-1- Маркин Д.Н. О сходящихся центральносимметричных сферических волнах Рассмотрим простейший вид сферических волн, а именно центральносимметричные сферические волны. Волновое уравнение сферических волн, обладающих центральной симметрией, является одномерным, оно имеет вид Общее решение уравнения (1) по методу Д’Аламбера ищется в следующей форме деля левую и правую части на r, имеем Функции и являются произвольными, дважды дифференцируемы- ми по r и t, они соответствуют характеру начального возмущения среды. С физической точки зрения данное выражение представляет собой две бегущие в противоположных направлениях сферические волны: расходящуюся от источника сферическую волну, волну, сходящуюся к центру. Множитель – – сферическую можно рассматривать как про- странственный фактор изменения величины возмущения среды в поле сферических волн, наличие его является существенным отличием сферических волн от плоских. Благодаря этому множителю величина возмущения уменьшается в расходящейся сферической волне, по мере увеличения расстояния от центра волны, и увеличивается в волне, сходящейся к центру (при уменьшении расстояния до нуля ). Деление выражения (2) на r, вносит неопределённость в значение функции в точке , поэтому решение (3) волнового уравнения сфери- -2- ческих волн с центральной симметрией имеет неопределённость в этой точке. Если числитель решения (3) в точке явля- ется конечной величиной, то общее решение волнового уравнения стремится к бесконечности при r→0, то есть, при этом точка является особой точкой (сингулярностью или точкой разрыва второго рода) решения волнового уравнения центральносимметричных сферических волн, в этой точке величина возмущения может принять бесконечное по модулю значение. Если числитель дроби в решении (3) стремится к нулю при r→0, то величина потенциала является конечной в точке , при этом имеем соотношение неопределённостей вида . Если воз- мущение среды носит характер гармонической волны, то соотношение неопределённостей принимает вид , то есть вид первого замечатель- ного предела. Чтобы избежать указанной неопределённости относительно функции , как правило, второе слагаемое1 в общем решении (3), описывающее сходящуюся волну, отбрасывается, например в [3, с. 65] говорится: ”…чтобы не нарушать закона причинности, согласно которому наступление реакции не может быть раньше действия причины, второй член в общем решении волнового уравнения сферических волн не является решением, имеющим физический смысл, поэтому его можно отбросить.” Процитированное утверждение может считаться справедливым, только если речь идёт о рассмотрении в качестве модели излучателя точечного источника. Нужно сказать, что сходящиеся к центру сферические волны вообще рассматриваются довольно редко, в основном, в случае свободных колебаний среды в замкнутой полости Поскольку в первую очередь именно сходящаяся к центру волна охватывает область возле начала координат, и лишь когда речь идёт о точечном источнике, расходящаяся волна также охватывает точку r=0. 1 -3- сферической формы (например, помещение), где волны, отражаясь от жёсткой стенки, сходятся к центру полости. Однако, когда в общем решении (3) волнового уравнения (1) отбрасывается второе слагаемое, отражающее сходящуюся к центру волну, из виду теряется важное свойство сферических волн. Можно математически строго показать, что в поле сферических волн в каждую точку пространства должно прийти как разрежение, так и сжатие2 [1, с. 274]. Иными словами в сферической волне всегда содержатся и сжатые, и разреженные участки, даже в тех случаях, когда начальное возмущение, например плотности или давления, имеет один знак, сферические волны сжатия и разрежения не могут существовать по отдельности [5, с. 268; 6, с. 114]. Это свойство трудно объяснить, если исключить из рассмотрения сходящуюся к центру сферическую волну, то есть в правой части соотношения (3) отбросить второе слагаемое, поэтому данный раздел посвящён рассмотрению значения сходящихся к центру сферических волн в общем решении волнового уравнения. Поле сферических волн обладают ещё одним важным свойством: волновой импульс в сферической волне (как и в плоской) может обладать резким началом и резким концом, после прохождения волнового импульса среда приходит в состояние равновесие [2, с. 382;7, с. 343]. В отличие от этого цилиндрические волны могут иметь крутой передний фронт, но не имеют чёткого заднего фронта, при их прохождении в среде остаётся «шлейф» или «след», среда не приходит в равновесное состояние после прохождения импульса цилиндрической волны, состояние среды лишь стремится к равновесному асимптотически при t→0. Рассмотрим случай, когда в начало системы координат ( ) мысленно помещён точечный источник сферических волн. В этом случае точка становится особой точкой в решении волнового уравнения, в ней величина Например в случае плоских волн в каждую точку пространства может прийти либо только разрежение, либо только сжатие. Волны разрежения и сжатия могут существовать раздельно в поле плоских волн. 2 -4- потенциала может принимать бесконечное значение. При этом второе слагаемое в общем решении волнового уравнения центральносимметричных сферических волн, которое отражает сходящуюся волну, не имеет явного физического смысла, поэтому его можно, не совершая ошибки, не учитывать3, и рассматривать только расходящуюся волну. Нужно сказать, что наличие источника излучения никак не отражено4 в волновом уравнении (1), оно не охватывает своим описанием