Учебная программа - Алтайский государственный университет

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Алтайский государственный университет»
Кафедра Теоретической кибернетики и прикладной математики
Учебно-методический комплекс по дисциплине
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Барнаул – 2014
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
по дисциплине
Методы оптимизации и вариационное исчисление
факультет
Математики и информационных технологий________
кафедра
Теоретической кибернетики и прикладной математики
курс
4
семестр
7
Лекции
32 (час.)
Экзамен в
7 семестре
Практические занятия
32 (час.)
Всего часов
64
Самостоятельная работа
35 (час.)
Итого часов трудозатрат на дисциплину (для студента) по ФГОС 110 (час.)
Разработал
доцент кафедры ТКПМ Хворова Л.А.
Рабочая программа составлена на основании
Государственного образовательного стандарта Высшего профессионального
образования, утвержденного приказом Министерства образования Российской
Федерации от 02.03.2000 г. № 686
Барнаул – 2014
2
Пояснительная записка
Дисциплина «Вариационное исчисление и методы оптимизации» преподается
студентам факультета математики и информационных технологий Алтайского
государственного университета в цикле общеобразовательных дисциплин. В
данном курсе рассматриваются следующие разделы теории оптимизации и
оптимального управления: гладкие задачи безусловной оптимизации, гладкие
конечномерные задачи с ограничениями типа равенств, гладкие задачи с
равенствами и неравенствами; классическое вариационное исчисление;
оптимальное управление.
Основное содержание дисциплины определено согласно требованиям к
обязательному минимуму содержания основной образовательной программы
подготовки
государственного
образовательного
стандарта
высшего
профессионального образования.
Выписка из государственного образовательного стандарта.
Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие
задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи
линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности;
классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго
порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с
ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со
старшими производными; классическое вариационное исчисление
и
естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина;
оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного
программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничений;
градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений;
численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального
управления.
Количество часов: 110.
Теорию задач на отыскание наибольших и наименьших значений величин
называют теорией экстремальных задач, или теорией оптимизации, или иногда
теорией оптимального управления.
Теория оптимизации рассматривает такие практические задачи, как
определение наиболее эффективного режима работы различных технических
систем, задачи организации производства, дающего наибольшую возможную
прибыль при заданных ограниченных ресурсах.
Постановка каждой задачи оптимизации включает в себя два объекта:
множество допустимых решений и целевую функцию (функционал), которую
необходимо минимизировать или максимизировать на указанном множестве. С
этого общего подхода и рассматриваются различные классы экстремальных задач,
составляющих основу теории оптимизации, или теории оптимального
управления.
В данном курсе рассматриваются следующие важные разделы этой теории:
3
тема II – математическое программирование или гладкие задачи безусловной
оптимизации (задачи без ограничений); гладкие конечномерные задачи с
ограничениями типа равенств; гладкие задачи с равенствами и неравенствами
(целевая функция в этих задачах – это функция многих переменных), а в качестве
основного правила исследования задач с ограничениями – принцип Лагранжа;
тема III – классическое вариационное исчисление;
тема IV – оптимальное управление.
В темах III и IV рассматриваются задачи оптимизации с допустимым
множеством из функционального пространства, на котором минимизируется или
максимизируется целевой функционал.
В вариационном исчислении уравнение Эйлера и условие трансверсальности
принадлежат к так называемым необходимым условиям – они предполагают
существование решения. Это предположение затем используется для отыскания
решений, существование которых было постулировано. Для класса задач, в
которых это предположение выполняется, такие рассуждения вполне правильны.
Поэтому в дополнение к необходимым условиям в тему III включен раздел
«Достаточные условия».
Каждая тема, за исключением первой, содержит примеры решения
оптимизационных задач, что должно способствовать не только усвоению
изложенного теоретического материала, но и развитию практических навыков
решения конкретных прикладных задач.
Теоретические знания, полученные на лекциях, и практические навыки
решения оптимизационных, вариационных задач и задач оптимального
управления, приобретенные на практических занятиях, помогут студентам в их
научно-исследовательской работе, в частности, при решении некоторых вопросов
механики и математической физики. Первые темы дисциплины «Вариационное
исчисление и методы оптимизации» могут быть использованы в курсах
«Математические
модели
в
управлении»,
«Математические
основы
экономического анализа», «Математические методы и модели в экономике»,
читаемых для студентов экономических специальностей.
Виды контроля. Текущий контроль осуществляется в форме проверки
домашних заданий; промежуточный контроль – в виде контрольных работ по
трем базовым темам: классическая теория оптимизации, классическое
вариационное исчисление, задача Лагранжа и оптимальное управление, а также
тестовый письменный опрос по теоретическим аспектам курса в конце семестра.
Итоговый контроль практических умений и навыков осуществляется в форме
экзамена, который предусматривает знание теоретического материала и умение
решать задачи.
4
1. Цели и задачи дисциплины, ее место в учебном процессе
Цель подготовки – приобретение знаний в области новых методов теории
экстремальных задач и умение их применять в различных исследованиях
теоретического и прикладного характера.
Задачи подготовки:
1. Изучение основных принципов построения оптимизационных моделей и
моделей управления.
2. Получение теоретических знаний в области методов теории экстремальных
задач и задач управления различного типа.
3. Применение знаний к решению практических задач.
Знания и умения, необходимые для обучения:
Для изучения данного учебного курса необходимо обладать знаниями из
следующих областей математики: линейная алгебра (матричная алгебра, решение
систем линейных уравнений, нахождение корней алгебраических уравнений),
основы математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление
функций многих переменных, исследование функций), дифференциальные
уравнения,
теория
функций
комплексного
переменного,
элементы
функционального анализа.
В результате изучения дисциплины обучающиеся должны:

Знать:
 основные понятия, связанные с экстремальными задачами;
 методы решения задач безусловной оптимизации;
 методы решения гладких задач с ограничениями;
 теоретические аспекты выпуклого программирования;
 постановки и правила решения задач классического вариационного
исчисления;
 постановки и правила решения задач оптимального управления;
 Уметь:
 применять
классические
методы
математики
при
решении
фундаментальных и прикладных задач;
 самостоятельно разбираться в мощном математическом аппарате,
содержащемся в специальной литературе;
 доводить решение оптимизационной задачи до практически
приемлемого результата (уметь проводить доказательства и делать
выводы).
 Иметь представление о мощном и универсальном математическом
аппарате, позволяющем решать экстремальные задачи в функциональных
пространствах, и области применения задач вариационного исчисления и
задач оптимального управления.
5
2. Содержание дисциплины
2.1. Теоретическая часть
Введение
Тема 1.
Предварительные сведения
1.1. Элементы
функционального
исчисления
анализа
и
дифференциального
1.2. Нормированные и банаховы пространства
1.3. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа
1.4. Некоторые аспекты дифференциального исчисления
1.5. Некоторые теоремы из курса линейной алгебры
1.6. Математическое программирование
Тема 2.
Классическая теория оптимизации
2.1. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами
2.2. Безусловная оптимизация. Гладкие задачи без ограничений
2.3. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств
2.4. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств
2.5. Задачи выпуклого программирования
Тема 3.
Классическое вариационное исчисление
3.1. Постановка общей задачи математического программирования
3.2. Задача Больца
3.3. Простейшая задача классического вариационного исчисления
3.4. Задачи с подвижными концами
3.5. Изопериметрические задачи
3.6. Задачи со старшими производными
3.7. Достаточные условия для задач классического вариационного
исчисления
3.8. Дополнительные сведения
Тема 4. Задача Лагранжа и оптимальное управление
4.1. Задача Лагранжа
4.2. Ляпуновские задачи
4.3. Задачи оптимального управления
6
2.2. Практическая часть
План практических занятий
№
п/п
Тема
Часы
1.
Безусловная оптимизация. Гладкие задачи без ограничений
2
2.
Гладкие задачи с ограничениями типа равенств
2
3.
Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств
4
4.
Контрольная работа по теме: Классическая теория оптимизации
2
5.
Задача Больца
2
6.
Простейшая задача классического вариационного исчис-ления
2
7.
Задачи с подвижными концами
4
8.
Изопериметрические задачи
2
9.
Задачи со старшими производными
2
10.
Контрольная работа по теме: Классическое вариационное
исчисление
2
11.
Задача Лагранжа
2
13.
Задачи оптимального управления
4
14.
Контрольная работа по теме: Задача Лагранжа и оптимальное
управление
2
ИТОГО
32
2.3. Тематический план дисциплины
Количество часов
№
темы
в том числе
Наименование темы
всего
лекции
практические
занятия
1
Классическая теория оптимизации
24
14
10
2
Классическое
исчисление
24
12
12
3
Задача Лагранжа и оптимальное
управление
16
6
10
ИТОГО
64
32
32
вариационное
7
3. Учебно-методические материалы по дисциплине
3.1. Учебно-методические материалы лекционного курса
Основная литература
1. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по
оптимизации. М.: Наука, 1984.
2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:
Наука, 1979.
3. Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах и
упражнениях. М.: Наука, 1991.
4. Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и
упражнениях. М.: Физматлит, 1999.
5. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.:
Наука, 1980.
6. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ, 1989.
7. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961.
8. Жариков А.В., Хворова Л.А. Методы оптимизации и вариационное
исчисление. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2007.
9. Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление:
Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.
10. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.
11. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столяров Е.М. Методы оптимизации. М.:
Наука, 1978.
12. Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евлампиев И.И. Основы теории
оптимизации. М.: Высшая школа, 1986.
13. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. и др. Математическая теория
оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
14. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2 кн. М.: Мир, 1985.
15.Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
М.: Наука, 1969.
16. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления. М.: Мир, 1974.
Дополнительная литература
1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.:
Наука, 1986.
2. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.
3. Методы оптимизации в статистических задачах управления / Под ред. А.Н.
Cоколенко. М.: Машиностроение, 1974.
4. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
5. Бирюков С.И. Оптимизация. М.: МФТИ, 1995.
6. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: МАИ, 1998.
8
7. Альбрехт Э.Г., Каюмов Р.И., Соломатин А.М., Шелементьев Г.С. Методы
оптимизации: введение в теорию решения экстремальных задач.
Екатеринбург: УрГУ, 1993.
8. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат,
1955.
9. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1981.
10. Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого
программирования. М.: Наука, 1976.
11. Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.:
ГОНТИ, 1938.
12.Методы оптимизации: Сборник задач. Свердловск: УрГУ, 1988.
13.Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
14.Полак Э. Численные методы оптимизации: единый подход. М.: Мир, 1974.
3.2. Учебно-методические материалы практических занятий
1. Жариков А.В., Хворова Л.А. Методы оптимизации и вариационное
исчисление. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2007.
2. Сборник задач по методам оптимизации и вариационному исчислению.
/Составители: Хворова Л.А., Жариков А.В. – Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2005.
3. Хворова Л.А., Жариков А.В. Методы оптимизации и вариационное
исчисление. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2013.
9
Методические указания преподавателям
Вопросы на экзамен:
I.
Классическая теория оптимизации
1. Формализация задач. Основные этапы формализации.
2. Основные понятия, связанные с экстремальными задачами.
3. Привести примеры формализации экстремальных задач (задача
Архимеда).
1.1.Безусловная оптимизация. Гладкие задачи без ограничений.
1. Постановка задачи безусловной оптимизации. Необходимые и
достаточные условия экстремума первого и второго порядка.
2. Схема поиска
Сильвестра.
безусловных
экстремумов
функций.
Критерий
1.2.Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств.
1. Постановка задачи. Правило множителей Лагранжа (Теорема).
2. Необходимое и достаточное условие экстремума второго порядка.
3. Правило решения задач с ограничениями типа равенств. Критерий
Сильвестра.
4. Примеры задач, для которых принцип Лагранжа не дает решения.
1.3.Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.
1. Постановка задачи. Правило решения.
2. Постановка задачи. Необходимые условия экстремума.
1.4.Задачи выпуклого программирования.
1. Элементы выпуклого анализа.
2. Отделимость выпуклых множеств.
3. Постановка задачи. Основные понятия.
4. Лемма о локальном минимуме в выпуклой задаче.
5. Теорема Куна-Таккера.
II.
Классическое вариационное исчисление.
2.1.Постановка задачи Больца. Основные понятия. Правило решения.
2.2.Необходимое условие экстремума для задачи Больца (Теорема).
2.3.Простейшая задача классического
Основные понятия. Правило решения.
вариационного
исчисления.
2.4.Необходимое условие экстремума простейшей задачи (Теорема).
10
2.5.Задача с подвижными концами. Основные понятия. Правило решения.
2.6.Необходимое условие экстремума для задачи с подвижными концами.
2.7.Изопериметрическая задача. Постановка. Основные понятия. Правило
решения.
2.8.Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи
(Теорема).
2.9.Постановка задачи со старшими производными. Основные понятия.
Правило решения.
2.10. Необходимое условие экстремума для задачи со старшими
производными (Теорема).
III. Задача Лагранжа и оптимальное управление.
5.1.Постановка задачи Лагранжа. Основные понятия. Правило решения.
5.2.Теорема Эйлера-Лагранжа.
5.3.Постановка задачи оптимального управления в форме Понтрягина.
Основные понятия.
5.4.Правило решения задачи оптимального управления (в форме
Понтрягина).
5.5.Принцип максимума Понтрягина. Необходимые условия экстремума.
Примечание. 1. В скобках указаны теоремы с доказательством.
2. В билете две задачи: из раздела II и III.
11
Билет №1
1. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств.
Постановка задачи. Правило множителей Лагранжа (Теорема).
2. Постановка задачи Лагранжа. Основные понятия. Правило решения.
3.
Решить
  x
задачу

