Свойства степени - school

Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с
натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными
показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8
классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными
свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со
степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями
основание остаётся без изменений, а показатели
степеней складываются.
am • an = am + n, где a - любое число, а m, n - любые
натуральные числа.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и
более степеней.
Примеры.
o
Упростить выражение.
b • b2 • b3 • b4 • b5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b15
o
Представить в виде степени.
615 • 36 = 615 • 62 = 615 • 62 = 617
o
Представить в виде степени.
(0,8)3 • (0,8)12 = (0,8)3 + 12 = (0,8)15
Обратите внимание, что в указанном свойстве речь
шла только об умножении степеней с одинаковыми
основаниями. Оно не относится к их сложению.
Нельзя заменять сумму (33 + 32) на 33. Это понятно, если
посчитать 33 = 27 и 32 = 9; 27 + 9 = 36, а 35 = 243
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями
основание остаётся без изменений, а из показателя
степени делимого вычитают показатель степени
делителя.
am • an = am - n, где a - любое число, не равное нулю, а
m, n - любые натуральные числа такие, что m > n.
Примеры.
o
Записать частное в виде степени
(2b)5 : (2b)3 = (2b)5 - 3 = (2b)2
o
Вычислить.
113 • 4 2
112 • 4
= 113 - 2 • 4 2 - 1 = 11 • 4 = 44
o
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного
степеней.
38 : t = 34
t = 3 8 : 34
t = 38 - 4
t = 34
Ответ: t = 34 = 81
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения
и производить вычисления.
o
Пример. Упростить выражение.
45m + 6 • 4m + 2 : 44m + 3 = 45m + 6 + m + 2 : 44m + 3 = 46m + 8 - 4m - 3 = 42m + 5
o
Пример. Найти значение выражения, используя свойства
степени.
512 • 4
32
=
512 • 4
32
=
29 • 22
25
=
29 + 2
25
=
211
25
= 211 - 5 = 2 6 = 64
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла
только о делении степеней с одинаковыми
основаниями.
Нельзя заменять разность (43 - 42) на 41. Это понятно,
если посчитать 43 = 64 и 42 = 16; 64 - 16 = 48, а 41 = 4
Будьте внимательны!
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени
остаётся без изменения, а показатели степеней
перемножаются.
(an)m = an • m, где a - любое число, а m, n - любые
натуральные числа.
o
Пример.
(a4)6 = a4 • 6 = a24
o
Пример. Представить 320 в виде степени с основанием 32.
По свойству возведения степени в степень известно, что
при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
При возведении степени в степень произведения в
эту степень возводится каждый множитель и
результаты перемножаются.
(a • b)n = an • bn, где a, b - любые
рациональные числа; n - любое натуральное число.
o
Пример 1.
(6 • a2 • b3 • c )2 = 62 • a2 • 2 • b3 • 2 • с 1 • 2 = 36 a4 • b6 • с 2
o
Пример 1.
(- x2 • y)6 = ( (- 1)6 • x2 • 6 • y1 • 6) = x12 • y6
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие
свойства степеней, применяют и в обратном
порядке.
(an • bn)= (a • b)
n
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми
показателями можно перемножить основания, а показатель
степени оставить неизменным.
o
Пример. Вычислить.
24 • 54 = (2 • 5)4 = 104 = 10 000
o
Пример. Вычислить.
0,516 • 216 = (0,5 • 2)16 = 1
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда
умножение и деление надо выполнить над степенями с
разными основаниями и разными показателями. В этом случае
советуем поступать следующим образом.
Например, 45 • 32 = 43 • 42 • 32 = 43 • (4 • 3)2 = 64 • 122 = 64 • 144
= 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
421 • (-0,25)20 = 4 • 4 20 • (-0,25) 20 = 4 • (4 • (-0,25))20 = 4 • (- 1)20 = 4 •
1=4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести
в эту степень отдельно делимое и делитель, и
первый результат разделить на второй.
(a : b)n = an : bn, где a, b - любые
рациональные числа, b ≠ 0, n - любое натуральное
число.
o
Пример. Представить выражение в виде частного
степеней.
(5 : 3)12 = 512 : 312
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби..