Построение конструкций из парных копул на основе

Построение конструкций из парных копул на основе эмпирических копул
хвостов на примере российского рынка акций
Введение
Рост взаимосвязи и взаимозависимости финансовых рынков в последние десятилетия требует
разработки эффективных методов моделирования совместных убытков. Знание активов, обладающих
наименьшей степенью зависимости в экстремальных значениях может помочь при формировании
портфеля путем минимизации риска или его ограничения. Одним из способов моделирования риска,
свойственного всем активам, является зависимость в хвостах распределений доходностей этих
активов. Формально хвостовая зависимость для n активов, имеющих совместное распределение F и
частные распределения 𝐹1 , … , 𝐹𝑛 , определяется, как:
1
Λ 𝐿 (𝒘) = lim ℙ(𝑋1 ≤ 𝐹1−1 (𝑢𝑤1 ), … , 𝑋𝑛 ≤ 𝐹𝑛−1 (𝑢𝑤𝑛 )
𝑢→0 𝑢
(1)
Величина Λ 𝐿 (𝒘), 𝒘 ∈ ℝ𝑛 называется копулой хвоста (Li, 2013). При 𝑤 = 𝜄𝑛 , где 𝜄𝑛 представляет
собой вектор, состоящий из n единиц, копула хвоста есть вероятность того, что все случайные
величины 𝑋𝑖 окажутся ниже некоторой малой квантили при условии, что одна из них оказалось ниже
этой квантили, то есть условную вероятность. Учет хвостовой зависимости между активами является
важнейшим фактором при формировании инвестиционного портфеля, так как помогает избежать
отбора в портфель большого количества активов с сильной хвостовой зависимостью, что может
привести к серьезным финансовым потерям во время кризисов (событий, затрагивающих несколько
активов одновременно). Для целей данной работы используются конструкции из парных копул
(КПК), впервые описанные в (Joe, 1996). КПК следует понимать, как разложение плотности копулы
совместного распределения в произведение из парных условных и безусловных копул. Для оценки
таких моделей требуется оценить, во-первых, структуру этого разложения (ветвление), а во-вторых,
параметры парных копул, составляющих это разложение. В качестве примера можно рассмотреть
следующее разложение четырехмерной копулы в КПК:
𝑐(𝒖) = 𝑐13|24 (𝑢1|24 , 𝑢3|24 )𝑐14|2 (𝑢1|2 , 𝑢4|2 )𝑐23|4 (𝑢2|4 , 𝑢3|4 )𝑐12 (𝑢1 , 𝑢2 )𝑐24 (𝑢2 , 𝑢4 )𝑐34 (𝑢3 , 𝑢4 )
(2)
Ветвления — это графический способ задания конструкций из парных копул. Ветвления
предстают в виде графов особого вида, свойства которых кратко изложены ниже. Работа
непосредственно с самой КПК (2) оказывается затруднительной: пользователь не может отчетливо
увидеть взаимосвязи и структуру КПК. Кроме того, построение КПК, то есть разбиение совместной
плотности в произведение условных плотностей, так же не является удобным и прозрачным, как того
бы хотелось. В работе (Bedford, Cooke, 2002) было предложено оснастить модели (Joe, 1996)
графическим представлением, получившим название ветвления (англ. Vine). Ветвления оказались
очень удобны при построении, трактовке, да и вообще различных манипуляциях с КПК.
При определении ветвлений используются два понятия из теории графов: понятие дерева 𝒯 =
{𝒩, ℰ}, как связного ациклического графа с набором вершин 𝒩 и ребер ℰ, и упорядоченного леса
ℱ = {𝒯1 , … , 𝒯𝑛 }, как ациклического графа, представляющего собой набор деревьев 𝒯1 =
{𝒩1 , ℰ1 }, … , 𝒯𝑛 = {𝒩𝑛 , ℰ𝑛 }, отмеченных индексами, характеризующими их положение в лесу.
