Дифференциальные уравнения n

1
Дифференциальные уравнения n-ого порядка.
y ( n )  F ( x, y, y / ,, y ( n 1) )
(1)
F ( x, y, y / ,, y ( n 1) , y ( n ) )  0
(2)
Если уравнение разрешимо относительно старшей производной то
имеет вид (1). Так же уравнение n-го порядка можно представить в
виде системы из n уравнений первого порядка.
 y /  y1
 /
 y 1  y2
 /
 y n  2  yn 1
 y / n 1  f ( x, y, y , y ,
1
2

(3)
, yn 1 )
Для уравнения n-ого порядка выполнены условия теоремы о
существовании и единственности для системы так как (1)~(2)~(3).
Простейшие случаи понижения порядка.
1. Уравнение не содержат искомой функции и ее производной до
порядка k-1 включительно, то есть
F ( x, y ( k ) , y ( k 1) ,
, y ( n) )  0 .
(4)
В этом случае порядок может быть понижен до n  k заменой
y ( k )  p, F ( x, p, p / ,, p ( nk ) )  0 .
Если из этого уравнения выразить
p  p( x, C1 , C2 ,, Cnk ) тогда решение y можно определить k-кратным
интегрируемым функции p.
Пример.
d3y 1 d2y
d2p


0,
p
dx 3 x dx 2
dx 2
.
dp 1
3
2
 p  0 p( x )  C1  x y ( x )  C1 x  C2 x  C3
dx x
2. Уравнение, не содержащие неизвестного переменного
F ( y, y / ,, y ( n ) )  0
(5)
2
В этом случае порядок можно понизить на единицу подстановкой
y  P( y ).
/
d 2 y dp dp dy dp



p
dx 2 dx dy dx dy
d n y d n1 p n1  dp 
 n1 p   
dx n
dy
 dy 
n1
p.
2
d 2 y  dy  dy
d 2 y dp
y 2  
 p( y ), 2 
p
dx
dx  dx
dx
dy

Пример.
.
dp
dy
x
y  p, p( y )  Cy
 C1 y, y ( x)  C1e  C2
dy
dx
3. Левая часть уравнения
F ( x, y, y / ,, y ( n) )  0
(6)
есть производная некоторого дифференциального выражения (n-1)го порядка. F 
dФ
( xy , y / ,, y ( n 1) )
dx
dФ
 0 . Если y (x) - решение
dx
последнего уравнения, следовательно, существует Ф( x, y, y / ,, y ( n 1) )  C .
Мы получили первый интеграл уравнения (6) и понизили на единицу
степень решаемого уравнения.
Замечание. Иногда левая часть (6) становится производной
дифференциального уравнения (n-1)-го порядка только при умножении
на  ( x, y, y / ,, y ( n 1) ) поэтому здесь могут появиться лишнее решения
(обращающие  в ноль) или мы можем потерять решение, если 
разрывная функция.
yy //  ( y / ) 2  0
Пример.
d ( yy / )  0
yy /  C1
ydy  C1dx, y 2  C1 x  C2
y ( x)  (C1 x  C2 )1 / 2
3
4. Уравнение
F ( x, y, y / ,, y ( n) )  0
(7)
однородно относительно y и его производных.
F ( x, ky, ky/ ,, ky( n) )  k p F ( x, y, y / ,, y ( n) ) .
Или
F (kx, k m y, k m y / ,
, k m y ( n ) )  k p F ( x, y, y / ,
, y (n) ) ,
где
показатель
m определяется из условий однородности.
Порядок этого уравнения может быть понижен на единицу заменой:
y  e , y  z( x)e , y  ( z 2 ( x)  z / ( x))e ,... y ( k )  e
zdx
zdx
zdx
z ( x ) dx
Ф( z, z / ,
, z ( k 1) ) .
Если подставить эти соотношения в (7) и учесть однородность
p z ( x ) dx
функции F , то в итоге в получим: e 
f ( x, z, z / ,, z ( n 1) )  0 p  const .
Пример.
yy //  ( y / )2  6 xy 2 , y  e 
z ( x ) dx
z /  6 x, z  3x 2  C1 , y  C2e x C1x
3
.
Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка.
1.
Пусть дано уравнение F ( x, y // )  0 .
Подстановка y /  p( x)  F  x,

