Старые песни о главном

Старые песни о главном
или вновь о ставке дисконтирования
Ю.В. Козырь
Данная статья основана на предыдущей моей работе «Структура процентной ставки»,
но идет несколько дальше.
Вместо введения
Ставку дисконтирования можно рассматривать как инструмент позволяющий
производить сравнение ожидаемых в будущем денежных потоков между собой и
приводить их к текущей стоимости. При дисконтировании ожидаемых денежных потоков
важно корректно их определять. Для потоков направленных к акционерам в качестве
ставки дисконтирования следует применять стоимость привлечения акционерного
капитала – желаемую инвесторами доходность инвестирования в акционерный капитал с
учетом возможностей и реалий текущего состояния рынка и ожиданий по его изменению.
Для потоков всего инвестированного капитала в качестве ставки дисконтирования следует
применять средневзвешенную ставку доходности между стоимостью привлечения
акционерного и заемного капитала, с учетом их долей определенных на рыночной основе.
Ставку дисконтирования можно рассматривать как меру стоимости денег во времени.
Почему сегодняшние деньги стоят дороже завтрашних? Что лучше: имеющиеся сейчас в
распоряжении 100 тыс. руб. или вырученные от участия в проекте (при вложении этих же
100 тыс. руб.) 150 тыс. руб., но полученные через год? Для ответа на эти вопросы
необходимо идентифицировать причины потери ценности денег во времени. По мнению
автора, с инвестиционной точки зрения эти причины можно разделить на следующие
виды: издержки «тягот лишений», ростовщический фактор, инфляцию и риск невозврата
(полного или частичного) вложенных средств. «Тяготы лишений» — это издержки
потенциально упущенных возможностей, которые могут возникнуть в период, когда
имевшиеся у инвестора денежные средства вложены и «заморожены» в проекте. Это могут
быть различного рода возможности и предложения приобрести что-либо по цене ниже
рыночной либо приобрести какую-то вещь в пользование ради удовольствия или комфорта
и т.п.
Рассмотрим эти факторы более подробно в свете традиционной структуры
процентной ставки, описываемой выражениями И. Фишера:
rn  (1  rr )  (1  i)  1,
(1)
где rn – номинальная ставка процента,
rr - реальная ставка процента,
i – уровень инфляции за период,
и «в духе» Марковица-Шарпа:
r  r f  p,
(2)
где r – ставка процента характерная для будущих денежных потоков проекта (актива)
имеющего определенный риск инвестирования,
rf - ставка процента по безрисковым вложениям,
p - премия за риск инвестирования в подобные проекты (активы).
Таким образом, из работ классиков известно, что уровень процентной ставки
является функцией очищенной от инфляции безрисковой ставки, инфляции и компенсации
(премии) за риск:
rn  (1  r fr )  (1  i )  (1  p)  1,
(3)
где rn – номинальная процентная ставка рискового проекта (актива),
rfr - очищенная от инфляции безрисковая ставка процента.
Рассмотрим теперь подробнее каждую компоненту этого выражения.
Безрисковая ставка
Безрисковая ставка – это ставка процента в отсутствие рисков. Обычно в качестве
наблюдаемых
безрисковых
ставок
используются
процентные
ставки
по
правительственным облигациям. Однако следует иметь в виду, что облигации подвержены
инфляционному риску (наблюдаются номинальные, а не реальные ставки) и они чуть
менее ликвидны, чем деньги. К тому же, в процентных ставках облигаций некоторых стран
«зашит» риск дефолта (достаточно вспомнить опыт России образца 1998 г.). Если убрать
все возможные риски (инфляцию, неликвидность, дефолт), то сухим остатком будет
абсолютно безрисковая ставка (обозначим ее rnf). Какова природа этой ставки? Эта ставка
зиждется на двух взаимодополняющих факторах.
Во-первых, деньги сегодня стоят дороже, чем эти же деньги завтра (послезавтра и в
последующие периоды). Если вы кому-то даете взаймы на определенный срок, значит,
скорее всего, в течение этого срока вы будете терпеть определенные лишения (меньше
тратить на повседневную жизнь, откладывать некоторые покупки на потом).
