Косинский Ю.И., «Электромагнитные колебания в

Косинский Ю.И.
Электромагнитные колебания в колебательном контуре.
Изменение со временем электрического заряда
Q
на обкладках
конденсатора в цепи колебательного контура, состоящего из последовательно
соединенных
конденсатора, индуктивности и сопротивления, описывается
дифференциальным уравнением [1]
d 2Q
dQ Q
L 2  R 
(1)
 0
dt
C
dt
Результат решения этого уравнения имеет вид [1] (при R2 L / C )
 R 
Q  A0  exp 
 t  Sin  t  a0  ,
(2)
 2 L 
где  
A0 
1
R2

L  C 4  L2
Q0
1

R
2 L
R C
4 L
2
- циклическая частота колебаний,
- начальная амплитуда,
(3)
- коэффициент затухания,
 4 L


(4)
a0  Arctg   Arctg 2
 1 - начальная фаза колебаний.
 
 R C 
Сила тока в колебательном контуре:
dQ
 R   R

 A0  exp 
 t  
 Sin  t  a0     Cos  t  a0 
I= 
(5)
 2  L  2  L
dt

Проанализировав формулы (2), (5) можно отметить, что в начальный
момент времени разряда конденсатора при t=0 заряд имеет максимальное
значение Q0 а сила тока в этот момент времени равна нулю, т.е. введенные
параметры начальной амплитуды А0 и начальной фазы а0 не имеют физического
смысла, не упрощают запись формул конечного результата, а лишь сбивают с
толку исследователей , пытающихся проанализировать формулы, используя
лишь их внешний вид.
Поэтому проще и лучше записать результат решения уравнения (1) в том
виде, который следует из самого решения. Решается линейное однородное
уравнение с постоянными коэффициентами [2]. Для данного уравнения
характеристическое уравнение имеет вид:
R
1
(6)
r2   r 
 0,
L
LC
R
1
R2
 i

   i  
которое имеет корни r1  
2 L
L  C 4  L2
R
1
R2
r2  
 i

   i   .
2 L
L  C 4  L2
Общее решение будет:
Q  C1  expr1  t   C2  expr2  t 
(7)
(8)
Q  exp   t C1  exp i    t   C2  exp i    t  
Константы С1 и С2 находятся из начальных условий :
dQ
Q t  0  Q0 ,
(9)
 t  0  0 .
dt
Подставив начальные условия в (8), получим систему уравнений:
C1  C2  Q0
(10)

C




i



C




i



0




2
 1
Из системы уравнений следует:
1 
 
C1  Q0   1 
,
2  i  
1 
 
C2  Q0    1 
(11)
.
2  i  
Подставив константы в (8) , получим формулу для электрического заряда на
обкладках конденсатора в зависимости от времени.



Q  Q0  exp    t   Cos  t   Sin  t
(2A)



или
I
 
dQ
 Q0   0   0   exp    t  Sin  t 
dt
 
(5A)
1
циклическая частота свободных незатухающих
LC
электромагнитных колебаний в контуре.
Из формулы (2А) следует, что амплитудой колебаний электрического заряда
является Q0 , а оставшиеся множители принимают максимальное значение при
t=0, т.е. увеличение в начальные моменты времени множителя
где
0 



компенсируется еще большим уменьшением со
 Cos(  t )   Sin(  t )



временем множителя exp(   t ) и нет ни какого смысла говорить о начальной
фазе колебаний. Из формулы (5А) четко следует, что, при любых условиях,
колебание тока в контуре начинается с нуля, поэтому о начальной фазе колебаний
и речи быть не может, т.к. , если производная от какой либо переменной
функции не имеет начальной фазы, то и сама функция не имеет этой фазы.
2 
2 

Период колебаний равен T 
.
2

1
R

L  C 4  L2
Вычислим количество заряда, который перенесет ток в течении половины
периода Т/2 своего колебания в контуре :
T
2
 I  dt  Q0 
0
 20
T
2
    
  exp    t   Sin  t   dt  Q0   exp      1 .
    
 0
При отсутствии затухания в контуре =0 величина перенесенного заряда равна
2Q0 , т.е. конденсатор в колебательном контуре перезарядился на обратную
величину заряда (-Q0 ).
Представляет также интерес формула для производной по времени от тока I
(Рис. 2):
dI
d 2Q



(12)
  2  Q0   20  exp    t   Cos  t    Sin  t 


dt

dt
Результат в формуле (5А) легко подтвердить на практике, снимая на
осциллограф падение напряжения с сопротивления R.
dI
Практически еще легче измеряется производная по времени от тока
dt
(Рис. 2). Для этого достаточно рядом с шиной колебательного контура и даже на
шине поместить измерительный контур. Площадь этого измерительного контура
будет пересекать переменный магнитный поток Ф, образованный током I ,
протекающем по шине в колебательном контуре. Электро движушая сила или
напряжение, снимаемое с витка измерительного контура, пропорционально dФ/dt
или dI/dt. Об этом всегда надо помнить при измерении тока I, т.к. контур,
образованный щупами, которые присоединяются к сопротивлению R, может
привести к ошибке измерения, т.е. будет меряться смесь аI+bdI/dt, где а и b
коэффициенты пропорциональности. Естественно,
глядя
на результат
ошибочного эксперимента, могут возникнуть теоретические мысли о начальной
фазе колебаний и начальной амплитуде.
Поэтому при измерении тока I контур, образованный присоединительными
проводами необходимо сводить к минимуму .
В порядке проверки можно взять интеграл

 dQ

0
(13)
 I  dt    dt  dt Q0   0      exp    t   Sin  t   dt  Q0
0
0
0
Результат свидетельствует о правильности выбранного решения и формулы (5А).
Функция тока в зависимости от времени начинается с нуля, имеет
максимумы, и носит синусоидальный характер с затуханием. Найдем величину
тока в контуре в его максимумах. Максимум имеет место, когда производная от
тока dI/dt=0. Из формулы (12) следует:
Cos  t  

 Sin  t  ,

(14)
откуда интервалы времени равны

1

1

tn  arctg     n  1 
(15)
   1  (n  1) ,


 

в которых ток достигает максимальное значение. Где n - порядковый номер
максимума тока в контуре, 1 - фаза колебаний тока в контуре, когда его
величина достигает первого максимума. Подставим интервалы времени (15) в
функциональную зависимость от времени для тока
(5 А), учитывая что
Sin 1  

в итоге получим:
0
 

I M (n )  Q0   0  (1)( n 1)  exp     1   n  1   
(16)
 

Здесь учтено направление тока в максимуме в зависимости от порядкового номера


 0 фаза колебаний близка к  1  .

2
Величина Q0   0 =IM является амплитудой максимальных значений колебаний
тока в контуре, которую можно записать , учитывая, что Q0=U0C, U0 напряжение на обкладках конденсатора, также так:
U
(17)
IM  0
L
C
Это известная величина [1] и выводится из энергетических соображений в
отсутствии потерь .
n. При малых величинах отношения
Выше былo продемонстрировано решение волнового уравнения (1) при
L
L
условии, что R  2 
. Решение носит волновой характер. При R  2 
C
C
решение не носит колебательного характера и называется апериодическим.
Решение его таково. Корни характеристического уравнения (6) являются
действительными:
R
R2
1
r1  


    0
2
2 L
LC
4 L
(18)
2
R
R
1


    0
2 L
4  L2 L  C
Общее решение будет:
Q(t )  C1  exp r1  t   C2  exp r2  t 
r2  
или


Q(t )  exp   t  C1  exp 0  t   C2  exp 0  t 
Константы С1 и С2 находятся из тех же начальных условий:
dQ
Q(t  0)  Q0 ,
(t  0)  0 .
dt
Подставив начальные условия в (19), получим систему уравненй:
C1  C2  Q0

C1       0   C2  (    0 )  0
(19)
(9)
(20)
Из системы уравнений следует:
 
1 
C1  Q0    1  
2  0
 
1 
C2  Q0    1  
2  0
,
(21)
Подставив константы в (19), получим формулу для электрического заряда на
обкладках конденсатора в зависимости от времени.



Q(t )  Q0  exp(    t )   Ch  0  t  
 Sh  0  t 
(22)
0


R
где  
- коэффициент затухания экспоненты,
2 L
0 
R2
4  L2
меньше  .

1
LC
-
гиперболический декремент, как видно, он всегда
Из функции (22) следует, что заряд на обкладках конденсатора со временем не
носит колебательного характера, а представляет затухающую функцию. Ток при
этом имеет следующую функциональную зависимость от времени:
 
dQ
I (t )  
 Q0   0  0   exp    t  Sh  0  t 
(23)
dt
 0 
и имеет форму одиночного импульса (Рис. 3). Следует отметить, что заменой в
формуле (23) 0 , Sh( )  Sin( ) можно получить формулу (5А) для тока,
который несет характер затухающей синусоиды.
В качестве проверки правильности найденных функциональных
зависимостей (22), (23) возьмем интеграл:


0 
dQ
(24)
 I  dt    dt  dt  Q0   0       exp    t   Sh 0  t   Q0
0
0
0
0
Формулы (13), (24) свидетельствуют о независимости результата разряда
конденсатора от пути этого разряда.
Для определения параметров импульса тока найдем функцию производной
по времени от тока (Рис. 4):




