Задача 22. Плоский маятник со свободной точкой подвеса

1
Цикл 2. Системы с несколькими степенями
свободы
Интерактивное приложение, используемое в этой части цикла:
Задачи 20, 21, 22, 24, 25 (новая версия для OS Vista)
Примечание. Смысл приложений связан с контекстом излагаемой ниже теории.
В этом цикле рассматриваются задачи механики точки, имеющие несколько
степеней свободы.
20. Сферический маятник
21. Движение внутри конуса
22. Плоский маятник со свободной точкой подвеса
23. Замкнутая система двух частиц
24. Задача Кеплера
25. Задача рассеяния
Лишь небольшая часть систем с несколькими степенями свободы может быть
до конца исследована аналитически. При этом основную роль играют
интегралы движения, или законы сохранения, тесно связанные с симметрией, то
есть свойствами инвариантности механической системы.
Симметрия и законы сохранения
Вернемся к вопросу о симметрии механических систем (цикл 0). Кроме того,
что все уравнения движения инвариантны относительно масштабных
преобразований, в ряде частных случаев они инвариантны также относительно
некоторых преобразований координат и времени. Это, в частности, сдвиги
координат и времени, а также изменение системы отсчета (преобразования
Галилея).
Рассмотрим несколько примеров из предыдущего материала (цикл 0). Запишем
уравнения движения задач 1 (свободная частица на прямой), 2 (частица в вязкой
среде), 3 (частица в поле тяжести) и 9 (частица в нестационарном поле):
x  p; p  0 (1)
x  p; p   p (2)
z  p; p  1 (3)
x  p; p  cos t (9)
Фазовые траектории каждой из этих систем формируют свое расширенное
фазовое пространство. Вот как выглядят эти пространства:
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
2
Частица в поле тяжести
Частица в нестационарном поле
Отметим, что все приведенные уравнения движения не содержат явно
координаты. Это означает, что они инвариантны, или симметричны
относительно сдвига в пространстве.
Интегрирование уравнений для импульсов из предыдущего списка (1), (2), (3),
(9) дает
p = const (1)
p et = const (2)
p + t = const (3)
p – sint = const (9)
Это первые интегралы движения, или законы сохранения.
Теперь взглянем на расширенные фазовые пространства тех же систем в
специальном ракурсе, когда координатная ось направлена в сторону
наблюдателя. Вот что мы увидим:
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
3
Этот ракурс показывает нам поверхности, видимые с ребра.
Таким образом, расширенное фазовое пространство в этих задачах оказывается
расслоенным на поверхности, уравнения которых имеют вид интегралов
движения, написанных выше.
Проанализируйте самостоятельно тем же методом расширенные фазовые
пространства всех задач нулевого цикла, их интегралы движения и симметрию
уравнений движения относительно сдвига во времени.
Попытаемся провести анализ и обобщить наблюдения.
1.
Механическая система определяется своими уравнениями движения,
имеющими в общем случае одномерной системы вид:
dq/dt = fq(q, p, t); dp/dt = fp(q, p, t).
Они означают, что при каждом бесконечно малом изменении времени ε
состояние системы меняется по закону
δt = ε; δq = εfq(q, p, t); δp = εfp(q, p, t).
Каждая точка расширенного фазового пространства смещается. Все точки
вместе формируют фазовый поток. Каждый акт перемещения всех точек
фазового потока можно рассматривать как групповую операцию. Это
группа собственных движений данной механической системы. Она
формирует расширенное фазовое пространство конкретной механической
системы, заданной своими функциями fq(q, p, t) и fp(q, p, t).
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
4
2.
3.
Поверхности F(x, p, t) = const, которые мы наблюдаем в приведенных
примерах, содержат в себе преобразования из группы движения. Все точки
любой из этих поверхностей движением переводятся в точки этой же
поверхности. И нет таких движений, которые бы заставляли точки
покидать первоначально образованную ими поверхность с данным
значением const. Частицы фазового потока движутся по касательной к
этим поверхностям. Интегралы движения, или законы сохранения и есть
уравнения этих поверхностей F(x, p, t) = const. Движения на каждой из
поверхностей интеграла движения формируют подгруппу движений.
Можно представить себе некоторые специальные группы преобразований,
где движения проводятся вдоль осей расширенного фазового
пространства. При движении вдоль оси x получим группу однородного
пространства δt = 0; δx = ε; δp = 0. При движении вдоль оси времени группу однородного времени δt = ε; δx = 0; δp = 0 и т.п.
В наших примерах симметрия фазового пространства относительно
преобразований группы однородного пространства проявляет себя в
следующем. Прямые, параллельные оси x, лежат на тех же поверхностях
интегралов движения, что и фазовые траектории собственных движений
систем. Вместе с фазовыми траекториями собственного движения,
прямые, параллельные оси x, образуют на поверхностях интеграла
движения сетчатую структуру, подобную клеточкам на листе тетради.
Исходя из одной вершины A клеточки (см. рисунок) можно попасть на
противоположную по диагонали вершину B двумя путями – пройдя один
отрезок по траектории типа 1, а затем отрезок по траектории типа 2, либо
вначале по отрезку траектории типа 2, а затем 1.
Два пути из A в B.
Говорят, что в этом случае группа движений типа 1 коммутирует с
группой движений типа 2.
На рисунке ниже дан фрагмент фазового пространства из задачи 2
(движение частицы в среде). Преобразования AB и DC отвечают
движениям однородного пространства, а преобразования BC и AD –
движениям вдоль фазовых траекторий. Эти преобразования коммутируют,
так как все равно каким путем идти из A в C – AB-BC, либо AD-DC. В
любом случае мы попадаем в одну и ту же точку C.
В общем случае механической системы группа однородного пространства
не коммутирует с группой собственных движений системы. Другими
словами, преобразования из группы однородного пространства и
преобразования движения, выполненные друг за другом, но в разном
порядке, дают разные результаты. Действительно, пусть вначале действует
преобразование δ1 группы движений, то есть
δ1t = ε1; δ1x = ε1fx(x, p, t); δ1p = ε1fp(x, p, t),
а затем преобразование δ2 группы однородного пространства, то есть
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
5
δ2t = 0; δ2x = ε2; δ2p = 0.
В результате получаем:
δ2δ1t = δ2ε1 = 0; δ2δ1x = δ2ε1 fx(x, p, t) = ε1∂fx/∂xε2;
δ2δ1p = δ2ε1 fp(x, p, t) = ε1∂fp/∂xε2.
Теперь поменяем порядок преобразований
δ1δ2t = δ10 = 0; δ1δ2x = δ1ε2 = 0; δ1δ2p = δ10 = 0.
Результаты, как мы видим, разные. Они одинаковые лишь в частном
случае, когда обе функции fx и fp не зависят явно от координаты x. В этом
случае говорят, что уравнения движения и механическая система
симметричны, или инвариантны относительно сдвигов в пространстве.
Аналогично исследуется вопрос об инвариантности уравнений движения
относительно сдвигов во времени (проведите это исследование
самостоятельно).
На следующем ниже рисунке дается пример не коммутирующих
преобразований. Здесь изображен фрагмент фазового пространства
свободной частицы (задача 1). Рассмотрены два преобразования –
движение вдоль фазовых траекторий и движение вдоль оси импульса p.
Выполняются эти преобразования в двух разных последовательностях. В
первом случае исходная точка A сдвигается в точку B вдоль фазовой
траектории покоящейся частицы, а затем параллельно оси импульса BC.
Другая последовательность тех же преобразований AD и DE, исходящих
из той же точки A, приводит нас в точку E, не совпадающую с C. Это и
понятно, ведь проекция фазовой траектории DE движущейся частицы на
плоскость xt направлена под углом к оси времени (x = pt, p – тангенс угла
наклона), в то время как фазовая траектория покоящейся частицы AB
параллельна оси времени.
Отсутствие коммутативности между сдвигом по импульсу и движением
соответствует уравнениям движения свободной частицы x  p; p  0 ,
которые содержат явно импульс и не инвариантны относительно сдвига по
оси импульса.
Замечание. Приведенный здесь пример сдвига импульса без изменения
координаты является движением, которое не реализуется путем перехода в
равномерно движущуюся систему отсчета (преобразование Галилея). В
последнем случае вместе со сдвигом импульса на величину δp сдвигается
и координата на величину δp∙t. В случае свободной частицы
преобразование Галилея коммутирует с движением. Покажите
самостоятельно.
Обобщение
Как уравнения движения, так и любые перемещения точек фазового
пространства выражаются в общем случае соотношениями вида δfxi = εffi(x1,x2),
где x1 = q, x2 = p – фазовые координаты, а εf – бесконечно малый параметр. (Для
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
6
простоты мы не включаем в рассмотрение время в качестве одной из фазовых
координат, хотя это не принципиально).
Функции fi(x1,x2) образуют, как говорят, векторное поле. В каждой точке
фазового пространства x1, x2 соответствующий вектор из этого поля f(x1, x2)
указывает направление, в котором точка перемещается. Другими словами,
функция f(x1, x2) определяет поле фазовых скоростей.
Пусть имеется два независимых векторных поля f и g, определяющих
бесконечно малые смещения фазовых точек δfxi = εffi; δgxi = εggi. Сдвинем
фазовую точку вначале со скоростью f(x1, x2), а затем со скоростью g(x1, x2).
Получим
f
f
 g ( f xi )   g ( f f i )   f  g f i   f i  g x j   f i  g g j .
x j
x j
Здесь по индексу j проводится суммирование.
Вернувшись в исходную точку, изменим порядок ее смещений – вначале
сдвинем со скоростью g, а затем со скоростью f. Очевидно, что новое
соотношение будет отличаться от предыдущего лишь перестановкой букв f и g:
g
 f ( g xi )   g i  f f j .
x j
Сравним результаты, вычтя из первого второй
 f

g
 g ( f xi )   f ( g xi )   f  g  i g j  i f j  .
x j 
 x j
Выражение, стоящее слева фактически определяет степень коммутативности
двух операций смещения фазовой точки - со скоростями f и g. Поэтому
естественно назвать векторное поле, стоящее в круглых скобках,
коммутатором векторных полей f и g
f
g
[f , g]i  i g j  i f j .
x j
x j
Коммутатор, очевидно, меняет знак при перестановке векторов. Кроме того,
коммутатор удовлетворяет так называемому тождеству Якоби (проверьте
самостоятельно) [[f, g], h] + [[g, h], f] + [[h, f], g] = 0. Аналогичным свойством
обладает обычное векторное произведение. Посчитайте самостоятельно
коммутаторы векторных полей, рассмотренных в предложенных примерах.
Коммутатор векторных полей имеет еще одно имя – это так называемая
производная Ли Lf(g) = [f, g] от векторного поля g по направлению поля f. В
этом контексте тождество Якоби для коммутатора векторных полей
эквивалентно правилу Лейбница дифференцирования произведения Lf([g, h]) =
[Lf(g) , h] + [g, Lf(h)] (проверьте).
Рассмотрим преобразования, которые испытывает произвольная функция
фазовых координат (функция состояния) φ(x1,x2) при переносе фазовых точек
векторными полями. (Фазовые координаты q, p, изменения которых мы
рассматривали выше, являются простейшими примерами таких функций). При
изменении фазовых координат



 
x1 
x2  f i
(суммирование по повторяющемуся индексу i).
x1
x2
xi

Производная Lf    f i
так же является производной Ли по векторному
xi
полю f, но от скалярного поля φ, а не от векторного, как в предыдущем
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
7

называется линейным оператором. Такой
 xi
оператор часто обозначают  f .
Пусть еще одно векторное поле g производит независимый фазовый поток
согласно уравнениям xi  gi ( x1 , x2 ) . Покажите, что коммутатор линейных
определении. Выражение
fi
операторов [ f ,  g ]   g  f   f  g
векторное поле h = [f, g].
есть опять линейный оператор  h , где
Симметрия и законы сохранения в лагранжевом формализме
В случае лагранжевых систем (задачи 2, 10 и 15 предыдущих циклов не входят в
их число, т.к. в них присутствует диссипация) существуют теоремы,
позволяющие не только строго установить связь между законами сохранения и
симметрией, но и определить сами интегралы движения.
Итак, каждому непрерывному преобразованию пространства-времени
лагранжевой механической системы, оставляющему неизменными уравнения
движения, отвечает определенный закон сохранения.
Более слабое утверждение известно под именем теоремы Эммы Нетер.
Каждому непрерывному преобразованию координат и времени, оставляющему
неизменной функцию Лагранжа механической системы, отвечает интеграл
движения.
Докажем это утверждение для преобразования координаты в случае
одномерной системы. Пусть Q = Q(q,t) некоторое непрерывное преобразование
координаты. Непрерывность означает, что такое преобразование может быть
сколь угодно малым, то есть его можно записать в виде
Q – q = δq = εφ(q,t) (1)
Здесь ε бесконечно малый параметр. Пусть при этом преобразовании функция
Лагранжа не изменяется, то есть ее дифференциал равен нулю
L
L
 L   q   q  0
q
q
d
Учтем, что  q   q , а
dt

L d
d  L
d  L 
 q    q    q   .
q dt
dt  q
dt  q 

Тогда δL принимает вид

d  L
d  L  L
 L    q    q     q 
dt  q
dt  q  q

.
 d  L  L 

d  L
.
   q    q   


dt  q
dt

q

q

  

