ТЕМА 3. Кинематика поступательного

ТЕМА
движения
3.
Кинематика
поступательного
В ходе изучения важно запомнить: определения основных
кинематических характеристик поступательного движения
материальной точки, понятие о прямой и обратной задачах
кинематики и способах их решения.
3.1. Скорость и ускорение материальной точки
В соответствии с изложенным во второй главе начнем изучение с
поступательного движения.
Кинематика – раздел механики, описывающий механическое
движение без изучения причин его вызвавших.
Для описания перемещения тела в пространстве (а это и есть
механическое движение) введем систему отсчета и будем использовать
модель материальной точки.
По отношению к системе отсчета положение точки А в данный момент
времени в декартовой системе координат, используемой наиболее часто,

определяется тремя координатами: xA , y A , z A или радиус – вектором r ,
проведенным из точки начала отсчета в данную точку (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Радиус вектор
При движении материальной точки ее координаты с течением времени
изменяются. Уравнения, выражающие зависимость радиус – вектора
движущийся точки от времени 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡) или эквивалентная ему система трех
скалярных уравнений,
 x  x(t )

 y  y (t )
(3.1)
 z  z (t )

называются уравнениями движения точки или законом движения.
Введем еще несколько необходимых понятий.
Траектория движения материальной точки – линия, описываемая этой
точкой в пространстве. Это не очень точное, хотя простое и понятное
определение. Точнее было бы сказать, что траектория – это геометрическое
место точек, последовательно занимаемых телом в процессе движения.
В зависимости от формы траектории движения подразделяются на
прямолинейные и криволинейные. Если все точки траектории лежат в
одной плоскости, движение называется плоским.
Траектории механического движения в различных системах отсчета
могут иметь неодинаковую форму. Исследуя пространственно – временное
перемещение тел, кинематика оперирует следующими физическими
величинами – время, длина пути, перемещение, скорость движения и
ускорение.
Рассмотрим движение материальной точки по произвольной
траектории. Отсчет времени начнем с
момента, когда точка находилась в
положении А (рис. 3.2).
Длиной пути ∆𝑆 называется
длина
участка
траектории
АВ,
пройденного материальной точкой с
момента начала отсчета времени.
Длина пути является скалярной
функцией времени ∆𝑆 = ∆𝑆(𝑡).
Рис. 3.2. Вектор перемещения
Перемещением
называется
вектор ∆𝑟⃗ = 𝑟⃗ − ⃗⃗⃗⃗.
𝑟0
Средней скоростью⟨𝑣⃗⟩движения за интервал времени ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0
называется физическая величина
 

 r  r0 r
v 

(3.2.)
t  t0 t
Здесь нами используется стандартный способ обозначения средних
величин с помощью треугольных скобок
. Необходимо отметить, что
средняя скорость определяется для заданного интервала времени, а не его
конкретного значения. Направление вектора средней скорости совпадает с
направлением вектора перемещения ∆𝑟⃗ (рис. 3.3).
Средняя скорость характеризует движение в течение всего интервала
времени, для которого она определена.
Это простое определение, но оно мало
информативно, так как для больших
интервалов t не позволяет описать
характер движения. Уменьшая ∆𝑡и
соответственно увеличивая количество
вычисленных
средних
скоростей,
можно улучшить описание движения.
Рис. 3.3. Средняя скорость
Мгновенной
скоростью
в
момент
времени
t
называется
физическая величина, равная пределу, к которому стремится средняя
скорость при бесконечном уменьшение интервала времени ∆𝑡



r
v  lim v  lim
t 0
t 0 t
В математике такой предел называется производной, поэтому

 dr
v
dt
(3.3)
(3.4)
Вектор мгновенной скорости 𝑣⃗ направлен по касательной к траектории
в сторону движения материальной точки. Это следует из того, что при
стремлении ∆𝑡 к нулю (при этом точка B движется к точке A) хорда, вдоль
которой направлен вектор средней скорости, переходит в касательную.
Средним ускорением неравномерного движения за интервал времени
∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 называется физическая величина
 


