Лабораторная работа № 51

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 2П
“Моделирование электростатического поля многопроводных линий
передачи”
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2014
1
Лабораторная работа № 2П
Моделирование электростатического поля многопроводных линий
передачи
1. Назначение работы
Целью работы является
экспериментальное моделирование электростатического
плоскопараллельного поля многопроводных линий передачи полем стационарных токов
в
проводящей
электрическое
среде.
поле
Определение
системы
основных
параллельных
параметров,
проводников
характеризующих
(воздушной
линии,
трехжильного кабеля) с использованием потенциальных и емкостных коэффициентов,
частичных емкостей и линейных зарядов каждого провода.
2. Теоретическая справка
К системам заряженных протяженных проводников относят многопроводные длинные
линии и кабели, неизменные по конфигурации, имеющие в поперечном сечении близкое к
плоскопараллельному электрическое поле, обусловленное заданным распределением
потенциалов или зарядов.
На основании принципа суперпозиции потенциал системы n-заряженных проводов (q1,
q2, …, qn) в любой точке электрического поля А можно представить как сумму
потенциалов, обусловленных каждым зарядом в отдельности:
A  A1  A2 
 An ,
причем каждая составляющая пропорциональна соответствующему заряду:
A1   A1  q1 ; A2  A2  q2 ; …; An   An  qn .
Коэффициенты  Ai зависят от положения точки А и геометрии всей системы.
Полагая, что точка А расположена сначала на поверхности провода 1, затем на проводе
2 и т.д., для системы n-заряженных проводов (q1, q2, …, qn) получаем формулы Максвелла
с потенциальными коэффициентами  ik :
1  11q1  12 q2 
2   21q1   22 q2 
 1n qn
  2 n qn
n   n1q1   n 2 q2 
  nn qn
2
(1)
Система уравнений (1) позволяет найти значения потенциалов в системе проводов,
если известны их заряды и коэффициенты  ik . Потенциальные коэффициенты  ik зависят
от формы и размеров проводов, их взаимного расположения и от r - диэлектрической
проницаемости среды.
Для обратной задачи известны потенциалы тел и требуется найти их заряды.
q1  111  122 
q2  211  222 
 1nn
  2 n n
qn  n11  n 22 
 nnn
(2)
Коэффициенты ik называют коэффициентами электростатической индукции, они
имеют размерность емкости и поэтому называются также емкостные коэффициенты собственные  ii и взаимные ik . Расчет собственного коэффициента электростатической
индукции  ii производится при условии, что потенциалы всех тел, кроме i –го тела, равны
нулю. Тогда qi  ii  i , если
i  0, k  0, k  i . Для определения опытным путем
собственного коэффициента электростатической индукции  ii необходим гальванометр
(для
измерения
электростатической
заряда)
и
индукции
вольтметр
ik
([1],
с.
определяется
89).
из
Взаимный
коэффициент
qi  ik k ,
опыта
если
k  0, i  0, i  k . При этом ii  0 , ik  0 .
На практике наиболее распространена форма записи системы уравнений (2), при
которой заряд каждого проводника выражается не через потенциал, а через разность
потенциалов данного проводника и других проводников, в том числе относительно
потенциала Земли, принятого за ноль ( 0  0 ):
q1  C11 (1  0 )  C12 (1  2 ) 
q2  C21 (2  1 )  C22 (2  0 ) 
 C1n (1  n )
 C2 n (  2   n )
qn  Cn1 (n  1 )  Cn 2 (n  2 ) 
 Cnn (n  0 )
(3)
Коэффициенты в уравнениях (3) называют частичными емкостями: собственные Cii и
взаимные C ik . Частичные емкости связывают между собой попарно все проводники
системы. Имея схему включения частичных емкостей, можно выразить заряд каждого
провода через потенциалы. На Рис.1 условно показаны частичные емкости в трехжильном
кабеле.
3
Рис. 1
Все частичные емкости положительны и могут быть определены через коэффициенты
электростатической индукции:
Cii  i1  i 2   in
.
Cik  ik
В соответствии с принципом взаимности ([1], с. 90) ik   ki , ik  ki , Cik  Cki .
В
системе
параллельных
проводов
над
Землей
определение
потенциальных
коэффициентов  ik упрощается при условии достаточной малости радиуса проводов r0 по
сравнению с расстоянием между проводами и высотой их подвеса. В таком случае на
распределение заряда по поверхности провода практически не влияют соседние провода,
т.е. можно полагать, что электрическая ось каждого провода совпадает с его
геометрической осью.
Пользуясь методом зеркальных изображений
([1], с. 72-75),
можно определить потенциальные коэффициенты через линейные плотности заряда на
проводе:
 ii 
i
, если i  0, k  0, k  i - величина, обратная емкости на единицу длины ii
го провода по отношению к Земле, в предположении отсутствия остальных проводов,
ii 
ik 
1
2h
ln i ;
20
r0
i
, если k  0, i  0, i  k - отношение потенциала точки, лежащей на
k
поверхности i-го провода, находящегося в поле k-го провода, к линейному заряду k-го
провода,
ik 
1
r
ln ik  .
20 rik
4
Здесь hi - высота подвеса i-го провода над Землей, r0 - радиус проводов, rik  расстояние между i-м проводом и зеркальным изображением k-го провода, rik - расстояние
между i-м и k-м проводами.
На Рис. 2 изображена двухпроводная линия над Землей и ее расчетная модель. Пусть τ1 заряд первого провода на единицу длины, τ2 - заряд второго провода на единицу длины,
r0 - радиус проводов. Задана высота подвеса каждого провода h1 , h2 и d - расстояние
между проводами.
Рис. 2
Для проводной линии над Землей система потенциальных коэффициентов имеет вид:
1  111  122
;
2   211   222
потенциальные коэффициенты имеют размерность [м/Ф] и могут быть определены как:
1
2
/
/
2
1
0
0