Уравнение Лагранжа, которому удовлетворяет движение системы, обращает в
ноль второе слагаемое записанного выражения. Поэтому условие равенства
нулю дифференциала функции Лагранжа оказывается эквивалентным условию
постоянства во времени функции
L
L
 q    (q, t )  const .
q
q
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
8
Это и есть интеграл движения, отвечающий преобразованию (1), оставляющему
неизменной функцию Лагранжа.
Вспомним, что уравнения движения не меняются даже тогда, когда функция
Лагранжа изменяется на полную производную по времени произвольной
функции координат и времени (калибровочная инвариантность). Если при
преобразовании (1) функция Лагранжа меняется именно таким образом, то есть
d ( q , t )
 L
, то интеграл движения опять же имеет место, но выглядит
dt
L
иначе (покажите самостоятельно) (q, t )   (q, t )  const (2).
q
В частности, преобразование (1) в случае простого сдвига координаты имеет
φ(q,t) = 1. Если при сдвиге координаты функция Лагранжа не изменяется, то
L
интегралом является соответствующий обобщенный импульс p 
. Этот
q
вопрос мы обсуждали в нулевом цикле. Обобщенный импульс является
компонентой обычного импульса, если координата q декартовая, и момента
импульса, если это угол. Координата, от которой не зависит функция Лагранжа,
называется циклической. Именно циклической координате и соответствует
сохраняющийся обобщенный импульс.
В задаче 3 нулевого цикла о движении частицы в поле тяжести уравнение
движения z  1 инвариантно относительно сдвига координаты z. В то же
z 2
 z меняется при
время, функция Лагранжа частицы в поле тяжести L 
2
сдвиге координаты z, так как зависит от z явно. Это изменение функции
Лагранжа равно δL = -δz = ε(-1) = εd(-t)/dt и является полной производной по
времени от функции - t. Следовательно, сохраняющейся функцией является не
импульс, а - t - p = const. Это не что иное, как знакомый закон движения
частицы в поле тяжести, где роль постоянной играет импульс с обратным
знаком в момент t = 0.
Другой пример. Уравнение движения свободной материальной точки (как,
впрочем, и уравнение движения частицы в поле тяжести) не меняется при
переходе в систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно со
скоростью V относительно данной, то есть при преобразовании x   x  V
(преобразование Галилея). Однако функция Лагранжа свободной частицы
x 2
L
меняется при этом преобразовании.
2
Бесконечно малое преобразование Галилея  x   V  
отвечает
преобразованию координаты δx = - εt, то есть φ(x, t) = - t. При этом функция
Лагранжа меняется на величину  L  x x   x , то есть на полную
производную по времени от координаты с обратным знаком Φ(x, t) = - x.
Следовательно, сохраняется функция
L
x
(t )   x  xt  const
x
Это известный закон движения свободной частицы, где роль постоянной играет
координата с обратным знаком в момент t = 0.
Функция Лагранжа консервативной системы не зависит явно от времени, то
есть остается неизменной при сдвиге начала отсчета времени. Тому же свойству
удовлетворяют, естественно, и уравнения движения консервативной системы.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
9
Соответствующим интегралом является полная энергия (см. цикл 0).
Выражение для энергии в случае системы с s степенями свободы имеет вид
L
E (q, q )  qi
 L (суммирование по повторяющимся индексам).
qi
Симметрия и законы сохранения в гамильтоновом
формализме
Запишем канонические уравнения движения некоторой механической системы с
s степенями свободы в виде
H
H
t   ; q i  
; pi  
(i = 1,2,…,s)
pi
qi
Покажем, что уравнения движения можно рассматривать как каноническое
преобразование фазовых координат, отвечающее движению системы.
Действительно, рассмотрим каноническое преобразование Q=Q(q,p); P=P(q,p),
бесконечно близкое к тождественному преобразованию Q = q; P = p. Вспомним
(цикл 0), что производящей функцией тождественного преобразования является
функция Φ(q, P) = qP. Естественно считать, что производящая функция
преобразования, бесконечно близкого к тождественному преобразованию,
бесконечно мало отличается от этой функции, т.е. имеет вид qP + εG(q,P), где ε
– бесконечно малый параметр. Тогда, согласно общей теории, преобразование,
бесконечно близкое тождественному, имеет вид
 qP  G (q, P) 
G
Q
 q 
P
P
qP  G(q, P) 
G
p
 P 
q
q
Обозначим δq = Q-q; δp = P-p. Это величины первого порядка малости по
параметру ε. Оставляя лишь этот порядок, в правых частях выписанных
соотношений заменим новый импульс P прежним p, т.е. G(q, P) ≈ G(q, p).
G
G
q i  
; pi  
(G).
pi
qi
Функцию G часто называют генератором канонического преобразования.
Сравнивая эти соотношения с каноническими уравнениями, мы видим, что
функция Гамильтона является генератором движения системы.
Рассматривая ниже произвольные преобразования (G), для простоты будем
считать, что ни генератор G, ни функция Гамильтона H исследуемой системы не
зависят явно от времени.
Примечание. Для того чтобы обобщить полученные ниже результаты на нестационарные
системы и нестационарные канонические преобразования, достаточно записать канонические
уравнения движения в виде
q i  


; pi  
,
pi
qi
где индекс i пробегает значения от нуля до s, причем q0 = t; p0 = -H, а «функция Гамильтона»
Ω(q0,…,qs; p0,…,ps) = H(q1,…,qs;p1,…,ps;t) + p0.
Пусть каноническое преобразование (G) не меняет функцию Гамильтона
системы. Другими словами, потребуем, чтобы при изменении (G) координат и
импульсов системы, изменение ее функции Гамильтона δH равнялось нулю
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
10
 H G H G 
H
H
  0
qi 
pi   

qi
pi
 qi pi pi qi 
С другой стороны, для любой функции состояния qi, pi, не зависящей явно от
времени, имеет место равенство
dG G
G
G H G H

qi 
p i 

.
dt qi
pi
qi pi pi qi
Сравнивая правую часть последнего соотношения с выражением в скобках
предыдущего, мы видим, что они отличаются лишь знаком. Отсюда следует
вывод.
Если каноническое преобразование не изменяет функции Гамильтона, то его
генератор является первым интегралом движения и наоборот.
H 
Скобки Пуассона
Скобки Пуассона двух функций состояния u(q, p) и v(q, p) являются функцией
состояния вида
u v v u
{u, v} 

qi pi qi pi
Одним из очевидных свойств скобок Пуассона является их асимметрия {u, v} =
-{v, u} (проверьте!).
Скобки Пуассона удовлетворяют так называемому тождеству Якоби
{u,{v,w}} + {v,{w,u}} + {w,{u,v}} ≡ 0.
Здесь u, v, w – произвольные функции фазовых координат. Доказать тождество
Якоби можно прямым вычислением, хотя существуют и более изощренные и
изящные способы.
Используя тождество Якоби, можно доказать следующее утверждение,
известное как теорема Пуассона: если G1, G2 – первые интегралы движения, то
{G1, G2} так же первый интеграл движения. Для доказательства достаточно
подставить в тождество Якоби три функции u = H, v = G1 и w = G2:
{H, {G1, G2}} = {{H, G1}, G2} + {G1, {H, G2}}.
Справа стоят скобки, равные нулю, так как G1 и G2 – интегралы движения.
Следовательно, {G1, G2} так же интеграл.
Еще одно интересное положение.
Пусть G1, G2 генераторы двух канонических преобразований, которые мы будем
проводить последовательно, но в разных порядках. Так, в одном порядке имеем
δ1δ2H = δ1ε2{H, G2} = ε2ε1{{H, G2}, G1}
(см. выше выражение для δH). Те же преобразования в другом порядке
δ2δ1H = δ2ε1{H, G1} = ε1 ε2{{H, G1}, G2}.
Коммутатор этих преобразований имеет вид δ[12] = δ1δ2 – δ2δ1. Из тождества
Якоби следует равенство
δ[12]H = ε2ε1{{H,G2},G1} - ε1ε2{{H,G1},G2} = ε1ε2{H,{G2,G1}}.
Если δ[12]H = 0, то есть преобразования, генерируемые G1 и G2, коммутируют, то
получаем вывод: скобки Пуассона генераторов коммутирующих канонических
преобразований являются интегралом движения.
Говорят, что функции состояния, скобки Пуассона которых равны нулю,
находятся в инволюции. Так, в инволюции находятся скобки Пуассона
импульсов {pi, pk} = 0. Сами импульсы, при этом, являются генераторами
сдвигов. Действительно, подставив в (G) G = pk, получим δqk = ε, тогда как
изменения остальных координат и всех импульсов равны нулю. Отсюда
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
11
заключаем, что генераторы, скобки Пуассона которых равны нулю могут быть
выбраны в качестве новых импульсов. Это особенно важно, если эти
генераторы являются интегралами движения. Тогда функция Гамильтона не
будет зависеть от соответствующих им координат.
Скобки Пуассона канонических переменных имеют вид {qi, qj} = 0, {pi, pj} = 0,
{qi, pj} = δij. Докажите, что каноническое преобразование не меняет значений
этих скобок. Указание: воспользуйтесь формулой (G) для бесконечно малых
канонических преобразований и примените ее с точностью до линейных членов.
Обобщение.
Уравнения движения и бесконечно малые канонические преобразования имеют
одну и ту же общую форму, которую можно выразить соотношением
f
xi  gij
 i f , где по j проводится суммирование, x1 = q, x2 = p, а матрица
x j
 0 1
 (кососимметрическая метрическая матрица). Проверьте.
g ij  

1
0


Поле f является частным случаем векторного поля и называется
градиентным векторным полем. Покажите, что скобки Пуассона являются
производной Ли вида { f , h}  Lh f и имеют форму скалярного произведения
h f
градиентов { f , h}  g jk
с кососимметрической метрикой gik.
xk x j
Выше мы ввели коммутатор векторных полей. Оказывается, что в случае
градиентных полей f и h их коммутатор [f , h] равен градиенту скобки
Пуассона { f , h} . Докажите самостоятельно.
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте и докажите теорему Эммы Нетер для случая
преобразований координат. Какое расширение этой теоремы имеет место?
Приведите пример.
2. Какая координата называется циклической?
3. Как записывается каноническое преобразование, бесконечно близкое к
тождественному, и что называется генератором этого преобразования?
4. Что такое скобки Пуассона, и какими свойствами они обладают?
5. Как формулируется связь между симметрией системы и интегралами
движения в терминах канонических преобразований?
6. Сформулируйте теорему Пуассона для скобок Пуассона.
7. Запишите скобки Пуассона для канонических переменных.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
12
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных задач механики систем с
несколькими степенями свободы.
Задача 20. Сферический маятник
Частица массы m, находясь в однородном поле тяжести с напряженностью g,
может двигаться лишь по поверхности сферы радиуса R.
Функция Лагранжа
Выберем декартовую систему координат с осью z, направленной вертикально
вверх и запишем функцию Лагранжа частицы в поле тяжести в трехмерном
пространстве без ограничений на возможные положения
m( x 2  y 2  z 2 )
L
 mgz
2
Теперь учтем ограничение на положение частицы – сферу радиуса R.
Координаты частицы должны удовлетворять условию x2 + y2 + z2 = R2. В
качестве независимых координат удобнее всего выбрать два угла,
определяющих «широту» и «долготу» точки на сфере. Один угол, «широту» θ,
будем отсчитывать в вертикальной плоскости от направления вертикально вниз,
а второй, «долготу» φ, в горизонтальной плоскости от направления оси x.
Перейдем от декартовых координат к этим углам
x = Rsinθcosφ; y = Rsinθsinφ; z = - Rcosθ
и, проведя дифференцирование по времени этих выражений с учетом
постоянства R, запишем квадрат модуля скорости частицы
x 2  y 2  z 2 
 R 2 [( cos  cos    sin  sin  ) 2
 ( cos  sin    sin  cos  ) 2   2 sin 2  ] 
 R 2 ( 2  sin 2   2 )
Таким образом, функция Лагранжа сферического маятника в независимых
координатах имеет вид
mR 2  2
L( ,,  ) 
(  sin 2   2 )  mgR cos
2
Используя масштабную инвариантность, выберем эталоны массы, длины и
времени так же, как мы это делали в случае плоского маятника
~  m /[ M ]  1;
[ M ]  m; m
~
[ D]  R; R  R /[ D]  1;
[T ]  R / g ; g~  g /([ D] /[T ] 2 )  1
Функция Лагранжа в масштабе энергии [E] = mgR принимает вид
1
~
L ( ,,  )  ( 2  sin 2   2 )  cos
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
13
Уравнения движения в форме уравнений второго порядка
Подставим эту функцию в уравнения Лагранжа
d  L  L


0
dt    
d  L  L
0


dt    
и получим уравнения движения.
Имеем обобщенные импульсы
L
L
p 
 sin 2  ; p    


и обобщенные силы
L
L
f 
 0; f 
 sin  cos  2  sin  .


