2b  c
Решение:
Средние производительности:
y ax1  x2b  c
x2b  c
,
A1  
a
x1
x1
x1
A2 
y ax1  x2b  c
ax  c
.

 x2b 1  1
x2
x2
x2
Предельные производительности равны:
M1  y x1 '  a , M2  yx2 '  bx2b 1 .
Частные эластичности равны:
E1 
E2 
M1
a
ax1


,
A1 ax1  x2b  c ax1  x2b  c
x1
M2
bx2b 1
bx2b


.
A 2 ax1  x2b  c ax1  x2b  c
x2
Эластичность производства:
ax1
bx2b
ax1  bx2b
.
E  E1  E 2 


ax1  x2b  c ax1  x2b  c ax1  x2b  c
Технологическая норма замены есть:
ax1
 x2
E1 x2 ax1  x2b  c
ax1 x2
a
R12 



.
bx2b
E 2 x1
bx2b x1 bx2b 1
 x1
ax1  x2b  c
Задание 2
Некоторое предприятие затрачивает а1 = 8 тыс. тонн ресурса и b1 = 24 тыс.
часов труда для выпуска с1 = 57 тыс. единиц продукции. В результате
расширения производства оказалось, что при затратах а 2 = 9 тыс. тонн
ресурса выпуск возрос до с2 = 59 тыс. единиц продукции, а при увеличении
трудоемкости до b2 = 25 тыс. часов, выпуск возрос до с3 = 61 тыс. единиц
продукции. Найти линейную производственную функцию и производственную
функцию Кобба-Дугласа.
Решение:
Запишем для удобства исходные данные в виде таблицы:
x1
8
9
–
x2
24
–
25
y
57
59
61
Линейная функция y  a1 x1  a2 x2  b .
Найдем параметры функции:
a1 
y 59  57
y 61  57

 2 , a2 

 4.
x2 25  24
x1
98
Получаем y  2 x1  4 x2  b .
Для нахождения b используем первый столбец таблицы:
57  2  8  4  24  b , откуда b  55 .
В результате линейная производственная функция имеет вид:
y  2 x1  4 x2  55 .
Производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
y  x1  x2  b .
a1
a2
Коэффициенты уравнения:
a1 
 59  57  / 59  0.305 a   61  57  / 61  1.639
, 2
.
 9  8 / 9
 25  24  / 25
Получаем y  x10.305  x21.639  b .
Для нахождения b используем первый столбец таблицы:
57  80.305  241.639  b , откуда b  0.165 .
2
В результате производственная функция Кобба-Дугласа имеет вид:
y  0.165  x10.305  x21.639 .
Задание 3
Целевая функция потребления имеет вид y  x1 x2 . Цена на первое благо
равна p1  10 , а на второе благо p 2  15 . Доход составляет D = 550. Найти:
а) оптимальный набор благ x1 , x2 ;
б) функцию спроса по цене на первое благо x1  p1  ;
в) функцию спроса по доходу на первое благо x1  D  ;
Решение:
1)
Находим
оптимальный
набор
благ.
Задача
оптимального
программирования имеет вид:
y  x1 x2  max
10 x1  15 x2  550
.

 x1 , x2  0
Для ее решения выражаем из бюджетного ограничения 10 x1  15 x2  550
одну переменную через другую: x1  55  1.5 x2 .
Подставляем в целевую функцию: y  x2   55  1.5x2   55x2  1.5 x22 .
Находим производную и приравниваем ее к 0:
y' 
55  3 x2
2 55 x2  1.5 x2 2
Тогда x1  55  1.5 
или 55  3 x2  0 , откуда x2 
55
.
3
55
3 55 55
 55    .
3
2 3
2
Таким образом, оптимальный набор благ составляет 55/2 и 55/3 единиц.
2) Находим теперь функцию спроса на первое благо по цене на него.
Для этого в бюджетном ограничении вместо фиксированного значения
3
вводим
цену
первого блага p1 : p1 x1  15 x2  550 , откуда x2 
110 p1 x1
.

3
15
Подставляем в целевую функцию:
110
p1x12
 110 p1 x1 
.
y  x1  

x1 

15 
3
15
 3
Находим производную и приравниваем ее к 0:
110 2 p1 x1

3
15
y' 
110
px2
2
x1  1 1
3
15
или
110 2 p1 x1
275
– функция

 0 , откуда x1 
3
15
p1
спроса на первое благо по цене.
3) Находим теперь функцию спроса на первое благо по доходу. Для этого
выражаем из бюджетного ограничения 10 x1  15 x2  D одну переменную через
другую: x2 
D  10 x1 D 2 x1
.
 
