ВОПРОСЫ «ГЕОМЕТРИЯ» к экзамену по дисциплине Первый семестр

ВОПРОСЫ
к экзамену по дисциплине
«ГЕОМЕТРИЯ»
Первый семестр
1. Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Сложение и вычитание
векторов. Свойства сложения.
2. Умножение вектора на число. Основные свойства.
3. Линейная зависимость и независимость векторов, свойства.
4. Критерии коллинеарности и компланарности векторов.
5. Базис и размерность векторного пространства. Свойства размерности.
Координаты вектора. Длина вектора.
6. Сложение и умножение вектора на число в координатной форме.
7. Определение скалярного произведения векторов. Скалярное
произведение векторов в координатной форме.
8. Свойства скалярного произведения векторов. Определение евклидова
векторного пространства.
9. Векторное произведение векторов и его свойства.
10.Векторное произведение векторов в координатной форме. Приложение
к решению задач.
11.Определение смешанного произведения векторов, его геометрический
смысл.. Смешанное произведение векторов в координатной форме.
12.Свойства смешанного произведения векторов. Приложение к решению
задач.
13.Аффинная и прямоугольная системы координат. Координаты точки.
14.Деление отрезка в данном отношении.
15.Метод координат. Уравнение фигуры. Вывод уравнения сферы.
16.Различные уравнения прямых на плоскости.
17.Различные уравнения плоскости.
18.Общее уравнение плоскости.
19.Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями.
20.Расстояние от точки до плоскости.
21.Различные уравнения прямой в пространстве.
22.Взаимное расположение плоскости и прямой. Угол между прямой и
плоскостью.
23.Взаимное расположение двух прямых.
Второй семестр
1. Эллипс. Каноническое уравнение, эксцентриситет, директрисы.
2. Гипербола. Каноническое уравнение, эксцентриситет, асимптоты,
директрисы. эксцентриситет,
3. Парабола. Каноническое уравнение, построение.
4. Эллипсоид, построение методом сечений.
5. Однополостный гиперболоид построение методом сечений.
6. Двуполостный гиперболоид построение методом сечений.
7. Эллиптический параболоид построение методом сечений.
8. Гиперболический параболоид построение методом сечений.
9. Цилиндрические поверхности.
10.Группа преобразований плоскости. Подгруппы.
11.Движения плоскости. Определение. Примеры.
12.Реперы плоскости. Свойства реперов при движениях.
13.Основные свойства движений.
14.Движения первого и второго рода. Аналитическое выражение
движений. Классификация движений.
15.Разложение движений в произведение осевых симметрий.
16.Гомотетия, аналитическое задание. Свойства гомотетии.
17.Определение подобия. Свойства подобия. Аналитическое задание.
18.Аффинные преобразования. Реперы в аффинных преобразованиях.
19.Аналитическое задание аффинных преобразований. Примеры.
20.Аналитическое задание аффинных преобразований. Примеры.
21.Косое сжатие, сдвиг.
Третий семестр
1. Аксиомы проективного пространства. Модели проективной прямой и
плоскости.
2. Расширенная плоскость и расширенная прямая как модели проективного
пространства.
3. Простейшие свойства проективной плоскости.
4. Координаты точек на проективной прямой.
5. Уравнение прямой на проективной плоскости.
6. Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
7. Сложное отношение четырех точек прямой.
8. Проективные преобразования плоскости и их свойства.
9. Группа проективных преобразований. Предмет проективной геометрии.
10.Проективные и перспективные отображения точек прямых.
11.Проективные и перспективные отображения пучков прямых.
12.Полный четырехвершинник. Теорема о существовании гармонической
четверки точек на диагонали..
13.Линии второго порядка на проективной плоскости. Основные свойства
невырожденных линий.
14.Проективная классификация линий второго порядка.
15.Овальная линия второго порядка.
16.Теорема Штейнера (прямая). Задача.
17.Теорема Штейнера (обратная).
18.Шестивершинник. Теорема Паскаля (прямая).
19. Теорема Паскаля (обратная).
20. Задачи на построение, связанные с овальной линией.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
Пятый семестр
Сущность аксиоматического метода построения геометрии.
Требования, предъявляемые к системе аксиом.
Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии.
Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
Непротиворечивость системы аксиом Вейля.
Абсолютная геометрия, основные факты.
Система аксиом геометрии Лобачевского. Основные факты.
Параллельные и расходящиеся прямые в геометрии Лобачевского.
Свойства параллельных прямых.
Окружность, эквидистанта и орицикл.
Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Независимость пятого
постулата Евклида.
Площади на классе многоугольных областей.
Теорема единственности измерения площадей.
Теорема существования измерения площадей.
Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
Сферическая геометрия.
Эллиптическая геометрия
Определение топологических пространств. Примеры
Отделимость. компактность, связность.
Непрерывность и гомеоморфизм отображений топологических
пространств.
Определение одномерных и двумерных многообразий. Примеры.
Понятие о клеточном разложении. Эйлерова характеристика
двумерных многообразий. Теорема Эйлера.
Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Примеры
ориентируемых и неориентируемых многообразий. Лист Мёбиуса.
Векторная функция одного скалярного аргумента. Определение
предела и производной, свойства.
Понятие линии. Виды линий. (Топологическая форма определения).
Классификация кривых по их дифференциальным свойствам.
Длина дуги. Естественная параметризация кривой.
Касательная к кривой. Винтовая линия.
Кривизна и кручение кривой, заданной в естественной параметризации.
Сопровождающий трехгранник кривой, заданной в естественной
параметризации.
Кривизна и кручение кривой, заданной в произвольной
параметризации.
Сопровождающий трехгранник кривой, заданной в произвольной
параметризации.
Векторная функция двух скалярных аргументов. Определение
пределов и частных производных, их свойства.
Понятие поверхности. Виды поверхностей. (Топологическая форма
определения).
35. Классификация поверхностей по их дифференциальным свойствам.
36. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
37. Первая квадратичная форма поверхности. Задача о нахождении длины
дуги кривой на поверхности с помощью первой квадратичной формы.
38. Задача о нахождении угла между кривыми на поверхности с помощью
первой квадратичной формы. Нахождение площади поверхности,
ограниченной кривыми.
39. Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма
поверхности.
40. Главные кривизны. Средняя и полная кривизны поверхности.
41. Поверхности постоянной кривизны, примеры.
ВОПРОСЫ к зачёту
Четвёртый семестр
1. Сущность аксиоматического метода построения геометрии.
2. Требования, предъявляемые к системе аксиом.
3. Система аксиом Гильберта евклидовой геометрии.
4. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства.
5. Непротиворечивость системы аксиом Вейля.
6. Абсолютная геометрия, основные факты.
7. Система аксиом геометрии Лобачевского. Основные факты.
8. Параллельные и расходящиеся прямые в геометрии Лобачевского.
9. Свойства параллельных прямых.
10.Окружность, эквидистанта и орицикл.
11.Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Независимость пятого
постулата Евклида.
12.Площади на классе многоугольных областей.
13.Теорема единственности измерения площадей.
14.Теорема существования измерения площадей.
15.Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
16.Сферическая геометрия.
17.Эллиптическая геометрия