4
 x dt  inf ;
2
оптимального
x  1,
управления
в
форме
Понтрягина
x 0  0
0
4. Решить задачу Больца

2
 x
2
0
 
 
 x 2 dt  x 2 0  x 2    4 x    extr
2
2

__________________________________________________________________________
Билет №2
1. Теорема Куна-Таккера.
2. Теорема Эйлера-Лагранжа.
3.
Решить
T0
  x
2

задачу
 x dt  extr;
оптимального
управления
в
форме
Понтрягина
x  1, x 0  0, x T0   0 .
0

4. Решить задачу Больца
 x
2

 x 2  4 x sin t dt  2 x 2 0  2 x    x 2    extr .
0
_____________________________________________________________________________
Билет №3
1. Необходимое условие экстремума для задачи Больца (Теорема).
2. Постановка задачи оптимального управления в форме Понтрягина. Основные понятия.
2
3. Решить задачу Лагранжа
 u dt  x
2
0
2
 
 
(0)  extr; x  x  u, x   x (0)  0, x   1.
2
2
T
4. Решить задачу с подвижными концами
 x dt  extr;
3
x(0)  0, T  x(T )  1.
0
________________________________________________________________________
Билет №4
1. Необходимое условие экстремума простейшей задачи (Теорема).
2. Правило решения задачи оптимального управления (в форме Понтрягина).
1
3. Решить задачу Лагранжа  u 2 dt  extr; x  x  u, x 0  1, x 0  0 .
0
T
4. Решить задачу с подвижными концами  ( x 2  x 2 )dt  extr; x(0)  0, x(T )  T  1  0.
0
12
Билет №5
1. Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи (Теорема).
2. Принцип максимума Понтрягина. Необходимые условия экстремума.

3. Решить задачу Лагранжа

2
x 0  x 0  0,
u 2 dt  extr; x  x  u,
0
 
x    1.
2
4. Решить простейшую задачу
 t
1
2

x  x 2 dt  extr; x 0  x 1  0 .
0
________________________________________________________________________
Билет №6
1. Формализация задач. Основные этапы формализации.
2. Необходимое условие экстремума для задачи со старшими производными (Теорема).
Решить
задачу
оптимального
управления
в
форме
Понтрягина
7 / 4
 x sin t dt  extr; x  1, x(0)  0.
3.
0


0
0
4. Решить изопериметрическую задачу:  x 2 dt  extr;  x sin t dt  0 ; x 0  0, x    1
________________________________________________________________________
Билет №11
1. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств.
Постановка задачи. Правило множителей Лагранжа (Теорема).
2. Постановка задачи Лагранжа. Основные понятия. Правило решения.
3.
Решить
задачу
оптимального
управления
в
форме
Понтрягина
2
 x dt  extr;
x  2, x(0)  x (0)  x(2)  0.
0
1
4. Решить задачу со старшими производными:  (x2  x2 )dt  extr; x(0)  x(0)  0.
0
__________________________________________________________________________
Билет №12
1. Теорема Куна-Таккера.
2. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.
Постановка задачи. Правило решения. Необходимые условия экстремума.

3. Решить задачу Лагранжа

2
u 2 dt  extr; x  x  u,
0
 x
T
4. Решить задачу с подвижными концами
2
 
x 0  x    0,
2

 
x     .
2
2

 x dt  extr; x T   T .
0
13
Билет №13
1. Необходимое условие экстремума для задачи Больца (Теорема).
2. Постановка задачи оптимального управления в форме Понтрягина. Основные понятия.

2
u
3. Решить задачу Лагранжа
0
2
 
 
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x   0, x   1.
2
2
4. Решить простейшую задачу
 x  x  dt  extr;
1
x 0  x 1  0 .
2
0
_______________________________________________________________
Билет №14
1. Необходимое условие экстремума простейшей задачи (Теорема).
2. Правило решения задачи оптимального управления (в форме Понтрягина).
2
3. Решить задачу Лагранжа
 u dt  x
2
2
0
4. Решить задачу Больца:

x
2
 
 
(0)  extr; x  x  u, x   x (0)  0, x   1.
2
2

 x 2  4 x sin t dt  2 x 2  0   2 x
   x 2    extr
0
__________________________________________________________________________
Билет №15
1. Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи (Теорема).
2. Принцип максимума Понтрягина. Необходимые условия экстремума.
1
3. Решить задачу Лагранжа  u 2 dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x(0)  x(1)  0, x (1)  1.
0
4. Решить задачу со старшими производными:
T0
 (x
2
 x 2 )dt  extr; x(0)  x(0)  x(T0 )  x(T0 )  0;
0
__________________________________________________________________________
Билет №16
1. Постановка задачи безусловной оптимизации. Необходимые и достаточные условия
экстремума первого и второго порядка.
2. Необходимое условие экстремума для задачи со старшими производными (Теорема).
T0
3.
  x
2

 x dt  extr;
x  1,
x 0  
0
4. Решить изопериметрическую задачу:


 x sin tdt  extr;  x dt 
2
0
0
3
,
2
x(0)  0,
x( )  
14
Билет №21
1. Гладкая конечномерная задача с ограничениями типа равенств.
Постановка задачи. Правило множителей Лагранжа (Теорема).
2. Постановка задачи Лагранжа. Основные понятия. Правило решения.
3.
Решить
задачу
оптимального
управления
в
форме
Понтрягина
2
 x dt  extr;
x  2, x (0)  x (2)  x(2)  0.
0
 x
T
4. Решить задачу с подвижными концами
2

 x dt  extr; x 0  0, xT    .
0
________________________________________________________________
Билет №22
1. Теорема Куна-Таккера.
2. Задача с подвижными концами. Основные понятия. Правило решения.
Необходимое условие экстремума для задачи с подвижными концами.

