Лекция. Двойственная задача

Двойственная задача к задаче планирования торговли
Каждой задаче линейного программирования можно сопоставить
другую задачу, называемую двойственной или сопряженной по отношению к
исходной или прямой. Составим двойственную задачу к задаче планирования
товарооборота (2.1) – (2.3), которую будем называть прямой.
yi ( i  1, m ) – двойственная оценка (неявная стоимость)
Обозначим
единицы i-го ресурса. Тогда двойственная задача к задаче планирования
торговли формулируется следующим образом:
Требуется определить оценку единицы каждого вида ресурса, чтобы
при заданных объемах ресурса
прибыли
cj,
bi, нормах их расхода aij и показателях
общая стоимость ресурсов, затраченных на организацию
торгового процесса, была бы минимальной.
Запишем математическую модель двойственной задачи к задаче
линейного программирования (2.1) – (2.3).
Определить
Y

(y
,y
,...,
y
),
1
2
m
который удовлетворяет условиям
m
a  y c ,

i
1
ij
i
j
j  1, n
i  1, m
yi ≥ 0,
(3.1)
(3.2)
и доставляет минимальное значение целевой функции
m
F
(
Y
)
b
min

iy
i
i
1
(3.3)
Ограничения (3.1) показывают, что оценка (стоимость) всех ресурсов,
затраченных на продажу единицы j группы товаров, должна быть не меньше
прибыли, получаемой от продажи единицы j группы товаров, а общая
стоимость всех ресурсов (3.3) должна быть минимальной.
Задачи (2.1) – (2.3) и (3.1) – (3.3)
представляют симметричную пару
двойственных задач, так как системы ограничений заданы неравенствами и
на переменные xj и yi накладывается условие неотрицательности.
Для симметричной пары задач двойственная задача по отношению к
исходной составляется согласно следующим правилам:
1. Число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений
в прямой задаче.
2. Матрица коэффициентов системы ограничений двойственной задачи
получается из матрицы коэффициентов системы ограничений
прямой путем транспонирования.
3. Если система ограничений прямой задачи задана неравенствами
смысла «≤», то система
ограничений двойственной задачи
записывается неравенствами смысла «≥».
4. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи
являются коэффициенты функции цели прямой задачи.
5. Если целевая функция прямой задачи задается на максимум, то
целевая функция двойственной задачи – на минимум.
6. Коэффициентами функции цели двойственной задачи являются
свободные члены системы ограничений прямой задачи.
7. На каждую переменную двойственной задачи накладывается
условие неотрицательности.
Каждая
из
задач
двойственной
пары
фактически
является
самостоятельной задачей линейного программирования и может быть решена
независимо одна от другой. Однако при определении оптимального плана
одной из задач находится решение и другой задачи. Существующие
зависимости
между
решениями
прямой
и
двойственной
задач
характеризуются теоремами двойственности.
Теорема 1. Если одна из пары двойственных задач имеет
оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения целевых
функций задач при их оптимальных планах равны между собой, т.е.
=
.
Теорема 2. План прямой задачи
и план двойственной задачи
являются оптимальными только тогда, если для любого
и
выполняются равенства:
(3.4)
Из (3.4) следует, что для оптимальных планов пары двойственных
задач необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. Если для некоторого
, то
;
2. Если для некоторого
, то
.
Теорема 3. Если исходная задача имеет оптимальный план
, то
оптимальный план двойственной задачи можно определить с помощью
следующего соотношения:
= Сб∙А−1
(3.5)
где
Сб – коэффициенты целевой функции базисных переменных,
вошедших в оптимальный план исходной задачи;
А−1
- обратная матрица к матрице, составленной из векторов,
вошедших в оптимальный план.
Таким образом, если найти оптимальный план исходной задачи, то
используя соотношение
(3.5) можно определить оптимальный план
двойственной задачи. Поскольку в системе уравнений исходной задачи (2.4)
имеются m единичных, то матрица А−1
среди векторов
расположена в первых
m строках оптимальной симплексной таблицы в
столбцах единичных векторов. Тогда нет необходимости определять
оптимальный план двойственной задачи умножением Сб на А−1, поскольку
компоненты этого плана совпадают с соответствующими элементами
индексной (m + 1)-й строки столбцов единичных векторов.
Пример.
В качестве прямой задачи используем задачу (2.7) – (2.9), которая
решена симплексным методом. Составим к данной задаче двойственную и
запишем её оптимальный план.
Требуется
определить
,
,
который
условиям
и доставляет минимальное значение целевой функции
удовлетворяет
(3.8)
Задачи (2.7) – (2.9) и (3.6) – (3.8) образуют симметричную пару
двойственных задач. Решение прямой задачи определяет оптимальный объем
и структуру товарооборота торгового предприятия, а решение двойственной
– оптимальную систему оценок ресурсов, используемых для реализации
товаров.
Установим сопряженные пары переменных прямой и двойственной
задач. В первой строке запишем переменные
xj
по порядку номеров
(сначала основные, затем – дополнительные), во второй строке – переменные
двойственной задачи, оптимальные значения которых получены в индексной
(m + 1)-й строке таблицы 3.3.
1. x1
x2
x3
основные
x4
x5
x6
дополнительные
2.
дополнительные
основные
Согласно сопряженным парам переменных из решения прямой
задачи получаем решение двойственной, не решая её, и наоборот.
Таким
образом,
оптимальный
план
двойственной
задачи
(см.таблицу 3.3) к задаче планирования товарооборота равен:
= (2, 0, 5, 0, 1, 0),
Анализ оптимального плана двойственной задачи
В оптимальном плане словные двойственные оценки единицы
ресурсов I и III видов отличны от нуля (
. Ресурсы I и
III видов в оптимальном плане прямой задачи используются полностью, так
как дополнительные переменные (
.
Двойственная оценка единицы ресурса II вида равна нулю