Во-вторых, нельзя скидывать со счетов ростовщический фактор: если кто-то просит у
вас денег взаймы, значит, идя на это, заемщик (берущий деньги) рассчитывает на то, что
получив и затем возвратив деньги в назначенный срок, он получит выгоду. Само собой
разумеется, осознаете это и вы, и со своей стороны вполне резонно рассчитываете на
«справедливую аннексию» части полученной заемщиком выгоды в свою пользу («делиться
надо!» - А.Я. Лившиц).
Риски инвестирования
Какие риски поджидают инвестора вкладывающего средства в реальный проект или
актив? Существует множество всевозможных рисков, но самые общие из них
подразделяются на риск невозврата и риск неликвидности.
Риск невозврата может возникать в двух случаях:
1. когда проект (актив, или займополучатель) по объективным причинам не в
состоянии вернуть вложенные деньги по причине банкротства, дефолта, халатности
финансово-хозяйственной деятельности или форс-мажорных обстоятельств («хочет, но не
может»);
2. когда займополучатель сознательно не выполняет обязательств по возврату
денежных средств («может, но не хочет»).
Риск неликвидности связан с риском упущенных возможностей. Рассмотрим две
ситуации. Предположим, инфляция отсутствует и в обозримом будущем не предвидится.
1. Инвестор покупает неденежный актив, приносящий ему невысокий процент, и у
него почти не остается свободных денежных средств, за исключением средств на текущие
расходы. Тогда, если ему вдруг представится возможность срочной выгодной покупки
хорошего, но дорогого другого актива, он может упустить эту возможность, поскольку, вопервых, другой актив, как правило, нельзя обменять на имеющийся у инвестора актив, а
можно купить только за деньги; во-вторых, срок реализации имеющегося актива может
превысить время, в течение которого еще можно приобрести другой актив.
2. Инвестор обдумывает дать взаймы денежную сумму абсолютно надежному
заемщику на определенный срок под невысокий процент, но не решается на это из-за
сомнений типа: «А что, если за это время я упущу какие-либо потенциальные возможности
из-за нехватки наличных денег? В конце-концов, могу просто не дожить до обещанного
момента возврата».
Рассмотренные примеры объединяет возможность того, что ущерб от меньшей
ликвидности неденежных активов может превысить генерируемые ими доходы. Поэтому
для компенсации риска неликвидности следует применять премию за неликвидность - pil:
pil  iсрочная  iдо _ востребования ,
(4)
pil  imin,
(5)
или
где pil – рыночная премия за риск неликвидности,
iсрочная - процентная ставка по срочным депозитам (1 год), или срочным кредитам
(в этом случае iсрочная берется с отрицательным знаком),
iдо востребования - процентная ставка по депозитам до востребования, или кредитам с
возможностью досрочного погашения (в этом случае iдо востребования берется с
положительным знаком),
imin - минимальная депозитная ставка, при которой (ниже которой) возникает
эффект ликвидной ловушки (когда владельцев денежных средств не прельщает
перспектива суеты (оформление и снятие вклада) и снижения ликвидности своих активов
ради получения взамен символических 2-3% годовых).
Кроме рыночной величины премии за неликвидность, для каждого инвестора может
быть рассчитана инвестиционная стоимость премии за риск неликвидности - pINVil:
p INVil 
1
1

,
Lc Lnc
(6)
где Lc – издержки ликвидности денежных средств, определяемые по формулам авторской
модели инвестиционной стоимости ликвидности актива (см. «Инвестиционная стоимость
ликвидности актива»),
Lnc - издержки ликвидности неденежного актива (проекта), определяемые по формулам
вышеуказанной модели.
