Травкин А. И. Москва, НИУ ВШЭ КОНСТРУКЦИИ ИЗ ПАРНЫХ

Травкин А. И.
Москва, НИУ ВШЭ
КОНСТРУКЦИИ ИЗ ПАРНЫХ КОПУЛ В ПРИЛОЖЕНИИ
К РОССИЙСКОМУ ФОНДОВОМУ РЫНКУ
В докладе рассматривается проблема формирования портфеля из акций российского фондового
рынка с использованием конструкций из парных копул (КПК), описание которых можно найти в
работах (Joe, 1996; Bedford, Cooke, 2002). Используются 3 метода выбора подходящего R-ветвления:
на основе метода максимальных остовных деревьев (ММОД), с использованием априорной
информации о секторах и на основе эмпирических копул хвоста (tail copula).
Данные. В выборку отобраны «голубые фишки» российского рынка: Газпром (GAZP), Лукойл
(LKOH) и Сургутнефтегаз (SNGS) из нефтегазового сектора; Северсталь (CHMF), Норильский
Никель (GMKN) и ММК (MAGN) из металлургического сектора; МТС (MTSS) и Ростелеком
(RTKM) из сектора телекоммуникаций; итого n  8 активов. Всего используется 403 наблюдения
логарифмической недельной доходности с 23.01.2006 по 13.10.2013. На последние 100 недель
делается ретроспективный прогноз совместного распределения и строится стоимость формируемых
портфелей (в динамике), а так же тестируется гипотеза о качестве прогнозирования VaR портфелей.
Оценивание. Оценка копулы производится по методу IFM (inference fucntions for margins), т.е.
сначала с помощью ММП оцениваются частные распределения, а затем копула. Частные
распределения моделируются при помощи AR(1)-EGARCH(1,1) модели Нельсона (Nelson, 1991) с
ошибкой, имеющей распределение Хансена (Hansen, 1994). Оценка КПК производится при помощи
метода максимальных остовных деревьев, см., например, (Dissmann, 2013), но с некоторыми
дополнениями. В качестве парных копул используются: 1) эллиптические Гауссова и t-копулы; 2)
архимедовы копулы Франка, Гумбеля, Клейтона, Али-Михаила-Хака, 12-я копула Нельсена, а так же
копулы дожития Клейтона и Гумбеля; 3) копула Плаке. Описания этих копул можно найти,
например, в книге (Nelsen, 2006). Для подбора парных копул используется критерий AIC.
Основная проблема при построении КПК – это выбор R-ветвления. На сегодняшний день
самым популярным методом оценки является ММОД, в соответствии с которым на каждом уровне
выбирается дерево, обеспечивающее максимум суммы коэффициентов корреляции (любого вида)
между величинами. Как показывает практика, использования данного метода в чистом виде порой
недостаточно для отыскания ветвления, близкого к оптимальному. Чтобы повысить качество
моделирования, необходимо учитывать больше информации. В данной работе рассматриваются две
альтернативы. Во-первых, учитывается априорная информация о секторах экономики, которым
принадлежат акции рассматриваемых компаний. Предполагается, что зависимость внутри секторов
наибольшая, поэтому в первую очередь сравнивается корреляция внутри секторов и строятся участки
дерева, включающие доходности акций из одного сектора; затем эти кластеры объединяются по
ММОД. Во-вторых, учитывается априорная информация о коэффициентах хвостовой зависимости
всех пар активов. Рассмотрим так называемую копулу нижнего хвоста (lower tail copula)  L ( w) :
1
 L ( w)  lim P ( X 1  F11 (uw1 ), ... , X n  Fn1 (uwn ))
t 0 u
В работе (Joe, 2010) доказано, что если для некоторого набора смежных на первом уровне
случайных величин все копулы имеют нижнюю хвостовую зависимость, то все пары из этого набора
имеют нижнюю хвостовую зависимость. Копулы хвостов таких наборов вычисляются явно при
известных R-ветвлении и наборе парных копул (Li, 2013). Идея метода состоит в том, чтобы
построить эмпирический аналог  L ( w) данной копулы, а затем сделать выводы относительно
возможной структуры R-ветвления. Оценка  L ( w) описана, например, в работе (Schmidt, Stadtmuller,
2006). Мы фокусируемся на моделировании нижних хвостов, так как наличие верхней хвостовой
зависимости у доходностей акций эмпирически подтверждено не было. Чтобы понять, какие
ограничения наложить на ММОД, выполним следующую процедуру:
1. Оценим силу нижней хвостовой зависимости посредством эмпирической копулы хвоста
 L ( w) для всех пар активов и выберем пару с наибольшей хвостовой зависимостью. Ребро для
данной пары строится в первую очередь;
2. Проделаем то же самое для всевозможных троек активов. Если найденная на предыдущем
шаге пара вложена в эту тройку, то в первую очередь рассматриваем возможность присоединения
третьей вершины к двум, соединенным на предыдущем шаге. В противном случае, когда пара из
первого шага не вложена в тройку, в первую очередь строим ребра для данной тройки.