Обобщенный импульс pφ = Mz является проекцией момента импульса на ось
вращения z по углу φ. Аналогично, pθ есть проекция момента импульса на ось,
лежащую в горизонтальной плоскости. Обобщенные силы fφ и fθ являются
проекциями момента сил на те же оси. Момент сил fθ состоит из двух
слагаемых, первое из которых определяет действие центробежной силы, а
второе – поля тяжести. Хотя fφ = 0, движение по углу φ не является
равномерным. Убедимся в этом, подставив в уравнения Лагранжа полученные
выражения
dp
 2 sin  cos   sin 2   f  0
dt
dp 
   f  sin  cos  2  sin 
dt
Полученные уравнения движения есть дифференциальные уравнения 2-ого
порядка в обыкновенных производных для двух неизвестных функций φ(t) и θ(t).
Интегралы движения
Вместо того чтобы пытаться непосредственно интегрировать уравнения
движения, воспользуемся симметрией сферического маятника и запишем
соответствующие законы сохранения.
Сферический маятник является консервативной механической системой, так как
отсутствуют внешние источники энергии и диссипация. Поэтому функция
Лагранжа не зависит явно от времени, и полная энергия
1
E ( ,,  )  ( 2  sin 2   2 )  cos
2
сохраняется.
Кроме того, угол φ является циклической координатой, так как функция
Лагранжа не зависит от угла φ. Следовательно, сохраняется соответствующий
L
обобщенный импульс p 
 sin 2   , имеющий, как уже отмечалось, смысл

z - компоненты момента импульса Mz = pφ. Этот факт, конечно, непосредственно
следует из записанного выше уравнения движения для координаты φ.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
14
Значения полной энергии E и момента импульса Mz определяются при задании
начальных условий и, в дальнейшем, в процессе движения остаются
неизменными.
Из закона сохранения момента импульса следует, что угловая скорость
вращения частицы относительно вертикальной оси
M
(20.1)
  2z
sin 
не меняет своего знака в процессе движения и тем больше по величине, чем
ближе частица подходит к вертикальной оси, то есть чем меньше значение sin2θ.
Эффективная потенциальная энергия
Подставив (20.1) в выражение для полной энергии, получим энергию
эффективного «одномерного» движения в вертикальной плоскости
 2
E
 U eff ( )
(20.2)
2
Здесь
M z2
U eff ( ) 
 cos - (20.3)
2 sin 2 
эффективная потенциальная энергия, учитывающая центробежную силу,
связанную с вращением в горизонтальной плоскости, и обычную
потенциальную энергию в поле тяжести.
Подчеркнем еще раз, что выражения (20.1) и (20.2) являются один раз
проинтегрированными уравнениями движения – уравнениями первого порядка
для тех же неизвестных функций φ(t) и θ(t). Две постоянные E и Mz,
присутствующие в этих уравнениях, возникли в результате однократного
интегрирования. Это интегралы движения, или законы сохранения.
Конкретные значения интегралам движения придают начальные условия
движения.
Центробежная потенциальная энергия (20.3) бесконечно растет с приближением
к вертикальной оси и образует так называемый центробежный барьер. Такой
барьер отсутствует лишь при равной нулю z - компоненте момента импульса, то
есть при отсутствии вращения вокруг вертикальной оси. Но в этом частном
случае движение сферического маятника является одномерным и ничем не
отличается от движения плоского математического маятника.
Наличие центробежного барьера приводит к тому, что движение в вертикальной
плоскости всегда является колебательным, ограниченным окружностями θmin.
θmax, являющимися корнями уравнения E = Ueff(θ).
Из закона сохранения энергии (20.2) сразу получаем закон движения в
вертикальной плоскости в виде интеграла
d
t  
 t 0 (20.4).
2( E  U eff ( ))
Можно доказать, что в общем случае эффективная потенциальная энергия имеет
единственный минимум, находящийся в интервале углов θ от нуля до π/2, то
есть в нижней полусфере. Вот как выглядят графики этой функции при двух
значениях момента импульса вращения сферического маятника в
горизонтальной плоскости
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
15
Запишем первую производную эффективной потенциальной энергии по углу θ.
Имеем
M 2 cos
 ( )   z 3
U eff
 sin 
sin 
Условие равенства нулю этой функции выделяет точку, в которой
центробежный момент сил компенсирован моментом силы тяжести, а
эффективная потенциальная энергия достигает минимума. Это условие можно
записать в виде алгебраического уравнения четвертого порядка
f (u)  M z2 u  (1  u 2 ) 2  0 относительно величины u ≡ cosθ.
Во-первых, из вида уравнения следует, что корень u0 должен быть
положительным. Ведь
(1  u 02 ) 2
u 0  cos 0 
 0.
M z2
Следовательно, угол θ0 должен быть меньше π/2. Этот факт понятен и из
физических соображений. Центробежный момент сил выталкивает частицу в
сторону экватора, как можно дальше от вертикальной оси, т.е. вверх при θ < π/2
и вниз в верхнем полушарии. Момент силы тяжести всегда толкает частицу
вниз. Поэтому компенсировать друг друга два эти момента сил могут лишь в
нижнем полушарии, где их действия противоположны.
Во-вторых,
производная
обращающейся
в
ноль
функции
2
2
f (u)  M z  4u(1  u ) отрицательна во всей области имеющих физический
смысл значений аргумента u от нуля до единицы. Следовательно, функция f(u)
монотонная и пересекает ноль в единственной точке на интервале [0; 1]. Это и
есть точка равновесия приложенных моментов сил, вокруг которой
совершаются вертикальные колебания сферического маятника.
Наконец, из уравнения f(u) = 0, записанного выше, следует, что при стремлении
Mz к нулю угол θ0 также стремится к нулю по закону sin2θ0 ~ Mz.
Численное решение уравнения f(u) = 0 приводит к следующей зависимости θ0 =
θ0(Mz) на интервале [0;3] значений Mz.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
16
Зависимость значения эффективной потенциальной энергии в минимуме от
момента импульса имеет вид
M z2
U eff min ( M z ) 
 cos 0
2 sin 2  0
Она изображена на следующем графике
Анализ движения
Если полная энергия частицы равна минимальному значению эффективной
потенциальной энергии, то частица вращается вокруг вертикальной оси с
постоянной угловой скоростью, равной (см. (20.1))
M
 0  2 z
sin  0
Если полная энергия лишь немного превышает минимально возможное
значение, частица совершает малые колебания по углу θ вблизи равновесного
значения θ0. Квадрат частоты малых, линейных колебаний равен в наших
масштабах второй производной эффективной потенциальной энергии, взятой в
положении равновесия
ω20 = U’’(θ = θ0) = 1/u0 + 3u0
Зависимости частоты вращения в минимуме эффективной потенциальной
энергии и частоты малых колебаний ω0 от момента импульса изображены на
следующем графике
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
17
Из предыдущего анализа следует, что при Mz → 0 угловая скорость вращения
стремится к единице в нашем масштабе времени. Фактически это означает, что
вращение по углу φ при Mz → 0 переходит в малые колебания вблизи
положения равновесия плоского математического маятника (задача 7 из цикла
0). Частота этих колебаний также равна единице. В то же время ω0 → 2 при Mz
→ 0. Подумайте самостоятельно, как объяснить этот результат.
В общем случае отличного от нуля момента импульса и полной энергии E > Umin
частица совершает колебания по углу θ, период которых определяется
выражением
 max
d
. (20.5)
T  2 
2
(
E

U
(

))
 min
eff
Здесь предельные значения угла θmin и θmax являются корнями уравнения Ueff(θ)
= E. Период Tθ зависит от начальных условий – полной энергии и момента
импульса. Посмотрите графики зависимости периода от полной энергии при
двух значениях Mz.
Это проекции поверхности Tθ(Mz, E), изображенной ниже
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
18
Уравнение траектории
Из (20.1) следует соотношение dφ = Mzdt/sin2θ, подставив в которое выражение
для dt, стоящее под интегралом (20.4), получим уравнение траектории
сферического маятника
d
 ( )  M z  2
  0 (20.6)
sin  2( E  U eff ( ))
Так выглядит эта траектория при некоторых значениях интегралов Mz и E.
В общем случае траектория не замкнута. Но, в частности, при некоторых
значениях момента и энергии период колебаний Tθ по углу θ и период вращения
Tφ по углу φ оказываются рационально кратными. Другими словами они
относятся друг к другу как два целых числа Tθ/Tφ = nθ/nφ. В этом случае через
время Tφnθ (или Tθnφ) частица оказывается в исходной точке сферы, и
траектория оказывается замкнутой. Сформулированное условие замкнутости
траектории эквивалентно требованию, чтобы угол Δφ поворота частицы вокруг
вертикальной оси за время полного колебания в вертикальном направлении по
углу θ (так называемый угловой период)
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
19
 max
M z d
sin  2E  U eff ( ) 
min


  2
2
был рационально кратен 2π.
Фазовое пространство
Отметим, что фазовое пространство двумерной системы, какой в частности
является сферический маятник, четырехмерно. Наличие двух независимых
интегралов движения – момента импульса и энергии в данном случае,
расслаивает фазовое пространство на двумерные поверхности. Каждый из
законов сохранения вносит независимую связь между фазовыми координатами,
доступными системе. Тем самым, при каждом фиксированном значении
момента вращения вокруг вертикальной оси и полной энергии системе доступна
лишь ограниченная – двумерная область фазового пространства. На четыре
фазовые координаты φ, Mz, θ, pθ накладывается два независимых условия
p2
M z  const , E    U eff ( )  const
2
В нашем случае мы имеем совокупность двух движений – вращение с
постоянным моментом импульса по углу φ и колебание по углу θ с меняющимся
моментом pθ. Проекция фазовой траектории сферического маятника на фазовую
плоскость φ, pφ = Mz = const является прямой линией, вернее, окружностью на
замкнутой по углу φ цилиндрической поверхности. Изменения величин θ и pθ
при колебаниях таковы, что они регулярно, через каждый период (20.5),
проходят через одни и те же значения. Тем самым, в проекции на плоскость θ,
pθ фазовая траектория образует замкнутую кривую, топологически
эквивалентную окружности (цикл).
Поэтому при каждом значении момента Mz и энергии E мы получаем в фазовом
пространстве сферического маятника двумерную поверхность, топологически
эквивалентную тору (произведение двух циклов).
Уравнения движения в форме уравнений первого порядка
Задачу о движении сферического маятника можно сформулировать в виде
уравнений движения 1-ого порядка для 4-ех неизвестных функций φ(t), pφ(t);
θ(t), pθ(t), описывающих состояние маятника в каждый момент времени.
Для этого запишем функцию Гамильтона, выразив в полной энергии
1
E ( ,,  )  ( 2  sin 2   2 )  cos
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
20
скорости через соответствующие импульсы. Имеем из полученных ранее
выражений для импульсов
p
  p ;  
sin 2 
Таким образом, функция Гамильтона сферического маятника
p2
p2
H ( , p , p ) 

 cos .
2 2 sin 2 
Теперь запишем уравнения движения, подставив функцию Гамильтона в
канонические уравнения
H
H
 
; p   
;
p

H
H
 
; p   
p

Получим
p
  2 ; p   0;
sin 
p 2 cos 
  p ; p    3  sin 
sin 
Это уравнения движения сферического маятника, записанные в форме четырех
дифференциальных уравнений первого порядка для четырех неизвестных
функций φ(t), pφ(t); θ(t), pθ(t), описывающих эволюцию состояния маятника. Они
эквивалентны уравнениям движения второго порядка, записанным выше как
следствие уравнений Лагранжа. Интегрирование этих уравнений проводится,
как и выше, с помощью законов сохранения момента импульса pφ = const и
энергии H(θ, pθ; pφ) = E = const.
Описание движения в переменных действие-угол
С математической точки зрения наиболее просто движение сферического
маятника описывается в переменных «действие-угол». Вместо фазовых
координат φ, Mz, θ, pθ введем другие пары канонических переменных
1
J 
M z d  M z ; w
2 
и

1
1 max
J 
p
d



 2E  U eff ( )d ; wθ. (20.7)
2 
  min
В этих переменных новые «импульсы» Jφ, Jθ остаются постоянными в процессе
движения, а новые «координаты» wφ, wθ меняются равномерно во времени с
частотами ωφ, ωθ соответственно. Это частоты вращения по углу φ и колебания
по углу θ.
То, что действия Jφ, Jθ постоянные следует из их определения. Из выражения
для Jθ видно также, что полная энергия, или функция Гамильтона, зависит
только от Jφ, Jθ, но не содержит канонически сопряженных им углов wφ, wθ. В
новых переменных уравнения движения выглядят следующим образом
H
H
w  
 const ; J  
0
J 
w
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
21
H
H
 const ; J  
0
J 
w
и их решения очевидны wφ = ωφ t + wφ0; wθ = ωθ t + wθ0; Jφ = Jφ0; Jθ = Jθ0.
Мы не можем записать явное выражение H = H(Jφ, Jθ), но мы можем найти
производные функции Гамильтона по этим переменным, то есть частоты
изменения угловых координат. Для этого продифференцируем определение Jθ
вначале по Jθ, а затем по Jφ. В первом случае получим равенство

1 max
d
E
.(20.8)
1 
  min 2E  U eff   J 
w  
Здесь мы продифференцировали интеграл по параметру E и умножили
результат на частную производную полной энергии по Jθ. Хотя пределы
интегрирования также зависят от полной энергии, они являются нулями
интегрируемой функции и поэтому их производные по энергии не дают вклада в
результат. Полученный интеграл отличается лишь множителем от периода
колебаний Tθ по углу θ. И этот множитель как раз такой, что
E 2

  .
J 
T
После дифференцирования того же выражения (20.7) для Jθ по другой
переменной Jφ получим равенство
J 2