2
u
3. Решить задачу Лагранжа
2
0
 
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x(0)  0, x   1.
2
4. Решить задачу Больца
e
2
2
 2 x t x  x  dt  3x 1  x e  4 x e  extr .
1
_____________________________________________________________________________
Билет №23
1. Необходимое условие экстремума для задачи Больца (Теорема).
2. Постановка задачи оптимального управления в форме Понтрягина. Основные понятия.
1
3. Решить задачу Лагранжа  u 2 dt  extr; x  x  u,
x 0  1.
0
1
4. Решить простейшую задачу
 x dt  inf ;
3
x 0  0, x 1  1 .
0
______________________________________________________________
Билет №24
1. Необходимое условие экстремума простейшей задачи (Теорема).
2. Правило решения задачи оптимального управления (в форме Понтрягина).

3. Решить задачу Лагранжа
2
 u dt  x
2
2
(0)  extr; x  x  u,
0
 
x   1.
2
4. Решить задачу со старшими производными
 x
1
2

 48 x dt  extr; x 1  x 1  0, x 0  1, x 0  4
0
15
Билет №25
1. Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи (Теорема).
2. Принцип максимума Понтрягина. Необходимые условия экстремума.

3. Решить задачу Лагранжа
2
 u dt  extr;
x  x  u,
2
x 0  1 .
0
T
4. Решить задачу с подвижными концами
 x
2
dt  extr; x 0  0,
T  1 x 2 T   2  0 .
0
__________________________________________________________________________
Билет №26
1. Схема поиска безусловных экстремумов функций. Критерий Сильвестра.
2. Необходимое условие экстремума для задачи со старшими производными (Теорема).
3.
Решить
задачу
оптимального
управления
в
форме
Понтрягина
2

x dt  inf;
x  2, x(0)  0, x(2)  1, x (2)  2.
0
1
4. Решить изопериметрическую задачу
 x
1
2
dt  extr;
0
 t x dt  0;
x 0  4, x 1  4 .
0
________________________________________________________________
Варианты контрольной работы №1 по теме:
Классическая теория оптимизации
Вариант № 1
1. 5x 2  4 xy  y 2  16 x  12 y  extr.
2. x1  x12  2 x2  x32  max; x1  2 x2  x3  6.
3. ( x1  3) 2  ( x2  5) 2  extr; x12  x22  10, x2  2 x1  5.
Вариант № 2
1. x 4  y 4  4 xy  extr.
2. x12  x22  x32  min;
x1  x2  3x3  2, 5 x1  2 x 2  x3  5.
3. x12  x22  x32  2 x1  2 x2  2 x3  10  min,
x12  x22  x32  4,
x3  0.
Вариант № 3
1. x12  2 x22  4 x1  2 x2  min .
2. x1  x22  2 x1 x3  max; x1  x2  8, x2  x3  4.
16
3. x12  x22  extr; x12  x22  16, x1  x2  4.
Вариант № 4
1. x13  x23  3x1 x2  extr.
2. x12  2 x22  10 x32  min; x1  x22  x3  5,
x1  5 x 2  x3  7.
3. x y z  extr; x 2  y 2  z 2  1.
Вариант № 5
1. 9 x12  16 x22  90 x1  128x2  min .
2. x12  2 x22  10 x32  5 x1 x2  max; x1  x2  3x2 x3  5, x12  5 x1 x2  x32  7.
3. x12  x22  x32  inf;
2 x1  x 2  x3  5, x1  x 2  x3  3.
Вариант № 6
1. x1 x2 (1  x1  x2 )  extr.
2. x12  2 x1 x2  x32  min; x1  2 x2  x3  1, 2 x1  x2  x3  5.
n
3.
 xi2  extr;
i 1
n
x
i 1
4
i
 1.
Вариант № 7
1. x 2  2 y 2  5z 2  2 xy  4 yz  2 z  extr.
2. x12  x22  extr; x14  x24  1.
3. 2 x12  2 x1  4 x2  3x3  extr; 8 x1  3x2  3x3  40,  2 x1  x2  x3  3, x2  0.
Вариант № 8
1. 4 x1  6 x2  2 x12  x22  x32  11  max .
2. 3x 2  2 y 2  3x  1  extr; x 2  y 2  4.
3. x1 x2 x3  min; x12  x22  x32  1, x1  x2  x3  0.
Вариант № 9
1. 4 x1  2 x2  x12  x22  5  max .
4. x1  2 x2  2 x3  max; x12  x22  x32  1.
5. x12  x1  x2  min;
x12  3x22  2 x1  3,
x1  0, x2  0.
17
Вариант № 10
2
2
1. e  x1  x2  min .
2. x1x2  x2 x3  extr; x1  x2  2, x2  x3  2.
3. e x1 x2  x1  x2  extr; x1  x2  1, x1  0, x2  0.
Вариант № 11
1. x14  x24  2( x1  x2 ) 2  extr.
2. e xy  extr; x  y  1.
n
3.
 xi4  extr;
i 1
n
x
i 1
2
i
 1.
Вариант № 12
1. x13  x22  2 x32  x2 x3  x2  extr.
2. x y z  extr ; x 2  y 2  z 2  1, x  y  z  0.
3. 3x22  11x1  3x2  x3  extr; x1  7 x2  3x3  7  0, 5 x1  2 x2  x3  2, x3  0.
Варианты контрольной работы №2 по теме:
Классическое вариационное исчисление
Вариант №1
1
1.
 (x
2
 x 2 )dt  2 x(1) sh1  extr.
0
3
2
2.
 x
2