Этот вид ресурса не
реализации товаров
.
полностью используется при оптимальном плане
.
Таким образом, двойственные оценки в оптимальном плане больше
нуля у тех видов ресурсов, которые полностью используются при реализации
товаров. Поэтому данные оценки определяют дефицитность ресурса
предприятия, а её величина показывает, на сколько возрастет максимальное
значение целевой функции прямой задачи при увеличении количества
соответствующего вида ресурса на единицу. Например, увеличение ресурса
III вида на 1 м2 приведет к получению нового оптимального плана, при
котором прибыль от реализации товаров возрастет на 5 т.руб. и станет
равной: 1080 + 5 = 1085 тыс.руб.
При этом коэффициенты, стоящие в
столбце переменной x6 таблицы 3.3, показывают, что указанное увеличение
прибыли достигается за счет увеличения продажи товаров I группы на
уменьшения продажи товаров III группы на
ед.,
ед. . Аналогично можно
найти новый оптимальный товарооборота при изменении дефицитного
ресурса I вида.
При подстановке оптимальных двойственных оценок в систему
ограничений двойственной задачи (3.6) получаем
Второе ограничение двойственной задачи выполняется как строгое
неравенство. Это означает, что двойственная оценка ресурса, используемого
для реализации единицы товара II группы, выше прибыли. Следовательно,
продавать товары II группы невыгодно и их продажа не предусмотрена
оптимальным планом прямой задачи
. Первое и третье ограничения
двойственной задачи являются равенствами. Это означает, что двойственные
оценки ресурса, используемого для продажи единицы товара I и III группы,
равны в точности прибыли, получаемой от их реализации. Поэтому продажа
данных групп товаров экономически целесообразна и предусмотрена
оптимальным планом прямой задачи.
Задачи
Используя вариант контрольного задания № 70-138, необходимо:
−
к
прямой
задаче
планирования
товарооборота
составить
двойственную (записать математическую модель);
−
используя
оптимальный
план
прямой
задачи,
установить
сопряженные пары переменных прямой и двойственной задач;
− согласно сопряженным парам переменных из оптимального плана
прямой задачи записать оптимальный план двойственной задачи и дать
анализ двойственных оценок.
Двойственный симплексный метод
Двойственный симплексный используется для решения
задачи
линейного программирования, записанной в форме основной задачи, среди
векторов которой имеется m единичных, свободные члены bi принимают
любые значения, а система ограничений задана в виде неравенств смысла
«≥», либо смешанных неравенств «≥», «≤» и «=».
Если в симплексном методе оптимальный план получается в результате
перехода от одного опорного плана к другому,
то в двойственном
симплексном методе – в результате движения по псевдопланам.
Определение 1. Условно-отимальным планом или псевдопланом
называется план, в котором удовлетворяется признак оптимальности (все
коэффициенты индексной строки ∆j ≥ 0 при решении задачи на максимум и
все ∆j ≤ 0 при решении задачи на минимум целевой функции), а среди
значений столбца свободных членов bi имеются отрицательные числа.
Алгоритм двойственного симплексного метода включает следующие
этапы:
1. Составление псевдоплана.
Систему ограничений исходной задачи приводим к системе неравенств
смысла «≥». Для этого обе части неравенств смысла «≥» умножаем на (−1).
Если ограничение исходной задачи задано в виде равенства, необходимо
представить его в виде системы двух неравенств противоположного смысла.
От полученной системы неравенств смысла «≤» переходим к системе
уравнений, вводя неотрицательные дополнительные переменные, которые
становятся
базисными.
Разрешаем
систему
уравнений
относительно
базисных переменных и первый опорный план заносим в симплексную
таблицу. Индексную строку таблицы заполняем коэффициентами целевой
функции, взятыми с противоположными знаками.
2. Проверка плана на оптимальность.
Если в полученном опорном плане условие оптимальности не
выполняется, то осуществляем симплексную процедуру(см.решение задачи
ЛП симплексным методом). В этом случае существует следующее правило:
при расчете значений столбца  отрицательные значения свободных членов
bi делим только на отрицательные коэффициенты направляющего столбца,
положительные значения bi
- на положительные коэффициенты aik, а в
строке, имеющей разноименные знаки bi и aik значения i не существует.
Если в опорном плане условие оптимальности удовлетворяется и все
значения столбца свободных членов bi ≥ 0, то получен оптимальный план.
Наличие среди столбца свободных членов хотя бы одного отрицательного
числа свидетельствует о получении псевдоплана и требует
перехода к
следующему этапу алгоритма.
3. Определение направляющих (разрешающих) строки и столбца.
Среди
отрицательных
значений
столбца
свободных
членов
bi
выбираем наибольшее по абсолютной величине. Строка, соответствующая
этому значению, является направляющей ( i = k ).
Симплексную таблицу дополняем строкой , в которую заносим
результаты деления, взятые по абсолютной величине, коэффициентов
индексной строки на соответствующие отрицательные коэффициенты
направляющей строки. В столбцах, имеющих значения
существует.
Столбец
с
минимальным
значением
j
aik ≥ 0,
j
не
является
направляющим. Разрешающий элемент, находящийся на пересечении
направляющих строки и столбца симплексной таблицы, в двойственном
симплексном методе он всегда отрицательный.
4. Определение нового опорного плана.
Новый опорный план получаем в результате пересчета симплексной
таблицы методом Жордана-Гаусса и далее переходим к этапу 2 алгоритма.
Решение задачи продолжаем до получения оптимального плана.
Если все коэффициенты направляющей строки положительны, т.е. aik ≥
0, то задача не имеет решения, так как в этом случае j , (
не
существует.
Пример.
Определить
, который удовлетворяет условиям
x1 x2 2x3 12
x 3x 8x 6
1 2 3