непосредственно источника. Рассмотрим теперь в качестве излучателя сферических волн пульсирующую сферу5, которая представляет из себя материальную оболочку6 сферической формы конечных размеров, радиус которой (следовательно и объём) изменяется во времени. При этом непосредственно в точке нет источ- ника возмущения среды, и данная точка является регулярной точкой решения волнового уравнения, в ней величина потенциала должна принимать конечное значение. Чтобы при стремлении расстояния к началу координат потенциал был конечным, знаменатель правой части равенства (3) должен стремиться к нулю, получаем предел откуда поэтому для потенциала скорости можно написать Потенциал скорости в сферической волне может быть представлен в виде суперпозиции двух одинаковых бегущих навстречу друг другу волн, или в Поскольку решение волнового уравнения имеет смысл только вне материи источника, а точка и некоторая её окрестность заняты источником. 4 Так как волновое уравнение (1) является однородным (его свободный член равен нулю). Для описания наличия источника в данное уравнение нужно было бы ввести отличный от нуля хотя бы в ограниченной области пространства свободный член [3, с. 549]. 5 Нужно сказать, что пульсирующая сфера, как и точечный источник, является моделью, нежели реальным физически реализуемым излучателем. 6 Будем считать, что сфера заполнена таким же веществом, как окружающее её пространство. 3 -5- виде стоячих волн. Можно прийти к этому результату и другим путём. Если в начале координат нет источника излучения, то поток векторного поля через сферическую поверхность, стягивающуюся в точку , должен стремиться к нулю. Обозначим поток вектора скорости через ψ. Из теории векторного поля известно, что поток вектора скорости определяется формулой где интеграл понимается как поверхностный, – вектор скорости, S – пло- щадь поверхности, через которую определяется поток, в нашем случае рассматривается поток через замкнутую сферическую поверхность бесконечно малого размера. Считаем, что поток симметричен относительно начала координат, поэтому он является равномерным, и можно вынести вектор скорости из-под знака интеграла, при этом получим Учитывая связь между вектором скорости и потенциалом скорости , поэтому для потока вектора скорости имеем При стремлении радиуса к нулю для потока вектора скорости получаем предел Подставляя в эту формулу решение (3) волнового уравнения, найдём, что Опять приходим к соотношению (4), которое должно учитываться при определении состояния движения в безграничной среде, возникающего при -6- произвольных начальных условиях, сферическисимметричных относительно начала координат. Используя формулу Пуассона можно показать, что значение потенциала скорости в поле центральносимметричных сферических волн в начале координат определяется возмущением на сферической поверхности пере- менного радиуса [4, с. 161-162]. Рассмотрим пример, когда в некоторый момент времени задано постоянное начальное сжатие в объёме, ограниченном сферой произвольного радиуса R, в следующие после начального моменты времени от центра и к центру возмущённой области начнут распространяться две бегущие волны: расходящаяся волна сжатия, и сходящаяся волна разрежения7. Когда сходящаяся волна достигает центра симметрии (это произойдёт через время ), она отражается от него и начинает распространяться расходящаяся волна того же знака8, что была сходящаяся волна, при этом меняется только знак в аргументе функции, описывающей волновой процесс. Запаздывание между максимумами волны сжатия и волны разрежения составляет , которое по- требуется волне сжатия, чтобы преодолеть расстояние от поверхности сферы до центра и после отражения обратно. Если при рассмотрении данного примера в описании распространения возмущения отбросить сходящуюся к центру сферическую волну, в итоге будут сделаны неверные выводы о картине процесса. Очевидно, что начало координат и сходящиеся волны занимают особое место в теории сферических волн, на что редко обращается внимание. Хоть в реальных физических условиях сферические волны практически никогда не бывают строго симметричными относительно центра, тем не менее, при распространении сферических волн сохраняется рассмотренный ха- Знак возмущения в волне того или иного направления определяется начальными условиями. Лишний раз подчеркнём, что имеется в виду знак возмущения среды, а не знак направления распространения волны. 7 8 -7- рактер происходящих процессов. -8- Литература 1. Исакович М.А. Общая акустика. – М.: Наука, 1973. – 496 с. 2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Уч. пособие: Для вузов. В 10 томах. Т. VI Гидродинамика. – 5-е издание, стереотипное. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 736 с. 3. Thomas D. Rossing( ed.) Springer Handbook of Acoustics. – New York, Springer. 2007. – 1182 p. 4. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. – Л.: Издательство «Судостроение», 1972. – 376 с. 5. Лэмб Г. Динамическая теория звука. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. – 372 с. 6. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей) Теория звука. В 2-х томах. Изд. 2-е. Том 2. – М.: Гостехиздат, 1955. – 476 с. 7. Морз Ф. Колебания и звук. – М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. – 496 с. 8. Смирнов В.И. Курс высшей математики, том 2. Изд. двадцать первое, стереотипное. – М.: Наука, 1974. – 656 с. 9. Kinsler Lawrence E., et al. Fundamentals of Acoustics. 4-th ed. – John Wiley & Sons, 2000. – 567 p.