1
2h
2h
1
ln 1 , следовательно  11 
ln 1 ;
20
r0
20
r0

2
2h
2h
1
ln 2 , следовательно  22 
ln 2 .
20
r0
20
r0
Потенциал 1-го провода, обусловленный полем заряда 2-го провода и его зеркальным
изображением при отсутствии заряда на 1-м проводе:
1
/
1
0

2
r
1
r
1
r
ln 12 ; аналогично  21 
ln 1 2 .
ln 12 , следовательно 12 
20 r12
20 r12
20 r12
5
Расстояния r12 , r12 , r12 рассчитываются по заданным h1 , h2 и d .
1
2h
1
ln
При h1  h2  h 11   22 
, 12   21 
ln
20 r0
20
 2h 
2
 d2
d
.
Для изолированной системы (  1   2  0 ) можно определить рабочую емкость на
единицу длины C0 
1
1
[Ф/м].

1  2 11   22  212
При равенстве h1  h2  h емкость системы на единицу длины определяют по формуле:
C0 
1

2(11  12 )
0

2h
ln  
 r0


d

2
2 
 2h   d 
.
Если высота подвеса h  d , то емкость на единицу длины двухпроводной линии
можно рассчитывать без учета влияния Земли:
C0 
0
.
d
ln
r0
Расчет рабочей емкости системы может быть произведен по схеме подключения
частичных емкостей, приведенной на Рис.3:
Рис. 3
Рабочая емкость двухпроводной линии над Землей может быть определена через
частичные емкости:
C0 
C11C 22
 C12 .
C11  C 22
Расчет емкости трехпроводной линии приведен в [1], с.94-96.
6
Для трехжильного кабеля (см. Рис.1), полагая потенциал оболочки кабеля равным 0 ,
система уравнений с частичными емкостями (на единицу длины) имеет вид:
1  C11 (1  0 )  C12 (1  2 )  C13 (1  3 )
2  C21 (2  1 )  C22 (2  0 )  C23 (2  3 ) (4)
1  C31 (3  1 )  C32 (3  2 )  C33 (3  0 )
Если система трехжильного кабеля является симметричной, то собственные емкости
С11= С22= С33; взаимные емкости Сij= Сji.
3. Экспериментальное исследование
Моделирование
плоскопараллельных
электростатических
полей
электрическими
стационарными полями, т.е. полями постоянных токов в проводящей среде, применяют в
тех случаях, когда расчет затруднен, а непосредственное экспериментальное исследование
объекта в ряде случаев невозможно. Используя свойство подобия, потенциальное поле
моделируют при напряжениях более низких, чем в объекте. Размеры объекта и модели
могут отличаться, одинаковой должна быть геометрия системы.
Аналогия полей ([1], стр. 128-130.) позволяет по измеренным значениям частичных
проводимостей на единицу длины
G ii и Gik [См/м]
в поле проводящей бумаги
определить частичные емкости на единицу длины Cii и C ik [Ф/м] системы заряженных
проводов той же геометрии:
Cii  Gii
где
 r 0

, Cik  Gik r 0 ,


 - проводимость используемой проводящей бумаги.
Для
повышения
точности
измерений
опыты
проводятся
при
использовании
синусоидального источника с частотой сети 50 Гц. Ввиду относительно малой частоты и
резистивного характера проводящей среды (проводящей бумаги) действующие значения
токов и напряжений практически будут равны значениям постоянных токов и
напряжений.
При определении токов в проводящей бумаге на единицу длины через собственные и
частичные проводимости пользуются системой уравнений, аналогичной (3):

Значение .γ проводящей бумаги берется из данных лаб. работы 1П
7
I1  G11 (1  0 )  G12 (1  2 ) 
 G1n (1  n )
I 2  G21 (2  1 )  G22 (2  0 ) 
 G2 n (2  n )
I n  Gn1 (n  1 )  Gn 2 (n  2 ) 
 Gnn (n  0 )
(5).
В системе уравнений (5) положим нулевой потенциал 0  0 , при этом потенциал k-го
электрода относительно 0 равен  k .
Для модели двухпроводной линии над Землей заданной геометрии, представляющей
собой систему электродов круглой формы малого радиуса по сравнению с расстоянием
между ними и прямоугольного электрода, имитирующего плоскость Земли с
потенциалом 0  0 , имеем:
I1  G11 (1  0 )  G12 (1  2 )
.
I 2  G21 (2  1 )  G22 (2  0 )
Для случая одинакового расстояния электродов 1 и 2 до нулевого электрода G11  G22 .
Установка состоит из моделирующей части (электроды модели, проводящая бумага,
резиновая подложка, источник питания) и измерительной части (электронный вольтметр,
измерительный резистор, зонд).
Замечание: Для более точного измерения частичных токов по напряжению на
измерительном сопротивлении рекомендуется предварительно уточнить величину
измерительного сопротивления rизм .
Для определения G11 положим 1  2  0 ,
0  U и измерим частичные токи