 x 2  2 x cos t dt  extr ;


3.
 x sin t dt  extr ;
0
 3
x( )  1, x 
 2

x(0)  0, x( )   ,  x 2dt 
0

  1.

3
.
2
Вариант №2
1
1.

x 2dt  extr ; x(1)  x(1)  x(0)  0, x(0)  1.
0
18

2.
 x
2
2

 x 2  6 x sin t dt  extr ;
0
1
1
3.
 x
 
x(0)  0, x    0 .
2
2
 xe dt  0, x(0)  0, x(1)  1 .
dt  extr ;
t
0
0
Вариант №3
1
1.
1

x dt  extr ;  txdt  0, x(0)  4, x(1)  4.
2
0
0
1
2.
 cos x dt  extr ;
x(0)  0, x(1)   .
0

3.
 x
2

 4 x 2 dt  extr ;
x(0)  1, x(0)  0, x( )  sh , x( )  ch .
0
Вариант №4
T0
1.
 sin xdt  extr; x(0)  0, x(T0 )   .
0
 x
T
2.
2

 x dt  extr ;
x(0)  1.
0
 x
1
3.
2

 x 2 dt  extr ;
x(0)  0, x(0)  1, x(1)  sh1, x(1)  ch1 .
0
Вариант №5
T0
1.
 x dt  extr; x(0)  0, x(T0 )   .
2
0
 /4
2.
 (x
2
 x 2 )dt  extr; x(0)  1.
0
1
3.
1
 x dt  extr;  xe dt  0, x(0)  0, x(1)  1.
2
0
t
0
Вариант №6
T0
1.
 (x
2
 x 2  4 x sin t )dt  extr; x(0)  0, x(T0 )   .
0
19
1
2.
 (x
2
 x 2  4 xcht )dt  extr ; x(1)  0.
2
 4 x 2 )dt  extr; x(0)  1, x(0)  0, x( )  ch , x( )  sh .
0
1
3.
 (x
0
Вариант №7
T0
1.
 cos xdt  extr; x(0)  0, x(T0 )   .
0
1
2.
1
 x dt  extr;  xe
2
0
t
dt  e, x(1)  2, x(0)  2e  1.
0
1
3.
 (x
 48 x)dt  extr; x(1)  x(1)  0, x(0)  1, x(0)  4.
2
0
Вариант №8
2
1.
t
x dt  2 x(1)  x 2 (2)  extr.
2 2
1
T0
2.
 (x
2
 x 2  4 xcht )dt  extr ; x(0)  0, x(T0 )   .
0
1
3.
1
1
3
x dt  extr;  xdt   ,  txdt  2, x(0)  2, x(1)  14.
2 0
0

2
0
Варианты контрольной работы №3 по теме:
Задача Лагранжа и принцип максимума Понтрягина
Вариант 1

1.

2
u 2 dt  extr; x  x  u,
x 0  x 0  0,
0
  x
4
2.
2

 x dt  inf ;
x  1,
 
x    1.
2
x 0  0 .
0
Вариант 2
1
1.
 u dt  extr;
2
x  x  u,
x 0  1.
0
20

2.
 x sin t dt  extr;

x  1, x(  )  0.
-------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 3
1
1.
u
2
dt  extr; x  x  u, x 0  1, x 0  0 .
0
2
2.
 x dt  extr;
x  2, x (0)  x (2)  x(2)  0.
0
--------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 4

1.
2
 u dt  extr;
2
x  x  u,
x 0  1 .
0
2. T  inf;
x  2, x(1)  1, x(T )  1, x(1)  x(T )  0.
--------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 5

1.

2
u 2 dt  extr; x  x  u,
x 0  0,
0
 
x    1.
2
2
2.

x dt  inf;
x  2, x(0)  x (0)  0, x(2)  3.
0
--------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 6

1.