Ветвлением 𝒱 называют упорядоченный лес, для которого выполняется 𝒩𝑗 = ℰ𝑗−1 , 𝑗 = 2, … , 𝑛, а для
𝒯1 выполнено 𝒩1 = {1, … , 𝑛}. Однако не все ветвления могут быть использованы для построения
КПК. Биекция существует лишь между КПК и так называемыми правильными ветвлениями (Regular
Vines), или R-ветвлениями. Правильные ветвления 𝒱𝑅 удовлетворяют дополнительному
ограничению, называемому условием смежности: для вершин 𝑎 = (𝑎1, 𝑎2 ), 𝑏 = (𝑏1 , 𝑏2 ) ∈ 𝒩𝑗+1 , в
которых 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑏1 , 𝑏2 ∈ 𝒩𝑗 , выполняется:
(𝑎, 𝑏) ⇒ (#𝑎 ∩ 𝑏 = 1)
(3)
1
Здесь #𝐴 означает мощность множества A. Пусть имеется система из n случайных величин 𝑋𝑖 ,
𝑖 = 1, … , 𝑛. Тогда каждую случайную величину можно ассоциировать с вершиной дерева 𝒯1 , а
парные копулы этих величин — с набором ребер ℰ1 . На последующих уровнях ветвления вершины
ассоциируются с условными случайными величинами, а ребра — с условными копулами этих
случайных величин. На (рис. 1) изображено ветвление, соответствующее конструкции из парных
копул (2); нетрудно увидеть взаимосвязь между ветвлением и структурой КПК: в качестве
множителей берутся копулы с индексами, соответствующими вершинам ветвления.
2
1
12
4
24
14|2
3
34
23|4
13|24
Рис 1. Ветвление, соответствующее КПК (2).
Чтобы понять, взаимосвязь каких величин моделируется на вершине 𝓃 ∈ 𝒩, вводятся понятия
ограничивающих, обуславливаемых и обуславливающих множеств на данной вершине.
Ограничивающим множеством вершины 𝓃 ∈ 𝒩 называется множество всех вершин 𝑖 ∈ 𝒩1 ,
достижимых из 𝓃 посредством отношения включения:
𝒮(𝓃) = {𝑖|𝑖 ∈ 𝓃2 ∈ ⋯ ∈ 𝓃}
Обуславливаемым множеством вершины 𝓃 = {𝓃1 , 𝓃2 } ∈ 𝒩𝑗 , образованной вершинами 𝓃1 , 𝓃2 ∈
𝒩𝑗−1 , называется симметрическая разность их ограничивающих множеств:
𝒮△ (𝓃) = 𝒮(𝓃1 ) △ 𝒮(𝓃2 )
Обуславливающим множеством вершины 𝓃 = {𝓃1 , 𝓃2 } ∈ 𝒩𝑗 , образованной вершинами
𝓃1 , 𝓃2 ∈ 𝒩𝑗−1 , называется пересечение их ограничивающих множеств:
𝒮∩ (𝓃) = 𝒮 (𝓃1 ) ∩ 𝒮 (𝓃2 )
Данные
В выборку отобраны следующие акции российского фондового рынка:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Норильский Никель (GMKN)
Лукойл (LKOH)
Новатек (NVTK)
Сбербанк (SBER)
Сургутнефтегаз (SNGS)
Татнефть (TATN)
2
Данные набор акций отобран по ряду критериев: они имеют довольно высокий коэффициент
ранговой корреляции, торгуются не менее 8 лет и занимают лидирующие позиции по объему торгов.
Период взят с 03.01.2005 по 11.10.2013. После синхронизации данных это дает 𝑛 = 2171
логарифмических дневных наблюдений доходности (синхронизация проводилась следующим
образом: если хотя бы одна из акций не торговалась в рассматриваемый период, то этот период
удаляется, и в качестве наблюдения берется суммарная доходность за данный период и следующий
день). Так как поиск оптимального ветвления будет осуществляться с использованием
непараметрическим методов, а это означает наличие проклятья размерности (Scott, 1992), число
акций ограничено 6 наименованиями. Фактически максимальная размерность выборки, по которой
строятся непараметрические оценки плотностей и функций распределения, составляет 5 измерений.
Построение ветвления с учетом хвостовой зависимости
Риск обесценивания большего числа акций представляют более серьезную угрозу, чем риск
обесценивания меньшего числа акций. Поэтому, чтобы приблизительно понять, какие следует
наложить ограничения на структуру ветвления, необходимо оценить некоторым образом риск
совместного обесценения всех наборов акций по 2, … , 𝑚 − 1 и на основе полученной информации
построить оптимальное ветвление.