Если
(8)
dp 
  0.
dx 
уравнение (8) можно разрешить относительно
производной, то уравнение y //  f ( x)
старшей
два раза интегрируется
по
переменной x.
Можно
ввести
параметрическим
параметр
и
заменить
представлением:
уравнение
(8)
его
d2y
  (t ), x   (t ) .
dx 2
Воспользовавшись соотношением для дифференциалов: dy /  y // dx ,
4
dy /   (t ) / (t )dt  y /    (t ) / (t )dt  C1
получаем:

и

dy  y / dx; y    (t ) (t )dt  C1  / (t )dt  C2
F ( y / , y // )  0
II .
(9)
Воспользуемся параметрическим представлением:
y /   (t ), y //   (t )
dy  y / dx, dx 
dy dy /  / (t )dt
 / (t )


,
x

  (t ) dt  C1
y/
y //
 (t )
dy 
 (t ) (t )/
 (t ) / (t )
dt , y  
dt  C2
 (t )
 (t )
F ( y / , y // )  0 .
III.
Понизить порядок можно заменой:
Если
уравнение
(10)
(10)
dy
d2y
dp
 p( y), 2  p .
dx
dx
dy
разрешимо
относительно
старшей
производной y //  f ( y) , то помножим правую и левую часть на
2 y / dx  2dy .
Получим:
 2 f ( y)dy  C
d ( y / )2  2 f ( y)dy  y / ( x) 
уравнение с разделяющимися переменными: x  C2   
Можно
уравнение
(10)
заменить
.Это
1
его
dy
 2 f ( y)dy  C1
.
параметрическим
представлением: y   (T ), y //   (t ), dy /  y // dx . Воспользуемся свойствами
дифференциала:
dy 
y / dy / 1/ 2d ( y / )2 d ( y / )2


 y // dy   (t ) / (t )dt
y //
y //
2
y /   2  (t ) / (t )dt C1 , dy  y / dx, dx 
dy  / (t )dt

y/
y/
x  C2  
 / (t )dt
y/
.
5
y //  2 y 3 , d ( y / ) 2  4 y 3dy
Пример.
x  C2   
y /   y 4  C1
.
dy
y 4  C1
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка.
Определение. Линейными дифференциальными уравнениями n-го
n
порядка называются уравнения вида: y ( n )   Pi ( x) y ( n i ) .
(1)
i 1
Если коэффициенты Pi непрерывны на a, b , то в окрестности любых
начальных значений вида: y( x0 )  y0 , y / ( x0 )  y1,0 ,..., y ( n1) ( x0 )  yn1,0 , где x0
принадлежит интервалу, то в окрестности этих начальных значений
удовлетворяются
условия
единственности.
Линейность
теоремы
и
о
существовании
однородность
уравнения
и
(1)
сохраняется при любом преобразовании x   (t ) , где  - произвольная
n раз дифференцируемая функция. Причем  / (t )  0, t . Линейность и
однородность
сохраняется
при
линейном
и
однородном
преобразовании неизвестной функции y ( x)  y ( x)   ( x) z ( x) .
Введем
линейный
L  y   y ( n )  P1 ( x ) y ( n 1) 
дифференциальный
оператор:
 Pn ( x ) y , тогда (1) можно записать так: L[ y ]  0 .
Определитель Вронского для L[ y ] будет иметь вид:
 y1
 y/
W ( x)   1

 ( n 1)
 y1
y2
y2/

y2( n 1)
yn 
yn/ 
, где yi - линейно независимые решения



 yn( n 1) 