( E 
 cos  )
1 max
d
2 sin 2 
. (20.9)
0

 min
J 
2E  U eff  
Здесь мы должны учесть зависимость центробежной энергии от момента
импульса Mz, который совпадает с Jφ. Дальнейшее дифференцирование
приводит нас к выражению 0 = ωφ/ωθ – Δφ/2π.
E
Здесь   
- частота вращения по углу φ, а
J 
 max
  2

 min
J  d
sin 2  2E  U eff ( ) 
- (20.10)
угол поворота вокруг вертикальной оси за полный период колебаний по углу θ
(см. уравнение траектории (20.6)). Таким образом, частоты изменения угловых
координат связаны простым только что найденным соотношением
ωφ = ωθ Δφ/2π.
Фазовая траектория будет замкнутой при тех начальных условиях, при которых
интеграл Δφ рационально кратен числу 2π. В этом случае фазовая траектория
не заполняет весь тор целиком. Такой тор называется резонансным.
Угол поворота вдоль большого круга тора есть угол wφ. Второй угол wθ отвечает
вращению по малому кругу тора. Вот как выглядит участок фазовой траектории
на торе в задаче о сферическом маятнике
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
22
Метод Якоби-Гамильтона
Другой способ получения закона движения – использование метода ЯкобиГамильтона.
Запишем уравнение Гамильтона-Якоби для функции действие S(φ,θ,t), заменив
импульсы в функции Гамильтона на соответствующие производные действия
по координатам и приравняв функцию Гамильтона производной действия по
времени со знаком минус
2
 S 
1  S 
1
S

  cos   

 
2
2   
t
2 sin    
Отделяя зависимость от времени S(t, φ, θ) = - Et + S0(φ, θ), получим уравнение
для укороченного действия S0(φ, θ) в виде
2
2
1  S0 
1  S0 

  cos  E

 
2    2 sin 2    
В этом уравнении можно также отделить зависимости от углов, то есть
представить искомое решение в виде
S0(φ, θ) = Sφ(φ) + Sθ(θ).
Такая возможность возникает в связи с отсутствием аргумента φ в уравнении.
После подстановки в уравнение записанной суммы, мы должны потребовать его
тождественного выполнения
2
2
1  dS 
1  dS 

  cos   E

 
2  d  2 sin 2   d 
Для того чтобы тождество выполнялось при любых значениях, в частности, угла
φ, производная dSφ/dφ должна быть постоянной dSφ/dφ = pφ ≡ Mz = const.
Отсюда Sφ(φ) = pφφ.
Таким образом, полное действие имеет вид
S(t, φ, θ) = - Et + pφφ + Sθ(θ),
где последнее слагаемое находится из простого уравнения
2
p2
1  dS 

 cos   E


2  d 
2 sin 2 
и имеет вид
2


p2

d .
S ( )   2 E 

cos

2


2
sin



Укороченное действие, таким образом, имеет вид
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
23


p2

d (20.11)
S 0 ( , )  p    2 E 

cos

2


2
sin



Итак, в нашей задаче полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби зависит от
двух постоянных – полной энергии E и момента импульса pφ. Мы получим закон
движения, дифференцируя полный интеграл по этим постоянным и
приравнивая результат другим постоянным. А именно,
S
S
 t0 ;
 0
E
p
Первое соотношение дает неявное выражение закона изменения координаты θ(t)
(20.4). Второе соотношение определяет уравнение траектории (20.6) (покажите
самостоятельно).
Переход к переменным действие-угол как каноническое
преобразование
Переход от обычных фазовых координат φ, pφ; θ, pθ к переменным действиеугол wφ, Jφ; wθ, Jθ является каноническим преобразованием. Попытаемся
записать это преобразование в явном виде.
Производящей функцией этого преобразования является укороченное действие
(20.11) (см. цикл 0), записанное как функция прежних координат φ, θ и новых
«импульсов» Jφ, Jθ


J 2

d .
S 0 ( , ; J  , J  )  J     2 E J  , J   

cos

2


2
sin



Функция E(Jφ, Jθ) неявно представлена формулой (20.7) в определении действия
Jθ.
Согласно общей теории канонических преобразований (см. цикл 0) при наличии
производящей функции Φ(qi, Pi) связь между прежними qi, pi и новыми Qi, Pi
каноническими переменными определяется выражениями pi = ∂Φ/∂qi; Qi =
∂Φ/∂Pi. Применим эти формулы к нашей конкретной задаче, где Φ = S0; q1 = φ;
q2 = θ; Q1 = wφ; Q2 = wθ; p1 = pφ; p2 = pθ; P1 = Jφ; P2 = Jθ
S
S
S
p  0  J  ; w  0     ;

J 
J 


J 2
S 0
S
p 
 2 E J  , J   
 cos  ; w   .
2



J 
2 sin 


Выражения для моментов импульса pφ, pθ содержат в себе формулы,
выражающие «новые импульсы» Jφ, Jθ как функции «старых импульсов и
координат» pφ, pθ, φ, θ. 2-ая и 4-ая формулы не явно определяют зависимость
«новых координат» wφ, wθ от тех же аргументов.
Посчитаем вначале wθ = ∂Sθ/∂Jθ
S
E
d
.
w   

J J p J  , J ; 
Выражение для функции pθ(Jφ, Jθ; θ) записано выше.
Сравните это выражение с соотношением t = t(θ), полученным выше. Интеграл,
стоящий в правой части, есть, как видно из сравнения, просто выражение
интервала времени t – t0 как функции угла θ и новых импульсов Jφ, Jθ. Все в
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
24
целом выражение для угла wθ есть просто другая форма записи закона движения
wθ (t) = ωθ (t – t0).
Используя ранее найденное выражение (20.8) для производной ∂E/∂Jθ = ωθ,
получим окончательно выражение для wθ как функции угла θ и новых
импульсов Jφ, Jθ
 max
S
w J  , J  ;       d p J  , J  ;   d p J  , J  ;  .
J 
 min
Обратите внимание, что угол wθ действительно меняется на 2π за полный
период колебаний по углу θ от θmin до θmax и обратно. Отметим так же, что
пределы интегрирования θmin, θmax в определенном интеграле зависят от
действий Jφ, Jθ, так как являются корнями уравнения pθ(Jφ, Jθ; θ) = 0.
Несколько сложнее считать выражение для угла wφ. Из записанного выше
выражения wφ = φ + ∂Sθ/∂Jφ следует, что после дифференцирования получаем
E
d
d
w   
 J  2

J  p ( J  , J ; )
sin  p ( J  , J ; )
Сравните стоящие здесь интегралы с соотношениями t = t(θ) (20.5) и
уравнением траектории φ = φ(θ) (20.6). Из сравнения будет видно, что здесь
записано выражение wφ = φ0 + ωφ(t – t0) как функция координат φ, θ и новых
импульсов Jφ, Jθ.
Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в переменных действие-угол
выглядит особенно просто. Функция Гамильтона в этих переменных (20.7) не
зависит от углов wφ, wθ. Поэтому в действии S0(wφ, wθ) зависимость от углов
отделяется и имеет вид Jφwφ + Jθwθ + const. Ведь wφ = ∂S0/∂Jφ; wθ = ∂S0/∂Jθ.
Остается добавить функцию S1(t) = -Et, чтобы записать полный интеграл
уравнения Гамильтона-Якоби S(wφ, wθ, t) = Jφwφ + Jθwθ – Et + const. Действие S
выглядит так же, как в случае свободной частицы (посмотрите задачи 1 и 4). И
это не удивительно, так как закон движения сферического маятника в
переменных действие-угол имеет вид закона движения свободной частицы на
торе.
В качестве упражнения из записанного выражения для полного интеграла
действия S(wφ, wθ, t) получите самостоятельно закон движения в переменных
действие-угол.
Интересно, что само уравнение Гамильтона-Якоби в переменных действие-угол
выглядит очень сложно. Оно получится из соотношения (20.7) – неявного
выражения функции Гамильтона E = H(Jφ, Jθ), если в нем сделать замены E = H
= -∂S/∂t; Jφ = ∂S0/∂wφ; Jθ = ∂S0/∂wθ. При этом не надо забывать, что пределы
интегрирования θmin, θmax в (20.7) так же зависят от E и Jφ.
На этом можно завершить аналитическое исследование задачи о сферическом
маятнике. Осталось посмотреть интерактивные иллюстрации численного
решения задачи при различных значениях момента импульса Mz и энергии E,
откуда, собственно, и взяты представленные выше рисунки.
Примечания
 При полном отделении переменных уравнения Гамильтона-Якоби
выражение для полного интеграла получается сразу, путем
интегрирования
полного
дифференциала
функции
действия.
Действительно, полный дифференциал функции S(q0, q1,…, qs), где q0 = t
и s – число степеней свободы системы, из которого мы получили
уравнение Гамильтона-Якоби (см. цикл 0) имеет вид dS = p0dq0 + p1dq1 +
… + psdqs (здесь p0 = -H). Если в данных координатах q0, q1, …, qs
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
25
переменные отделяются, то есть dS = dS0 + dS1 + … + dSs, где Si зависит
только от qi, то, интегрируя обе части соотношения, получаем полный
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби в виде (см. также §52
«Механики»)
s
S (q 0 , q1 ,..., q s )    pi dqi
i 0

В общем случае ограниченного движения все четырехмерное фазовое
пространство интегрируемой двумерной системы расслаивается на
двумерные
торы,
отвечающие
различным
значениям
двух
сохраняющихся величин – полной энергии и обобщенного импульса, либо
двух интегралов действия Ji (i = 1, 2). Частоты изменения угловых
координат на каждом таком торе определяют два конкурирующих
масштаба времени, характерных для такой системы.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите функцию Лагранжа сферического маятника и проведите
масштабирование.
2. Какие законы сохранения имеют место для сферического маятника?
3. Как записываются уравнения движения сферического маятника с учетом
законов сохранения, и что такое эффективная потенциальная энергия?
4. Дайте анализ характера движения сферического маятника при различных
начальных условиях движения (закон движения по углу θ и уравнение
траектории).
5. При каких условиях имеют место малые колебания сферического
маятника, и как определяется частота малых колебаний?
6. Каковы условия замкнутости траектории сферического маятника?
7. Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о
сферическом маятнике.
8. Поясните структуру фазового пространства сферического маятника, и
проанализируйте его движение в переменных действие-угол.
9. Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для сферического
маятника, и как применяется метод отделения переменных для его
решения?
10. Получите закон движения и уравнение траектории сферического
маятника из полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Задача 21. Движение на поверхности конуса
Частица массы m находится на поверхности конуса с углом раствора 2α,
расположенного вертикально вершиной вниз. На частицу действует однородное
поле тяжести напряженности g.
Функция Лагранжа
Повторяя ход рассуждений предыдущей задачи, запишем вначале функцию
Лагранжа частицы в поле тяжести без учета ограничений на ее положение в
декартовых координатах с осью z, направленной вертикально вверх
m( x 2  y 2  z 2 )
L
 mgz .
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
26
Учтем, что движение по поверхности конуса накладывает ограничение на
положение частицы x2 + y2 = z2tg2α. Декартовые координаты перестают быть
независимыми. Вместо них введем две независимые координаты – расстояние
от частицы до вершины конуса r и угол поворота φ частицы вокруг оси конуса,
то есть оси z.
Имеем x = r sinα cosφ; y = r sinα sinφ; z = r cosα.
Отсюда, квадрат модуля скорости частицы в новых координатах равен
x 2  y 2  z 2 
 sin 2  (r cos   r sin  ) 2  sin 2  (r sin   r cos  ) 2  r 2 cos 2  
 r 2  r 2 sin 2   2
Таким образом, функция Лагранжа частицы в конусе имеет вид
m
L(r , r,  )  (r 2  r 2 sin 2   2 )  mgr cos  .
2
Используя масштабную инвариантность, введем эталоны массы и ускорения в
виде
~  m /[ M ]; [ g ]  g cos  ; g~  g /[ g ]  1 / cos  .
[ M ]  m; m
Тогда функция Лагранжа примет вид
1
1
L  r 2  r 2 sin 2   2  r .
2
2
Запишите самостоятельно уравнения движения, используя уравнения Лагранжа.
Законы сохранения
Система консервативная, поэтому сохраняется энергия
1
1
E  r 2  r 2 sin 2   2  r
2
2
Так как φ циклическая координата (от нее не зависит функция Лагранжа), то
L
сохраняется соответствующий обобщенный импульс p 
, являющийся по

своему физическому смыслу z - компонентой момента импульса
M z  p  r 2 sin 2  
Отсюда получаем выражение для угловой скорости вращения частицы в
горизонтальной плоскости
M
  2 z2 (21.1)
r sin 
Как мы видим, угловая скорость нигде не меняет знак. Она тем больше по
величине, чем ближе частица к вершине конуса. То есть, опускаясь, частица
разгоняется в своем вращательном движении, а, поднимаясь, замедляется.
Эффективная потенциальная энергия
Подставив угловую скорость (21.1) в выражение для полной энергии, получим
энергию эффективной одномерной частицы, движущейся в вертикальной
r 2
 U eff (r ) .
плоскости E 
2
Здесь эффективная потенциальная энергия
M2
U eff (r )  2 z 2  r
2r sin 
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
27
складывается из центробежной энергии, образующей бесконечно высокий
барьер при r → 0, и обычной потенциальной энергии частицы в поле тяжести.
Если вращение отсутствует, то момент импульса равен нулю и все сводится к
задаче о движении частицы по наклонной плоскости, то есть, фактически, к
задаче 3 нулевого цикла.
У нас остался еще произвол в выборе масштаба длины или времени. Используя
этот произвол, мы можем выбрать масштаб ненулевого момента импульса в
виде
~
[ M z ]  M z / sin  ; M z  M z /[ M z ]  sin 
(Хотя значение Mz может быть и отрицательно, но, при отражении времени,
момент импульса поменяет знак, а уравнения движения не изменятся, так что
без ограничения общности мы можем считать Mz > 0).
Определим зафиксированные таким выбором масштабы длины и времени. Так
как [Mz] = [M][D]2/[T], а [g] = [D]/[T]2, то
[ D]  3
[M z ]2
M z2
3