Пусть частные распределения 𝐹𝑖 случайных величин 𝑋𝑖 оценены состоятельно (применялась
AR(1)-EGARCH(1,1) модель, ошибка имеет t-распределение Хансена (Hansen, 1994)), и получена
выборка из копулы 𝑢𝑖 = 𝐹𝑖 (𝑥𝑖 ). Для того, чтобы определить наибольший источник риска, оценим
копулы хвостов Λ(𝒖𝐶𝑚−1 ), где 𝐶𝑚−1 — сочетания из 𝑖 = 1, … , 𝑚 по 𝑚 − 1. Чем больше копула хвоста,
тем больший риск несет в себе данный набор активов, поэтому целесообразно на каждом уровне
выбирать наборы, максимизирующие сумму копул хвоста.
Пошагово процедура выглядит следующим образом. Для j-того уровня строятся все копулы
хвостов Λ(𝒖𝐶𝑚−1 ), и ищется максимум суммы 𝑚 − 𝑗 + 1 этих копул. Таким образом, становятся
известны множества 𝒮(𝓃) для 𝑚 − 𝑗 + 1 вершин j-того уровня. По этим множествам с
использованием (3) можно определить 𝒮△ (𝓃) и 𝒮∩ (𝓃) для уровня 𝑗 + 1. Так, рекурсивным образом,
строятся вершины вплоть до уровня 2. Так как для 𝒯1 и 𝒯2 множества 𝒮△ (𝓃) и 𝒮(𝓃) совпадают, а для
𝒯1 они, более того, изначально известны, то ℰ1 и ℰ2 определяются однозначно.
Подбор парных копул осуществляется на основании критерия BIC. Данный метод позволяет
значительно сократить затраты времени, по сравнению с более обоснованным методом, основанным
на тестировании гипотезы о парной копуле с применением бутстраповских методов.
Оценка копулы хвоста
Важнейшим этапом при оценке ветвления является оценка копулы хвоста Λ 𝐿 (𝒘). Значение
копулы хвоста может показать, какие наборы активов несут наибольшую опасность одновременного
обесценения (чем больше это значение, тем больше вероятность одновременного обесценения). Так
как копулы различных наборов активов неизвестны, следует применять непараметрическую оценку
копул хвостов. В работе (Schmidt, Stadtmuller, 2006) рассмотрена следующая непараметрическая
оценка копулы нижнего хвоста:
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘) =
Λ
𝑛
𝑘𝒘
𝐶𝑛 ( )
𝑘
𝑛
(4)
Здесь 𝐶𝑛 есть эмпирическая копула. Авторы выводят асимптотическую нормальность и
состоятельность данной оценки при lim 𝑘(𝑛) → ∞ и lim 𝑘⁄𝑛 → 0. На практике необходимо
𝑛→∞
𝑛→∞
определить параметр k, который зависит не только от размера выборки, но и от копулы,
порождающей данные. Понять, какое именно значение k нужно выбрать, можно по графику
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘)}. Свойство однородности Λ 𝐿 (𝒘) на данном графике трансформируется в плато —
{𝑘, Λ
3
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘) является константой (Schmidt, Stadtmuller, 2006). Для
интервал по оси k, на котором Λ
отыскания плато надежнее всего применять визуальный анализ, однако в данном случае, когда
𝑖
𝑖
необходимо проверить ∑𝑚−1
𝑖=2 𝐶𝑚 наборов активов (𝐶𝑚 здесь — число сочетаний из m по i), появляется
необходимость в автоматизации данной процедуры. Рассмотрим (рис. 2). Данный график построен с
использованием 2171 случайных чисел из двумерной копулы Клейтона с параметром 𝜃 = 2.
Известно, что для копулы Клейтона Λ 𝐿 (1,1) ≈ 0.79. На графике видно, что плато находится
приблизительно в районе от 0.7 до 0.8.
Чтобы нивелировать влияние шумов, сгладим график при помощи ядерного сглаживания (рис.
3). Плато видно более отчетливо. Можно предположить, что оно находится на уровне 0,75 и
соответствует значением параметра k приблизительно от 300 до 400. Для автоматического поиска
плато используется следующая процедура. Разобьем интервал [𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥 ] оси ординат на отрезки
𝑦1 , … , 𝑦𝑚 ширины ∆𝑦. Отрезки могут пересекаться, желательно даже, чтобы 𝑚∆𝑦 = 𝑐1 (𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 ),
где 𝑐1 > 1. Центры отрезков распределены равномерно по [𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥 ]. Необходимо проверить
максимальное число идущих подряд чисел y, попавших в каждый интервал, и выбрать тот интервал
𝑦𝑜𝑝𝑡 , который содержит наибольшее значение идущих подряд y. Вычислив среднее из 𝑦 ∈ 𝑦𝑜𝑝𝑡
получим 𝑝𝑝𝑙 — оценку уровня, на котором находится искомое плато. По очевидным причинам плато
лучше искать на сглаженном графике (рис. 3), чем на первоначальном (рис. 2).