уравнения (1).
Теорема 1. Если линейно независимые функции y1 , y2 ,, yn - это
решение линейного однородного уравнения (1) с непрерывными на
6
[a, b] коэффициентами
Pi ( x ) , то определитель Вронского W (x ) не
обращается в ноль ни в одной точке отрезка [a, b] .
(
доказывается
аналогично
случаю
системы
линейных
дифференциальных уравнений)
Теорема 2. Общим решением линейного однородного уравнения
(1) с непрерывными на [a, b] коэффициентами Pi ( x) будет линейная
комбинация
решений
yi ,
то
есть
n
y ( x )   Ci yi ( x )
(2),
где
i 1
yi ( x ) линейно независимые на отрезке [a, b] частные решения (1).
(
доказывается
аналогично
случаю
системы
линейных
дифференциальных уравнений)
Следствие. Максимальное число линейно независимых решений (1)
равно его порядку.
Зная одно нетривиальное частное решение уравнения (1) y1 ( x)  0 , можно сделать подстановку
y  y1 ( x )   U ( x )dx и понизить
порядок уравнения, сохранив его линейность и неоднородность.
Обычно эту подстановку разбивают на две y  y1 ( x) z( x), z / ( x)  U ( x) .
Поскольку это линейно однородное представление, то оно сохраняет
линейность и однородность (1), а значит (1) должно быть приведено к
виду a0 ( x) z ( n )  a1 ( x) z ( n 1)    an ( x) z ( x)  0 . Решению y  y1 в силу y  y1z
соответствует решение z  1 , и, следовательно, an  0 . Сделав замену
z /  U , получим уравнение с порядком n  1 .
Лемма.
y ( n)  P1 ( x) y ( n1)  ...  Pn ( x) y  0
(3)
y ( n)  Q1 ( x) y ( n1)  ...  Qn ( x) y  0
(4)
7
Два уравнения вида (3) и (4), где Qi и Pi – непрерывные на
[a,b]
функции,
имеющие
общую
фундаментальную
систему
решений, совпадают, т.е. Qi(x)= Pi(x), i=1,2,…n,  x[a,b]
На
основании
леммы
можно
сделать
вывод,
что
фундаментальная система решений y1 y2 …yn полностью определяет
линейное однородное уравнение (3).
Найдем вид уравнения (3), имеющего фундаментальную
систему решений y1 y2 …yn . Любой решение y(x) уравнения (3)
линейно зависит от фундаментальной системы решений, а это
значит, что W[y1 y2 …yn y]=0. Разложим определитель Вронского
W[y1 y2 …yn y] по последнему столбцу.
 y1
 y
 1
 .
 (n)
 y1
y2
y2
.
.
yn
yn
.
.
.
.
y
(n)
2
y
(n)
n
y 
 y1

 y
y
  W [ y1 y2 ... yn ]* y ( n )   1
. 
 .
 (n)
(n) 
y 
 y1
y2
y2
.
.
.
.
.
y
( n)
2
yn 
yn  ( n 1)
* y
 ...  0 (5)
. 

yn( n ) 
Уравнение (5) является искомым линейным дифференциальным
уравнением, имеющим данную систему фундаментальных решений.
Мы можем (5) разделить на W[y1 y2 …yn], т.к. он не равен нулю 
x[a,b]. Тогда:
y2 . yn 
 y1
 y
y2 . yn 
 1
 .
.
.
. 
 (n)
(n)
(n) 
y
y2
. yn 
P1 ( x)    1
, а
W [ y1 y2 ... yn ]
 y1
 y
 1
 .
 (n)
 y1
y2
y2
.
y2( n )
yn 
. yn  d
 W [ y1 y2 ... yn ]
.
.  dx

. yn( n ) 
.
(*)
По правилу дифференцирования определителя, производная от
определителя равна сумме по i=1,2…n определителей, i-ая строка
каждого из которых равна производной от i –ой строки исходного
8
определителя. В этой сумме все определители, кроме последнего,
равны нулю (т.к. у них по две одинаковые строки), а последний
равен (*). Таким образом, получим:
P1 ( x) 

d
W [ y1 y2 ... yn ]
ln | W |   P1 ( x)dx  ln C
W
dx
, тогда:

W [ y1 y2 ... yn ]
W
W  C exp(   P1 ( x)dx)
(6)
 P1 ( x ) dx
W  W ( x0 )e 
Определение.
(7)
Формулы
(6)
и
(7)
называются
формулами
Остроградского-Лиувиля.
Используем (7) для интегрирования линейного однородного
уравнения второго порядка. И пусть нам известно одно из решений
y1 уравнения (8).
y  P1 ( x) y  P2 ( x) y  0
(8)
Согласно (7) любое решение (8) должно удовлетворять
следующему соотношению:
y1
y1
y
 P1 ( x ) dx
 y1 y  yy1  C1e 
y
Воспользуемся методом интегрирующего множителя.
 y  y y   yy  C  P1 ( x ) dx
1
 d    1 2 1  21 e 
y ( x)
y1
y1
 y1 
 P1 ( x ) dx
 P1 ( x ) dx
C1e 
y
e 

dx  C 2  y ( x)  y1 [C1 
dx  C 2 ]
y1 
y12
y12

2
1
(9)
9
Линейные однородные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Если в линейном однородном уравнении все коэффициенты
постоянны,
a0y(n)+a1y(n-1)+….+any=0,
(1)
L[y]=0,
(2)
то частные решения (1) могут быть определены в виде: y=ekx,
где k - постоянная.
a0knekx+a1kn-1ekx+….+an k0ekx=0

