Лабораторная работа № 2П

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
КАФЕДРА ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ОСНОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
Лабораторная работа № 2П
“ Экспериментальное определение емкостей и частичных емкостей
кабелей и систем параллельных проводов”
Выполнил:
Группа:
Проверил:
Москва 2011
1
Лабораторная работа № 2П
Экспериментальное определение емкостей и частичных емкостей
кабелей и систем параллельных проводов
1. Назначение работы
Целью
работы
электростатического
является
изучение
плоскопараллельного
метода
поля
аналогового
воздушных
и
моделирования
кабельных
линий
электропередачи. Определение емкостей и частичных емкостей этих объектов, сравнение
результатов моделирования с данными расчета емкостей по аналитическим выражениям.
2. Теоретическая справка
В технике часто встречаются системы, состоящие из ряда проводов (проводящих тел),
которым принужденно сообщаются различные потенциалы и которые обладают
различными зарядами.
На основании принципа суперпозиции потенциал системы n-заряженных проводов (q1,
q2, …, qn) в любой точка А можно представить как сумму потенциалов, обусловленных
каждым зарядом в отдельности:
 A   A1   A2     An ,
причем каждая составляющая пропорциональна соответствующему заряду:
 A1   A1  q1 ;  A2   A2  q2 ; …;  An   An  qn .
Коэффициенты  Ai зависят от положения точки А и геометрии всей системы. При этом
коэффициент  Ai не равен величине 1/Ci, где Ci – емкость i –го тела в предположении, что
все другие тела от него бесконечно удалены.
Полагая, что точка А расположена сначала на проводе 1, затем на проводе 2 и т.д., для
системы n-заряженных проводов (q1, q2, …, qn) получаем формулы Максвелла с
потенциальными коэффициентами  ik :
1   11q1   12 q 2     1n q n
 2   21q1   22 q 2     2 n q n

(1)
 n   n1 q1   n 2 q 2     nn q n
Система уравнений (1) позволяет решить задачу о распределении потенциалов в
системе проводов, если известны их заряда и коэффициенты  ik . Потенциальные
2
коэффициенты  ik зависят от формы и размеров проводящих тел, их взаимного
расположения и от r - диэлектрической проницаемости среды.
Нередко возникает обратная задача: известны потенциалы тел, требуется найти их
заряды. Решая (1) относительно зарядов q1, q2, …, qn получим:
q1   111   12 2     1n n
q 2   211   22 2     2 n n
(2)

q n   n11   n 2 2     nn n
Коэффициенты  ik называют коэффициентами электростатической индукции, они
имеют размерность емкости и поэтому называются также емкостные коэффициенты,
собственные
 ii
и
взаимные
 ik .
На
практике
собственный
коэффициент
электростатической индукции  ii может быть найден, если принять, что потенциалы всех
тел, кроме i –го тела, равны нулю. Тогда qi   ii   i , если  i  0,  k  0, k  i . Для
определения опытным путем собственного коэффициента электростатической индукции
 ii необходим гальванометр и вольтметр. Взаимный коэффициент электростатической
индукции  ik определяется из опыта qi   ik   k , если  k  0,  i  0, i  k . При этом
 ii  0 ,  ik  0 .
Очень важна форма записи, при которой заряд каждого тела выражается не через
потенциалы тел, а через разность потенциалов данного тела и других тел, в том числе
Земли (  0  0 ):
q1  C11 (1   0 )  C12 (1   2 )    C1n (1   n )
q 2  C 21 ( 2  1 )  C 22 ( 2   0 )    C 2 n ( 2   n )
(3)

q n  C n1 ( n  1 )  C n 2 ( n   2 )    C nn ( n   0 )
Коэффициенты в уравнениях (3) называются частичные емкости: собственные Cii и
взаимные C ik . Частичные емкости связывают между собой попарно все проводники
системы. Имея схему включения частичных емкостей, можно выразить заряд каждого
провода через потенциалы. На Рис.1 показаны частичные емкости в трехжильном кабеле.
3
С11
С22
С12
1
2
С23
С31
3
С33
Рис. 1
Все частичные емкости положительны и могут быть определены через коэффициенты
электростатической индукции:
Cii   i1   i 2     in
.
Cik    ik
В соответствии с принципом взаимности  ik   ki ,  ik   ki , Cik  C ki .
В системе параллельных воздушных проводов проще всего определить потенциальные
коэффициенты  ik . Достаточно принять qi  0 , qk  0, k  i . При достаточной малости
радиуса проводов r0 по сравнению с расстоянием между осями и высотой их подвеса
влиянием соседних проводов можно пренебречь. Если длина проводов большая, то поле
можно считать плоскопараллельным. Пользуясь методом зеркальных изображений,
можно определить потенциальные коэффициенты:
 ii 
i
qi
, если qi  0, qk  0, k  i - величина, обратная емкости i-го провода по
отношению к Земле, в предположении отсутствия остальных проводов,
 ii 
 ik 
i
qk
, если q k  0, qi  0, i  k
1
20 l
ln
2hi
;
r0
- отношение потенциала точки, лежащей на
поверхности i-го провода, находящегося в поле k-го провода, к заряду k-го провода,
 ik 