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘)}. Сгенерировав случайные числа из копулы, не
Рассмотрим другой пример графика {𝑘, Λ
имеющей нижней хвостовой зависимости (в данном случае использована гауссова копула с
коэффициентом корреляции 0.5), имеем следующий типичный вид графика (рис. 3). Видно, что
график представляет собой монотонно возрастающую функцию с шумами, обусловленными
ˆ ( w, k ) . Иногда, в силу случайности эмпирической копулы хвоста, на таком
случайной природой 
графике возникают небольшие стабильные участки, которые можно принять за плато, точно как на
(рис. 4). Более того, алгоритм поиска плато, описанный выше, необходимо модифицировать так,
чтобы он мог различить нулевую и ненулевую копулы хвоста. Для этого вводится требование:
#(𝑦 ∈ 𝑦𝑜𝑝𝑡 ) > 𝑐2 #(𝑦 ∈ 𝑦−𝑜𝑝𝑡 )
(5)
Рис. 2. Эмпирические копулы хвоста Клейтона для различных k
4
Рис. 3. Сглаженные данные с (рис. 2).
Здесь 𝑦−𝑜𝑝𝑡 — все отрезки из [𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥 ], кроме 𝑦𝑜𝑝𝑡 , а 𝑐2 > 1 есть некоторая константа,
показывающая, во сколько раз число наблюдений, попавших в оптимальный отрезок, должно
превосходить среднее число наблюдений, попадающее в другие отрезки. Если свойство (5) не
выполняется, то копула хвоста принимается равной нулю. Таким образом отсеиваются эмпирические
копулы без хвостовой зависимости и имеющие слишком короткое плато, появившееся, скорее всего,
в силу случайной природы этих копул. Применяя сглаживание (рис. 5) и процедуру, дополненную
свойством (5), можно получить нулевую копулу хвоста, выбрав оптимальное значение коэффициента
𝑐2 .
Рассмотрим сглаженный график, построенный по наблюдениям, сгенерированным из
двумерной t-копулы Стьюдента с параметрами корреляции 0.7 и числа степеней свободы 3 (рис. 6).
Истинное значение копулы хвоста Λ 𝐿 (1,1) ≈ 0.45. На рисунке видно, однако, три явно выраженных
плато: первое в районе 0.5, второе в районе 0.58 и третье в районе 0.7. Общие соображения
подсказывают, что оптимальное число 𝑘𝑜𝑝𝑡 должно быть относительно мало, так как имеет место
предел lim 𝑘⁄𝑛 → 0. Из этих соображений целесообразно ввести весовую функцию 𝑤(𝑘), которая
𝑛→∞
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘) при применении процедуры поиска плато. В
будет определять «важность» k-того числа Λ
качестве весовой функции рассмотрим функцию вида:
𝑤(𝑘) =
(−1)𝑎
𝑎
𝑘
( − 1)
𝑛
(6)
Параметр a отвечает за распределение весов относительно величины k: чем больше a, тем
̂ 𝐿 (𝒘, 𝑘), соответствующим меньшим k. При 𝑎 = 0 𝑤(𝑘) = 1, и процедура
больший вес придается Λ
просто сравнивает длину каждого плато, делая выбор в пользу более длинного. При, скажем, 𝑎 = 3,
когда 𝑤(𝑘) убывает кубически с ростом k, алгоритм определяет плато на уровне 0.5, что близко к
истинному значению оцениваемой копулы хвоста.
Таким образом, чтобы настроить алгоритм поиска плато, необходимо выбрать 5 параметров:
константу 𝑐1 и ширину ∆𝑦 отрезков 𝑦1 , … , 𝑦𝑛 (число отрезков определяется, как 𝑚 =
⌈𝑐1 (𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 )⁄∆𝑦⌉), параметр сглаживания h, константу 𝑐2 , а так же параметр весовой функции a.