a0kn+a1kn-1+….+an=0
(3)
Определение. (3) - характеристическое уравнение.
Вид решения (1) определяется корнями характеристического
уравнения (3).
1). Все корни вещественные и различные, тогда:
y  C1e k1 x  C2e k 2 x  ...  Cn e k n x
2). Если все коэффициенты вещественные, то корни могут быть
комплексно-сопряженные.
k1=+i
k2=-i
Тогда решения имеют вид:
y1  ek1 x  e(  i ) x  e x (cos  x  i sin  x)
y2  ek 2 x  e( i ) x  e x (cos  x  i sin  x)
Согласно теореме: если оператор с вещественными
коэффициентами
имеет
комплексно-сопряженные
10
решения, то их действительная и мнимая части также
являются решениями. Тогда:
~
y1  e x cos  x
~
y  e x sin  x
2
Пример.
y  2 y  3 y  0
Решение
представим
в
виде
y  e kx ,
тогда
характеристическое уравнение имеет вид:
k 2  2k  3  0
k
D  4  3 * 4  8  D  2 2i
 2  2 2i
 1  i 2 
2
y1, 2  e( 1 i
2)
, получим два решения:
~
y1  e  x cos 2 x
тогда искомая функция: y ( x)  e x (C1 cos 2 x  C2 sin 2 x)
x
~
y2  e sin 2 x
3). Имеются кратные корни: ki с кратностью i. В этом случае
число различных решений y  ekx будет меньше n, следовательно,
нужно искать недостающие линейно-независимые решения в другом
виде. Например:
xeki x , x 2eki x  x i 1eki x
Доказательство:
Допустим, ki=0, если подставить его в (3), то получим, что
an  an 1    an  i 1  0 , тогда:
a0k n  a1k n 1    an  i k  i  0
(4)
a0 y ( n)  a1 y ( n 1)    an  i y ( i )  0
(5)
1, x, x 2 ,..., x i 1 - частные решения (3).
Пусть ki0, сделаем замену y  ekx z
(6)
Подставим (6) в (1), получим относительно z линейное
однородное
уравнение
коэффициентами (7).
n-го
порядка
с
постоянными
11
b0 z ( n )  b1 z ( n 1)    bn z  0
Корни
(3)
(7)
отличаются
от
корней
характеристического
уравнения (7) на слагаемое ki.
y  e k i x e px  e kx
 k  ki  p
b0 p n  b1 p n 1    bn  0
(8)
Если k=ki , то тогда этому k соответствует решение уравнения
(7) с корнем p=0 , т.е. соответствуют решения вида z=1, x, x 2 ,..., x 1 ,
i
тогда y= ek x , xek x , x 2ek x  x 1ek x - решение уравнения (1). А общее
i
i
i
i
i
решение имеет вид:
 i 1
y( x)   (Ci xi )eki x решение для ki
i 0
m i 1
y ( x )   (Cij x i )e
j 1 i 0
kjx

Уравнение Эйлера.
Определение. Уравнение вида:
a0 x n y ( n )  a1 x n 1 y ( n 1)    an xy  0
,
(1)
ai-постоянные коэффициенты, называется уравнением Эйлера.
Уравнение Эйлера заменой x=et сводится к линейному
однородному уравнению с постоянными коэффициентами.
dy dy dx


 yx et
dt dx dt
d 2 y d 2 y dx dy d 2 x
 2  
 2  yxx et  yx et
2
dt
dx dt dx dt

Можно искать решения в виде y=xk, тогда они имеют вид:
x ki , x ki ln x, x ki ln 2 x,, x ki ln  i 1 x
12
Линейные неоднородные уравнения.
a0 x n y ( n )  a1 x n 1 y ( n 1)    an xy   ( x)
(1)
Если a0(x)0, то разделив на этот коэффициент уравнение (1),
получим:
y ( n )  b1 ( x) y ( n 1)    bn ( x) y  f ( x) .
(2)
L[ y ]  f ( x ) .
Если на [a,b] bi и f непрерывны, то (2) имеет единственное
решение, удовлетворяющее соответствующим начальным условиям
y ( k ) ( x0 )  y0( k ) , k  0,1,..., n  1 x0  [a, b] . Если в явном виде выразить
старшие производные из (2), то получим уравнение, правая часть
которого удовлетворяет теореме о существовании и единственности.
Так как оператор L линейный, значит, для (2) выполняется:
1). ~y  y1 - решение (2), если ~y - решение неоднородного уравнения
(2), а y1 - решение соответствующего однородного уравнения.
m
2). Если yi - решения L[ y]  fi , то y ( x)   i yi решение уравнения
i 1
m
L[ y ]    i f i .
i 1
Свойство 2 – принцип суперпозиции, он справедлив при m   , если
ряд

