Лекция 32 Переходы под действием периодических возмущений. Резонансное приближение. Переходы в непрерывный спектр Рассмотрим теперь случай возмущений, зависящих от времени периодически. Пусть на частицу, находящуюся в стационарном состоянии с энергией k , действует малое периодическое возмущение Vˆ ( x, t ) Vˆ ( x) cos t (1) где - частота возмущения, причем возмущение действует в течение длительного времени T , так что T 1 (в противном случае бессмысленно говорить о периодичности возмущения, да- же если оно описывается формулой (1). Докажем, что в первом порядке теории возмущений переходы с заметной вероятностью происходят только в такие состояния n , энергия которых отличаются от энергии начального состояния на величину : n k . Исходим из формулы теории нестационарных возмущений wk n 1 2 2 T V kn (t )e i kknt dt Vkn 2 0 2 T 2 cos t e i kknt (2) dt 0 где Vkn - матричный элемент оператора Vˆ ( x ) . Интеграл по времени вычисляется элементарно: 1 ei (kn )T 1 ei (kn )T 1 i kknt cos t e dt 0 2 i( kn ) i( kn ) T (3) Рассмотрим зависимость вероятности перехода (2), (3) от частоты возмущения для больших значений времени действия возмущения T . Как будет показано ниже, первое слагаемое в формуле (3) как функция частоты возмущения имеет узкий максимум при частоте ( n k ) / , второе - при частоте ( k k ) / . Или, другими словами, под действием периодического возмущения с частотой в квантовой системе происходят переходы только в состояния n с энергией n k . Поэтому при анализе зависимости вероятности (2), (3) от частоты возмущения достаточно рассмотреть только значения ( n k ) / и ( k n ) / и ограничится в первом случае только первым слагаемым формулы (3), во втором - вторым. Отметим, что так как 0 , первый случай отвечает переходам k n в состояния n с энергией n , большей энергии k , второй – с меньшей. Итак, при 1 ( n k ) / из (2), (3) имеем wk n Vkn 2 2 ( kn ) 2 sin cos kn T i sin kn T 1 2 4 ( kn ) Vkn 2 2 2 (4) 2 kn T 2 Рассмотрим зависимость вероятности перехода wk n (4) от частоты возмущения при больших значениях T . Если kn T 1 , то sin 2 в (4) можно разложить в ряд и 2 wk n Если же kn T 1 , то sin 2 Vkn T 2 4 (5) 2 в (5) может для разных T принимать все значения от нуля до единицы и, следовательно, wk n Vkn 2 2 ( kn )2 2 Vkn T 2 2 (6) Таким образом, если частота возмущения лежит в узком интервале частот 1/T вблизи частоты, равной nk , то вероятность перехода k n , существенно превосходит вероятность этого перехода, происходящего под действием возмущения с частотой, вне этого интервала (причем этот интервал тем уже, чем больше время действия возмущения). Другими словами, при фиксированной частоте возмущения квантовая система с подавляющей вероятностью совершает переходы только в такие состояния n , энергии которых определяется соотношением n k , где k - энергия начального состояния. Аналогичное рассмотрение второго слага- емого в (3) приводит к возможности перехода в состояния n с энергиями n k . Перехо- ды в состояния с другими энергиями под действием периодических возмущений маловероятны. При этом, если выполняются строгие равенства n k , вероятность перехода k n при достаточно больших T может стать большой, и для ее вычисления теория возмущений может оказаться неприменимой. В этом случае используют другое приближение, которое называют резонансным. Основная идея его заключается в том, что если частота возмущения близка к частоте перехода между двумя состояниями, то с подавляющей вероятностью переходы будут происходить только в одно состояние, а всеми остальными слагаемыми в разложении волновой функции системы по волновым функциям стационарных состояний можно пренебречь. Итак, пусть 2 ˆ it Fˆ eit . Vˆ (t ) = Fe и близко к 0 ( 0 - частота перехода между двумя состояниями 1 и 2 в системе); пусть (для определенности) - чуть больше: = 0 ; | | 0 . Величину называют «отстройкой». Если нет резонанса, используем теорию возмущений. Для состояний 1 и 2 справедливо стационарное уравнение Шредингера: Hˆ 0 1 = 0 1 ; 2 0 Hˆ 0 2 = 2; 2 (7) (мы выбрали начало отсчета энергий посередине между энергиями состояний 1 и 2 ). Будем искать решения уравнения = ( Hˆ 0 Vˆ ) t i (8) в виде (t ) = a1 (t ) 1 a2 (t ) 2 . (в этом и состоит резонансное приближение). Подставляя это выражение в уравнение (8) и оставляя только главные члены (зависимость которых от времени определяется малой частотой 0 ), получим i da1 = F12 e it a2 dt i da2 * = F21 eit a1 dt (9) Делаем подстановку ai bi e it , получаем i a1 = F12b2 b i 2 ib2 = F21 a2 * (10) Исключаем из этих уравнений a2 , получим: b2 ib2 1 2 F21 b2 0 2 (11) В качестве линейно независимых решений этих уравнений выбираем a2 Aei1t , a1 A 3 1 * 12 F ei2t a2 Bei2t , a1 A 2 * 12 F ei1t (12) где A и B постоянные, и введены обозначения 1 , 2 2 , 2 2 F12 2 4 2 (13) Таким образом, под влиянием возмущения функции 1 и 2 переходят в функции a1 (t )1 a2 (t ) 2 с коэффициентами (12), (13). Из этих формул следует, что если в начальный момент система находилась в состоянии 1 , то коэффициент при 2 в последующем равен F12 2 2 22 1 cos 2t (14) Из формулы (14) следует, что система периодически (с периодом / ) переходит из одного состояния в другое и обратно. Частота называется частотой Раби. Рассмотрим теперь переходы под действием периодического возмущения из стационарных состояний дискретного в состояния непрерывного спектра (например, ионизация атома, когда электрон из связанного состояния переходит в непрерывный спектр). Возмущение запишем как (здесь явно учтена эрмитовость возмущения) ˆ it Fˆ eit Vˆ = Fe (15) Так как спектр непрерывен, то всегда найдется энергия, в точности удовлетворяющая условию E = En (16) и, следовательно, переход всегда будет. В выражении для am(1) оставляем только: (1) n a = i t F e n i t i nt 1 dt = F n 0 (e i ( n ) t 1) = ( n ) ) F n exp i n t 2sin n t 2 2 = ( n ) (17) Вероятность перехода за время t равна: sin 2 n t | F n | 2 (1) 2 | a n (t ) | = 2 2 n 2 2 wn 4 (18) Вводим = n . Тогда: 2 | a(1)n (t ) |2 = | F n |2 sin 2 ( t ) (19) 2 2 Мы интересуемся вероятностью ионизации за время, много большее периода собственных колебаний системы. Рассмотрим t . lim t sin 2 ( t ) 2 = ( ) (20) Поэтому wn = | F n |2 2 2 t ( E En ) t (21) Вероятность перехода в единицу времени есть dw = 2 | F n |2 ( E En )d 5 (22)