ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ «УЗЕЛ СОПРЯЖЕНИЯ» ЗВЕНА

Использование понятия «узел сопряжения» звена…
УДК 621.01
В.М. ТРЕТЬЯКОВ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОНЯТИЯ «УЗЕЛ СОПРЯЖЕНИЯ» ЗВЕНА ПРИ
СТРУКТУРНОМ СИНТЕЗЕ МЕХАНИЗМОВ
Понятие «узел сопряжения» использовалось при решении задач проектирования
семейств изделий [1]. Применительно к механизмам под узлом сопряжения понимается
совокупность поверхностей звена, служащая для соединения с другим звеном. В теории
механизмов и машин есть близкие понятия: элемент кинематической пары [2], элемент
звена [3], профиль звена. Понятие узел сопряжения используется при структурном синтезе
рычажных механизмов с низшими кинематическими парами [2, 4], который является
хорошо разработанным разделом теории механизмов [5]. Цель данной работы показать
возможность применения этого понятия при синтезе механизмов с высшими
кинематическими парами, используя принцип Грюблера.
e1
e1
a11
a21
e2
e2
а)
б)
Рис. 1. Вращательная кинематическая пара и ее структурная модель:
а – вращательная кинематическая пара; б – структурная модель кинематической пары
Подвижное соединение узлов сопряжения двух звеньев образует кинематическую
пару. Структурная модель, приведенная на рис. 1, является моделью кинематической пары
(рис. 1, а), отражающей узел сопряжения a11 (отверстие и торцевая поверхность) на втулке
e1 и узел a 21 (цапфа вала и торцевая поверхность) на валу e2 . Ребром, соединяющим
вершины, в модели представлено сопряжение, полученное в результате контакта узлов a11 и
a 21 . Для примера, приведенного на рис. 1, сопряжение – это совокупность цилиндрической
и плоской поверхностей. Для кинематической пары первого класса узлы сопряжения звеньев
могут представлять собой, например, сферическую поверхность на одном звене и плоскость
на втором. В этом случае сопряжение, которое они образуют, – это точка.
Учитывая узлы сопряжения звеньев структурные свойства плоской замкнутой
кинематической цепи без избыточных связей можно определить по формулам:
2j
n j   n ju ,
u j
v
2j
n   n ju ,
j 2 u  j
h 
(1)
1 v 2j
 un ju ,
2 j 2 u  j
Теория Механизмов и Машин. 2005. №2. Том 3.
(2)
(3)
73
Структура механизмов
2j
v
r   jn ju ,
(4)
j 2 u  j
v
2j
w  3   a ju n ju ,
(5)
j 2 u  j
u
3
3 j,
2
2
2j
v
j
k  1   ((  1) n ju ) ,
(6)
2
j 2
u j
где v – максимальное число узлов сопряжения звена; n – число звеньев кинематической
a ju 
цепи; n j – число звеньев, содержащих
j узлов сопряжения; n ju – число звеньев,
содержащих j узлов сопряжения, допускающих u подвижностей связанных с ними
звеньев, u  j, j  1,  , 5 j  1, 5 j , для плоского механизма максимальное значение u
равно 2 j ; r – число узлов сопряжения звеньев; w – подвижность кинематической цепи;
k
– число независимых контуров кинематической цепи; h
– число подвижностей
допускаемых кинематическими парами.
Число звеньев, узлы сопряжения которых образуют высшие и низшие
кинематические пары, связано с числом высших и низших кинематических пар следующими
соотношениями:
v
2j
 n
j  2 u  j 1
ju
 2 p4 ,
(7)
ju
 2 p5 ,
(8)
v 2 j 1
 n
j 2 u  j
1 v 2j
 (u  j)n ju ,
2 j 2 u  j
1 v 2j
p5   (2 j  u)n ju ,
2 j 2 u  j
p4 
(9)
(10)
где p4 и p5 – число высших (двухподвижных) и низших (одноподвижных) кинематических
пар в кинематической цепи.
Используем полученные зависимости для структурного синтеза плоских механизмов,
содержащих высшие кинематические пары. Входные данные синтеза: число независимых
контуров механизма k , его подвижность w и число звеньев n .
Максимальное число узлов сопряжения звеньев замкнутой кинематической цепи
связано с числом замкнутых контуров соотношением [4]:
(11)
v  k 1.
По известным зависимостям, связывающим число низших и высших кинематических
пар с числом звеньев и подвижностью механизма [2 – 4], а также с учетом
r
 p5  p 4 и
2
(1), (6) можно получить следующие соотношения:
p4  w  2k  1  n ,
p5  2n  k  2  w ,
74
(12)
(13)
http://tmm.spbstu.ru
Использование понятия «узел сопряжения» звена…
v
j
 ( 2  1)n
j 2
j
 k  1.
(14)
В механизмах с высшими кинематическими парами p4  1 , а p5  0 , поэтому из
(12) и (13) следует
k
w
 1   n  w  2k .
2
2
Примем k  2 , тогда из (1), (11) – (15) получим:
v  3,
p4  w  5  n ,
p5  2n  4  w ,
w
2  n  w 4 ,
2
n3  2 ,
n2  n3  n ,
n2  n  2 .
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
Пусть w  1, тогда из (18) следует, что возможные значения числа звеньев 4 и 5
(двухконтурные кинематическин цепи с тремя звеньями не существуют). Примем n  4 . Из
(16), (17), (19) и (20) p4  2 , p5  3 , n3  2 , n2  2 . Использовав эти данные из (1), (5) –
(10), получим систему уравнений для определения номенклатуры звеньев, учитывающей
исполнения узлов, определяющие виды получаемых кинематических пар (высшие или
низшие):
3
1
3
n22  n23  2n24  n34  n35  n36  4 ,
2
2
2
n22  n23  n24  2 ,
(21)
n33  n34  n35  n36  2 ,
(23)
2  n23  n24  n34  n35  n36  4 или
n23  n24  n34  n35  n36  2  l4 ,
(24)
0  n22  n23  n33  n34  n35  6 или
n22  n23  n33  n34  n35  l5 ,
(22)
n23  2n24  n34  2n35  3n36  4 ,
(25)
(26)
2n22  n23  3n33  2n34  n35  6 ,
(27)
l4  0, 1, 2 ; l5  0, 1, , 6 .