15
15 3
Подставляем в целевую функцию:
Dx1 2 x12
 D 2 x1 
.
y  x1   


15
3
 15 3 
Находим производную и приравниваем ее к 0:
D 4
 x1
D
D 4
15
3
y
 0 или y   x1  0 , откуда x1 
– функция
15 3
20
Dx1 2 x12
2

15
3
спроса на первое благо по доходу.
Задание 4
Межотраслевой баланс производства и распределения продукции для 4
отраслей имеет вид:
Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой
отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет конечный
продукт каждой отрасли, если валовой продукт первой отрасли увеличится
4
в 2 раза, у второй увеличится на половину, у третьей не изменится, у
четвертой – уменьшится на 10 процентов.
Матрица межотраслевых материальных связей xij и матрица валового
выпуска Xj приведены в таблице:
Производящие
Потребляющие отрасли
Валовой
отрасли
1
2
3
4
продукт
1
0
5
80
95
550
2
15
60
20
40
750
3
55
50
20
40
525
4
0
35
10
60
820
Решение:
1) Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:
b i  X i   xij .
j
b1  550  0  15  55  0  480 ,
b 2  750  5  60  50  35  600 ,
b3  525  80  20  20  10  395 ,
b 4  820  95  40  40  60  585 .
2) Конечный продукт отраслей:
Yj  X i   xij .
i
Y1  550  0  5  80  95  370 ,
Y2  750  15  60  20  40  615 ,
Y3  525  55  50  20  40  360 ,
Y4  820  0  35  10  60  715 .
3) Элементы матрицы прямых затрат определяем по правилу aij 
Например, a11 
0
5
 0 , a12 
 0.009 .
550
550
5
xij
.
Xj
0.009 0.145 0.173 
 0
 0.02 0.08 0.027 0.053 
.
В результате A  
 0.105 0.095 0.038 0.076 


0.043 0.012 0.073 
 0
 2  550  1100 
 1.5  750   1125 

.
4) Новый валовой продукт X '  
 1  525   525 

 

 0.9  820   738 
Конечный продукт отраслей:
Yj '  X i ' xij .
i
Y1  1100  0  5  80  95  920 ,
Y2  1125  15  60  20  40  990 ,
Y3  525  55  50  20  40  360 ,
Y4  738  0  35  10  60  633 .
Задание 5
Имеется баланс двух взаимосвязанных отраслей (сельское хозяйство и
машиностроение) за предыдущий год.
Найти конечный продукт каждой отрасли, чистую продукцию каждой
отрасли, матрицу коэффициентов прямых затрат. Какой будет валовой продукт
каждой отрасли, если конечный продукт сельского хозяйства необходимо
увеличить
на 40 %,
а
машиностроения уменьшить на 20 %. Матрица
межотраслевых материальных связей xij и матрица валового выпуска Xj
приведены в таблице.
10 25 
120 
xij  
X

,
j

 145  .
 5 20 


Решение:
Конечный продукт определим по формуле:
Y  E  A  X ,
6
a
1 0
где E  
 – единичная матрица, A   11
 a21
0 1
a12 
 – матрица прямых затрат,
a22 
элементы которой определяются по правилу aij 
xij
.
Xj
25 
 10
 120 145   0.083 0.172 
В результате A  
.

20   0.042 0.138 
 5


 120 145 
 1 0   0.083 0.172   0.917 0.172 
E-A  


.
 0 1   0.042 0.138   0.042 0.862 
 0.917 0.172  120   85 
Y   E  A  X  
   145   120  – конечный продукт

0.042
0.862

 
 

отраслей.
Найдем чистую продукцию отраслей, используя формулу:
b i  X i   xij .
j
Имеем b1  120  10  5  105 – чистая продукция c/x,
b 2  145  25  20  100 – чистая продукция машиностроения.
Для нахождения валового продукта ,соответствующего новому конечному
 1.4  85  119 
продукту вида Y '  

 , используем формулу:
 0.8 120   96 
X'  E  A  Y ' .
1
Находим обратную матрицу:
0.917 0.172
 0.862 0.172 
E-A

 0.783 , тогда
,

0.042 0.862
 0.042 0.917 
 E-A *  
 E  A
1

 1.101 0.22 
1
  E-A  *  
.
E-A
 0.053 1.171
 1.101 0.22  119   152.1 
В результате X '  
   96   118.7  .
0.053
1.171

 
 

7
Задание 6
Некоторая фирма,
производящая
товар,
хочет
проверить,
эффективность рекламы этого товара. Для этого в 10 регионах, до этого
имеющих одинаковые средние количества продаж, стала проводиться разная
рекламная политика и на рекламу начало выделяться xi денежных средств. При
этом фиксировалось число продаж yi. Предполагая, что для данного случая
количество продаж пропорционально расходам на рекламу, необходимо:
1) В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение
линейной регрессии ~
y  ax  b .
2) Найти
коэффициент
линейной
корреляции
и
с
доверительной
вероятности p = 0.95 проверить его значимость.
3) Построить графики данных и уравнения регрессии.
4) Сделать прогноз для количества продаж, если затраты на рекламу
составят х = 5 млн. руб.
хi
yi
0
0,5
21,0
23,0
Решение:
1
23,7
1,5
23,8
2
25,8
2,5
27,6
3
28,4
3,5
29,7
4
31,7
4,5
31,6
1. Составим вспомогательную таблицу:
№
x
y
xy
x2
y2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
Среднее
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
22,5
2,25
21
23
23,7
23,8
25,8
27,6
28,4
29,7
31,7
31,6
266,3
26,63
0
11,5
23,7
35,7
51,6
69
85,2
103,95
126,8
142,2
649,65
64,965
0
0,25
1
2,25
4
6,25
9
12,25
16
20,25
71,25
7,125
441
529
561,69
566,44
665,64
761,76
806,56
882,09
1004,89
998,56
7217,63
721,763
Среднеквадратическое отклонение:
 x2  x 2  x   7.125  2.252  2.0625 ,  x   x2  2.0625  1.436 .
2

 y2  y 2  y
2
 721.763  26.632  12.606 ,  y   y2  12.606  3.551.
Параметры модели:
8
a
xy  x  y

