Лекции по линейной алгебре

Международный институт экономики и финансов (Государственный университет Высшая Школа Экономики).
Лекции по линейной алгебре
Владимир Черняк
Лекция 11. Геометрическое представление решения системы линейных
уравнений.
Читать под музыку
Jimmy Page “Down The Line”
Используя понятие базиса, мы можем изложить порядок решения системы линейных
уравнений более четко. Кроме того, оно может быть представлено слагаемыми, которые
имеют некоторое геометрическое значение. Таким образом, мы можем представить, как
“выглядит” решение с геометрической точки зрения. Конечно, точное геометрическое
представление возможно только для 1, 2 и 3-мерного пространства. Здесь эта теория будет
объяснена только на примерах. Наша цель состоит в том, чтобы объяснить практический
метод решения системы линейных уравнений и представить их решение в простой удобной
форме.
РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть задана система линейных уравнений
 x1 + x2 + x3 + x 4 = 0

 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x 4 = 0
Применяя преобразования Жордана-Гаусса эта система может быть преобразована в
невырожденную ступенчатую матрицу
 x1 + x2 + x3 + x4 = 0

x2 + 2 x3 + 3 x 4 = 0

 x1


− x3 − 2 x 4 = 0
x 2 + 2 x3 + 3x 4 = 0
Неизвестные x1 и x2 – базисные переменные, а остальные, x3 и x4 , – свободные
переменные. Перенеся все свободные переменные в правую сторону уравнения, мы получим
 x1


=
x3 + 2 x 4
x 2 = −2 x 3 − 3 x 4
Приравнивая свободные переменные к некоторым произвольным значениям, мы можем
найти значения базисных переменных. Для свободных переменных мы будем использовать
линейно независимые комбинации x3 = 1, x4 = 0 и x3 = 0, x4 = 1 , поэтому векторы,
1
представляющие решения системы также будут линейно независимы (вычисления
представлены в таблице)
x1
x2
x3
x4
e1
1
–2
1
0
e2
2
–3
0
1
Векторы e1 = (1, − 2, 1, 0) и e 2 = (2, − 3, 0, 1) линейно независимы. Любая другая комбинация
значений свободных переменных может быть представлена как линейная комбинация
базисных векторов (1, 0) и (0, 1). Так как значения других (базисных) переменных могут
быть найдены однозначно из значений свободных переменных, мы можем сделать вывод,
что любое решение исходной системы может быть представлено как линейная комбинация
базисных решений e1 = (1, − 2, 1, 0) и e 2 = (2, − 3, 0, 1) :
x = c1e1 + c2 e 2
или в развернутом виде
 x1 
 1 
 2 
 
 
 
 x2 
 − 2
 − 3
 x  = c1  1  + c2  0 
 3 
 
 
 1 
 0 
 x4 
Из алгебры средней школы мы знаем, что два неколлинеарных вектора можно считать
базисом плоскости. Поэтому решение нашей однородной системы можно интерпретировать
как плоскость в некотором 4-мерном пространстве. Обратите внимание, что эта плоскость
содержит нуль-вектор (случай, когда оба коэффициента равны нулю).
РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теперь рассмотрим систему неоднородных линейных уравнений
 x1 + x2 + x3 + x4 = 4

 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 10
Применяя преобразования Жордана-Гаусса, эта система может быть преобразована в
невырожденную ступенчатую матрицу
 x1 + x2 + x3 + x4 = 4

x2 + 2 x3 + 3 x4 = 6

− x 3 − 2 x 4 = −2
 x1

x 2 + 2 x3 + 3 x4 = 6

Перенеся все свободные переменные в правую часть уравнений, мы получим
 x1


= − 2 + x3 + 2 x4
x2 =
6 − 2 x3 − 3 x4
.
Мы можем найти некоторое решение этой системы, например, подставляя нули вместо
всех свободных переменных
2
y
x1
–2
x2
6
x3
0
x4
0
Если подставить это решение y в левую часть системы Ay = b , мы найдем вектор
констант. Если мы прибавим y к любому решению однородной системы
x = y + c1e1 + c2 e 2 ,
мы снова получим решение неоднородной системы (потому что, заменяя любое решение на
решение вида
x = y + c1e1 + c2 e 2 , мы получим нули во всех
уравнениях)
Ax = A( y + c1e1 + c2 e 2 ) = Ay + c1Ae1 + c2 Ae 2 = b + 0 + 0 = b .
Поэтому общий вид решения неоднородной системы такой
x = y + c1e1 + c2 e 2
В нашем примере это
 x1   − 1
 2 
 1 
   
 
 
 x2   6 
 − 3
 − 2
 x  =  0  + c1 ⋅  1  + c2 ⋅  0 
 
 
 3   
x
0
0
 1 
 
 4  
Геометрическая интерпретация этой формулы следующая: Решение неоднородной
системы можно интерпретировать как плоскость в некотором 4-мерном пространстве,
представляющую решение соответствующей однородной системы, но смещенную на вектор
y, который может быть любым решением неоднородной системы. Эта плоскость не содержит
нуль-вектор.
3