[ g ][ M ] 2
m 2 g cos  sin 2 
[M z ]
Mz
3
2
2
[ M ][ g ]
mg cos 2  sin 
В этих масштабах эффективная потенциальная энергия имеет совсем простой
вид и не содержит ни одного параметра
Ueff(r) = 1/(2r2) + r
(21.2)
На обоих концах интервала изменения координаты r функция (21.2) обращается
в бесконечность. При r → 0 основную роль играет центробежный
потенциальный барьер, а при r → ∞ эффективная потенциальная энергия
асимптотически стремится к прямой линии. Положение минимума эффективной
потенциальной энергии легко определить:
U’eff(r) = - 1/r3 + 1 = 0 при r0 = 1
Теперь ясен физический смысл выбранного нами масштаба длины: единица
этого масштаба есть расстояние от вершины конуса до точки минимума
эффективной потенциальной энергии, то есть положения равновесного
вращения при заданном моменте импульса. В этой точке центробежная сила
скомпенсирована полностью силой тяжести (вернее, речь идет о компенсации
составляющих этих сил вдоль поверхности конуса, так как их составляющие,
перпендикулярные поверхности конуса, всегда скомпенсированы силой
реакции).
Таким образом, график эффективной потенциальной энергии (21.2) частицы в
конусе в выбранном масштабе длины, времени и массы имеет вид
[T ]  3
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
28
Анализ движения
Движение частицы в вертикальной плоскости при наличии вращения носит
всегда колебательный характер. Когда полная энергия частицы равна
минимальному значению эффективной потенциальной энергии Ueff(r0 = 1) = 3/2,
частица вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью,
равной 1/sinα (см. (21.1)).
При энергиях, близких к минимальной, частица совершает малые колебания,
приближаясь и удаляясь от вершины конуса с частотой, квадрат которой равен
второй производной потенциальной энергии в минимуме ω0 = √3. Так как в
выбранном нами масштабе времени его единица пропорциональна кубическому
корню из момента импульса, то угловая скорость вращения в состоянии
равновесия и частота малых колебаний ω0 обратно пропорциональны
кубическому корню из момента импульса.
В общем случае E > Umin колебания совершаются между двумя
горизонтальными плоскостями rmin, rmax - корнями уравнения E = Ueff(r), по
закону, определяемому из сохраняющейся энергии
dr
t  
 t0
2( E  U eff (r ))
с периодом
rmax
T 2
rmin
dr
2( E  U eff (r ))
,
который зависит от полной энергии и момента импульса.
Зависимость T от момента импульса определена выбором масштаба времени, то
есть T ~ 3 M z , а зависимость от энергии отражена графиком, полученным
численным интегрированием на интервале 1,5<E<7
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
29
Уравнение траектории, как и в предыдущей задаче, следует из выражения для
угловой скорости вращения частицы (21.1) и закона движения
dr
 2
 0 .
r sin  2( E  U eff (r ))
По аналогии с предыдущей задачей рекомендуется
 построить переменные «действие-угол»,
 записать условие замкнутости обычной и фазовой траектории,
 записать функцию Гамильтона и уравнения движения в форме
канонических уравнений,
 получить закон движения и уравнение траектории, найдя полный
интеграл уравнения Гамильтона-Якоби.
Посмотрите иллюстрацию к решению этой задачи.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите функцию Лагранжа частицы в конусе, и проведите
масштабирование.
2. Какие законы сохранения имеют место в этой задаче?
3. Как записываются уравнения движения частицы в конусе с учетом
законов сохранения, и какова эффективная потенциальная энергия в этой
задаче?
4. Дайте анализ характера движения частицы в конусе при различных
начальных условиях движения (закон движения по расстоянию до
вершины r и уравнение траектории).
5. При каких условиях имеют место малые колебания частицы в конусе, и
как определяется частота малых колебаний?
6. Каковы условия замкнутости траектории частицы в конусе?
7. Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о
частице в конусе.
8. Поясните структуру фазового пространства частицы в конусе, и
проанализируйте ее движение в переменных действие-угол.
9. Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для частицы в конусе, и
как применяется метод отделения переменных для его решения?
10. Получите закон движения и уравнение траектории частицы в конусе из
полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
30
Задача 22. Плоский маятник со свободной точкой
подвеса
Маятник имеет массу m2, точка подвеса – массу m1. Точка подвеса может без
трения двигаться вдоль горизонтальной линии. Длина маятника l, поле тяжести
имеет напряженность g.
Функция Лагранжа
Начнем решение с записи функции Лагранжа двух частиц в декартовых
координатах вертикальной плоскости, причем ось y направлена вертикально
вверх.
m1 x12 m2 ( x 22  y 22 )
L

 m2 gy 2
2
2
Так как частицы связаны стержнем длиной l, то их 3 декартовые координаты не
являются независимыми. В качестве двух независимых координат можно
выбрать декартовую координату точки подвеса x = x1 и угол φ отклонения
маятника от вертикали. Тогда
x2 = x +l sinφ; y2 = - l cosφ
Соответствующие декартовые компоненты скоростей
x1  x; x 2  x  l cos  ; y 2  l sin 
подставим в функцию Лагранжа
Mx 2 m2 l 2 2
L( ,  , x ) 

 m2 lx cos   m2 gl cos 
2
2
Здесь M = m1 + m2 полная масса системы.
Наличие произведения скоростей в кинетической энергии характеризует так
называемую кинематическую связь в системе.
Пользуясь произволом масштабов массы, длины и времени, выберем
~
[ M ]  M ; M  M /[ M ]  1;
~
[ D]  l ; l  l /[ D]; [T ]  l / g ; g~  1
перепишем эту функцию Лагранжа в виде
x 2 m2 2
L

 m2 x cos   m2 cos  (22.0).
2
2
Здесь m2 масса маятника в отношении к полной массе M.
Самостоятельно подставьте функцию Лагранжа в уравнения Лагранжа и
получите уравнения движения.
Законы сохранения
Система консервативная, то есть сохраняется полная энергия
x 2 m2 2
E

 m2 x cos   m2 cos   const
2
2
Координата x является циклической (от нее не зависит функция Лагранжа).
Поэтому сохраняется импульс перемещения системы вдоль горизонтальной оси
L
p
 x  m2 cos   const (22.1).
x
Этот импульс определяет движение системы в целом в горизонтальном
направлении. Второе слагаемое в этом выражении есть проекция импульса
частицы m2, отвечающего линейной скорости изменения угла φ, на ось x
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
31
(подумайте над этим!). Самостоятельно определите выражение для момента
импульса pφ и поясните физический смысл входящих в него слагаемых.
Уравнения движения инвариантны не только относительно сдвига по координате x, но и
относительно перехода в другую систему отсчета, движущуюся равномерно и прямолинейно в
горизонтальном направлении.
В этом можно убедиться непосредственно, записав уравнения Лагранжа. Но можно учесть и то,
что функция Лагранжа при указанном изменении системы отсчета x   x   V изменится
лишь на полную производную по времени
 L   x V  m2 cos   V   V
d ( x  m2 sin  )
.
dt
Из этого свойства инвариантности, в частности, следует закон сохранения, имеющий вид,
согласно формуле (2)
- (x + m2 sinφ) + pt = const.
Этот интеграл появляется также в результате интегрирования закона
сохранения импульса (22.1). Роль постоянной величины играет горизонтальная
координата центра масс (с минусом) в момент t = 0.
Анализ движения
Используя
инвариантность
уравнений
относительно
равномерного
горизонтального перемещения, можно выбрать такую систему отсчета, в
которой горизонтальный импульс (22.1) равен нулю. В этой системе отсчета
центр масс маятника перемещается только вертикально. Из условия равенства
нулю горизонтального импульса (22.1) получаем соотношение между угловой
скоростью колебаний и линейной скоростью горизонтального перемещения
x  m2 cos  (22.2).
Траектория движения маятника определяется путем простого интегрирования
обеих частей последнего равенства
x = - m2 sinφ (22.3).
Здесь мы, используя однородность пространства в горизонтальном
направлении, выбрали начало координаты x так, что x = 0 при φ = 0. Траектория
(22.3) представляет собой дугу эллипса (докажите самостоятельно!).
Подставим соотношение (22.2) для скорости в выражение для полной энергии
m (1  m2 cos 2  ) 2
E 2
 m2 cos  (22.4).
2
Это полная энергия движения «эффективного маятника». Его потенциальная
энергия та же, что у обычного маятника. Но кинетическая энергия является
«эффективной». Момент инерции эффективной кинетической энергии зависит
от угла отклонения маятника от вертикали. Из выражения для полной энергии
легко определить угловую скорость
2( E  m2 cos  )
(22.5).
  
m2 (1  m2 cos 2  )
Это выражение позволяет качественно исследовать характер движения по углу
φ при различных энергиях.
 Движение имеет место только при E > -m2, Только при этом условии
подкоренное выражение положительно хотя бы при некоторых
значениях угла φ. Минимальное значение энергии E = -m2 отвечает в
выбранном нами масштабе состоянию покоя маятника, где φ = 0; x = 0.
 Подкоренное выражение, как и в обычном маятнике, может обращаться в
ноль в точках, удовлетворяющих уравнению E + m2 cosφ = 0. Это
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
32
уравнение имеет корни только при E < m2. Корнями являются
координаты точек остановки. При этих энергиях маятник совершает
колебания, амплитуда которых зависит от энергии.
 В предельном случае E = m2 движение маятника является
лимитационным. Он бесконечно долго приближается к верхней точке
неустойчивого равновесия φ = π.
 Наконец, при E > m2 маятник вращается.
Вместе с движением по углу φ происходит горизонтальное перемещение точки
подвеса маятника, меняется координата x. Выражение (22.3) определяет
изменение координаты x в зависимости от угла φ. Из него следует, что точка
подвеса колеблется в противофазе с маятником. Точка подвеса останавливается
там, где угол φ достигает максимального отклонения ( x  0 при   0 ). При
энергиях E > 0 отклонение маятника превышает горизонтальный уровень, где
cosφ = 0. На этом уровне точка подвеса также останавливается и меняет
направление движения (в системе отсчета центра масс). При E > m2, когда
маятник вращается, точка подвеса меняет направление скорости лишь при
прохождении маятника через горизонтальное положение.
Закон движения по угловой координате получается интегрированием
выражения (22.5)
m2 (1  m2 cos 2  )
d  t0 .
2( E  m2 cos  )
Это связь между угловой координатой и временем. Уравнение траектории (22.3)
определяет связь между координатами x, φ. Тем самым, вместе эти два
соотношения определяют (правда, в неявной форме) зависимость
горизонтальной координаты x от времени. Вот пример зависимости координат x
(оранжевая), φ (красная), импульса pφ (голубая) и энергии E (желтая) от времени
при m2 = 0.5 и некоторой энергии 0 < E < m2.
t  
Период нелинейных колебаний между двумя точками остановки φmin,max =
±arccos(-E/m2) при E < m2 и период вращения при E > m2 (φmin = 0; φmax = π)
равны
 max
T 2

 min
m2 (1  m2 cos 2  )
d .
2( E  m2 cos  )
Так выглядит зависимость периода от энергии при двух значениях параметра m2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
33
Если энергия близка к минимальной энергии -m2, то колебания малые. Квадрат
частоты малых колебаний вблизи положения равновесия φ0 = 0 можно найти,
разделив вторую производную потенциальной энергии U’’ = m2 cosφ в этой
точке, то есть m2, на момент инерции m2(1 – m2 cosφ) в равновесии, то есть на
m2(1 – m2).
1
Итак,  0 
. Эта величина больше единицы и, следовательно, маятник
1  m2
со свободной точкой подвеса совершает колебания с большей частотой, нежели
обычный маятник (часы с незакрепленным маятником «спешат»).
Фазовое пространство
Фазовое пространство нашего маятника 4-мерное. В проекции на фазовую
плоскость x, px мы имеем прямую, параллельную оси x, так как px = const. В
нашей системе отсчета, где px = 0, прямая вырождена в отрезок, совпадающий с
осью x и лежащий в пределах изменений координаты x (найдите эти пределы!).
Определим проекцию фазовой траектории на плоскость φ, pφ. Для этого найдем
выражение момента импульса pφ, используя его определение как производную
функции Лагранжа (22.0) по скорости
L
p 
 m2  m2 x cos

Используем связь (22.2) между линейной и угловой скоростями. Это позволит
записать момент импульса как функцию угловой скорости
p  m2 1  m2 cos 2  


Теперь выразим угловую скорость как функцию момента импульса и подставим
это в выражение (22.4) для полной энергии
2
p
E
 m2 cos
2m2 (1  m2 cos 2  )
Это и есть уравнение проекций фазовых траекторий на плоскость φ, pφ. Пример
для случая m2 = 0,5 и различных энергий приведен на рисунке
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
34
По аналогии с предыдущими задачами рекомендуется в системе отсчета, в
которой импульс горизонтального перемещения равен нулю
 найти функцию Гамильтона и записать уравнения движения в форме
канонических уравнений,
 записать и решить уравнение Гамильтона-Якоби и, получив полный
интеграл, найти закон движения и уравнение траектории.
Посмотрите иллюстрацию численного моделирования этой задачи.
Вопросы для самоконтроля
1. Запишите функцию Лагранжа маятника с подвижной точкой подвеса, и
проведите масштабирование.
2. Какие законы сохранения имеют место в этой задаче?
3. Дайте анализ характера движения маятника с подвижной точкой подвеса
при различных начальных условиях движения (закон движения по φ и
уравнение траектории).
4. При каких условиях имеют место малые колебания маятника с
подвижной точкой подвеса, и как соотносятся частоты малых колебаний
этого маятника с обычным маятником (задача 7)?
5. Запишите функцию Гамильтона и канонические уравнения задачи о
маятнике с подвижной точкой подвеса.
6. Как записывается уравнение Гамильтона-Якоби для маятника с
подвижной точкой подвеса, и как применяется метод отделения
переменных для его решения?
7. Получите закон движения и уравнение траектории маятника с
подвижной точкой подвеса из полного интеграла уравнения ГамильтонаЯкоби.
Задача 23. Замкнутая система двух частиц
Такая система представляет собой две частицы с массами m1, m2, положения
которых ничем не ограничены в пространстве (это радиус-вектора r1, r2), но
которые взаимодействуют друг с другом. Внешнее воздействие при этом либо
вообще отсутствует, либо им пренебрегают. У системы 6 степеней свободы.
Однако она обладает достаточной симметрии, чтобы ее уравнения движения
можно было проинтегрировать в общем виде.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
35
Функция Лагранжа, сохранение энергии и импульса
Будем считать, что потенциальная энергия взаимодействия частиц зависит
только от расстояния r = |r1 – r2| между ними. Тогда функция Лагранжа
замкнутой системы двух частиц имеет вид
m r 2 m r 2
L(r , r1 , r2 )  1 1  2 2  U (r ) .
2
2
Запишите самостоятельно уравнения движения системы двух частиц, подставив
функцию Лагранжа в уравнения Лагранжа
d  L  L
d  L  L