x1 x2 x3 7
x1 0, x2 0, x3 0.
( 4 .1 )
( 4 .2 )
и доставляет максимальное значение целевой функции
L
(
X
)

200

5
x

8
x

11
x

max
1
2
3
.
Систему ограничений
(4.3)
(4.1) приведем к системе неравенств смысла
«≤», умножив обе части I и II неравенств на (−1).
x1 x2 2x3 12
x 3x 8x 6
 1 2 3

x1 x2 x3 7

x1 0,x2 0,x3 0.
( 4 .1 )
( 4 .2 )
Перейдем к системе уравнений:
12
x1x22x3x4
x3x 8x x 6
1 2 3
5

x67
x1x2x3

x10,x20,x30.
(4.5)
За базис выбираем систему векторов - В системе уравнений А4, А5, А6,
так как эти векторы единичные и линейно независимые. Соответствующие
единичным векторам переменные x4 , x5 , x6 являются базисными.
Разрешим систему уравнений (4.5) относительно базисных переменных
(4.6)
Функцию цели запишем в виде:
L
(
X
)

200

(
5
x

8
x

11
x
)
1
2
3
.
(4.7)
Полагая, что свободные переменные
, получим
первый опорный план, который заносим в симплексную таблицу 1.
,
.
В таблице 1 псевдоплан или условно-оптимальный план, так как
условие оптимальности в индексной строке выполняется, а в столбце
свободных членов имеются отрицательные значения. Следовательно,
переходим к следующему этапу алгоритма – определению направляющих
строки и столбца.
Среди отрицательных значений столбца свободных членов выбираем
наибольший по абсолютной величине. Так как |−12| > |−6|, то первая строка,
соответствующая переменной
, является направляющей, а переменную
нужно вывести из базиса.
Для выбора направляющего столбца коэффициенты индексной строки
делим на соответствующие отрицательные коэффициенты направляющей
строки:
;
;
.
Результаты деления, взятые по абсолютной величине, заносим в строку
. Из полученных j выбираем min{5; 8; 5,5} = 5, которое соответствует
первому столбцу с переменной x1. Данный столбец является направляющим,
а переменную
x1 следует ввести в базис. На пересечении направляющих
строки и столбца находится разрешающий элемент, равный (−1). Далее
выполняем преобразование симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса
и заполняем таблицу 2.
Третий опорный план (таблица 3) является оптимальным, так как в
индексной строке условие оптимальности выполняется и все значения
базисных переменных – положительные числа:
= (2; 0; 5; 0; 36; 0), L(
= 135.
аб
л
и
ц
а
1
Т Базисные
Свободные
переменные члены
(значения
базисных
переменных)
−12
 x
4
x5
x6
-1
−1
−2
1
0
0
3
−8
0
1
0
x6
7
1
−1
1
0
0
1
200
5
8
11
0
0
0
5
8
5,5
−
−
−
x1
12
1
1
2
−1
0
0
x5
6
0
4
−6
−1
1
0
x6
−5
0
−2
−1
1
0
1
140
0
3
1
5
0
0
−
1,5
1
−
−
−
L( X 2 )

Т
аб
л
и
ц
а
3
x4
−1


x3
−6
0
Т
x2
x5
L( X 1 )
аб
л
и
ц
а
2
x1
x1
2
1
−3
0
1
0
−2
x5
36
0
16
0
−7
1
−6
x3
5
0
2
1
−1
0
−1
135
0
1
0
6
0
1
*
3
L( X )