2
u 2 dt  extr; x  x  u,
0
  x

4
2.
2
 x dt  extr;
x  1,
 
x 0  x    0,
2

 
x     .
2
2
x 4  0 .
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 7
2
1.
 u dt  extr;
2
x  x  u,
0
7 / 4
2.  x sin t dt  extr;
 
x    0,
2
 
x    1, x 0  0,
2
x 0  

2
.
x  1, x(0)  0.
0
Вариант 8
1
1.
u
2
dt  extr ; x  x  u , x(0)  0, x(1)  сh1, x(1)  ch1  sh1.
0
21
2
2.
 x dt  inf;
x  2, x(0)  x (0)  x (2)  0.
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 9
1
1.
u
2
dt  extr ; x  x  u , x(0)  x(0)  0, x(1)  сh1, x(1)  ch1  sh1.
0
2. T  inf;
x  2, x(1)  1, x(T )  1, x(1)  x(T )  0.
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 10

 
 
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x   0, x   1.
2
2
2
u
1.
2
0
2
2.

x dt  inf;
x  2, x(0)  x (0)  0, x(2)  3.
0
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 11

2
u
1.
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u.
2
0
T0
2.
  x
2

 x dt  extr;
x  1,
x 0  0
0
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 12

2
 u dt  x
2
1.
2
(0)  extr; x  x  u,
0
T
2.
 ( x
2
 x)dt  extr;
 
x   1.
2
x  1, x(0)   .
0
--------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 13
2
1.
 u dt  x
2
0
T0
2.
  x
2

2
 
 
(0)  extr; x  x  u, x   x (0)  0, x   1.
2
2
 x dt  extr;
x  1,
x 0  
0
Вариант 14
1
1.
u
2
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u.
0
22
2. T  inf;
x  2, x(0)  x(T )  0, x(0)  1, x(T )  3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 15
1
1.
u
2
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x(0)  1.
0
1
2.
 x dt  inf;
2
x  24, x(0)  11, x(1)  x (1)  0.
0
---------------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 16