âI
d 2Q

(25)
  2  Q0   20  exp(   t ) Ch 0  t  
 Sh( 0  t )
dt
0


dt
Импульс тока имеет максимум в точке, где его производная по времени
равна нулю. Отсюда следует соотношение для времени:

(26)
Ch 0  t1  
 Sh 0  t1 
0
или
  
 arth 0   1 .
0
   0
Ток в максимуме импульса имеет следующее значение:
 
 U
 

I M  Q0   0  exp 
  1  0  exp 
  1 ,
L
 0

 0

C
t1 
где  0 
1
1
R
,
, 0 
LC
2 L
R2
4 L
2

 
1
,  1  arth 0  .
 
LC
(27)
По периоду синусоидальных колебаний тока в контуре можно
определить некоторые параметры установки колебательного контура.
Например, при заряде емкости С=10010-6 ф , период колебаний был равен
2
Т7010-6 сек, если
то
индуктивность равна
T
 2  L  C ,
0
2
 T  1
L
  . Подставив значения, получим:
 2  C
L1.24 гн.
(28)
-6
-6
При емкости С=20010 ф, период колебаний был равен Т11010 сек, откуда
следует величина индуктивности:
L1.53 гн.
(29)
-6
-6
При емкости С=40010
ф, период колебаний был равен Т15010 сек,
откуда следует величина индуктивности :
L1.42 гн.
(30)
-6
При емкости С=130010 ф, период колебаний был равен Т20010-6 сек ,
откуда следует величина индуктивности:
L0.779 гн.
(31)
-6
При изменении емкости в колебательном контуре начиная с С=20010 ф в
большую
сторону
прослеживается
тенденция
уменьшения
общей
индуктивности колебательного контура. При етом следует учитывать, что при
изменении емкости изменялась конфигурация соединений шины контура,
вероятно, поетому индуктивность контура с емкостью С=10010-6 ф
существенно занижена.
Длительность затухающих синусоидальных колебаний равнялась (Рис.1)
Т080010-6 сек
(32)
1
1
 R

 T0  
при уменьшении амплитуды до 
, т.е. exp
, откуда следует,
 2  L  30
30
R
что
 T0  4 , Из этого соотношения находится величина сопротивления:
2 L
8  L 8  1 106
(33)
R

 1 102 ом
6
T0
800  10
При известных величинах : С=130010-6 ф, L110-6 гн, U=4000 v из
соотношения (17) находим величину тока в максимуме в режиме
синусоидальных колебаний и в отсутствии потерь 
U0
(34)
 144 000 a
L
C
Если колебательный контур имеет следующие параметры : С=130010-6 ф,
L
L=110-6 гн, R=0.06 ом. При этих значениях R 
ток разряда конденсатора
C
имеет форму одиночного импульса (Рис. 3) . Согласно формулы (27)
определим параметры этого импульса :
R

 3  104 1/сек,
2 L
R2
1
0 

 1..14  104 1/сек,
4 L LC
IM 


 2.63157 , 0  0.38 ,

0
 
 1  arth 0   0.4 ,
 

t1  1  3510-6 сек.
0
  t1  1
(35)
1
,
т.е.

максимальный ток в одиночном импульсе (Рис. 3) при минимальном
сопротивлении R, которое обеспечивает этот режим, в  раз меньше
максимального тока, в режиме синусоидальных колебаний (34) при R  0 .
Длительность импульса у основания находится из условия (   0 )  t0  4 ,
при котором експоненциальный множитель в (23) 1/30. Из этого условия
следует t=4/(–0)=21410-6 сек.
При
этом
множитель в формуле
(27)
exp   t1   exp 1 
B
100000
I a
50000
0
-50000
-100000
0.0000
0.0002
0.0004
0.0006
0.0008
t sek
Рис. 1
B
4.00E+009
dI/dt a/cek
2.00E+009
0.00E+000
-2.00E+009
-4.00E+009
0.0000
0.0002
0.0004
t cek
Рис. 2
0.0006
0.0008
B
50000
40000
I a
30000
20000
10000
0
0.00000
0.00005
0.00010
0.00015
0.00020
t sek
Рис. 3
B
4.00E+009
dI/dt a/cek
3.00E+009
2.00E+009
1.00E+009
0.00E+000
-1.00E+009
0.00000
0.00005
0.00010
t cek
Рис. 4
0.00015
0.00020
Литература
1. Яворский Б.М. и Детлаф А.А. , Справочник по физике, 1968г, стр 483-485.
2. Бронштейн И.Н. и Семендяев К.А. , Справочник по математике,1962г.,стр
453.