дифференциальные уравнения

УТВЕРЖДЕНО
Приказ Высшей аттестационной
комиссии Республики Беларусь
«
»
20
г. №
ПРОГРАММА-МИНИМУМ
кандидатского экзамена по специальности
01-01-02 – дифференциальные уравнения
(физико-математические науки)
Минск
2006 г.

СОГЛАСОВАНО
Первый заместитель Министра
А.И.Жук
«
»
2006г.
СОГЛАСОВАНО
Ректор БГУ
«
»
В.И.Стражев
2006г.
Организация-разработчик: Белорусский государственный университет

Авторы-разработчики: Громак Валерий Иванович, доктор физико-математических
наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных
уравнений БГУ
Мазаник Сергей Алексеевич, доктор физико-математических
наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики
БГУ
Юрчук Николай Иосифович, доктор физико-математических
наук, профессор, заведующий кафедрой уравнений математической физики, декан механико-математического факультета
БГУ
Рецензенты:

(фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание, должность; член совета по
защите диссертаций
, подготовил
кандидатов наук)

(фамилия, имя, отчество, ученая степень, ученое звание, должность; член совета по
защите диссертаций
, подготовил
кандидатов наук)

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ПРОГРАММЫ-МИНИМУМА
Объектами исследования в рамках специальности 01.01.02 (дифференциальные
уравнения) являются дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные,
дифференциально-операторные уравнения и уравнения в конечных разностях.
Цель и основная задача программы-минимума состоит в определении объема материала,
необходимого для овладения аспирантами и соискателями знаниями, соответствующими
современному уровню развития теории дифференциальных уравнений и ее приложений и
позволяющими вести исследования в этой области.
ТРЕБОВАНИЯ К УРОВНЮ ЗНАНИЙ АСПИРАНТА, СОИСКАТЕЛЯ
Уровень знаний аспирантов и соискателей в области теории дифференциальных
уравнений должен соответствовать мировому уровню. Аспиранты и соискатели должны
иметь четкое представление о современном уровне развития теории дифференциальных
уравнений и ее приложений к проблемам математической физики, механики и других
прикладных наук;
освоить основные теоретические и практические методы исследования аналитических,
асимптотических и качественных свойств решений дифференциальных, интегральных, интегродифференциальных, дифференциально-операторных уравнений;
уметь применять эти знания для решения прикладных задач по моделированию
детерминированных процессов.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Начальная и краевые
задачи. Уравнения, интегрируемые в квадратурах.
Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков, системы
дифференциальных уравнений.
Уравнения высших порядков, интегрируемые в
квадратурах.
Физические
и
геометрические
задачи,
приводящие
к
обыкновенным
дифференциальным уравнениям (задачи о траекториях, колебательные процессы и др.)
Теорема существования и единственности решения начальной задачи для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Продолжимость решений. Непрерывность и
дифференцируемость решений по параметрам и начальным данным.
Решение линейных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Линейные
уравнения и системы с переменными коэффициентами. Метод вариации произвольных
постоянных.
Автономные системы дифференциальных уравнений. Положения равновесия,
предельные циклы. Классификация простых особых точек автономных систем на плоскости:
седло, узел, фокус, центр.
Первый метод Ляпунова. Характеристические показатели функций. Спектр
характеристических показателей линейной однородной системы. Теория Флоке.
Второй метод Ляпунова. Знакоопределённые функции. Теоремы Ляпунова об
устойчивости. Теорема Четаева. Устойчивость в целом. Экспоненциальная устойчивость.
Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Общие свойства динамических систем.
Теория Пуанкаре-Бендиксона. Теоремы об индексе.
Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка,
метод характеристик. Уравнения в полных производных, условия полной разрешимости.
Уравнения математической физики
Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра второго рода. Метод
последовательных приближений. Теоремы Фредгольма. Эрмитовы ядра. Теорема
Гильберта-Шмидта.
Понятие о характеристиках уравнений в частных производных. Теорема
Ковалевской.
Классификация и каноническая форма уравнений в частных производных второго
порядка. Постановка основных краевых задач: задача Коши, 1, П и Ш краевые задачи,
смешанные задачи. Корректность постановки краевых задач. Характеристики уравнений.
Уравнение Лапласа. Основные свойства гармонических функций (формула Грина,
теорема о среднем, принцип максимума, теорема об устранимой особенности). Решение
задач Дирихле и Неймана (внутренней и внешней) методом потенциалом. Функция Грина и
её применение к решению задачи Дирихле. Формула Пуассона для шара и круга.
Уравнения параболического типа. Постановка основных краевых задач. Принцип
максимума и единственность. Решение смешанной задачи методом разделения переменных
(метод Фурье). Обоснование метода Фурье. Обобщенные решения. Решение задачи Коши
для уравнения теплопроводности (формула Пуассона).
Уравнения гиперболического типа. Постановка основных краевых задач. Интеграл
энергии, единственность. Решение смешанной задачи методом Фурье. Обоснование метода
Фурье. Обобщённые решения. Решение задачи Коши для волнового уравнения (формулы
Даламбера, Пуассона, Кирхгофа). Метод спуска. Распространение волн в пространстве, на
плоскости и на прямой. Методы Даламбера и Римана для решения задач Коши и Гурса в
случае одного пространственного переменного.
Основная литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Бибиков Ю.Н. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа. 1991.
Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.
Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.
Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск:
Наука и техника. 1972.
Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968.
Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. —
М.: Изд-во МГУ, 1984.
Петровский И.Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:Физматгиз, 1961.
Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
Дополнительная литература
10. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.,:Наука, 1976.
11. Богданов Ю.С. Исследование дифференциальных систем с помощью обобщенных
характеристичных чисел. Минск: БГУ, 2001.
12. Богданов Ю.С., Мазаник, С.А.Сыроид. Курс дифференциальных уравнений. Минск:
Унiверсiтэцкае, 1996.
13. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. Минск:
Наука и техника. 1983.
14. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.
15. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
16. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.
17. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.:
ГИТТЛ, 1949.
18. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1960.
19. Рейсиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных
уравнений
20. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.
21. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. IV, М.: Физматгиз, 1958.
22. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.^ Наука, 1974.
23. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.
24. Gromak V., Laine I., Simomura S. Painleve Differential Equations in the Complex Plane. Berlin- New-York, Walter de Gruyter, 2002.