Введение в дискретную_математику_1к.Мат_2015

Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Введение в дискретную математику» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Правительство Российской Федерации
Нижегородский филиал
Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Информатики, математики и компьютерных наук
Кафедра фундаментальной математики
Программа дисциплины
Введение в дискретную математику
для образовательной программы «Математика»
направления 01.03.01 Математика
уровень бакалавр
Разработчик программы:
Казаков А.О., кандидат физ.-мат. наук, akazakov@hse.ru
Одобрена на заседании кафедры Фундаментальной математики
«___»____________ 2015 г
Зав. кафедрой О.В. Починка _________________
Утверждена «___»____________ 2015 г.
Академический руководитель образовательной программы
Е.Я. Гуревич _________________
Нижний Новгород, 2015
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 01.03.01 Прикладная
математика и информатика подготовки бакалавра
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления подготовки 01.03.01 «Математика», изучающих дисциплину «Введение в дискретную математику».
Программа разработана в соответствии с:
- Образовательным стандартом ФГАУ ВПО НИУ-ВШЭ по направлению подготовки "Математика" (уровень подготовки: "бакалавр").
- Образовательной программой по направлению подготовки 01.03.01 Математика.
- Учебным планом университета по направлению подготовки 01.03.01 Математика, утвержденным в 2015 г.
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины является ознакомление студентов с фундаментальными
основами дискретной математики. Основной целью освоения дисциплины является: приобретение студентами теоретических знаний и навыков решения задач по комбинаторики, теории
графов и кодированию; приобретение студентами навыков и компетенций по формализации на
строгом математическом языке знаний, относящихся к различным предметным областям, возникающих в этих областях проблем и задач; овладение методами построения дискретных моделей предметных областей.
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать основные методы математической логики и алгоритмов.
 Уметь решать типовые теоретические и вычислительные задачи.
 Иметь навыки (приобрести опыт) решения математических задач, возникающих в
некоторых прикладных областях.
В результате освоения дисциплины студент осваивает следующие компетенции:
Компетенция
Способен решать проблемы в профессиональной
деятельности на основе
анализа и синтеза
Способен строго доказать
утверждение, сформулировать результат, увидеть
следствия полученного
результата
Способен планировать и
осуществлять педагогическую деятельность в образовательных организациях
с учетом специфики предметной области
Код по
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Формы и методы обучения,
способствующие формированию и развитию компетенции
Лекционный курс, практические задания, самостоятельная работа, курсовая работа
УК-3
Умеет строить математические
модели динамических процессов
ПК-7
Понимает, что такое доказательство. Умеет логически выстраивать доводы, основываясь на введенных понятиях и уже доказанных фактах
Лекционный курс, практические задания, самостоятельная работа
ПК-14
Знает, как составить план лекции
или практического занятия, умеет
находить контакт со слушателями
Лекционный курс, практические задания, самостоятельная работа, доклады на
научных семинарах и конференциях
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к профессиональному циклу дисциплин и блоку дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра по направлению 01.03.01 «Математика».
Настоящая дисциплина является базовой.
Изучение данной дисциплины базируется на хорошем владении математическим аппаратом выпускника средней общеобразовательной школы.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями: знать основы математического анализа, алгебры и геометрии в рамках средней
общеобразовательной школы, уметь решать типовые школьные задачи по математике, помнить
основные математические теоремы школьного курса математики. Курс опирается на знания
студентов, приобретенные при изучении основ элементарной математики и информатики, и
обеспечивает теоретическую подготовку и практические навыки в области современных методов дискретной математики. «Введение в дискретную математику» занимает одну из основополагающий позиций в образовании студентов специальности «математика», давая язык, логику и
понятия, необходимые для овладения большим количеством математических дисциплин, таких
как: теория вероятностей, теория алгоритмов, функциональный анализ, вычислительные методы, информатика, программирование и т.д.
Тематический план учебной дисциплины
№
1
2
3
Всего
часов
Название раздела
Комбинаторика
Графы
Кодирование
ИТОГО
53
54
45
152
4 з.е.
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
8
6
5
19
18
20
16
54
Самостоятельная
работа
27
28
24
79
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма
контроля
Текущий
(неделя)
Контрольная работа
Домашняя
работа
Экзамен
Итоговый
1 год
3
9
1,3,5
,7
Параметры
4
8
Письменная работа 80 минут
1,3,5 Письменная работа (5-6 задач)
,7
*
Устный экзамен
Критерии оценки знаний, навыков
Студент должен быть знаком с методами решения задач дискретной математики, а также
приобрести опыт решения практических задач. При выполнении письменных контрольных работ, а также зачетной и экзаменационной работ студент должен продемонстрировать знание
теоретического материала соответствующего раздела курса, уметь правильно применять его к
решению конкретных задач, соблюдать логику решения задачи и грамотно формулировать ответ. Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
3
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
Порядок формирования оценок по дисциплине
Преподаватель оценивает работу студентов на семинарских занятиях: оценивается правильность решения задач на семинаре. Оценки за работу на семинарских занятиях преподаватель выставляет в рабочую ведомость. Результирующая оценка по 10-ти балльной шкале за работу на семинарских занятиях также заносится в рабочую ведомость.
Накопленная оценка за текущий контроль (3-4 модуль) учитывает результаты студента
по текущему контролю следующим образом:
Онакопленная = 0,4·Ок/р +0,3·Осам.работа + 0,3Оаудит.
Результирующая оценка за итоговый контроль в форме экзамена выставляется по следующей формуле:
Оитоговый =0,5·Оэкзамен + 0,5·Онакопленная
Способ округления оценок – арифметический.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
Содержание дисциплины
Комбинаторика
 Принципы подсчета: правило равенства, правило суммы, правило произведения. Наборы
и слова. Лексикографический порядок.