1
20 l
ln
rik 
.
rik
т.е. поле одного провода в системе заряженных проводов будет таким же, как и при одиночном проводе
4
Здесь hi - высота подвеса i-го провода над Землей, r0 - радиус проводов, l -длина
проводов, rik  - расстояние между i-м проводом и зеркальным отображением k-го провода,
rik - расстояние между i-м и k-м проводами.
На Рис. 2 изображена двухпроводная линия над Землей. Пусть  1 
первого провода на единицу длины,  2 
q1
- заряд
l
q2
- заряд второго провода на единицу длины,
l
r0 - радиус проводов. Задана высота подвеса каждого провода h1 , h2 и d - расстояние
между проводами.
d
2
r12
1
r12 h2
h1
r12
h1
h2
-1
-2
Рис. 2
Для двух проводов имеем:
1   11 1   12 2
;
 2   21 1   22 2
потенциальные коэффициенты
имеет размерность [м/Ф] и могут быть определены
следующим образом:
1 /
2/
 2 0
 1 0

1
2h
2h
1
ln 1 ,   11 
ln 1 ;
2 0
r0
20
r0

2
2h
2h
1
ln 2 ,   22 
ln 2 .
2 0
r0
20
r0
5
Потенциал 1-го провода, обусловленный полем 2-го провода и его зеркальным
отображением при отсутствии заряда на 1-м проводе:
1 /
 1 0

2
r
r
r
1
1
ln 12 ,   12 
ln 12 ; аналогично  21 
ln 1 2 .
2 0 r12
20 r12
20 r12
Расстояния r12 , r12 , r12 рассчитываются по заданным h1 , h2 и d .
При h1  h2  h  11   22 
1
20
ln
1
2h
ln
,  12   21 
2 0
r0
2h 2  d 2
d
.
Для изолированной системы (  1   2  0 ) можно определить рабочую емкость на
единицу длины C0 
1
1   2

1
11   22  212
При равенстве h1  h2  h  C 0 
Если высота подвеса
h  d
.
1

2( 11   12 )
2h2  d 2
0
 2h
ln  
 r0


d

2
2 
2h   d 
.
 d , то емкость на единицу длины
двухпроводной линии без учета влияния Земли:
C0 
0
d
ln
r0
.
Расчет рабочей емкости системы может быть произведен через схему подключения
частичных емкостей:
С12
2
1
С22
С11
0=0
Рис. 3
Рабочая емкость системы C0 
C11C 22
 C12 .
C11  C 22
6
Для трехжильного кабеля (см. Рис.1), полагая потенциал оболочки кабеля равным  0 ,
система уравнений с частичными емкостями (на единицу длины) имеет вид:
 1  C11 (1   0 )  C12 (1   2 )  C13 (1   3 )
 2  C 21 ( 2  1 )  C 22 ( 2   0 )  C 23 ( 2   3 )
 1  C31 ( 3  1 )  C32 ( 3   2 )  C33 ( 3   0 )
Рабочая емкость системы определяется как емкость фазы относительно нейтрали,
нейтральный провод считается изолированным.
Система трехжильного кабеля является симметричной, т.к. заземленная оболочка
охватывает симметрично все три провода. Следует отметить, что в трехпроводной
воздушной линии система не является симметричной.
3. Проведение эксперимента
Моделирование
плоскопараллельных
электростатических
полей
электрическими
стационарными полями, т.е. полями в проводящей среде при протекании в них
постоянных токов, применяют в тех случаях, когда расчет затруднен, а непосредственное
экспериментальное исследование объекта невозможно. Используя свойство подобия,
потенциальное поле моделируют при напряжениях более низких, чем в объекте. Размеры
объекта и модели могут отличаться, одинаковой должна быть геометрия системы.
Аналогия полей позволяет по измеренной в поле проводящей бумаги на модели
системы электродов частичной проводимости на единицу длины
G ii и Gik [См/м]
определить частичную емкость на единицу длины Cii и C ik [Ф/м] системы заряженных
проводов той же геометрии:
Cii  Gii
где
 r 0

, Cik  Gik r 0 ,


 - проводимость используемой проводящей бумаги.
При определении токов в проводящей бумаге на единицу длины через собственные и
частичные проводимости пользуются системой уравнений, аналогичной (3):
I 1  G11 (1   0 )  G12 (1   2 )    G1n (1   n )
I 2  G 21 ( 2  1 )  G 22 ( 2   0 )    G 2 n ( 2   n )
(4).

I n  Gn1 ( n  1 )  Gn 2 ( n   2 )    Gnn ( n   0 )

Используется бумага с
  2, 23 103 1/Омм.
7
В системе (4) нулевой потенциал  0  0 , потенциал k-го электрода относительно  0
равен  k . Для определения частичной проводимости G ii
необходимо положить
 i  U ,  k   0  0, k  i , тогда частичный ток I i   Gii  U , ток проводимости определяют
по напряжению на измерительном сопротивлении. Для определения частичной
проводимости Gik необходимо положить  k  U ,  i   0  0, i  k , тогда частичный ток

I i  Gik  U .
Для модели двухпроводной линии, представляющей собой систему электродов
круглой формы малого радиуса и прямоугольный электрод с потенциалом  0 ,
расположенные в соответствии с заданной геометрией:
I 1  G11 (1   0 )  G12 (1   2 )
.
I 2  G21 ( 2  1 )  G22 ( 2   0 )
При одинаковом расстоянии до нулевого электрода G11  G22 .


