Lekciya30

Лекция 30
Теория нестационарных возмущений. Примеры
Рассмотрим примеры применения теории нестационарных возмущений для простейших
квантовых систем.
Пусть на гармонический осциллятор, находящийся в основном состоянии, начиная с
2
2
момента времени t   действует малое возмущение Vˆ ( x, t )   xet / , где  и  - числа. В
первом
порядке
нестационарной
теории
возмущений
найдем
вероятности
переходов
осциллятора в возбужденные состояния при t   (поскольку при t   возмущение
стремится к нулю, начальная задача является стационарной, и ее постановка поэтому имеет
смысл; в противном случае нельзя было бы говорить о начальном стационарном состоянии
осциллятора).
В первом порядке теории возмущений вероятность перехода из основного состояния в n ое определяется выражением (13) из предыдущей лекции
w0n 
2

1
V
0n
2
(t )e
i0 nt
(1)
dt

Для рассматриваемого в задаче оператора возмущения матричные элементы V0 n (t )
имеют вид
V0 n (t )   e
t 2 / 2


*
0
( x) x n ( x)dx
(2)

где  i ( x) - волновые функции стационарных состояний осциллятора. Интеграл в формуле (2) с
осцилляторными функциями был вычислен ранее. Он отличен от нуля только для состояния
n  1 и равен


*
0
( x) x n ( x) dx 
(3)
2m

Поэтому в первом порядке теории возмущений отлична от нуля только вероятность перехода
осциллятора в первое возбужденное состояние. Подставляя (2), (3) в формулу для вероятности
перехода (1), получим
w01 
2
2 m

e
2
i01t t 2 /  2

1
dt 
2
2 m

e

2
i t t 2 /  2
dt
(4)
где 01  (1   0 ) /
- частота перехода из основного в первое возбужденное состояние
осциллятора, равная осцилляторной частоте  , так как энергии стационарных состояний
осциллятора определяются соотношением  n   (n  1/ 2) . Вычисляя интеграл по времени
(после выделения полного квадрата в показателе степени экспоненты он сводится к интегралу
Пуассона), получим
 2 2  2
w01 
e
2 m
2 2
(5)
Исследуем теперь зависимость вероятности перехода (5) от времени включениявыключения возмущения, то есть рассмотрим выражение (5) при различных значениях
параметра  , который и определяет характерное время действия рассматриваемого возмущения.
При этом будем считать, что   const , то есть «суммарная величина» возмущения не
изменяется.
При 
1 (в этом случае характерное время включения-выключения возмущения
меньше периода колебаний осциллятора, то есть возмущение можно назвать «мгновенным»,
«внезапным») экспоненту можно заменить на единицу, и вероятность перехода определяется
соотношением
w01 
 2 2
2 m
(6)
При этом вероятность перехода не зависит от параметра  при неизменной «величине»
возмущения.
Если

1
(адиабатическое,
«медленное»,
«плавное»
включение-выключение
возмущения) вероятность перехода осциллятора (6) экспоненциально убывает при увеличении
параметра  .
Условием применимости полученного результата является малость вероятности перехода
по сравнению с единицей. Если при данных значениях параметров вычисленная согласно
нестационарной теории возмущений вероятность перехода окажется сравнимой с единицей,
теорией возмущений пользоваться нельзя, и задача должна решаться точно.
Как следует из проведенного рассмотрения, для анализа случаев, когда вероятность
перехода между двумя состояниями равна нулю (в этом случае переход между этими
состояниями не происходит, или, как говорят, запрещен), необходимо понять, для каких
возможных конечных состояний матричные элементы оператора возмущения равны нулю..
Рассмотрим еще один пример.
2
На частицу, находящуюся в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a ,
расположенной
между
x0
точками
4 x
Vˆ ( x, t )  V0 cos
f (t ) , где
a
x a,
и
накладывают
возмущение
f (t ) - некоторая функция времени. В какие стационарные
состояния возможны переходы из основного состояния. Ответ дать в первом порядке теории
нестационарных возмущений?
Волновые функции состояний частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме с
плоским дном определяются соотношением
f n ( x) 
2
n x
sin
a
a
(7)
n  1, 2,3,... , a - размер ямы. Исследуем матричные элементы оператора возмущения между
функцией основного и некоторого n -го состояния. Если он равен нулю, переход из основного
состояния в n -ое запрещен. Имеем
a
V0 n