3. Далее продолжать аналогично.
Такая процедура должна помочь обнаружить наборы активов, которые скорее имеют
наибольшую хвостовую зависимость, и выделить их в отдельный кластер ветвления. Это поможет
правильно смоделировать хвостовую зависимость этих активов, и избежать моделирования
хвостовой зависимости у активов, у которых ее нет. По результатам этой процедуры получилось, что
каждая пара, тройка, четверка и т.д. активов вложена в последующий набор с максимальным
значением  L ( w) . Иногда данная функция достигала максимальных значений сразу для нескольких
наборов одной размерности (по-видимому, в результате малого размера выборки), тогда выбирался
набор, включающий набор с предыдущего шага. Получилось следующее ограничение: в первую
очередь объединяются акции GAZP и GMKN; далее к одной из них (на основании ММОД)
присоединяется CHMF; далее аналогично для LKOH, MTSS, MAGN, SNGS и RTKM.
Оценивание весов. Веса оцениваются двумя способами: на основании экспоненциальной
полезности с абсолютной несклонностью к риску a  {1, 2,5,10} ; и путем максимизации ожидаемой
прибыли при условии ограничения на дисперсию портфеля   {20,30, 40,50} .
Результаты. В табл. 1 и 2 приведены результаты ретроспективного прогноза. Табл. 1
показывает стоимость портфеля на конец периода в зависимости от использованного метода
построения КПК и метода формирования портфеля. Возможно именно учет структуры хвостовой
зависимости повлиял на доходность этих портфелей. В табл. 2 приведено количество периодов
(должно быть близко к 5), в которые доходность оказалась ниже 5% VaR, спрогнозированного из
соответствующей модели. Видно, что портфель с учетом секторов переоценивает риск, в то время
как два других портфеля более адекватно оценивают VaR. Все модели прошли тест Купека на 95%
уровне значимости (число событий попало в интервал [1,9]).
Условие
Ограничение на дисперсию, 
Абсолютная несклонность к риску, a
оптимизации
1
2
5
10
50
40
30
20
ММОД
2.096
2.049
1.976
1.798
1.963
1.894
1.976
2.097
ММОД + сектора
2.126
2.065
1.866
1.721
1.642
1.645
1.667
1.790
ММОД + хвосты
2.395
2.382
2.085
1.775
2.287
2.186
2.242
2.147
Табл. 1. Стоимость портфелей на конец периода, в долях от начального капитала
Условие
Ограничение на дисперсию, 
Абсолютная несклонность к риску, a
оптимизации
1
2
5
10
50
40
30
20
ММОД
2
2
5
6
4
4
5
5
ММОД + сектора
2
1
2
4
1
1
2
2
ММОД + хвосты
2
3
5
6
5
5
5
5
Табл. 2. Число периодов, в которые доходность портфеля оказалась ниже 5% VaR
Список использованной литературы
1. Bedford T., Cooke R. M. (2002). Vines: A new graphical model for dependent random variables. The Annals
of Statistics, 30 (4), 1031–1068.
2. Brechmann E. C., Czado C. (2013). Risk management with high-dimensional vine copulas: An analysis of
the Euro Stoxx 50. Statistics and Risk Modeling, готовится к выходу.
3. Hansen B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic Review, 35 (3),
705–730.
4. Joe H. (1996). Families of m-variate distributions with given margins and m  m  1 / 2 bivariate dependence
parameters. IMS Lecture Notes — Monograph Series, 28, 120–141.
5. Joe H. (2010). Tail dependence functions and vine copulas. Journal of Multivariate Analysis, 101, 252–270.
6. Li H., Wu P. (2013). Extremal dependence of copulas: A tail density approach. Journal of Multivariate
Analysis, 114, 99–111.
7. Nelson D. B. (1991). Conditional heteroskedastisity in asset returns: A new approach. Econometrica, 59 (2),
347–370.
8.
Nelsen R. B. (1999). An introduction to copulas. Springer.
9.
Schmidt R., Stadtmuller U. (2006). Non-parametric estimation of tail dependence. Scandinavian Journal of
Statistics, 33, 307–335.