Положив 1   2  0 ,  0  U частичные токи проводимости I 1  G11U , I 2  G 22U
Измерительная
схема
для
определения
G11 ,
включает
источник
измерительное сопротивление и вольтметр:
Rизм
γ
1
V
2
U

I1

Положив  2   0  0 , 1  U определим частичный ток I 2  G 21U
8
напряжения,
γ
I2
1

2
U
Rизм
V
Для моделирования трехжильного кабеля в поле проводящей бумаги используются
электроды, геометрически подобные скрученным жилам и цилиндрический электрод
(оболочка) с потенциалом  0 . Геометрия модели аналогична геометрии трехжильного
кабеля. Используя частичные и собственные проводимости можно записать для токов в
проводящей бумаге:
I 1  G11 (1   0 )  G12 (1   2 )  G13 (1   3 )
I 2  G21 ( 2  1 )  G22 ( 2   0 )  G23 ( 2   3 )
I 3  G31 ( 3  1 )  G32 ( 3   2 )  G33 ( 3   0 )
Для
определения
собственной
проводимости
G11
необходимо
обеспечить
в

измерительной схеме 1   2   3  0 ,  0  U частичный ток I 1  G11U .
Rизм
1
2
U
V
3
γ
Для определения проводимости G21  G12 необходимо обеспечить в измерительной

схеме  2   3   0  0 , 1  U частичный ток I 2  G 21U .
9
Rизм
1
U
2
V
3
Для определения проводимости G31  G13 необходимо обеспечить в измерительной

схеме  3   2   0  0 , 1  U частичный ток I 3  G31U .
γ
U
1
2
Rизм
V
3
Установка состоит из моделирующей части (электроды модели, проводящая бумага,
резиновая подложка, источник питания) и измерительной части (электронный вольтметр,
измерительный резистор, зонд).
Замечание. Рекомендуется предварительно определить величину измерительного
сопротивления Rизм для более точного измерения частичных токов по напряжению на
измерительном сопротивлении.
10
4. Подготовка к работе
1) Рассчитать рабочую емкость на единицу длины двухпроводной линии с
учетом влияния Земли. Задание выполняется в соответствии с номером
бригады. Положив h  a , рассчитать емкость без влияния Земли.
a=200 мм, 2r0=20 мм, r =1.
r0
a
h
2) Нарисовать
измерительные
схемы
для
определения
частичных
проводимостей системы двухпроводной линии. Записать формулу для
расчета частичных емкостей через частичные проводимости, рабочей
емкости на единицу длины.
3) Нарисовать
измерительные
схемы
для
определения
частичных
проводимостей трехжильного кабеля. Записать формулу для расчета
частичных емкостей через частичные проводимости, зарядов каждой жилы.
Диэлектрическая проницаемость изоляции r задана в таблице.
№ бригады
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
h, мм
200
150
100
200
150
100
200
150
100
200
150
100
r
6
5
4
4
5
6
4
6
6
6
4
5
5. Рабочее задание
1. Установить на листе проводящей бумаги электроды в соответствии с заданной
геометрией двухпроводной линии. Собрать схему для измерения частичных
токов в соответствии с п.2 Подготовки к работе. Выполнив измерения (см.
Замечание), рассчитать частичные проводимости
системы. По результатам
эксперимента определить частичные емкости системы, сравнить со значением,
рассчитанным в п.1 Подготовки к работе.
11
2. В соответствии с измерительными схемами п.3 Подготовки к работе определить
частичные проводимости трехжильного кабеля. По результатам эксперимента
определить частичные емкости.
3. Снять эквипотенциали поля трехжильного кабеля при условии, что 1   2  0 ,
 3  U , соответствующие 20%, 40%, 60%, 80% от приложенного напряжения.
Дополнить картину эквипотенциалей силовыми линиями.
Протокол измерений к работе №1П.
Сопротивление измерительного резистора Rизм =______ Ом.
№ опыта
U, В
URизм, В
I'1, А/м
G11  G22 , [См/м]
C11  C22 , [Ф/м]
U, В
URизм, В
I'2, А/м
G12  G21 , [См/м]
C12  C21 , [Ф/м]
1
№ опыта
2
C0 эксп = __________ Ф/м
№ опыта
C0 теор = __________ Ф/м
U, В
URизм, В
I'1, А/м
G11  G22 , [См/м]
C11  C22 , [Ф/м]
U, В
URизм, В
I'2, А/м
G12  G21 , [См/м]
C12  C21 , [Ф/м]
U, В
URизм, В
I'3, А/м
G13  G31 , [См/м]
C13  C31 , [Ф/м]
3
№ опыта
4
№ опыта
5
12