1.
2
u
2
0
 
dt  x 2 (0)  extr; x  x  u, x(0)  0, x   1.
2
T0
2.
  x
2

 x dt  extr;
x  1, x T0   
0
-----------------------------------------------------------------------------------------------Вариант 17
1
1.
 (x
2
 u 2 )dt  extr; x  x  u, x(1)  1.
0
2
2.
 x dt  inf;
2
x  6, x(0)  x (0)  0, x(2)  17.
0
23
Методические указания студентам
Вопросы к тесту по курсу
I. Основные понятия:
 Нормированное пространство.
 Сопряженное пространство.
 Скалярное произведение
 Норма вектора.
 Теорема Ферма.
 Теорема Вейерштрасса и ее следствие.
 Определение отрезка.
 Выпуклое множество, выпуклая и вогнутая функция.
 Неравенство Иенсена.
 Геометрическая интерпретация выпуклости функции.
 Примеры выпуклых и вогнутых функций.
 Критерий выпуклости функций.
 Отделимые и строго отделимые множества.
 Первая теорема отделимости в конечномерном случае.
 Супремум и инфимум функции.
 Конечномерная теорема об обратной функции.
 Формализация задачи.
 Основные этапы формализации (построения математической модели).
 Элементы формализованной задачи.
 Абсолютный минимум (максимум).
 Локальный минимум (максимум).
 Переход от задач на максимум к задачам на минимум.
 Определение критического множества.
II. Классическая теория оптимизации:
 Безусловная оптимизация. Постановка гладкой задачи без ограничений.
 Теорема (Необходимое условие экстремума первого порядка).
 Стационарные точки. Условие стационарности.
 Теорема (Необходимое условие экстремума второго порядка).
 Теорема (Достаточное условие экстремума второго порядка).
24
 Критерий Сильвестра.
 Схема поиска безусловных экстремумов.
 Постановка гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств.
 Суть принципа Лагранжа.
 Правило множителей Лагранжа.
 Теорема (Необходимое условие экстремума второго порядка).
 Теорема (Достаточное условие экстремума второго порядка).
 Правило решения задачи с ограничениями типа равенств.
 Постановка гладкой задачи с равенствами и неравенствами.
 Теорема (необходимое условие экстремума).
 Правило решения гладкой задачи с ограничениями типа равенств и неравенств.
 Постановка задачи выпуклого программирования.
 Свойства задач выпуклого программирования
 Теорема Куна-Таккера.
III. Задачи классического вариационного исчисления
 Примеры задач вариационного исчисления и оптимального управления
(формулировка и формализация): задача определения траектории
распространения света в среде с переменной плотностью; задача
определения формы подвешенной нити; задача о брахистохроне; задача
определения критической нагрузки балки; задача о мягкой посадке ракеты на
луну
 Постановка задачи Больца.
 Понятие слабого локального экстремума в задаче Больца.
 Необходимое условие экстремума для задачи Больца (теорема).
 Правило решения задачи Больца.
 Постановка простейшей задачи классического вариационного исчисления.
 Определение допустимого решения в простейшей задаче классического
вариационного исчисления.
 Понятие слабого локального экстремума в простейшей задаче классического
вариационного исчисления.
 Понятие сильного локального экстремума в простейшей задаче классического
вариационного исчисления.
 Необходимое условие экстремума для простейшей задачи классического
вариационного исчисления (теорема).
25
 Правило решения простейшей задачи классического вариационного исчисления.
 Постановка задачи с подвижными концами.
 Определение допустимого решения в задаче с подвижными концами.
 Понятие слабого локального экстремума в задаче с подвижными концами.
 Необходимое условие экстремума для задачи с подвижными концами
(теорема).
 Правило решения задачи с подвижными концами.
 Постановка изопериметрической задачи.
 Определение допустимого решения в изопериметрической задаче.
 Понятие слабого локального экстремума в изопериметрической задаче.
 Необходимое условие экстремума для изопериметрической задачи (теорема).
 Правило решения изопериметрической задачи.
 Постановка задачи со старшими производными.
 Определение допустимого решения в задаче со старшими производными.
 Понятие слабого локального экстремума в задаче со старшими производными.
 Необходимое условие экстремума для задачи со старшими производными
(теорема).
 Правило решения задачи со старшими производными.
 Уравнение Эйлера-Пуассона для задачи со старшими производными.
IV. Задачи оптимального управления
 Постановка задачи Лагранжа.
 Определение управляемого процесса в задаче Лагранжа.
 Определение допустимого управляемого процесса в задаче Лагранжа.
 Понятие слабого минимума в задаче Лагранжа (определение оптимального
управляемого процесса).
 Необходимое условие экстремума для задачи Лагранжа (теорема).
 Правило решения задачи Лагранжа.
 Постановка задачи оптимального управления в форме Понтрягина.
 Определение управляемого процесса в задаче оптимального управления.
 Понятие оптимального управляемого процесса в задаче оптимального
управления.
 Принцип максимума Понтрягина для задачи оптимального управления
26
 Правило решения задачи оптимального управления.
27
Карта обеспеченности студентов учебной литературой
Библиографический список
Основная литература
17.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по
оптимизации. М.: Наука, 1984.
18. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.:
Наука, 1979.
19. Ашманов С.А., Тимохов А.В.
упражнениях. М.: Наука, 1991.
Теория
оптимизации
в
задачах
и
20. Васильев О.В., Аргучинцев А.В. Методы оптимизации в задачах и
упражнениях. М.: Физматлит, 1999.
21.Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.:
Наука, 1980.
22. Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Краткий курс теории экстремальных задач.
М.: Изд-во МГУ, 1989.
23.Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Наука, 1961.
24.Жариков А.В., Хворова Л.А. Методы оптимизации и вариационное
исчисление. Барнаул: Изд-во АлтГУ, 2007.
25.Краснов М.Л., Макаренко Г.П., Киселев А.И. Вариационное исчисление:
Задачи и упражнения. М.: Наука, 1973.
26. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.
27. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столяров Е.М. Методы оптимизации. М.:
Наука, 1978.
28. Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евлампиев И.И. Основы теории
оптимизации. М.: Высшая школа, 1986.
29. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г. и
оптимальных процессов. М.: Наука, 1983.
др.
Математическая
теория
30. Таха Х. Введение в исследование операций: В 2 кн. М.: Мир, 1985.
31.Эльсгольц Л.В. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.
М.: Наука, 1969.
32. Янг Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оптимального
управления. М.: Мир, 1974.
Дополнительная литература
4. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.:
Наука, 1986.
5. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988.
28
6. Методы оптимизации в статистических задачах управления / Под ред. А.Н.
Cоколенко. М.: Машиностроение, 1974.
7. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
8. Бирюков С.И. Оптимизация. М.: МФТИ, 1995.
9. Лесин В.В., Лисовец Ю.П. Основы методов оптимизации. М.: МАИ, 1998.
10.Альбрехт Э.Г., Каюмов Р.И., Соломатин А.М., Шелементьев Г.С. Методы
оптимизации: введение в теорию решения экстремальных задач.
Екатеринбург: УрГУ, 1993.
11.Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению. М.: Гостехиздат,
1955.
12.Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: БГУ, 1981.
13.Еремин И.И., Астафьев Н.Н. Введение в теорию линейного и выпуклого
программирования. М.: Наука, 1976.
14.Лаврентьев М.А., Люстерник Л.А. Курс вариационного исчисления. М.:
ГОНТИ, 1938.
15.Методы оптимизации: Сборник задач. Свердловск: УрГУ, 1988.
16.Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
17.Полак Э. Численные методы оптимизации: единый подход. М.: Мир, 1974.
29