проводимости I 1  G11U , I 2  G 22U :
γ
rизм
1
2
V
U

I1
8
Для определения G21 и G12 зададим 2  0  0 , 1  U , измерим частичный ток

I 2  G 21U :
γ
I2
1

2
U
rизм
V
Для моделирования частичных емкостей трехжильного кабеля на проводящей бумаги
используются электроды, геометрически подобные жилам и оболочки кабеля. Система
уравнений (4) примет вид:
I1  G11 (1  0 )  G12 (1  2 )  G13 (1  3 )
I 2  G21 (2  1 )  G22 (2  0 )  G23 (2  3 )
I 3  G31 (3  1 )  G32 (3  2 )  G33 (3  0 )
Для определения собственной проводимости G11 необходимо принять потенциалы

электродов 1  2  3  0 , 0  U и измерить частичный ток I 1  G11U :
γ
rизм
1
2
U
V
3
Для определения проводимости G21  G12 необходимо принять 2  3  0  0 ,
1  U и измерить частичный ток I 2   G 21U :
9
rизм
1
U
2
V
3
Для определения проводимости G31  G13 необходимо принять 3  2  0  0 ,
1  U и измерить частичный ток I 3  G31U .
γ
U
1
2
V
rизм
3
4. Подготовка к работе Задание выполняется в соответствии с номером бригады.
1) Рассчитать рабочую емкость на единицу длины двухпроводной линии с
учетом влияния Земли. Считая h  a , рассчитать емкость на единицу
длины двухпроводной линии без влияния Земли. Сравнить значения.
a=200 мм, 2r0=20 мм, r =1.
r0
a
h
2) Нарисовать
измерительные
схемы
для
определения
частичных
проводимостей системы двухпроводной линии. Записать формулы для
10
расчета частичных емкостей через частичные проводимости, рабочей
емкости на единицу длины.
3) Нарисовать
измерительные
схемы
для
определения
частичных
проводимостей трехжильного кабеля. Записать формулу для расчета
частичных емкостей через частичные проводимости, зарядов каждой жилы.
Диэлектрическая проницаемость изоляции r задана в таблице.
№ бригады
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
h, мм
200
150
100
200
150
100
200
150
100
200
150
100
r
6
5
4
4
5
6
4
6
6
6
4
5
5. Рабочее задание
1. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной
геометрией двухпроводной линии над Землей. Собрать схему для измерения
частичных токов в соответствии с п.2 Подготовки к работе. Выполнив
измерения (см. Замечание), рассчитать частичные проводимости системы. По
результатам эксперимента определить частичные емкости системы, сравнить со
значением, рассчитанным в п.1 Подготовки к работе.
2. В соответствии с измерительными схемами п.3 Подготовки к работе определить
частичные проводимости трехжильного кабеля. По результатам эксперимента
определить частичные емкости.
3. Для трехжильного кабеля задать 1  2  0 , 3  U . Измерить потенциал
оболочки
0 . Записать систему для определения токов I1, I2, I3 с
использованием частичных проводимостей.
4. Снять эквипотенциали поля трехжильного кабеля, соответствующие 20%, 40%,
60%, 80% от приложенного напряжения. Дополнить картину эквипотенциалей
силовыми линиями.
11
Протокол измерений к работе №2П.
Модель двухпроводной линии над Землей
Сопротивление измерительного резистора Rизм =______ Ом.
Определение
Сii
п.1
U, В
URизм, В
I'1, А/м
G11  G22 , [См/м]
C11  C22 , [Ф/м]
Определение
Сik
U, В
URизм, В
I'2, А/м
G12  G21 , [См/м]
C12  C21 , [Ф/м]
G11  G22  G33 ,
C11  C22  C33 ,
[См/м]
[Ф/м]
п.1
C0 эксп = __________ Ф/м
C0 теор = __________ Ф/м
Модель трехжильного кабеля
Определение
Сii
U, В
URизм, В
I'1, А/м
п.2
Определение
Сik
U, В
URизм, В
I'2, А/м
G12  G21 , [См/м]
C12  C21 , [Ф/м]
U, В
URизм, В
I'3, А/м
G13  G31 , [См/м]
C13  C31 , [Ф/м]
п.2
Определение
Сik
п.2
1 , В
2 , В
3 , В
п.3
Литература
1. К.С. Демирчян, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин.
Теоретические основы электротехники. Т.3. –СПб.: Питер, 2003 г.
12
0 , В