f 0 ( x) cos
0
4 x
f n ( x)dx
a
a
 sin
0
x
a
cos
4 x
n x
sin
dx
a
x
(8)
Используя далее известную тригонометрическую формулу
sin
x
a
cos
4 x 1  5 x
3 x 
  sin
 sin

a
2
a
a 
получим
a
V0 n

0
f 0 ( x) cos
4 x
f n ( x)dx
a
a
 sin
0
5 x
n x
3 x
n x
sin
dx   sin
sin
dx
a
x
a
x
0
a
(9)
Таким образом, матричный элемент оператора возмущения между функцией основного и
n -го состояния сводится к двум интегралам от двух собственных функций гамильтониана
частицы: n -ой и пятой и n -ой и третьей. В результате из ортогональности волновых функций
стационарных состояний заключаем, что матричный элемент (8) будет отличен от нуля только в
случае, когда n  5 и n  3 . Другими словами в бесконечно глубокой яме из основного
3 x
f (t ) частица может перейти из
состояния под действием возмущения Vˆ ( x, t )  V0 cos
a
основного состояния только в четвертое возбужденное ( n  5 ) и второе возбужденное ( n  3 )
стационарные состояния. Переходы в другие состояния запрещены.
Отметим, что этот вывод получен в рамках первого порядка нестационарной теории
возмущений для волновой функции. В следующих порядках он будет нарушаться. А это значит,
3
что под действием рассматриваемого возмущения возможны и переходы в другие состояния,
однако их вероятности (в случае малого возмущения) должны быть величинами более высокого
порядка малости по возмущению. Тем не менее, один вывод относительно вероятностей
переходов можно сделать, не опираясь на теорию возмущений. Поскольку и потенциальная
энергия частицы и возмущение являются четными относительно центра ямы, то гамильтониан
частицы коммутирует с оператором четности в любой момент времени. Это значит, что
четность есть интеграл движения, и, следовательно, сохраняется средняя четность состояния
частицы. А поскольку волновая функция частицы – четна в начальный момент времени, то она
будет четной и в дальнейшем. Следовательно, ее разложение по волновым функциям
стационарных состояний будет содержать только четные слагаемые, а, значит, возможны
переходы только в стационарные состояния с четными относительно центра ямы волновыми
функциями, которые отвечают квантовым числам n  3 , n  5 , n  7 , n  9 и т.д. Переходы в
другие состояния запрещены точно. Если бы начальное состояние было бы нечетным
относительно центра ямы, то переходы происходили бы только в нечетные состояния. Такого
рода условия, которые строго запрещают те или иные квантовые переходы принято называть
«правилами отбора».
Ответим еще на один вопрос, связанный с вероятностями переходов. Пусть на некоторую
квантовую систему, находящуюся в n -ом стационарном состоянии независящего от времени
гамильтониана, накладывают малое, зависящее от времени возмущение Vˆ ( x, t )  Vˆ ( x) f (t ) . В
состояния с какими энергиями  k переходы системы будут более вероятными, если матричные
элементы Vnk оператора Vˆ ( x ) не зависят от индекса k ?
Оценим интеграл по времени
V
nk
(t )ei nk t dt ,
(10)
который и определяет вероятность перехода wn k . Для оценки интеграла заметим, что в нем
могут быть два разных временных масштаба: во-первых, это характерное время изменения
возмущения Vnk (t ) (обозначим его TV ), а во-вторых, характерное время изменения экспоненты
Tnk , которое обратно пропорционально разности энергий
Tnk
Если выполнено неравенство TV
| k  n |
(11)
Tnk (такие возмущения называют внезапными),
временная экспонента за время действия возмущения не успевает измениться, ее можно вынести
4
за знак интеграла. А так как ее квадрат модуля равен единице, то для внезапных возмущений
вероятность не зависит от разности энергий начального и конечного состояний.
Если выполнено обратное неравенство
TV
Tnk
(такие возмущения называют
адиабатическими, медленными), временная экспонента в области интегрирования многократно
осциллирует, и интеграл по времени становится малым.
Таким образом, переходы с заметными вероятностями происходят только в те состояния,
для энергий которых выполнено неравенство
|  k   n |
где TV - характерное время изменения возмущения.
5
TV