v  v0 v
 a 

t  t0
t
(3.5)
Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t
называется физическая величина, равная пределу, к которому стремится
среднее ускорение при бесконечном уменьшении интервала времени ∆𝑡




v dv
a  lim a  lim

(3.6)
t 0
t 0 t
dt
Направление среднего ускорения совпадает с направлением вектора ∆𝑣⃗
(рис. 3.4).
С мгновенным ускорением дело
обстоит
сложнее,
поэтому
рассмотрим это подробно.
3.2. Ускорение при движении
по криволинейной траектории
Как всякий вектор, вектор
Рис. 3.4. Изменение скорости
ускорения
при
произвольном
плоском
движении
(например,
вращательном) материальной точки можно представить в виде суммы его
составляющих по двум взаимно перпендикулярным направлениям. В
качестве одного направления выберем направление касательной в
рассматриваемой точке траектории, тогда другим перпендикулярным ему
направлением окажется направление нормали к кривой в этой же точке
(выбирается в сторону вогнутости траектории).
Составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории,
называется тангенциальной составляющей ускорения (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝜏 и определяет
быстроту изменения скорости движения по численному значению. Таким
образом, тангенциальная составляющая ускорения численно равна
производной скорости по времени.
a 
dv
dt
(3.7)
Вектор направлен в сторону движения точки при возрастании ее
скорости и в противоположенную сторону – при убывании скорости.
Вторая составляющая называется нормальной составляющей
ускорения (𝑎
⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑛 и направлена по нормали к касательной и к центру вписанной
в данной точке окружности (поэтому ее называют также –
центростремительным ускорением).
Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту
изменения скорости движения по направлению и численно равна
v2
an 
(3.8)
R
где R – радиус криволинейной траектории в данной точке (радиус вписанной
окружности). Способ определения радиуса кривизны произвольной кривой
излагается в специальной математической дисциплине, которая называется
дифференциальная геометрия.
Таким образом, мгновенное ускорение представляется в следующем
виде (рис. 3.5).

 dv  
a
 a  an
(3.9)
dt
Рис. 3.5. Нормальное и тангенциальное ускорения
При этом величина ускорения равна 𝑎 = √𝑎𝜏2 + 𝑎𝑛2 .
3.3. Прямая и обратная задачи кинематики
Рассмотренная процедура определения скорости и ускорения по
заданному закону движения называется прямой задачей кинематики.
Данное определение можно представить в виде диаграммы.
Прямая задача кинематики



r (t )  v (t )  a (t )
(3.10)
Указанная задача решается с помощью операции дифференцирования.
Задачу определения скорости и закона движения по заданному
ускорению естественно называть обратной задачей кинематики.
Обратная задача кинематики



a (t )  v (t )  r (t )
Естественно,
интегрирования
что
эта
задача решается



v (t )  v0   a (t )dt

 
v (t )  v0  at



r (t )  r0   v (t )dt


 
at 2
r (t )  r0  v0t 
2


(3.11)
с
помощью
операции
(3.12)
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Здесь r0 и v0 – положение и скорость в начальный момент времени.
Первая и третья формулы соответствуют решению в общем случае, а
вторая и четвертая - для постоянного ускорения.
Следует отметить, что указанное решение обратной задачи
справедливо только в том случае, когда ускорение является функцией только
времени. Однако, в большинстве интересных для приложений задач
ускорение является функцией координат или скорости. Окончательное
решение обратной задачи, поэтому, возможно только в рамках динамики, о
чем будет рассказано в соответствующем месте.
Рассмотренные в данной главе определения позволяют ввести новое
понятие – понятие состояния. Под состоянием обычно понимают
минимальный набор величин, который дает возможность предсказывать
дальнейшее поведение системы.
Для классической механики таким набором будут радиус-вектор и
скорость (или радиус-вектор и импульс), а для квантовой механики –
⃗⃗⃗⃗.
волновая функция 𝜓(𝑟)