 

 0; 
0
dt  r1  r1
dt  r2  r2
Функция Гамильтона системы двух частиц имеет вид
p2
p2
H (r1 , r2 , p1 , p 2 )  1  2  U ( r1  r2 ) .
2m1 2m2
Запишите самостоятельно уравнения движения в форме канонических
уравнений.
Замкнутая система двух частиц стационарна – ее функция Лагранжа не зависит
явно от времени, поэтому ее полная энергия
m r 2 m r 2
E (r , r1 , r2 )  1 1  2 2  U (r )
2
2
сохраняется.
Функция Лагранжа также инвариантна относительно смещений в любом
направлении в пространстве. Действительно, пусть δr есть произвольное
смещение в пространстве. Так как и первая, и вторая частица смещаются на
один и тот же вектор, расстояние r между ними остается неизменным.
Следовательно, не изменяется и функция Лагранжа
L
L
L
r
 r  0.
r1
r2
Используя уравнения Лагранжа, получаем
d  L 
d  L 

 r  
 r  0
dt  r1 
dt  r2 
Отсюда заключаем, что полный импульс замкнутой механической системы,
равный
L L
P

 m1r1  m2r2 ,
r1 r2
сохраняется во времени.
Тот же результат можно получить, если рассмотреть бесконечно малый сдвиг
координат частиц как каноническое преобразование. Действительно, пусть δr1 =
δr = εn, δr2 = δr = εn, где n – единичный вектор в направлении смещения.
Согласно формулам бесконечно малых канонических преобразований
G
G
G
G
r1  
 n; r2  
 n; p1  
 0; p 2  
0
p1
p 2
r1
r2
Решая эти уравнения, находим генератор G = p1n + p2n = Pn – проекция
импульса на направления сдвига. Так как сдвиг в любом направлении не меняет
функции Гамильтона замкнутой системы двух частиц, то весь импульс P
сохраняется.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
36
По аналогии можно рассмотреть каноническое преобразование, отвечающее
сдвигу времени. Если рассматривать время, как одну из координат (см.
обобщения, сделанные выше и в комментариях к циклу 0), то соответствующий
«импульс» p0 равен энергии со знаком минус. Следовательно, генератором
сдвига во времени является полная энергия с отрицательным знаком, которая
сохраняется, если функция Гамильтона не зависит явно от времени. Подумайте
над этим.
Система отсчета центра инерции. Внутренняя энергия
Уравнения движения замкнутой системы частиц остаются неизменными при
переходе в другую систему отсчета, движущуюся относительно данной
прямолинейно и равномерно.
Для того, чтобы доказать это, достаточно подставить преобразования скоростей
частиц  r1   V; r2   V , соответствующие такому бесконечно малому
переходу, в функцию Лагранжа
d (m1r1  m2r2 )
 L  m1r1 V  m2r2 V   V
dt
убедившись, что она изменяется лишь на полную производную по времени.
Используя эту последнюю инвариантность относительно преобразований
Галилея, можно выбрать такую систему отсчета, в которой полный
сохраняющийся импульс замкнутой механической системы будет равен нулю.
Скорость такой системы отсчета относительно данной равна Vcm = P/μ, где μ =
m1 + m2 полная масса системы. Это легко показать
P  m1 (r1  Vcm )  m2 (r2  Vcm )  P  (m1  m2 ) Vcm  0 .
Система отсчета, в которой полный импульс равен нулю, называется
системой отсчета центра инерции.
Полная энергия различна в разных системах отсчета. Энергия замкнутой
системы в системе отсчета центра инерции называется внутренней энергией
механической системы. Внутренняя энергия системы двух частиц зависит
только от относительной скорости этих частиц и расстояния между ними.
Действительно
m (r  Vcm ) 2 m2 (r2  Vcm ) 2
Eв н  1 1

 U (r ) 
2
2
m1 ( r1  P) 2 m2 ( r2  P) 2


 U (r ) 
2 2
2 2
.
m1m22 (r1  r2 ) 2 m2 m12 (r2  r1 ) 2


 U (r ) 
2 2
2 2
mr 2

 U (r )
2
Здесь m = m1m2/(m1 + m2) так называемая приведенная масса замкнутой системы
двух частиц.
Таким образом, внутренняя энергия инвариантна относительно сдвигов в
пространстве и преобразований Галилея (перехода в систему отсчета,
движущуюся равномерно и прямолинейно относительно данной системы
отсчета).
В произвольной системе отсчета полную энергию можно записать в виде
E = μ V2cm/2 + Eвн.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
37
Здесь первое слагаемое называется кинетической энергией системы в целом.
Оно имеет вид кинетической энергии обычной свободной частицы, масса
которой равна полной массе системы, а скорость равна скорости системы
отсчета центра масс. Доказательство формулы выглядит просто
m r 2 m r 2 m (r  Vcm ) 2 m2 (r2  Vcm ) 2
E  Eвн  1 1  2 2  1 1


2
2
2
2
.
2
2
2
m
V
m
V

V
 m1r1Vcm  m2r2 Vcm  1 cm  2 cm  cm
2
2
2
Сохранение момента импульса
Кроме импульса и энергии у замкнутой механической системы сохраняется
полный момент импульса.
Этот закон сохранения следует из инвариантности уравнений движения
замкнутой системы и ее функции Лагранжа относительно поворотов в
пространстве.
Для доказательства этого факта необходимо посмотреть, как выглядит
изменение радиус-вектора частицы при бесконечно малом повороте этой
частицы в пространстве.
Пусть C ось поворота, проходящая через начало координат O. Пусть δφ угол
бесконечно малого поворота относительно этой оси. Введем вектор бесконечно
малого поворота δφ. Он направлен вдоль оси поворота, а по модулю равен углу
поворота. (Отметим в скобках, что вектора конечного поворота в общем случае
не существует, так как результат двух последовательно проведенных
бесконечно малых поворотов относительно разных осей зависит от порядка(!), в
котором эти повороты проводились).
Величина радиус-вектора i - ой частицы ri при повороте частицы не изменяется,
однако направление становится другим. Пусть два положения частицы (до
поворота и после) соединены вектором δri. Пусть, далее, радиус-вектор частицы
ri составляет угол α с направлением оси вращения C.
вид сбоку
вид сверху
Модуль вектора, соединяющего два положения частицы, равен длине основания
равнобедренного треугольника, образованного в плоскости, перпендикулярной
оси вращения, двумя положениями частицы, со сторонами risinα. То есть, δri = ri
sinα δφ, так как угол поворота мал. Вектор δri направлен перпендикулярно оси
вращения, то есть вектору δφ, и радиус-вектору частицы ri. Такой вектор
называется векторным произведением δri = [δφri].
Теперь определим, как выглядит изменение функции Лагранжа при повороте
замкнутой системы двух частиц в пространстве.
При вращении меняются направления радиус-векторов частиц и их скоростей.
Соответствующее изменение функции Лагранжа имеет вид
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
38
L
L  L 
L
L
 r1 
 r2 
 r1 
 r2 


r1
r2
r1
r2

L
L
L
L
[  r1 ] 
[  r2 ] 
[  r1 ] 
[   r2 ] 
r1
r2
r1
r2
   ([r1
L
L
L
L
]  [r2
]  [r1
]  [r2
]) 
r1
r2
r1
r2
L
L
d  L 
d  L 
]  [r2 
])
]  [r2
]  [r1 
r1
r2
dt  r1 
dt  r2 
Заменяя выражения в круглых скобках на производные от произведений,
получим выражение для изменения функции Лагранжа при вращении
dM
 L  
, где M  m1[r1v1 ]  m2 [r2 v 2 ] (23.1)
dt
Так как функция Лагранжа замкнутой системы зависит только от квадратов
скоростей частиц и от расстояний между частицами, то она не изменяется при
поворотах системы в целом вокруг любой оси (говорят, пространство
изотропное). Отсюда следует закон сохранения полного момента импульса M.
Тот же результат можно получить, рассматривая поворот как каноническое
преобразование. Действительно, имеем при повороте δra = [δφ ra] = ε [c ra]; δpa
= [δφ pa] = ε [c pa]. Здесь a = 1,2 номер частицы, c – единичный вектор вдоль оси
поворота, ε = δφ – бесконечно малый угол поворота. Поэтому бесконечно малые
канонические преобразования с генератором G имеют вид
G
G
G
G
r1  
  [cr1 ]; r2  
  [cr2 ]; p1  
  [cp1 ]; p 2  
  [cp 2 ]
p1
p 2
r1
r2
Отсюда, путем интегрирования находим, что генератор поворота вокруг оси с
равен G = c[r1p1] + c[r2p2] = cM. Это проекция вектора момента импульса на ось
вращения c. Так как функция Гамильтона в задаче двух тел инвариантна при
повороте относительно любой оси c, то сохраняется весь вектор момента
импульса M = [r1p1] + [r2p2].
   ([r1
Собственный момент импульса
Полный момент импульса в системе отсчета центра инерции называется
собственным моментом импульса S механической системы. Найдем его явное
выражение в задаче двух тел
S = m1[(r1 – Vcmt)(v1 – Vcm)]+ m2[(r2 – Vcmt)(v2 – Vcm)] =
= m1[(r1 – Vcmt)m2(v1 – v2)/μ]+ m2[(r2 – Vcmt)m1(v2 – v1)/μ] =
= m[rv]
Как мы видим, собственный момент импульса в задаче двух тел, как и
внутренняя энергия, зависит лишь от разностей скоростей частиц v = v1 – v2 и
их относительного положения r = r1 – r2. Кроме того, собственный момент
импульса и внутренняя энергия системы двух частиц имеют вид величин,
описывающих момент импульса и энергию одной эффективной частицы, масса
которой равна приведенной массе m = m1m2/μ.
Полный момент импульса системы (23.1) отличается от собственного момента
импульса на величину
L = M – S = m1[r1v1] + m2[r2v2] –
m1[(r1 – Vcmt)(v1- Vcm)] – m2[(r2 – Vcmt)(v2- Vcm)] = μ[RVcm]
Это так называемый орбитальный момент импульса.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
39
Здесь R = (m1r1 + m2r2)/μ - так называемый центр масс, или центр инерции
системы двух частиц.
Эффективные частицы
Выражения найденных интегралов движения, или законов сохранения
импульса, энергии и момента импульса замкнутой системы двух частиц могут
быть записаны так
P = μVcm; E = μV2cm/2 + mv2/2 + U(r); M = μ[RVcm] + m[rv],
как если бы система состояла из двух частиц с массами μ и m.
Первая частица, находясь в каждый момент в центре масс R, перемещается с
постоянной скоростью Vcm. Вторая частица движется в центральном поле U(r) с
центром в центре масс, находясь в каждый момент времени в положении с
радиус-вектором r = r1 – r2 по отношению к центру масс, имея скорость v = v1 –
v2. В системе отсчета центра инерции первая частица с полной массой μ
покоится в центре масс. В виду однородности пространства начало координат
можно поместить в центр масс. Тогда закон движения первой частицы будет
иметь вид R = 0; V = 0.
Вторая частица с приведенной массой m движется в центральном поле U(r).
Энергия этой частицы равна внутренней энергии системы
Eвн = mv2/2 + U(r)
(23.2)
а ее момент импульса равен собственному моменту импульса системы
S = m[rv]
(23.3).
Найдя закон движения этой эффективной частицы r = r(t), и используя
определения
r = r1 – r2 и R = (m1r1 + m2r2)/μ,
мы можем найти закон движения каждой из реальных частиц
r1(t) = R + m2r/μ; r2(t) = R – m1r/μ.
Запишите самостоятельно функцию Лагранжа задачи двух тел в переменных R,
V; r, v. Запишите с ее помощью уравнения движения. Получите функцию
Гамильтона в переменных R, P; r, p = mv и запишите уравнения движения в
форме канонических уравнений.
Эффективные частицы с массами μ = m1 + m2 и m = m1m2/μ в общем случае не
соответствуют реальным частицам задачи двух тел. Но если одна из реальных
частиц, например, вторая имеет массу, значительно превосходящую массу
первой m2 >> m1, то полная масса системы приблизительно равна массе второй
частицы μ ≈ m2. Тяжелая частица практически неподвижна относительно центра
масс r2(t) ≈ R. При этом приведенная масса приблизительно совпадает с массой
легкой частицы m = m1m2/μ ≈ m1, так что легкая частица движется по закону r1(t)
≈ R + r(t) в поле, «создаваемом тяжелой частицей».
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
40
На рисунке изображены серым траектории двух частиц одинаковой массы и красным
траектория частицы с приведенной массой как один из примеров движения замкнутой системы
двух частиц.
Центр масс неподвижен и находится в центре перекрестия.
Дополнительное замечание
Выше мы отмечали, что уравнения движения замкнутой системы частиц инвариантны
относительно преобразования Галилея, то есть перехода к системе отсчета, движущейся
равномерно и прямолинейно относительно данной. С этой инвариантностью связан закон
сохранения, который, однако, не имеет столь независимого значения, как законы сохранения
импульса, энергии и момента импульса. Дело в том, что закон сохранения «бустера» (так
сравнительно недавно был назван этот интеграл) является следствием закона сохранения
импульса. В этом легко убедиться.
Бесконечно малое преобразование Галилея δri = - δVt; δvi = - δV, если скорость системы отсчета
равна δV. При этом функция Лагранжа изменяется, как мы видели выше, за счет изменения
кинетической энергии
L
L 
L 
 r1 
 r2   V (m1 r1  m2 r2 ) 
r1
r2
d (  R )
d
  V [m1 r1  m2 r2 ]   V
dt
dt
.
Воспользуемся формулой (2), определяющей интеграл движения при преобразовании,
изменяющем функцию Лагранжа на полную производную по времени. Учитывая, что в данном
случае φ(q, t) = - t, а сумма производных функции Лагранжа по скоростям есть полный импульс,
получим бустер в виде
N = μR – Pt = const.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
41
Это не что иное, как закон движения центра масс, следующий непосредственно из закона
сохранения импульса. Значение бустера определяется положением центра масс в начальный
момент времени t = 0.
Задача о движении частицы в центральном поле
Результат предыдущего анализа задачи двух тел показывает, что в системе
отсчета центра инерции эта задача сводится к задаче о движении одной частицы
в центральном поле, центр которого находится в центре масс двух частиц.
Функция Лагранжа частицы в центральном поле имеет вид
mv2
L
 U (r )
2
Уравнения движения частицы в центральном поле получаются подстановкой
этой функции в уравнения Лагранжа
d  L  L
0
 
