б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку а) Воспользуемся формулой

15. а) Решите уравнение:
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Воспользуемся формулой
Из неё следует, что
Поэтому уравнение можно преобразовать так:
или
или
или
б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.
Получим:
О т в е т : а)
б)
16. В тетраэдре ABCD, все рёбра которого равны 1, найдите расстояние от точки A до прямой, проходящей через точку B и середину E ребра CD.
Решение.
Рассмотрим равнобедренный треугольник
равенство:
Заметим, что
поэтому
Ответ:
17. Решите систему неравенств
Решение.
1. Решим первое неравенство системы:
Рассмотрим два случая. Первый случай:
откуда
Второй случай:
откуда
Решение первого неравенства исходной системы:
2. Решим второе неравенство системы:
Решение второго неравенства исходной системы:
3. Пересекая промежутки, получаем решение системы неравенств.
и его высоты
и
Составим
Тогда
Ответ:
18. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N , причём M —
середина AD, а BN : NC =1:3.
а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM на три равные части.
б) Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках С, N и точках пересечения прямой BM c прямыми AN и AC , если площадь параллелограмма ABCD равна 48.
Решение.
а) Обозначим точки пересечения прямой BM c прямыми AN и AC буквами P и R соответственно.
Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма. Тогда AO и BM — медианы треугольника
ABD, значит,
Из подобия треугольников BPN и MPA находим, что
Значит,
Из доказанного следует, что
б) Пусть площадь параллелограмма равна S . Из подобия треугольников MRA и BRC с коэффициентом следует, что высота треугольника BRC, проведённая к стороне BC, составляет высоты параллелограмма, проведённой к той же стороне. Следовательно, площадь треугольника BRC равна
Аналогично найдём площадь треугольника BNP . Его высота, проведённая к BN , составляет высоты
параллелограмма, проведённой к стороне BC , а сама сторона BN в четыре раза меньше стороны параллелограмма BC. Поэтому
Следовательно, площадь четырёхугольника PRCN равна
О т в е т : 14.
19. Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще
через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину
полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение.
Пусть сумма кредита составляет у.е., а процентная ставка по кредиту
К концу первого года
сумма долга фермера в банк с учетом начисленных процентов составила
у.е.
После возвращения банку 3/4 части от суммы долга долг фермера на следующий год составил
у.е.
На эту сумму в следующем году вновь начислены проценты. Сумма долга фермера к концу второго
года погашения кредита с учетом процентной ставки составила
эта сумма равна
у.е.
Решим уравнение
у.е. По условию задачи
на множестве положительных чисел.
О т в е т : 120.
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Решение.
Запишем уравнение в виде
Рассмотрим две функции:
и
Графиком функции
является полуокружность радиуса 4 с центром в точке (3;0). лежащая в верхней полуплоскости (см. рис.). При каждом значении графиком
функции
является прямая с угловым коэффициентом проходящая через точку
Уравнение имеет единственный корень, если графики функций
и
имеют единственную
общую точку: либо прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.
Касательная
проведённая из точки к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный
нулю, то есть при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
прямая не имеет
общих точек с полуокружностью.
Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следова-
тельно, её угловой коэффициент
При
прямая, заданная уравнением
имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая
заданная уравнением
проходит через точки
и
следовательно, её угловой коэффициент
При
чем у прямой
прямая, заданная уравнением
имеет угловой коэффициент больше,
и не больше, чем у прямой
и пересекает полуокружность в единственной точке.
Получаем, что при
исходное уравнение имеет единственный корень. При
имеет общих точек с полуокружностью.
прямая не
Ответ:
21. Имеются каменные глыбы: 50 штук по 800 кг, 60 штук по 1 000 кг и 60 штук по 1 500 кг (раскалывать глыбы нельзя).
а) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 60 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
б) Можно ли увезти все эти глыбы одновременно на 38 грузовиках, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
в) Какое наименьшее количество грузовиков, грузоподъёмностью 5 тонн каждый, понадобится,
чтобы вывезти все эти глыбы одновременно, предполагая, что в грузовик выбранные глыбы поместятся?
Решение.
а) Масса любых трёх таких глыб не превосходит 5 тонн. Значит, в 60 грузовиков можно погрузить
180 таких глыб. Всего глыб 170, поэтому их можно увезти на 60 грузовиках.
б) Суммарная масса глыб равна 50 · 800 + 60 · 1000 + 60 · 1500 = 190 000 (кг), то есть в точности совпадает с грузоподъёмностью 38 грузовиков. Значит, если возможно увезти эти глыбы на 38 грузовиках, то каждый грузовик должен быть загружен полностью (по массе груза).
Если в каком-то грузовике есть глыба массой 800 кг, то единственная возможность загрузить такой
грузовик полностью — это добавить ещё 4 таких глыбы и одну глыбу массой 1 000 кг. Таким образом, грузовиков, загруженных так, понадобится 10 штук. Поскольку осталось 60 глыб, массой 1 500
кг каждая, и 28 грузовиков, то в одном из грузовиков должно быть хотя бы 3 такие глыбы. Но в грузовик, в который загружено 3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, ничего больше погрузить не получится.
Значит, на 38 грузовиках увезти эти глыбы нельзя.
в) В предыдущем пункте было показано, что 38 грузовиков не хватит.
Если в 10 грузовиков загрузить по 5 глыб, массой 800 кг каждая, и глыбу массой 1 000 кг, в 25 грузовиков загрузить по 2 глыбы, массой 1 000 кг каждая, и по 2 глыбы, массой 1 500 кг каждая, в 3 грузовика загрузить
3 глыбы, массой 1 500 кг каждая, и в один грузовик глыбу массой 1 500 кг, то все глыбы окажутся загружены в 39 грузовиков. Значит, наименьшее количество грузовиков — это 39.
Ответ: а) да; б) нет; в) 39.