  y ( x)
i 1
i
i
- сходится и допускает m-кратное почленное
дифференцирование.
3) Пусть дано операторное уравнение L[ y ]  U  iV , где L – это
оператор с коэффициентами pi , все pi - вещественные. Функции U и
V тоже вещественные. Тогда, если это уравнение имеет решение
y ( x)  u~ ( x)  iv~ ( x) , то решением этого же уравнения будут и мнимая и
13
вещественная части y: u~ ( x ) и v~( x) . При чем каждый из них
соответствует решению L[ y ]  U ( x ), L[ y ]  V ( x ) .
Теорема. Общее решение неоднородного уравнения nпорядка L[ y ]  f ( x ) на отрезке [a,b] при условии, что все
коэффициенты pi ( x ) и правая часть f ( x ) - непрерывные функции,
можно представить в виде суммы общего решения,
n
соответствующей однородной системы y ( x )   Ci yi ( x ) и частного
i 1
решения неоднородной - y ( x ) .
~
Т.е. решение y ( x)  ~y ( x)  ~y ( x) .
Если невозможно в явном виде подобрать частные решения
неоднородной системы, то можно воспользоваться методом
вариации постоянной. Решение будем искать в виде:
n
y ( x)   Ci ( x) yi ( x)
(3)
i 1
где yi (x) решения однородной системы, Ci (x) - неизвестные функции.
Всего неизвестных функций Ci (x) - n. Они должны
удовлетворять исходному уравнению (2).
Подставив в уравнение (2) выражение y(x), мы получим условия для
определения только одной неизвестной функции. Чтобы определить
остальные (n-1)-ну функции, необходимо еще (n-1)-но
дополнительное условие, их можно выбрать произвольно. Выберем
их так, чтобы решение (2) - y(x) имело вид такой же, как если бы
Ci (x) были константами.
n
n
i 1
i 1
y( x)   Ci( x) yi ( x)   Ci ( x) yi( x) ,
14
т.к. Ci (x) ведут себя как константы, то Ci( x)  0 , значит, и
n
 C ( x) y ( x)  0 .
i 1
i
i
n
n
i 1
i 1
y( x)   Ci( x) yi( x)   Ci ( x) yi( x)
…
n
n
i 1
i 1
y ( n ) ( x)   Ci( x) yi( n1) ( x)   Ci ( x) yi( n ) ( x)
Т.о. мы получим (n-1)-но условие дополнительно к уравнению (1).
Если подставить выражение для производных в уравнение (1) и
учесть все полученные условия и то, что yi – решение
соответствующей однородной системы, то мы получим последнее
условие для Ci (x) .
Перейдем к системе:
 n
 Ci( x) yi ( x)  0
 i 1
 n
 Ci( x) yi( x)  0
 i 1

 n
 Ci( x) yi( n  2) ( x)  0
 i 1
 n
 Ci( x) yi( n 1) ( x)  f ( x)
 i 1
(3)
Определитель системы (3) – это (W) определитель Вронского, а
т.к. yi – это решения однородной системы, то W0 на [a,b].
~
Ci  ui ( x)  Ci ( x)   ui ( x)dx  Ci
i  1, n
(4)
Пример. Неоднородное уравнение
y  y 
1
, соответствующее ему однородное уравнение y  y  0
cos x
15
Решение ищем в виде y=ekx. Характеристическое уравнение k2+1=0,
т.е. k1,2=i
y=eix=cos x +i sin x, общее решение - y( x)  C1 cos x  C2 sin x
Воспользуемся методом вариации постоянной:
~
y ( x)  C1 ( x) cos x  C2 ( x) sin x
Условия для Ci (x) :
C1( x) y1  C2 ( x) y2  0


1
C1( x) y1  C2 ( x) y2  cos x
, что эквивалентно записи:
 cos x sin x   C1   0 

 sin x cos x   C     1

  2   cos x 
Отсюда:
sin x
, C2 ( x)  1
cos x
~
C1 ( x)  ln(cos x)  C1
~
C2 ( x)  x  C2
C1( x)  