dt  v  r
и имеют т.о. вид
U
mv  
r
Эти уравнения имеют интегралы - закон сохранения энергии (23.2) и момента
импульса (23.3). Используя их, найдем закон движения частицы в центральном
поле. В качестве упражнения найдите функцию Гамильтона частицы в
центральном поле и запишите уравнения движения в форме канонических
уравнений.
Основные свойства движения в центральном поле
Из закона сохранения момента импульса m[rv] = const, во-первых, следует, что
движение в центральном поле является плоским. Действительно, в начальный
момент времени радиус-вектор r и вектор скорости v образуют в общем случае,
как и любые два вектора, некоторую плоскость. Мы не рассматриваем
тривиальный случай, когда эти вектора направлены вдоль одной прямой и
момент импульса равен нулю. В этом особом случае движение всегда будет
проходить вдоль данной прямой, так как момент импульса всегда будет равен
нулю. В общем случае момент импульса перпендикулярен плоскости,
образованной радиус-вектором и вектором скорости частицы. Он будет
оставаться таким всегда. А значит, и движение будет происходить всегда в этой,
заданной начальными условиями, плоскости.
Введем систему координат с осью z, направленной вдоль момента импульса, и
осями x, y, лежащими в плоскости движения. Обозначим единственную
отличную от нуля компоненту момента импульса буквой M = Sz. Она же будет и
модулем момента импульса.
Так как поле зависит лишь от расстояния до центра масс, помещенного в начале
координат, то удобнее воспользоваться полярной системой координат
x = r cosφ; y = r sinφ
и переписать выражения для момента и энергии в виде
M  m( xy  yx )  mr 2 ; .
E
m( x 2  y 2 )
m
 U (r )  (r 2  r 2 2 )  U (r ) .
2
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
42
Из первого соотношения сразу следует, что угловая скорость движения в
центральном поле
M
 
(23.4)
mr 2
не изменяет своего знака в процессе движения. Другими словами, движение
вокруг направления момента импульса является монотонным, но, в общем
случае, не равномерным – угловая скорость вращения растет с приближением к
центру поля.
Радиальное движение
Радиальное перемещение определим из закона сохранения энергии,
предварительно подставив туда выражение (23.4) для угловой скорости
mr 2
E
 U eff (r ) (23.5)
2
Здесь
M2
U eff (r ) 
 U (r ) 2mr 2
так называемая эффективная потенциальная энергия частицы в центральном
поле. Эта энергия состоит из обычной энергии взаимодействия и
центробежного барьера, который обязан своим существованием вращению
частицы. Можно сказать, что для радиальной «одномерной» частицы вращение
во втором измерении проявляет себя в виде дополнительной центробежной
силы – одномерный «радиальный» наблюдатель изучает движение частицы,
находясь во вращающейся системе отсчета.
Из (23.5) следует выражение для радиальной скорости
r   2( E  U eff (r )) / m (23.6).
(Мы выбрали за единицу масштаба масс массу эффективной частицы).
Изменение знака радиальной скорости (частица переходит от удаления к
сближению с центром и наоборот) происходит в точках поворота. Точки
поворота удовлетворяют уравнению E = Ueff(r) и зависят как от конкретного
взаимодействия, так и от начальных условий движения (значения энергии).
Если потенциальная энергия не очень быстро убывает с приближением к центру
M2
поля, а именно, если U (r  0)  
, то частица не падает на центр, а
2mr 2
отражается от центробежного барьера. В этом случае хотя бы одна точка
поворота всегда существует. Если точек поворота две, то движение происходит
в ограниченной области пространства.
Конечно, если M = 0, то частица летит по прямой, проходящей через центр, и,
если поле притягивающее, то есть потенциальная энергия падает с
приближением к центру, то частица рано или поздно упадет на центр. Это
лимитационное движение.
Из выражения для радиальной скорости (23.6) получим закон движения
dr
t  
 t0
(23.7).
2( E  U eff (r )) / m
Траектория движения
Исключив dt из (23.5) и (23.6), получим уравнение траектории
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
43
  
r
2
Mdr
  0 (23.8).
2( E  U eff (r )) / m
Так как в уравнении траектории корень меняет знак при прохождении через
точку поворота, то угол, отсчитанный от точки поворота до любого положения с
заданным расстоянием r в ту и другую сторону от точки поворота, будет один и
тот же. Другими словами, траектория движения частицы в центральном поле
симметрична относительно прямых линий, соединяющих точки поворота с
центром поля.
При инфинитном движении интерес может представлять угол, описываемый
траекторией при движении частицы из бесконечности до максимального
сближения с центром и обратно – в бесконечность. Этот угол определяется
выражением

Mdr
 inf  2  2
(23.9)
2( E  U eff (r )) / m
rmin r
Это угол между радиус-векторами, направленными от центра масс в бесконечно
удаленные точки начального и конечного положения частицы.
При ограниченном движении между точками поворота rmin, rmax траектория
описывает угол, равный
rmax
Mdr
  2  2
.
2( E  U eff (r )) / m
rmin r
Если этот угол после n оборотов станет равным углу, кратному 2π, то
траектория будет замкнутой. В общем случае это, конечно, не так. Хотя в полях
U(r) = - α/r; U(r) = kr2/2 все ограниченные траектории замкнуты.
В общем, все основные свойства движения частицы в произвольном
центральном поле на этом исчерпываются.
Запишите самостоятельно уравнение Гамильтона-Якоби частицы в центральном
поле. Найдите его полный интеграл, и получите закон движения и уравнение
траектории частицы из полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби.
Вопросы для самоконтроля
1. Дайте определение и запишите функцию Лагранжа замкнутой системы 2
частиц.
2. Получите закон сохранения полного импульса в этой задаче, и дайте
определение системы отсчета центра масс.
3. Дайте определение и получите выражение для внутренней энергии и
кинетической энергии в целом замкнутой системы двух частиц.
4. Дайте определение приведенной массы.
5. Как изменяется радиус-вектор частицы при бесконечно малом повороте
системы координат?
6. Какой закон сохранения замкнутой системы двух частиц следует из
изотропии пространства, и как это доказывается?
7. Дайте определения и запишите выражения для собственного и
орбитального моментов импульса.
8. В какой форме может быть сформулирована задача двух тел с учетом
имеющихся законов сохранения, и как восстановить закон движения
реальных частиц после определения закона движения в центральном
поле?
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
44
9. Каковы следствия закона сохранения момента импульса в отношении
характера движения частицы в центральном поле?
10. Как выглядит радиальный закон движения в центральном поле, и какими
свойствами может обладать радиальное движение?
11. Как выглядит траектория движения в центральном поле, каким общим
свойством она обладает, и при каких условиях траектория финитного
движения замкнута?
Задача 24. Задача Кеплера
Это задача о движении в центральном гравитационном или кулоновском поле.
Потенциальная энергия частицы в таком поле обратно пропорциональна
расстоянию до центра поля U(r) = - α/r.
Для ее решения будем использовать соотношения, полученные в предыдущей,
более общей задаче.
Выбор масштабов
Мы уже зафиксировали масштаб массы – это масса самой эффективной
частицы. Теперь выберем масштабы длины и времени так, чтобы момент
импульса (его модуль) и модуль постоянной взаимодействия |α| были равны
единице. Другими словами мы требуем, чтобы [S] (размерность момента
импульса) была равна M (модуль момента импульса) [S] = M, а [α] (размерность
коэффициента взаимодействия) равнялась его модулю |α|.
Выразим размерности этих величин через размерности массы, длины и времени
[S] = [M][D]2/[T] = M; [α] = [M][D]3/[T]2 = |α|. Из последнего соотношения
следует, что [D]3/[T]2 = |α|/m. В случае гравитационного взаимодействия α =
Gm1m2 = Gmμ, где G – гравитационная постоянная. Поэтому [D]3/[T]2 = Gμ. То
есть, отношение куба характерного масштаба длины к квадрату характерного
масштаба времени при гравитационном взаимодействии зависит только от
полной массы системы. В случае любой планеты солнечной системы значение
полной массы примерно равно массе Солнца. Поэтому, кубы линейных размеров
орбиты планеты пропорциональны квадрату ее периода обращения вокруг
Солнца. Это один из законов Кеплера.
Из выписанных выше масштабных соотношений следуют выражения для
единиц масштабов длины, времени и энергии
[D] = [S]2/[α][M] = M2/(m|α|);
[T] = [S]3/[α]2[M] = M3/(mα2);
[E] = mα2/M2.
Эффективная потенциальная энергия
Теперь займемся анализом эффективной потенциальной энергии, записанной в
этом масштабе
1
1
U eff (r )  2  (24.1).
r
2r
Верхний знак в этом выражении отвечает положительному коэффициенту
взаимодействия α, а нижний – его отрицательному значению. В первом случае
мы имеем дело с полем притяжения. Действительно, если U(r) = - 1/r (α > 0), то
соответствующая сила, действующая на частицу, равна f = - gradU = - r/r3. Мы
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
45
видим, что сила f направлена против радиус-вектора частицы r, то есть к
центру поля. Если α < 0, то направление силы будет обратным.
Эффективная потенциальная энергия (24.1) образует бесконечно высокий
центробежный барьер 1/2r2 при r → 0. Это не позволяет частице, при отличном
от нуля моменте импульса, упасть на центр поля. При r → ∞ потенциальная
энергия стремится к нулю, либо со стороны положительных значений в случае
отталкивающего поля, либо со стороны отрицательных значений в
притягивающем поле.
Первая производная эффективной потенциальной энергии U’(r) = -1/r3 ± 1/r2
может обращаться в ноль лишь в случае притягивающего поля (верхний знак) в
точке r0 = 1. Это минимум. В этой точке действие силы притяжения
уравновешивает действие отталкивающей центробежной силы. Значение
эффективной потенциальной энергии в этом минимуме равно Umin(r = r0) = - 1/2.
Одновременно это минимальное значение полной энергии, которую в нашем
масштабе может иметь частица, движущаяся в притягивающем поле. Если
частица имеет минимальную энергию E = - 1/2, то ее радиальное движение
ограниченно единственным значением r = r0 = 1. Другими словами, при
минимально допустимой энергии в притягивающем поле с потенциалом –1/r
частица движется по окружности, радиус которой равен единице в
выбранном масштабе длин [D] = M2/mα (физический смысл выбранного
масштаба длины). При этом частота вращения по окружности в нашем
масштабе согласно (23.4) равна единице (физический смысл выбранного
масштаба времени). (Считая, что Земля вращается по круговой орбите,
определите, чему равен выбранный нами масштаб времени.)
Если энергия близка к минимальной энергии, то уравнения движения можно
линеаризовать. Тогда частица на фоне вращения с единичной частотой будет
совершать малые радиальные колебания. Квадрат частоты этих колебаний равен
(посчитайте!) U’’(r = r0) = 1 в выбранном нами масштабе времени.
В отталкивающем поле эффективная потенциальная энергия является
монотонно убывающей положительной функцией. Поэтому в отталкивающем
поле полная энергия может быть лишь положительной величиной.
Эффективная потенциальная энергия в притягивающем и отталкивающем полях
Радиальное движение
Найдем точки поворота, то есть решения уравнения
1
1
E  U eff (r )  2 
r
2r
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
46
Перепишем это уравнение в виде, позволяющем выделить полный квадрат
1
величины u   1 ;2E + 1 = u2.
r
Обозначим
(24.2)
e  2E  1
Это так называемый эксцентриситет. При минимальной энергии E = - 1/2 в
поле притяжения эксцентриситет равен нулю - частица вращается по
окружности с единичной (в нашем масштабе) угловой скоростью.
В произвольном масштабе с учетом выписанной выше единицы масштаба
энергии формула для эксцентриситета имеет вид
e
2
M 2E
 1 . (24.2’)
 2m
Точки поворота определяются соотношением u = ±e, или, с учетом нашей
1
замены, rmin, max 
.
 e 1
Ясно, что отрицательные решения не имеют физического смысла. Сразу две
1
точки поворота rmin, max 
существуют лишь в притягивающем поле, когда
1 e
эксцентриситет меньше единицы (энергия меньше нуля). Отсюда, в частности,
следует выражение для эксцентриситета, оправдывающее название этого
параметра e = (rmax - rmin)/ (rmax + rmin) (посчитайте самостоятельно).
В отталкивающем поле (знак минус) и при положительной энергии в случае
1
притяжения (знак плюс) существует лишь одна точка поворота rmin 
.
e 1
Все это видно уже из графиков эффективной потенциальной энергии. Лишь в
притягивающем поле имеется яма потенциальной энергии при отрицательных
энергиях.
Уравнение траектории
Найдем уравнение траектории. В наших масштабах общее уравнение
траектории (23.8) принимает вид
dr
  