Общий вид модели процентной ставки
(авторская трактовка)
С учетом изложенных выше категорий представим выражение для процентной
ставки (ставки дисконтирования) в одной из нижеследующих форм:
rn  (1  rnfr )  (1  i )  (1  prd )  (1  pil )  1,
(7)
rn  (1  r f )  (1  pr
(8)
sup
d
)  (1  p
sup
il
)  1,
где rn – номинальная ставка процента, принимаемая для оценки потоков рискового
актива (проекта),
rnfr - абсолютно безрисковая реальная ставка,
i - уровень инфляции,
prd - премия за риск невозврата (дефолта),
pil - премия за меньшую ликвидность,
rf – номинальная безрисковая ставка,
prsupd - превышение премии за риск невозврата при вложении в оцениваемый
рисковый актив (проект) над премией за риск невозврата «зашитой» в безрисковом активе
(проекте),
psupil - превышение премии за риск неликвидности при вложении в оцениваемый
рисковый актив (проект) над премией за риск неликвидности «зашитой» в безрисковом
активе (проекте).
Сравнивая полученные выражения с традиционными, можно заметить, что рисковую
компоненту p удалось расщепить на две составляющие – pil и prd, причем первую из них
можно попытаться оценить аналитически. Что касается премии за риск невозврата
(дефолта), к ее оценке можно подходить по-разному, например, на основе статистики
дефолтов по корпоративным обязательствам в зависимости от рейтинга обязательств
компании и сроков обращения этих обязательств (см. 277-ю стр. книги «Стоимость
компаний: оценка и управление». Т. Коупленд, Т. Колер, Дж. Муррин. Олимп-Бизнес, М.,
1999). Другой способ косвенной оценки дефолтной премии возможен, только если
известны параметры rn, rf и psupil:
pr sup d 
1  rn
 1.
(1  r f )  (1  p sup il )
(9)
Еще один способ оценки премии за неликвидность – использование статистики
нарастающей вероятности невыполнения обязательств. Легче всего получить такую
статистику по рейтингованным облигациям (см. стр. 277 вышеуказанного пособия).
Например, если воспользоваться статистикой по рейтингованным облигациям за период
1971-1987 гг. и взять пятилетнюю облигацию с рейтингом А, то вероятность
невыполнения обязательств по этим облигациям составит 0,71% (и значит, премия за риск
дефолта должна составить 0,715%; для выяснения связи между вероятностью дефолта и
премией за риск дефолта см. выражение (18)). В то же время обещанная доходность по
таким облигациям в среднем находилась на уровне 4,86%. Если предположить, что
инфляция в это время находилась на уровне 2%, абсолютно безрисковая реальная ставка
rnfr – 1%, то премия за неликвидность приблизительно составит:
pil 
1  rn
1  0,0486
1 
 1  0,0106  1,06%.
(1  i)  (1  rnfr )  (1  prd )
(1  0,02)  (1  0,01)  (1  0,00715)
(10)
Сосредоточимся теперь на другом аспекте рисковых премий – горизонте
инвестирования.
Обозначим ps вероятность успешной реализации проекта, или вероятность получения
в каждом будущем периоде спрогнозированной величины денежных потоков. Тогда
вероятность неуспешной реализации проекта, или его дефолта, составит pd = 1 – ps.
(Внимание: здесь «pd» соответствует вероятности дефолта). В общем случае надбавку за
риск инвестирования в проект можно представить как риск утраты средств, банкротство
или, другими словами, риск дефолта (в данном случае мы не делаем различия между
дефолтом – риском неисполнения долговых обязательств, - и банкротством – риском
существенной утраты акционерного капитала). Предположим, что при наступлении
дефолта будет утеряна доля (k) первоначально вложенных в проект (акции или облигации)
средств. Тогда, обозначив вероятность наступления такого дефолта через pd(k),
математическое ожидание обусловленных дефолтом потерь составит:
Мpd(k) = pd (k) × k.
(11)
Такое представление о последствиях дефолта отсылает нас к категории нечетких
множеств. Представленная формула удобна тем, что позволяет «настраивать» параметры
риска в зависимости от индивидуального видения инвестора в части вероятности
неблагоприятных исходов и их последствий.
С учетом сделанных обозначений зависимость ставки дисконтирования потоков
акционеров от вышеуказанных факторов можно представить в следующих видах (при этом
для простоты рассмотрения будем считать, что при наступлении банкротства/дефолта
средства инвестора теряются полностью):
r
(1  rnfr )(1  i)(1  pil )
ps
1 
(1  r fn )(1  pil )
ps
1 
r fn  pd  pil (1  r fn )
1  pd
.
