Лекция 2 потенциал эл поля, диэлектрики

1
Лекция 2. Потенциал электрического поля.
[1] гл. 11, §84-85
План лекции:
1. Работа при перемещении заряда в электростатическом поле. Теорема о
циркуляции вектора E .
2. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов.
3. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля.
Эквипотенциальные поверхности.
1. Работа при перемещении заряда в электростатическом поле. В
любой точке поля, создаваемого неподвижным зарядом q0, на заряд q
(рис. 1) действует сила
F
1
q
2
 dl
r2
r1 r
 
dA   F  dl   Fdl cos  Fdr ,


где dr - проекция dl на направление силы F , т.е.

приращение радиус-вектор r .
+
q0
Рис. 1
r2
r2
q0  q
.
4 0 r 2
Если заряд q перемещается из точки 1 в точку 2, то
эта сила совершает работу.
Работа
при
элементарном
перемещении
dl выражается формулой

dr
F
Работа при перемещении из точки 1 в точку 2:
r
q0 q 2 dr
q0 q  1
A12   dA   Fdr  
 
2 dr 
2 

4 0 r
4 0 r1 r
4 0  r 
r1
r1
q0 q
r2
r1

q0 q  1 1 
  .
4 0  r1 r2 
(1)
Из полученного выражения (1) следует, что работа в
электростатическом поле не зависит от траектории перемещения заряда, а
определяется только положениями начальной 1 и конечной 2 точек.
Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, а
электростатические силы - консервативными.
Теорема о циркуляции вектора E .
Из выражения (1) следует, что работа, совершаемая при перемещении заряда
q во внешнем магнитном поле по любому
E
замкнутому контуру, равна нулю,
т.е.
(2)
 dA  0

L
Выразим работу dA при элементарном перемещении
d l заряда q (рис. 2).
Рис. 2
dA  ( F  d l )  (q E  d l )  qE cos   dl  qEl dl .
Тогда выражение (2) можно записать в виде
El
dl
2
 qE dl  q  E dl  q  Ed l  0 .
l
l
L
L
L
Интеграл  Ed l   El dl называется циркуляцией вектора напряженности.
L
L
Теорема о циркуляции E :
 Ed l  0 ,
L
т.е. циркуляция вектора E вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
2. Потенциал электростатического поля. Разность потенциалов.
Тело, находящееся в потенциальном поле сил (а электростатическое поле
является потенциальным), обладает потенциальной энергией, за счет которой
силами поля совершается работа. Как известно из механики, работа
консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.
Поэтому работу можно представить как разность потенциальных энергий,
которыми обладает заряд q в начальной (1) и конечной (2) точках:
A12 
q0 q

40 r1
q0 q
40 r2
 W p1  W p 2 ,
откуда следует, что потенциальная энергия заряда q в поле заряда q 0 равна
Wp 
q0 q
40 r
 С,
которая, как и в механике, определяется не однозначно, а с точностью до
произвольной постоянной С. Если считать, что при удалении заряда q в
бесконечность ( r   ) потенциальная энергия обращается в нуль ( W p  0 ), то
С=0.
Потенциальная энергия заряда q в поле заряда q 0 на расстоянии r от него:
Wр 
q0 q
40r
,
для одноименных зарядов qq0  0, W p  0 ,
для разноименных зарядов qq0  0, W p  0 .
Разные заряды q i будут обладать в одной и той же точке поля
различной энергией W pi , однако отношение
W pi
qi
в данной точке для всех
зарядов будет одинаково и называется потенциалом электростатического
поля в данной точке:

Wp
q
;
  
Дж
B.
Кл
3
Потенциал поля в данной точке - это скалярная физическая величина,
численно равная потенциальной энергии, которой обладает единичный
положительный заряд в данной точке поля.
1 В - это потенциал точки поля, в которой положительный заряд в 1 Кл
обладает потенциальной энергией 1 Дж.
Потенциал - энергетическая характеристика поля. Условно принято
считать более высоким потенциал той точки поля, которая ближе к
положительному заряду - источнику поля.
Потенциал в некоторой точке поля, созданного системой зарядов, равен
алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым зарядом в
отдельности:
если qоб   qi , об  i .
Потенциал поля точечного заряда q 0 на расстоянии r от него (или сферы
радиусом r с зарядом q 0 ):

Т.к.

W
q
W
q0 q
q0


.
q
40 r  q 40 r
 W  q .
В точке с потенциалом 1 заряд q обладает потенциальной энергией
Wр1 =q1,
в точке с потенциалом 2:
Wр2 =q2.
Работу перемещения заряда из точки с потенциалом 1 в точку с 2 можно
представить как изменение потенциальной энергии:
A = Wр1 - Wр2 = q1 - q2= q(1-2),
1  2    U 
A
- разность потенциалов (напряжение) между точками.
q
Разность потенциалов между двумя точками электростатического поля физическая величина, численно равная работе по перемещению пробного
заряда между этими точками.
Если заряд из точки с потенциалом  удаляется на бесконечность, где   0,
A  q , т. е.  
A
.
q
Таким образом, потенциал поля в данной точке численно равен работе,
совершаемой силами поля над пробным зарядом для удаления его из данной
точки на бесконечность.
1В - потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из
бесконечности пробного заряда необходимо совершить работу 1 Дж.
4
3. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического
поля. Эквипотенциальные поверхности.
Как известно из механики, если работа совершается за счет потенциальной
энергии, то она равна убыли W p :
dA   dWр
(3)
Определим работу
в том случае, когда

E
перемещение dl заряда q в поле заряда q 0 так
q

мало, что на всем его протяжении силу F можно
q0
dl
El
считать постоянной
по величине и направлению
 
 
+
(4)
dA  Fdl   qEdl   qE cos   dl  qEl dl ,
Рис. 3


где E l - проекция Е на направление dl .
Т.к. Wр =q, dWn  qd .
(5)
Подставим (4), (5) в (3)
d
qEl dl   qd  El  
.
dl


Таким образом, проекция Е на произвольное направление l равна взятой с
обратным знаком производной
 по l , т.е. скорости убывания потенциала

вдоль направления l .
В электростатическом поле всегда существует
направление,
вдоль
которого
скорость
изменения
потенциала наибольшая. Например, в поле точечного заряда

это радиальное направление. Обозначим его п (рис. 4).
n
+
E

d
Е      qrad .
dn

Напряженность поля Е равна градиенту потенциала со
Рис. 4
знаком «минус».

Знак «минус» означает, что вектор Е направлен в сторону убывания
потенциала.
Для однородного поля (рис. 5):
1
q
l

d
Рис. 5
2
E

A   Fl   qЕl cos  qEd
А= q1  2 
qEd  q1   2 ,  E 
1   2
d
Найдем работу перемещения заряда
q в
направлении, перпендикулярном линиям Е (рис. 6).

U
.
d
E
q
q0
+
  90 0
dl
Рис. 6
5
 
dA   Fdl   qЕdl cos  0 (т.к. cos 90 0  0 ).
dA   dWn   qd ,
С другой стороны,
т.е. qd  0, d  0    const .
Таким образом, изменение потенциала в направлении, перпендикулярном
силовым линиям, равно нулю, т.е. в этом направлении потенциал не
изменяется. В электрическом поле можно провести поверхность, все точки
которой имеют одинаковый потенциал.
Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал,
называется эквипотенциальной.
Работа перемещения заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю,
т.к. 1=2.
Эквипотенциальные
поверхности
всегда

- перпендикулярны линиям
(рис.7). Их
Е
+
+
условились проводить таким образом, чтобы
разность потенциалов  для двух соседних
поверхностей была одинакова.
Рис. 7