Из семи уравнений (21) – (27) 5 независимы (ранг матрицы коэффициентов системы
равен 5). Из (25) с учетом (22) и (23) получим n24  n36  4  l5 . Отсюда следует, что l5  4 .
При l5  4 , n24  n36  0 . Примем l4  1 , тогда из (24) с учетом (22) и (23) получим
n22  n33  1 . Пусть n33  1 . Из выше приведенных уравнений получим 1-ю совокупность
значений переменных: n22  0 , n23  2 , n24  0 , n33  1 , n34  0 , n35  1 , n36  0 . При
n22  1 получим 2-ю совокупность значений переменных: n22  1 , n23  1 , n24  0 , n33  0 ,
n34  1 , n35  1 , n36  0 . При l4  2 получим еще один вариант решения, удовлетворяющий
Теория Механизмов и Машин. 2005. №2. Том 3.
75
Структура механизмов
уравнениям, который дает 3-ю совокупность значений переменных: n22  0 , n23  2 ,
n24  0 , n33  0 , n34  2 , n35  0 , n36  0 .
На рис. 2 показаны возможные кинематические схемы вариантов звеньев и их
структурные модели, учитывающие исполнения узлов сопряжения. Закрашенные вершины
графов соответствуют узлам, образующим высшие кинематические пары. В приведенных на
рисунках примерах низшие кинематические пары вращательные, образующие их узлы
сопряжения содержат цилиндрические поверхности. Узлы сопряжения, образующие высшие
кинематические пары, – боковые поверхности зубьев колес.
n33
n22
n23
n34
n35
Рис. 2. Кинематические схемы и структурные модели звеньев
На рис. 3 приведены структурные и кинематические схемы замкнутых
кинематических цепей, полученных на основе звеньев, соответствующих приведенным
выше совокупностям значений переменных. Для получения структурных схем
кинематических цепей можно использовать подход, примененный в [1] для синтеза изделий
семейства на основе элементной базы.
Кинематическая цепь, показанная на рис. 3, а, позволяет получить двухступенчатую
зубчатую передачу; цепь на рис. 3, б – лежит в основе планетарного механизма.
Кинематическая цепь, приведенная на рис. 3, в, позволяет получить механизм, являющийся
частью бипланетарного механизма.
Из приведенного выше следует: использование понятия узел сопряжения позволяет
представлять состав механизма как совокупность звеньев, содержащих узлы сопряжения,
каждый из которых имеет определенное исполнение, определяющее вид или класс
образуемой им кинематической пары.
Используя переменные, отражающие узлы сопряжения звена и учитывающие
исполнения узлов, можно решать задачи структурного синтеза плоских механизмов с
высшими кинематическими парами.
Кинематическая цепь, показанная на рис.3, а, позволяет получить двухступенчатую
зубчатую передачу; цепь на рис.3, б – лежит в основе планетарного механизма.
Кинематическая цепь, приведенная на рис.3, в, позволяет получить механизм, являющийся
частью бипланетарного механизма.
Из приведенного выше следует.Использование понятия узел сопряжения позволяет
представлять состав механизма как совокупность звеньев, содержащих узлы сопряжения,
каждый из которых имеет определенное исполнение, определяющее вид или класс
образуемой им кинематической пары.
76
http://tmm.spbstu.ru
Использование понятия «узел сопряжения» звена…
а)
б)
в)
Рис. 3. Состав звеньев, структурные и кинематические схемы вариантов механизмов:
а – для 1-ой совокупности переменных; б – для 2-ой совокупности переменных; в – для 3-ой
совокупности переменных
Используя переменные, отражающие узлы сопряжения звена и учитывающие
исполнения узлов, можно решать задачи структурного синтеза плоских механизмов с
высшими кинематическими парами.
Индексы переменных могут отражать или число подвижностей, допускаемых узлами
звена (использовано в данной работе), или количество узлов сопряжения, образующих
кинематические пары одного вид. Например, для плоских механизмов первый индекс может
показывать общее число узлов сопряжения звена, второй – число узлов, образующих низшие
кинематические пары. Увеличив число индексов получим переменные для обозначения
звеньев механизма, содержащих кинематические пары разных классов.
Предложенные структурные модели, отражающие узлы сопряжения звеньев,
облегчают поиск вариантов структурных схем кинематических цепей по полученным
алгебраическим решениям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
Третьяков В.М. Основы проектирования семейства изделий. – Приложение.
Справочник. Инженерный журнал, 2004, №6, 24с.
Механика машин: Учеб. пособие для втузов /И.И.Вульфсон, М.Л.Ерихов,
М.З.Коловский и др.; Под ред. Г.А.Смирнова. – М.: Высш. шк., 1996, 511 с.
Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин. Учеб. пособие для втузов.
Изд. 2-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа», 1977.
Озол О.Г. Теория механизмов и машин. Пер. с латыш. /Под. ред. С.Н.Кожевникова.
М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984, 432 с.
Пейсах Э.Е. О структурном синтезе рычажных механизмов. – "Теория механизмов и
машин", С.-Петербургский государственный политехнический университет, 2005,
№1(3), с. 77-80.
Поступила в редакцию 13.05.2005
Теория Механизмов и Машин. 2005. №2. Том 3.
77