2
x

64.965  2.25  26.63
 2.447 ,
2.0625
b  y  a  x  26.63  2.447  2.25  21.124 .
В результате уравнение регрессии имеет вид: y  2.447  x  21.124 .
2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной
модели:
rxy 
xy  x  y 64.965  2.25  26.63

 0.99 .
 x  y
1.436  3.551
Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том,
что между переменными Х и Y имеется весьма высокая корреляционная связь.
Данная связь характеризуется как положительная, т.е. с увеличением
выделяемых на рекламу денежных средств число продаж также увеличивается.
Проверяем значимость коэффициента корреляции:
Вычисляем статистику:
t расч  rxy
n2
10  2

0.99

 19.74 .
1  rxy 2
1  0.992
Критическое значение статистики: tкр  t 0.95;10  2  1.86 .
Так как t расч  tкр , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента
корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о
значимости коэффициента корреляции.
Строим на одном графике исходные данные (точками) и линию регрессии
(рис. 1). Из графика видим, что линия регрессии достаточно точно описывает
исходные данные.
9
Рис. 1. Исходные данные и линия регрессии
4. Прогноз для затрат рекламы 5 млн. руб.
y(5)  2.447  5  21.124  33.36 продаж.
Задание 7
Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования yi
от среднемесячного дохода семьи xi . Предполагается, что эта зависимость
носит показательный характер y  ab x . Необходимо:
1. Найти уравнение показательной регрессии y  ab x .
2. Найти нелинейный коэффициент парной корреляции и с доверительной
вероятностью p = 0,9 проверить его значимость.
3. Если коэффициент корреляции значим, то необходимо сделать прогноз
доли расходов на товары длительного пользования при доходе семьи x = 7.2.
хi
yi
2
3,5
20,4
19,7
Решение:
4
16,6
5
17,3
5,5
15,1
1. Преобразуем данные:
y  ln y , A  ln b , B  ln a .
Составим вспомогательную таблицу:
10
6,5
15,2
8
14,3
9
14,1
11
14,3
14
14,1
№
x
y
y
xy
x2
y2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
Среднее
2
3,5
4
5
5,5
6,5
8
9
11
14
68,5
6,85
20,4
19,7
16,6
17,3
15,1
15,2
14,3
14,1
14,3
14,1
161,1
16,11
3,016
2,981
2,809
2,851
2,715
2,721
2,660
2,646
2,660
2,646
27,705
2,771
6,031
10,432
11,238
14,254
14,931
17,688
21,282
23,816
29,263
37,046
185,981
18,598
4
12,25
16
25
30,25
42,25
64
81
121
196
591,75
59,175
9,093
8,884
7,893
8,127
7,370
7,405
7,077
7,002
7,077
7,002
76,930
7,693
Среднеквадратическое отклонение:

2
 x2  x 2  x  59.175  6.852  12.2525 ,  x   x2  12.2525  3.5 .
 
 y2  y 2  y
2
 7.693  2.7712  0.017 ,  y   y2  0.017  0.131 .
Параметры модели:
A
xy  x  y

2
x

18.598  6.85  2.770
 0.031 ,
12.2525
B  y  A  x  2.771  0.031  6.85  2.983 .
Возвращаемся к исходным параметрам:
a  e B  e2.983  19.746 , b  e A  e0.031  0.969
В результате уравнение регрессии имеет вид: y  19.746  0.969 x .
2. Парный коэффициент корреляции найдем по формулам для линейной
модели:
rxy 
xy  x  y 18.598  6.85  2.771

 0.826 .
 x  y
3.5  0.131
Полученное значение коэффициента корреляции свидетельствует о том,
что между переменными Х и Y имеется высокая корреляционная связь. Данная
связь характеризуется как отрицательная, т.е. с увеличением среднемесячных
доходов расходы на товары длительного пользования уменьшаются.
Проверяем значимость коэффициента корреляции:
Вычисляем статистику:
11
t расч  rxy
n2
10  2
 0.826 
 4.14 .
2
1  rxy
1  0.8262
Критическое значение статистики: tкр  t  0.9;10  2   1.397 .
Так как t расч  tкр , то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента
корреляции отвергаем с вероятностью ошибки меньше 5% и делаем вывод о
значимости коэффициента корреляции.
4. Прогноз при доходе семьи 7,2:
y  7.2   19.746  0.9697.2  15.79 .
12