(12)
Если вспомнить традиционную разбивку ставки дисконтирования на две
составляющие – безрисковую ставку и премию за риск, то для аддитивной модели (r =
= rf + p) премия за риск может быть представлена в следующей форме:
p
( p d  pil )  (1  rnfr )  (1  i )
1  pd
(13)
.
Величина pd представляет собой вероятность дефолта данного рыночного субъекта за
неопределенный период времени t (гипотеза 1). В общем случае этот период может быть
бесконечным, однако в действительности он ограничен сроком жизни актива (tи  ta max1), в
который сделаны инвестиции. Можно предположить и другое: конкретное значение
вероятности дефолта определяется для среднерыночного периода жизни одной инвестиции
tи  tср (гипотеза 2).
Таким образом, мы подошли к главному: при принятии решения о величине ставки
дисконтирования для конкретных неденежных активов необходимо принимать во
внимание свой ожидаемый инвестиционный горизонт tи. Для этого необходимо:
– выбрать адекватную tи безрисковую ставку;
– скорректировать значение вероятности дефолта с учетом ожидаемого
инвестиционного горизонта tи согласно одной из двух выше приведенных гипотез. Если
принимают гипотезу 1, корректировка осуществляют по формуле
p d 1 (t и )  [1  d (t max )]
tи
t max
 1.
(14)
Если принимают гипотезу 2, корректировку осуществляют по формуле
В качестве максимального срока жизни актива автор рекомендует брать срок, равный 30
годам: во-первых, потому, что существует немного активов со сроками жизни более 30
лет (здания и сооружения, долгосрочные права аренды, наиболее успешные компании и
торговые марки); во-вторых, даже при очень низких ставках дисконтирования
акционерного капитала (порядка 10 %) стоимостной ряд вбирает в себя почти 95 %
стоимости; и, в-третьих, на сегодняшний день самыми долгосрочными финансовыми
инструментами являются 30-летние облигации Правительства США.
1
pd 2 (t и )  [1  d (t cp )]
tи
tcp
 1.
(15)
Для принятия решения о предпочтительности первой или второй гипотез
необходимы отдельные исследования. Однако вторая гипотеза представляется более
предпочтительной, хотя для практического ее использования необходимо точно знать
параметр tср (среднее по рынку время обладания данным типом актива, например, пакетом
акций), меняющийся со временем. Следует также отметить, что при меньшей
предпочтительности первой гипотезы она обладает одним достоинством: бесконечность
заменяют параметром tmax (максимальный срок жизни актива), более постоянным во
времени по сравнению с параметром tср.
Также следует отметить, что для соблюдения краевых условий гипотезы 2
максимальное значение инвестиционного горизонта не должно превышать:
t u max  t cp 
ln 2
.
ln 1  pd t cp 
(16)
Подставив одно из выражений (14)-(15) в (12), получим следующее итоговое
выражение для ставки дисконтирования собственного капитала, связывающее воедино
премии и дающее некоторое представление о временнОй зависимости:
tи
r fn  p il (1  r fn )  [1  d (t max )]  1
t
r
tи
2  [1  d (t max )]
.
(17)
t
Отметим, что для использования вероятности дефолта (банкротства) в качестве
премии за риск банкротства необходимо осуществить трансформацию:
prd 
pd
.
1  pd
(18)
Формулы (14), (15) и (17) являются аналитическим выражением зависимости
процентных ставок от многих параметров, и в частности, от продолжительности
инвестиционного горизонта (реальное подтверждение зависимости процентных ставок от
времени – так называемые кривые доходности). В связи с этим дисконтирование
денежных потоков возможно осуществлять одним из двух способов:
1.
для каждого из периодов, используя формулы (14), (15) или (17), применять
расчетную ставку дисконта соответствующую этому периоду;
2.
для всех периодов использовать единую ставку дисконта, соответствующей
периоду дюрации ожидаемых денежных поступлений.