Наиболее просто дело обстоит с константой 𝑐1: она должна быть достаточно велика (чем больше, тем
лучше). Примем, что 𝑐1 = 3. Ширина интервала ∆𝑦 задается, как доля от размаха отрезка
5
[𝑦𝑚𝑖𝑛 , 𝑦𝑚𝑎𝑥 ], то есть ∆𝑦 = 𝑐3 (𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛 ), причем 𝑐3 ∈ (0,1). Параметры 𝑐2 , 𝑐3 , h и a подлежат
настройке. Это можно осуществить, сформировав сетку в пространстве данных параметров и, при
помощи метода Монте-Карло (случайным образом выбираются параметры копул и генерируется
выборка) оценить копулы хвоста большое число раз. Для целей данного исследования параметры
копул выбирались так, чтобы соответствующие коэффициент корреляции, вычисленные по данным,
не были превышены. По результатам проверки процедуры наилучший результат показывает набор
параметров Параметры 𝑐2 = 2, 𝑐3 = 0.01, ℎ = 25 и 𝑎 = 3. В (табл. 1) приведены результаты по числу
найденных плато для копул с хвостовой зависимостью (t-копула, копулы Клейтона, Гумбеля
Дожития и 12-той копулы из (Nelsen, 2006)) и числу успешного определения отсутствия плато для
копул без хвостовой зависимости (Франка, Плаке, Али-Михаила-Хака и Гауссовой копул).
Копула
Гауссова
t
Число успехов, %
64,6
62
Табл. 1. Процент правильно определенных копул хвоста
АлиГумбеля
Клейтона Франка
Плаке Михаила12
Дожития
Хака
89
82,8
89
62,6
71,2
97,2
Еще одна проблема состоит в оценке копул хвостов эллиптических копул с высокой
корреляцией. Типичный график в таком случае выглядит, как на (рис. 7). График построен с
использованием выборки из двумерной копулы Али-Михаила-Хака с параметром 0.99. В таком
случае, хотя копула Али-Михаила-Хака имеет нулевую копулу хвоста, алгоритм поиска плато может
принять наличие высокой корреляции за наличие хвостовой зависимости в данных. Оказалось, что
для наших целей такая проблема не является существенной. Обозначим минимальное число из U
через 𝑢𝑚𝑖𝑛 = min 𝑼 и аппроксимируем:
̌ 𝐿 (𝒘) =
Λ
1
𝑢𝑚𝑖𝑛
𝐶(𝑢𝑚𝑖𝑛 𝒘) ≈ Λ 𝐿 (𝒘)
(7)
Рис. 4. Эмпирические копулы хвоста для Гауссовой копулы при различных k
6
Рис. 5. Сглаженные наблюдения из (рис. 4)
Рис. 6. Сглаженный график копул хвоста для t-копулы с корреляцией 0.7 и ч.с.с. 3.
̌ 𝐿 (𝒘) можно трактовать, как эмпирическую хвостовую зависимость, имеющуюся в
Число Λ
данных, при условии, что известна копула, порождающая эти данные. Так как нас интересует только
нижние хвосты, то можно считать, что хвосты Али-Михаила-Хака с большим значением параметра
похожи на хвосты некоторой другой копулы, имеющей хвостовую зависимость. На (рис. 8) видно,
что копула Али-Михаила-Хака с параметром 0.99 не отличима от копулы Клейтона с параметром 1,
хотя первая не имеет зависимости в нижних хвостах распределения, в то время как вторая — имеет.
Формирование портфеля путем минимизации 𝛀 (Omega)
Теперь, когда совместное распределение 𝐹(𝑥) оценено, можно приступать к отысканию
оптимальных весов портфеля. В качестве меры риска, выполняющей роль целевой функции,
используется так называемая Омега (Keating, Shadwick, 2002), представляющая собой взвешенное по
вероятности отношение прибили к убыткам для некоторого значения доходности y:
7
𝑏
Ω𝑌 (𝑦) =
∫𝑦 (1 − 𝐹(𝑥))𝑑𝑥
𝑦
∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
(10)
Рис. 7. Сглаженный график копул хвоста для копулы Али-Михаила-Хака
Рис. 8. Сравнение копул Клейтона (слева) и Али-Михаила-Хака (справа).
