Три натуральных числа таковы, что ... 1. двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих... (2013, 11.1)

1. (2013, 11.1) Три натуральных числа таковы, что последняя цифра суммы любых
двух из них является последней цифрой третьего числа. Произведение этих трёх чисел
записали на доске, а затем всё, кроме трёх последних цифр этого произведения стёрли.
Какие три цифры могли остаться на доске? Найдите все возможные ответы. (000, 250,
500 или 750)
2. (2013, 9.6-10.5) Тридцать девочек  13 в красных платьях и 17 в синих платьях 
водили хоровод вокруг новогодней ёлки. Впоследствии каждую из них спросили, была
ли её соседка справа в синем платье. Оказалось, что правильно ответили те и только те
девочки, которые стояли между девочками в платьях одного цвета. Сколько девочек
могли ответить утвердительно? (17)
3. (2012, 9.1) На доске написаны несколько чисел. Известно, что квадрат любого
записанного числа больше произведения любых двух других записанных чисел. Какое
наибольшее количество чисел может быть на доске? (3 числа)
4. (2012, 9.3) За круглым столом сидят 30 человек  рыцари и лжецы (рыцари всегда
говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них ровно один друг,
причем у рыцаря этот друг  лжец, а у лжеца этот друг рыцарь (дружба всегда
взаимна). На вопрос «Сидит ли рядом с вами ваш друг?» сидевшие через одного
ответили «да». Сколько из остальных могли также ответить «да»? (Перечислите все
варианты и докажите, что других нет.) (0)
5. (2012, 9.8-10.7) Дан квадрат nn. Изначально его клетки раскрашены в белый и
чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За
один ход разрешается в некотором квадрате 22 одновременно перекрасить входящие
в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный
цвет, каждую чёрную  в зелёный, а каждую зелёную  в белый. При каких n за
несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый
цвета поменялись местами? (при всех n, кратных трём)
6. (2012, 10.6) Петя выбрал натуральное число a > 1 и выписал на доску пятнадцать
чисел 1+a, 1+a2, 1+a3, …, 1+a15. Затем он стёр несколько чисел так, что любые два
оставшихся числа взаимно просты. Какое наибольшее количество чисел могло
остаться на доске? (4 числа)
7. (2011, 9.5) Найдите все числа a такие, что для любого натурального n число
an(n+2)(n+4) будет целым. (a=k/3, где k  любое целое число)
8. (2011, 9.8) Прямую палку длиной 2 метра распилили на N палочек, длина каждой из
которых выражается целым числом сантиметров. При каком наименьшем N можно
гарантировать, что, использовав все получившиеся палочки, можно, не ломая их,
сложить контур некоторого прямоугольника? (N=102)
9. (2011, 10.6) На доску выписаны 2011 чисел. Оказалось, что сумма любых трёх
выписанных чисел также является выписанным числом. Какое наименьшее количество
нулей может быть среди этих чисел? (2009)
10. (2009, 8.3) По кругу выписаны числа 1, 2, 3, …, 10 в некотором порядке. Петя
вычислил 10 сумм всех троек соседних чисел и написал на доске наименьшее из
вычисленных чисел. Какое наибольшее число могло быть написано на доске? (15)
11. (2009, 11.2) В некоторых клетках таблицы 10×10 расставлены несколько крестиков
и несколько ноликов. Известно, что нет линии (строки или столбца), полностью
заполненной одинаковыми значками (крестиками или ноликами). Однако, если в
любую пустую клетку поставить любой значок, то это условие нарушится. Какое
минимальное число значков может стоять в таблице? (98)
12. (2008, 8.4-9.4) Какое наименьшее количество ладей можно поставить на шахматной
доске так, чтобы каждая не занятая ладьёй клетка находилась под боем хотя бы трёх из
них? (Ладья бёт клетку, если клетка находится с ней в одной горизонтали или
вертикали, и между ними нет занятых клеток.) (16)
13. (2008, 9.5-10.5) Каждый из пассажиров автобуса получил билет с шестизначным
номером, причем все номера билетов  последовательные числа. Какое наибольшее
количество пассажиров могло ехать в автобусе, если ровно у 1/12 из них в номере
билета есть цифра 7? (48 пассажиров)
14. (2008, 11.6) Найдите все такие пары натуральных чисел n, k, что n>1, k  нечётно,
и (n1)!+1=nk. (n=2, k=1 и n=3, k=1)
15. (2008, 11.8) Шахматную доску разбили на двухклеточные прямоугольники.
Каждый из них требуется закрасить каким-нибудь цветом так, чтобы любые две
клетки доски, отстоящие на ход коня, были раскрашены в разные цвета. Какого
наименьшего числа цветов заведомо хватит для этого? (6 цветов)
16. (2007, 8.1) Найдите наименьшее четырёхзначное число такое, что произведение его
цифр, увеличенных на 1, равно 21. (2006)
17. (2007, 8.3) При каком наименьшем n на шахматную доску можно поставить n
ладей и n слонов так, чтобы любая ладья била хотя бы двух слонов, а любой слон бил
хотя бы две ладьи? (n=4)
18. (2007, 9.4) В стране 20 городов. Авиакомпания хочет организовать двусторонние
рейсы между ними так, чтобы из любого города можно было добраться в любой
другой не более, чем за k пересадок. При этом количество авиалиний из любого города
не должно превышать четырёх. При каком наименьшем k это возможно? (k=2)
19. (2006, 8.6) Клетки прямоугольника 78 покрашены в три цвета, причём в любом
квадратике 22 есть клетки всех трёх цветов. Какое наибольшее количество клеток
может быть покрашено в первый цвет? (32 клетки)
20. (2006, 10.5) Уравнение 2x3+ax2+bx+c=0 с целыми коэффициентами имеет три
различных корня. Оказалось, что первый корень является синусом, второй 
косинусом, а третий  тангенсом одного угла. Найдите все такие уравнения.
(2x3+2x2x1=0)
21. (2006, 10.6) На плоскости провели 8 прямых, никакие две из которых не
параллельны. Какое наибольшее число равнобедренных треугольников со сторонами,
лежащими на этих прямых, могло образоваться? (24)
22. (2005, 8.2-9.1) В наборе из пяти попарно различных гирь каждая весит натуральное
число граммов. Известно, что суммарный вес любых трёх гирь больше суммарного
веса двух оставшихся. Найдите наименьший возможный суммарный вес всех гирь
набора. (35г)
23. (2005, 9.2) Найдите наименьшее натуральное число, большее 100, такое, что при
вписывании между любыми двумя его цифрами любой ненулевой цифры (скажем, n)
получится число, делящееся на n. (777 777 777 000)
24. (2005, 10.5-11.5) В вершинах правильного 2005-угольника записаны числа.
Известно, что для любой вершины записанное в ней число не больше суммы чисел,
записанных в двух соседних с ней вершинах, и не меньше суммы чисел, записанных в
двух наиболее удалённых от неё вершинах. Какие числа могли быть записаны? (все
числа равны 0)
25. (2004, 10.3) Какую наименьшую длину может иметь расположенная в пространстве
замкнутая пятизвенная ломаная, все звенья которой различны по длине, а концы
звеньев расположены в точках с целочисленными координатами? ( 3  2  3  6 )