 0 .
r 2 2E  1 r 2  2 r
В подкоренном выражении выделяем полный квадрат 1 r  1 и переходим к
новой переменной интегрирования u  1 r  1 . Так как dr/r2 = - du, то интеграл
примет вид
du
  
  0   arccos(u / e)   0 .
e2  u 2
Итак, уравнение траектории частицы в центральном гравитационном или
кулоновском поле имеет вид
1/r = e cos(φ – φ0) ± 1 (24.3)
Верхний знак отвечает притяжению (α > 0), а нижний отталкиванию. Это
известное из аналитической геометрии уравнение конических сечений.
Правая часть достигает максимального значения, когда косинус равен единице,
то есть при угле φ = φ0. Это отвечает минимальному расстоянию до центра поля
2
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
47
(так называемый перигелий). Приняв φ0 = 0, мы отсчитываем угол от
направления на перигелий.
В декартовых координатах x = r cosφ; y = r sinφ уравнение траектории (24.3)
имеет вид
(1 – e2)x2 + 2ex + y2 = 1
(24.4)
В случае притяжения для энергий, меньших нуля (e < 1), уравнение (24.4)
описывает эллипс
( x  xc ) 2 y 2
 2  1,
a2
b
в фокусе (0,0) которого расположен центр поля. Центр эллипса находится в
точке (xc, yc) = (-ea, 0), а его большая и меньшая полуоси равны соответственно
r r
1
1
a  min max 
(24.5)
2
2
1 e
2E
и
1
b
 a
(24.6).
1  e2
При нулевой энергии, e = 1, траектория (24.4) является параболой y2 = 1 – 2x.
При положительных энергиях (эксцентриситет больше единицы) траекторией
движения (24.4) частицы в задаче Кеплера является левая ветвь гиперболы
( x  xc ) 2 y 2
 2 1
(24.7)
a2
b
с центром в точке (xc, yc) = (ea, 0) и полуосями
a  1 /( e 2  1); b  1 / (e 2  1) .
В случае отталкивания траекторией является правая ветвь гиперболы (24.7).
Асимптоты этих гипербол проходят через их центр под углами tgβ = ±b/a к оси
x.
Вот как выглядят траектории движения частицы при некоторых значениях
энергии в притягивающем поле (e = 0 красная, e = 0.5 зеленая, e = 1 бирюзовая и
e = 2 лиловая) и отталкивающем поле (e = 2 желтая), а также асимптоты
гипербол (коричневые).
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
48
Финитные траектории в задаче Кеплера замкнутые - угловой период Δφ = 2π.
Инфинитному движению отвечает угол поворота траектории (23.9), который
можно определить непосредственно из уравнения траектории (24.3). Для этого
надо устремить r → ∞. Получим
|cos(Δφinf/2)| = 1/e. (24.8)
Угол Δφinf лежит в интервале [0; π) для отталкивающего поля (косинус
положителен) и в интервале (π; 2π] для притягивающего (косинус отрицателен).
Закон движения в задаче Кеплера имеет довольно сложный вид (см. §15
«Механики»). Но довольно просто получить период вращения по эллипсу.
Из определения векторного произведения следует, что половина модуля
произведения |[rdr]|/2 равна площади бесконечно малого треугольника,
заметаемого радиус-вектором при движении частицы в центральном поле.
Сохраняющийся момент импульса равен M = m[rdr/dt]. То есть, скорость f , с
которой радиус-вектор заметает площадь под траекторией, пропорциональна
M
моменту импульса f 
и является, следовательно, постоянной величиной.
2m
За период вращения будет заметена вся площадь эллипса f = πab. Поэтому
Tf  f , откуда период равен T = 2πmab/M. В наших масштабах с учетом
выражений для полуосей эллипса (24.5), (24.6) имеем T = 2πa3/2 = 2π/(-2E)3/2, т.е.
квадрат периода вращения пропорционален кубу линейных размеров орбиты.
Последнее утверждение следовало уже из масштабных формул.
Переменные действие-угол
Изучая финитное движение интегрируемой системы, можно, как мы видели на
примерах предыдущих задач, ввести переменные «действие-угол»
1
J 
M z d  M z
2 
1
1
Jr 
p r dr 
2m( E  U eff (r )) dr

2
2 
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
49
Эти соотношения определяют зависимость полной энергии от переменных
действия, как и в предыдущих задачах. Последний интеграл выражается в
элементарных функциях, что позволяет получить явное выражение энергии, как
функции переменных действия (см. задачу к §52 «Механики»). В масштабе [M]
= m; [α] = |α| он равен
1
1
J r  M z 
 J 
2| E |
2| E |
Отсюда
1
H E
2
2J r  J  
Это выражение функции Гамильтона задачи Кеплера для состояний с
отрицательными энергиями в канонических переменных «действие-угол» wr, Jr;
wφ, Jφ. Канонические уравнения в этих переменных имеют вид
H 
w  
; J  0
J 
H 
w r 
; Jr  0
J r
Частоты колебаний ωφ = dwφ/dt и ωr = dwr/dt совпадают (посчитайте
самостоятельно, доказав, что результат соответствует периоду T = 2π/ωφ,
полученному выше). Это означает, что фазовая траектория образует замкнутую
кривую, лежащую на торе. Другими словами, фазовое пространство в задаче
Кеплера расслаивается на резонансные торы при всех значениях момента
импульса и отрицательной энергии (!).
Посмотрите интерактивную иллюстрацию к задаче Кеплера. Обратите
внимание на задачи, помещенные в конце §15 «Механики». В приведенной
иллюстрации можно, меняя параметры, задавать поле, немного отличающееся
от поля задачи Кеплера, как в условии задачи 3 из §15 «Механики».
Вопросы для самоконтроля
1. Что представляет собой задача Кеплера?
2. Проведите масштабирование в задаче Кеплера, указав физический смысл
масштабов длины и времени.
3. Исследуйте эффективную потенциальную энергию этой задачи,
определите точки поворота, и дайте качественное описание характера
движения при различных энергиях.
4. Определите уравнение траектории в задаче Кеплера при различных
энергиях.
5. Чему равен угол поворота траектории при инфинитном движении в
задаче Кеплера?
6. Чему равен период вращения в задаче Кеплера?
7. Запишите функцию Гамильтона в задаче Кеплера в переменных
«действие-угол» для финитного движения. Найдите период вращения из
этого выражения.
Задача 25. Задача рассеяния
Инфинитное движение частицы в центральном поле называется процессом
рассеяния.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
50
Угол рассеяния и прицельное расстояние
Важной характеристикой рассеяния является угол поворота χ вектора скорости
первоначально свободной частицы после прохождения области взаимодействия.
Это так называемый угол рассеяния. Он очень просто связан с углом поворота
Δφinf радиус-вектора траектории частицы за все время ее движения в поле χ = |π
- Δφinf| и лежит в интервале [0;π].
Как и угол поворота траектории Δφinf, угол рассеяния χ зависит от конкретного
взаимодействия U(r), приводящего к рассеянию, и от начальных условий
движения частицы – полной энергии E и момента импульса M.
До взаимодействия частица является свободной, и ее полная энергия совпадает
с кинетической энергией E = mv2∞/2, а модуль момента импульса равен M =
m|[rv∞]| = mrv∞sinα. Здесь v∞ - скорость налетающей частицы до взаимодействия
с центром, α – угол между радиус-вектором r этой частицы и ее скоростью.
Величина ρ = rsinα определяет ближайшее расстояние, на котором частица
прошла бы от центра, если бы с ним не взаимодействовала (при r → ∞ угол α
стремится к нулю, но произведение rsinα остается конечным). Это так
называемое прицельное расстояние.
При экспериментальном исследовании рассеяния частиц на силовом центре,
падающие частицы образуют однородный пучок с примерно одинаковой
энергией (так называемый монохроматический пучок). В качестве масштаба
массы естественно выбрать массу частицы [M] = m. Масштабом скорости скорость частицы до рассеяния [D]/[T] = v∞. В этих масштабах полная энергия
частицы E = ½, а момент импульса M = ρ. Поэтому выражение для угла
рассеяния (см. формулу (23.9)) принимает вид

   2 
dr
.
2
2
r
1

2
U
(
r
)


r
rmin
Отсюда видно, что угол рассеяния частиц одинаковой массы из
монохроматического пучка на данном силовом центре U(r) зависит только от
прицельного расстояния налетающей частицы. Другими словами, все частицы
монохроматического пучка, находящиеся до рассеяния в кольце прицельных
расстояний (ρ; ρ + dρ), рассеиваются на угол, лежащий в интервале (χ; χ + dχ).
2
Рассеяние на кулоновском потенциале
В частности, можно найти χ(ρ) в важном случае поля с потенциалом U(r) = -α/r
(см. (24.8)). Для этого, как и при решении задачи Кеплера, выберем масштабы
так, чтобы [α] = [M][D]3/[T]2 =|α|. Это фиксирует масштабы длины и времени [D]
= |α|/mv2∞; [T] = |α|/mv3∞ (подумайте над их физическим смыслом). В этих
масштабах выражение для эксцентриситета (24.2’) принимает вид e  1   2 .
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
51
Из (24.8) получаем связь между углом рассеяния и прицельным расстоянием в
случае кулоновского потенциала рассеяния
sin  / 2  1 / 1   2 . (25.1)
Подчеркнем, что параметр ρ в приведенных формулах является безразмерной
величиной, равной ρmv2∞/|α|, где ρ уже размерное прицельное расстояние.
Поэтому угол рассеяния зависит, конечно, не только от прицельного
расстояния, но и от постоянной взаимодействия α, массы частицы и ее
начальной скорости. Значение ρ=1 безразмерного параметра соответствует, как
видно из (25.1), углу рассеяния в 90o, т.е. отделяет «рассеяние вперед» от
«рассеяния назад».
На рисунке изображен пример рассеяния частицы с прицельным расстоянием
2,2 в кулоновском отталкивающем поле. Половина угла раствора конуса
определяет угол рассеяния χ = 50º,3 частицы.
Сечение рассеяния
Экспериментальное исследование процесса рассеяния состоит в измерении
потока dN рассеянных в единицу времени частиц в интервал углов [χ; χ + dχ] в
отношении к известной плотности потока n налетающих частиц. Это отношение
dσ = dN/n, имеющее размерность площади, называется дифференциальным
эффективным сечением рассеяния.
Так как в интервал углов [χ; χ + dχ] попадают частицы из кольца прицельных
расстояний [ρ; ρ + dρ], то dN равно произведению площади этого кольца на
плотность потока в пучке dN = 2πρdρn. Следовательно, дифференциальное
эффективное сечение рассеяние можно записать также в виде dσ = 2πρdρ.
Зная ρ(χ), можно найти зависимость дифференциального эффективного сечения
рассеяния dσ от угла рассеяния.
В случае кулоновского взаимодействия из соотношения (25.1), полученного
выше, имеем ρ(χ) = ctg(χ/2) и dσ = πctg(χ/2)dχ/sin2(χ/2). Часто записывают
дифференциальное эффективное сечение рассеяния в единицу телесного угла dο
= 2πsinχdχ
d
d 
.
4 sin 4  2
Это так называемая формула Резерфорда.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm
52
Посмотрите интерактивную иллюстрацию, симулирующую процесс рассеяния
при разных прицельных расстояниях.
Если взаимодействие имеет потенциал, отличный от нуля во всем пространстве,
то, строго говоря, полное сечение рассеяния равно бесконечности. Ведь в этом
случае частица рассеивается при любом прицельном расстоянии и,
следовательно, интеграл от dσ = 2πρdρ расходится.
Однако, в частности, столкновение двух шариков диаметра a имеет конечное
сечение рассеяние, равное πa2. Этот процесс можно рассматривать как
рассеяние точечной частицы в центральном поле, потенциал которого
бесконечен в сферической области радиуса a и равен нулю в остальной части
пространства.
Как видно из схемы, угол рассеяния в этом процессе связан с прицельным
расстоянием соотношением
cos(χ/2) = ρ/a,
а дифференциальное сечение рассеяния имеет вид
dσ = πa2sinχdχ/2 = a2dο/4.
Вопросы для самоконтроля
1. Что представляет собой процесс рассеяния, и что такое угол рассеяния и
прицельное расстояние?
2. Как зависит угол рассеяния от прицельного расстояния и энергии
взаимодействия с центром в общем случае центрального поля?
3. Какова эта зависимость в случае задачи Кеплера? Поясните смысл
выбираемых в этом случае масштабов.
4. Как экспериментально и теоретически определяется дифференциальное
эффективное сечение рассеяния?
5. Как зависит дифференциальное сечение от угла рассеяния в задаче
Кеплера (формула Резерфорда)?
6. Посчитайте сечение рассеяния двух твердых шариков диаметром a.
©Фомин Георгий Викторович. Механика. ЮФУ. 2010 г. www.phys.sfedu.ru/~fomin/Mech/Mechanics.htm