"Арифметическая и геометрическая прогрессии".

Математика, 10 класс
Колегаева Елена Михайловна
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Напомним основные понятия и формулы.
Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность чисел
a ,
n
n  N ,каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному
с одним и тем же числом d, т.е.
an1  an  d , n  N .
(1)
Число d называется разностью арифметической прогрессии, число
a1 - первым членом, а
a n - n-ым членом ( или общим членом ).
При любом n  2 имеем:
an1  an  d , a n  a n 1  d ,
(2)
поэтому для n  2 имеем:
n 1 a n 1
(3)
2
т.е., каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему
арифметическому предшествующего и последующего членов.
Для арифметической прогрессии a n с первым членом a1 и разностью d ее n-ый
a
an 
 
член можно найти по формуле
an  a1  (n  1)  d , n N.
(4)
Также имеет место формула
n  k  ank , 1  k  n  1 , k,n N .
(5)
2
Т.е., любой член арифметической прогрессии , начиная со второго, равен полусумме
равноотстоящих от него членов прогрессии.
Кроме того, справедливо равенство:
(6)
am  an  ak  al , если m+n = k+l.
Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
a

n
a
Sn 
a 1 a
n
n
(7)
2
Определение. Геометрической прогрессией называется последовательность чисел bn,
n N, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному
на одно и то же постоянное для этой последовательности число q  0, т. е.,
(8)
bn1  bn  q .
Число q называется знаменателем геометрической прогрессии, число
членом, а
b n - n-ым ( или общим) членом.
Для геометрической прогрессии имеем:
b
b
n
n 1

b
b
n 1
n
 q , поэтому
b1 -
ее первым
b  b b
2
n 1
n
(9)
n 1
Кроме того, для любых натуральных k,l,m,n имеют место формулы:
bm  bn  bk  bl , если m+n = k+l.
b b
2
(10)
 bnk , если 1  k  n  1
(11)
т.е., квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен
произведению равноотстоящих от него членов прогрессии.
Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
nk
n
S b 
n
1
1 q
n
(12)
1 q
Определение. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее
знаменатель q подчиняется условию q  1 .
В этом случае сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по
формуле:
S

b
1 q
1
.
Пример 1. В арифметической прогрессии найти
a16  13 .
Решение: Т.к.
a 25  a1  24d , a 20  a1 19d
a10 ,
и
если
a 25  a 20  10 ,
a16  a1 15d
а
, то запишем
данные задачи в виде системы уравнений:
(a1  24d )  (a1 19d )  10
a 15d  13
1
a1  17 , d 2
a16  a1 15d 173013 .
Ответ: a16  13 .
Решая эту систему, найдем
. Поэтому
Пример 2. Могут ли числа 10,25 и 40 в указанном порядке быть членами арифметической
прогрессии?
Решение. Т.к. в условии не сказано, что эти числа – последовательные члены прогрессии,
то будем считиать, что a1  10, a m  25, a n  40 , где 1<m<n. Для этой пргрессии имеем
систему уравнений:
2510  d (m 1)
40 10  d (n 1) ,
где d - разность пргрессии.
Исключая из этой системы
d
, получим следующее
соотношение, связывающее натуратьные числа m и n:
m 1 1
 .
n 1 2
Полагая, например, m=2, получим, что n=3, d=15 , т.е., числа m и n–натуральные и могут
являться номерами членов арифметической прогресии.
Ответ. Числа 10, 25 и 40 могут быть членами арифметической прогрессии.
Пример 3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7 без
остатка.
Решение. Наименьшим трехзначным числом, делящимся без остатка на 7, является число
105, наибольшим – число 994. Все трехзначные числа, делящиеся без остатка на 7,
образуют арифметическую прогрессию с a1  105 , d = 7, a n  994 . Найдем n по
формуле общего члена:
994= 105 + 7( n-1) , отсюда n = 128.
Ответ: Всего имеется 128 трехзначных натуральных чисел, делящихся без остатка на 7.
Пример 4. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим
членам прибавить, соответственно, 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующих
арифметическую прогрессию. Найти седьмой член данной геометрической прогрессии.
Решение: По условию имеем три последовательных члена геометрической прогрессии:
2
b1, b 2  b1  q , b3  b1  q . Составим первые три члена арифметической
a  b  25 , a 2  b1 q
прогрессии:
1
1
a 3  b1 q
 27 ,
2
 1 . Составим систему
уравнений:
2
2
b  b q  b q  91
1
a
1
1
a 1 a

2
b (1  q  q )  91
1
b 1 25 b 1q 2 1
или,
3
2
2
 b1 q  27 ,
2
b (1 q  q ) 91
1
b (q  2q 1)  28 .
2
1
Разделим одно уравнение системы на другое, затем
перемножим крайние с средние члены пропорции, приведем подобные члены и получим
следующее уравнение :
63q  210q  630
2
q 3, q 
Решим это уравнение и получим, что
b 7,
1
2
1
3
. Подставим эти значения в систему
b  63 .
63  7 .
Найдем b  73  5103 или b 
3 81
7 .
Ответ. b  5103 или b 
81
уравнений и найдем
1
или
1
6
7
7
7
6
7
Контрольные задания
Представленные ниже задачи являются контрольным заданием для учащихся 10
классов. Решения необходимо оформить в отдельной тетради и выслать по адресу,
указанному во вступительной статье.
Для зачета нужно набрать не менее 30 баллов (каждая правильно решенная
задача оценивается в 5 баллов).
М10.1.1. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии, если
a 2
1
и
d  3 .
М10.1.2.Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии
равна
1,5 , а их произведение равно –4,5. Найти первый член и разность прогрессии.
М10.1.3. Найти
S
20
, если
a  a  a  a  20 .
6
9
12
15
М10.1.4. Могут ли числа 2,21 и 59 быть членами арифметической прогрессии?
М10.1.5. Вычислить сумму всех трехзначных чисел, кратных 3.
М10.1.6.Дан треугольник, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию.
Найти длину средней стороны, если периметр треугольника равен 12.
М10.1.7. Найти пять первых членов геометрической прогрессии, если ее третий член
равен 4, а четвертый равен 8.
М10.1.8.Между числами 3 и 19683 вставить семь чисел так, чтобы все девять чисел
образовали геометрическую прогрессию.
М10.1.9.Могут
ли
длины
сторон
прямоугольного
треугольника
являться
последовательными членами геометрической прогрессии?
М10.1.10. Доказать формулы (5), (6), (10), (11).
М10.1.11. Три числа образовывают геометрическую прогрессию. Если второе число
увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической. Если после этого увеличить
последнее число на 9, то прогрессия станет снова геометрической. Найти эти числа.
М10.1.12. Найти
x
, если числа
геометрической прогрессии.
30  x , x
2
2
и
1 являются последовательными членами