Так как нам недоступна сама функция 𝐹(𝑥), вычисление Ω𝑌 будет производиться по выборке,
сгенерированной из 𝐹(𝑥), непараметрически. Сгенерировав выборку 𝑥~𝐹(𝑥) определяем случайную
величину 𝑌 = 𝑋𝒘, где w — веса активов в портфеле. Задача отыскания оптимальных весов 𝒘∗
выглядит следующим образом:
min Ω𝑌
𝑤
Ε𝑦𝑝 ≥ 𝑦0
𝑤𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝑤𝑖∗ ≤ 𝑤𝑚𝑎𝑥
(11)
Второе условие означает, что ожидаемая доходность портфеля Ε𝑦𝑝 должна быть больше
некоторой требуемой доходности 𝑦0 . Так же веса не должны превышать максимальный порог 𝑤𝑚𝑎𝑥 и
8
быть меньше минимальной величины 𝑤𝑚𝑖𝑛 . Градиентные методы оптимизации не подходят для
решения задачи (11), так как целевая функция может иметь несколько минимумов (Gilli et al., 2006),
поэтому требуется использование методов поиска глобального минимума. Для этих целей
используется алгоритм непосредственного поиска (pattern search algorithm). По имеющейся выборке
было оценено 100 моделей, включающих 𝑛 − 100, … , 𝑛 − 1 наблюдений и сделаны прогнозы
параметров распределения на один шаг вперед. Таким образом сымитировано управление
портфелем. Для сравнения строится был так же построен портфель для модели на основе КПК, но с
использованием метода максимальных остовных деревьев (Brechmann, Czado, 2013): самого
распространенного метода выбора ветвления. Динамика стоимости портфелей отражена на (рис. 9);
видно, что наша модель продемонстрировала лучшую защиту от совместного падения стоимости
активов, чем модель на основе максимальных остовных деревьев. Наиболее интересен период 𝑡 =
4,5,6, так как в этот момент наш портфель показал большую устойчивость к спаду (стоимость
снизилась с 1.007 до 0.969), в то время как конкурирующий портфель продемонстрировал
существенную просадку (стоимость упала с 0.99 до 0.918). Веса, которые предлагает использовать
модель на основе оценки копул хвоста, равны 𝒘1∗ ; веса, полученные с использованием модели
максимальных остовных деревьев, равны 𝒘∗2 :
0.45
0.01
0.01
𝒘1∗ =
,
0.26
0.26
(0.01)
0.01
0.325
0.01
𝒘∗2 =
0.385
0.01
( 0.26 )
Для первого портфеля основная доля, это соответственно GMKN, SBER и SNGS, для второго
портфеля это LKOH, SBER и TATN. Причиной могло послужить следующее: оценив копулы хвостов
̂1 = 0.33 и Λ
̂ 2 = 0.38. Таким образом, наша модель
этих троек активов получаем соответственно Λ
предлагает держать активы, характеризующиеся меньшим риском одновременного обесценения.
Рис. 9. Динамика стоимости портфелей для конкурирующих моделей
9
Список использованной литературы
1. Bedford T., Cooke R. M. (2002). Vines: A new graphical model for dependent random variables.
The Annals of Statistics, 30 (4), 1031–1068.
2. Berg D. (2009). Copula Goodness-of-fit Testing: An Overview and Power Comparison. European
Journal and Finance, 15(7–8), 675–701.
3. Brechmann E. C., Czado C. (2013). Risk management with high-dimensional vine copulas: An
analysis of the Euro Stoxx 50. Statistics and Risk Modeling, готовится к выходу.
4. Gilli M., Kellezi E., Hysi H. (2006). A data-driven optimization heuristic for downside risk
minimization. The Journal of Risk, 8(3), 1-18.
5. Hansen B. E. (1994). Autoregressive conditional density estimation. International Economic
Review, 35 (3), 705–730.
6. Joe H. (1996). Families of m-variate distributions with given margins and m  m  1 / 2 bivariate
dependence parameters. IMS Lecture Notes — Monograph Series, 28, 120–141.
7. Keating C., Shadwick W. F. (2002). An introduction to Omega. The Finance Developmend
Centre. http://www.allinorout.ch/An%20Introduction%20to%20Omega.pdf
8. Li H., Wu P. (2013). Extremal dependence of copulas: A tail density approach. Journal of
Multivariate Analysis, 114, 99–111.
9. Nelsen R. B. (2006). An introduction to copulas. Springer.
10. Schmidt R., Stadtmuller U. (2006). Non-parametric estimation of tail dependence. Scandinavian
Journal of Statistics, 33, 307–335.
11. Scott D. W. (1992). Multivariate density estimation: Theory, practice and visualization. Wiley,
New York.
10