 Перестановки. Число перестановок из n элементов. Последовательный выбор. Теорема о
последовательном выборе. Размещение. Число размещений.
 Сочетания. Число сочетаний. Бином Ньютона. Связь с сочетаниями. Свойства бинома.
 Разбиения множества. Упорядоченные разбиения. Обобщение бинома Ньютона. Полиномиальная теорема.
 Сочетания с повторениями. Число сочетаний с повторениями. Формула включенийисключений. Неупорядоченные разбиения.
 Функции. Сведение комбинаторных задач к подсчету функций. Примеры задач. Применение комбинаторики к вычислению вероятностей.
 Линейные рекуррентные уравнения (первого и второго порядков). Примеры задач на решение различных рекуррентных уравнений.
Графы
 Основные понятия теории графов (граф, вершины, ребра). Ориентированный граф, неориентированный граф. Число графов с фиксированным количеством вершин. Теорема о
рукопожатиях.
 Различные способы представления графов. Подграф, дополнение. Пустой граф, полный
граф, путь.
 Понятие изоморфизма графов. Классы эквивалентности графов (абстрактные графы).
Инварианты графов. Примеры.
 Пути и циклы. Теорема о существовании цикла. Связный граф, компоненты связности.
Теорема о числе ребер в связном графе. Теорема о перешейках.
 Расстояния. Метрические характеристики. Эйлеровы циклы и пути.
 Деревья. Определение, свойства.
 Код Прюфера. Алгоритмы построения кода Прюфера по дереву и дерева по коду Прюфера. Двудольные графы. Теорема Кёнига.
 Планарные графы. Плоская укладка. Формула Эйлера. Критерий ПонтрягинаКуратовского. Критерий Вагнера.
4
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра




Кодирование
Понятие кодирования. Экономность кодирования. Коэффициент сжатия. Обратимый
код. Задача оптимального кодирования.
Префиксные коды. Неравенство Макмиллана.
Оптимальный двоичный префиксный код. Теорема редукции.
Алгоритм построения дерева Хаффмана. Недвоичный оптимальный код. Алгоритм построения оптимального префиксного кода для q>2.
Образовательные технологии
При реализации учебной работы используются повторение основных положений лекционного материала и разбор типовых практических задач.
Методические рекомендации преподавателю
Глубокие знания предмета следует представлять в максимально доступной, понятной и
мотивированной форме. Следует постоянно совершенствовать материалы занятий с учетом последних достижений и разработок.
Методические указания студентам
Следует систематически посещать лекционные и семинарские занятия. Материалы этих
занятий следует внимательно изучать и регулярно выполнять домашние задания. На занятиях
нужно вести себя активно. Следует иметь в виду, что многие последующие учебные курсы основаны на свободном владении аппаратом и техникой математического анализа.
Самостоятельная работа студентов осуществляется в соответствии с «Методическими
рекомендациями по организации самостоятельной работы студентов НИУ ВШЭ – Нижний
Новгород», утвержденными УМС от 30.04.2014, протокол № 4.
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примерные типы заданий для контрольных работ:
1. Подсчет числа перестановок, сочетаний и размещений при различных спецификациях. Подсчет числа объектов через формулу включений-исключений.
2. Вычисление метрических и структурных характеристик графов.
3. Построение оптимального префиксного кода для заданного набора частот.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к экзамену по всему курсу.
1. Перестановки,
2. Размещения,
3. Сочетания.
4. Бином Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Полиномиальная
теорема.
5. Сочетания с повторениями (мультимножества).
6. Формула включений-исключений.
7. Число упорядоченных и неупорядоченных разбиений конечного множества.
8. Линейные рекуррентные уравнения первого и второго порядка.
9. Понятие графа. Число графов.
10. Изоморфизм. Инварианты.
11. Пути и циклы в графах. Связность.
5
Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Программа дисциплины «Дискретная математика» для направления 01.03.01 Математика подготовки бакалавра
12. Теоремы о существовании цикла и о числе ребер в связном графе. Шарниры и перешейки.
13. Расстояния в графах. Метрические характеристики графов. Теорема о диаметре и
радиусе.
14. Эйлеровы циклы и пути.
15. Деревья, их свойства. Теорема о центре дерева.
16. Код Прюфера и формула Кэли для числа деревьев.
17. Двудольные графы. Теорема Кенига.
18. Планарные графы. Формула Эйлера. Критерии планарности.
19. Задача оптимального кодирования.
20. Обратимые и префиксные коды.
21. Неравенство Макмиллана.
22. Теорема о существовании префиксного кода.
23. Построение оптимального префиксного кода по Хаффмену, кодов Шеннона и Фано.
24. Критерий Маркова взаимной однозначности алфавитного кодирования.
Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература
[1]. Судоплатов С.В. Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики. М.:
Высшая школа, 2011.
Дополнительная литература
[2]. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. М.: Наука, 2004.
[3]. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике:
Учебное пособие. – 3-е изд., перераб. М: Физматлит, 2005.
[4]. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА,
МНЦМО, 2006.
[5]. Харари Ф. Теория графов. М. Мир, 1973.
[6]. Марков Ал. А. Введение в теорию кодирования. М. Физматлит, 1982.
Материально-техническое обеспечение дисциплины
При осуществлении образовательного процесса используется следующая материальнотехническая база:
1. Аудитория с проектором и компьютером, возможность подключения ноутбука.
2. Маркерная или обычная доска.
Разработчик программы
А.О. Казаков
6