Математическая теория оптимального управления

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
«Московский физико-технический институт (государственный университет)»
МФТИ
«УТВЕРЖДАЮ»
Проректор по учебной и методической работе
__________________Д.А. Зубцов
« »_________________20 г.
Рабочая программа дисциплины (модуля)
по дисциплине: Математическая теория оптимального управления
по направлению: ПМИ
профиль подготовки
магистерская программа:
факультет: ФИВТ
кафедра: ТППИ
курс: Математическая теория оптимального управления
квалификация:
Семестр, формы промежуточной аттестации:
Аудиторных часов: всего, в том числе:
лекции: 34
практические (семинарские) занятия: 34
лабораторные занятия:0
Самостоятельная работа: час., в том числе:
задания, курсовые работы: 1
Подготовка к экзамену:
Всего часов:
, всего зач. ед.:
Программу составил: A.В. Дмитрук
Программа обсуждена на заседании кафедры
ДД месяц ГГГГ
СОГЛАСОВАНО:
Заведующий кафедрой А. А. Брудно
Декан В.Е. Кривцов
Начальник учебного управления
1. Цели и задачи
Цель дисциплины - ознакомление слушателей с основами современной теории
экстремальных задач и их практическая подготовка к дальнейшему использованию
методов этой теории при решении прикладных задач и самостоятельной работе в области
оптимизации и оптимального управления
Задачи дисциплины –
ознакомление слушателей с задачами, принципами и методами теории
экстремальных задач;
- приобретение слушателями теоретических знаний, практических умений и навыков
в области исследования задач на экстремум;
- оказание консультаций и помощи слушателям в проведении собственных
теоретических и практических исследований различных задач оптимизации.
- совершенствование и расширение общенаучной базы.
-
2. Место дисциплины (модуля) в структуре образовательной программы
бакалавриата (магистратуры)
Дисциплина «Математическая теория оптимального управления» изучается
студентами четвертого курса и входит в вариативную часть цикла Б.2.
Данная дисциплина базируется на материалах курсов «Математика», а именно:
«Математический анализ», «Линейная алгебра», «Дифференциальные уравнения»,
«Функциональный анализ», «Выпуклый анализ», входящих в блок естественнонаучных и
общепрофессиональных дисциплин.
Дисциплина «
» предшествует изучению дисциплин:
-- ничему не предшествует
3. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине (модулю),
соотнесенных с планируемыми результатами освоения образовательной программы
Освоение дисциплины направлено на формирование следующих общекультурных,
общепрофессиональных и профессиональных компетенций бакалавра/магистра:
1. а) общекультурные (ОК):
2. владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию
информации, постановке целей и выбору путей её достижения (ОК-1);
3. умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную
речь, способность формировать и аргументированно отстаивать собственную
позицию, анализировать последствия научной и производственной деятельности
(ОК-2);
4. способность находить организационно-управленческие решения в нестандартных
ситуациях и готовность нести за них ответственность (ОК-4);
5. стремление к саморазвитию, повышению квалификации, готовность устранять
пробелы в знаниях и осуществлять самостоятельное обучение в контексте
непрерывного образования, способность осваивать новую проблематику, язык,
методологию и научные знания в избранной предметной области (ОК-6);
6. умение критически оценивать свои достоинства и недостатки, намечать пути и
выбирать средства развития достоинств и устранения недостатков (ОК-7);
б) профессиональные (ПК):
7. умение формализовать и решать отдельные части нестандартной задачи в общей
постановке (ПК-1);
8. понимание важности воздействия внешних факторов, способность их учёта в ходе
исследований и разработок (ПК-2);
9. готовность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в
профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования в физике, химии,
экологии, других естественных и социально-экономических науках (ПК-3);
10. готовность выявить сущность задач, возникающих в ходе профессиональной
деятельности, привлечь соответствующий физико-математический аппарат для их
решения (ПК-4);
11. владение базовой лексикой и основной терминологией по направлению подготовки,
готовность к подготовке и редактированию текстов профессионального содержания на
русском и английском языках (ПК-5);
12. способность планировать и проводить простые эксперименты и исследования,
выполнять проекты и задания (ПК-9);
13. готовность брать на себя ответственность за качество и результаты своей
деятельности (ПК-10);
14. знание и понимание теории и методов применения математики и информатики для
построения качественных и количественных моделей в науке, технике и технологиях
(ПК-12);
15. способность применять на практике базовые профессиональные знания теории и
методов математических и физических исследований, направленных на решение
инженерных, технических, экономических, экологических, информационных и
технологических инновационных задач (ПК-16);
16. способность понимать, излагать и критически анализировать получаемую
информацию и представлять результаты прикладных математических, физических
исследований, направленных на решение инженерных, технических, социальноэкономических, информационных технологических инновационных задач (ПК-17).
В результате освоения дисциплины обучающиеся должны
знать:
1. базовые понятия и вопросы теории экстремума, основные типы оптимизационных
задач и основные теоремы об условиях экстремума;
2. основные факты из линейного и нелинейного функционального анализа, используемые
в теории оптимизации;
3. Постановку общей задачи на экстремум с гладкими ограничениями равенства и
неравенства и правило множителей Лагранжа в ней;
4. Понятие о методе вариаций для вывода условий экстремума;
5. Понятие конуса критических вариаций в гладкой задаче и его роль в условиях
экстремума;
6. Необходимые и достаточные условия «второго» порядка для локального минимума в
гладкой задаче;
7. Постановку задачи Лагранжа классического вариационного исчисления и условия
экстремума в ней, понятие сильного и слабого минимума, экстремали;
8. Уравнение Эйлера и его первые интегралы (законы сохранения) для задач
классического вариационного исчисления;
9. Условия Лежандра и Якоби для знакоопределенности второй вариации в задаче
Лагранжа, понятие и роль сопряженной точки;
10. Постановку задачи оптимального управления понтрягинского типа и формулировку
принципа максимума Понтрягина;
11. Понятие фазовой, управляющей и сопряженной переменной, условий
трансверсальности и условия максимума функции Понтрягина;
12. Понятия особых и неособых режимов, краевой задачи принципа максимума, синтеза
оптимального управления, игольчатых вариаций управления;
13. формулировку принципа максимума для задач оптимального управления со
смешанными ограничениями;
14. Понятие о методе динамического программирования и его связи с принципом
максимума;
15. Общую теорему Вейерштрасса о существовании решения в задачах на экстремум;
16. Теорему существования в задаче оптимального управления, выпуклой по
управлению;
17. классические примеры задач вариационного исчисления и оптимального
управления и их решения.
уметь:
18. давать формальную математическую постановку оптимизационных задач
геометрического, технического, экономического и т.п. содержания;
19. применять теоретические результаты для исследования конкретных задач;
20. анализировать полученные условия оптимальности и находить с их помощью
решение задачи;
21. находить экстремали в задачах оптимального управления и проводить дальнейшее
их исследование на наличие минимума;
22. исследовать зависимость решения от параметров задачи;
23. находить производные нелинейных отображений нормированных пространств;
24. проверять выполнение условия регулярности оператора равенств;
25. делать переформулировки новых задач с целью приведения их к наиболее удобному
для изучения виду;
26. выписывать вторую вариацию функции Лагранжа и выяснять ее
знакоопределённость;
27. находить сопряженные точки квадратичных функционалов;
28. делать оценки различных членов разложений, встречающихся в теории экстремума;
29. строго доказывать основные утверждения теории экстремума;
владеть:
1.
2.
3.
4.
навыками самостоятельной работы с учебной и научной литературой;
навыками строгих математических рассуждений;
культурой постановки и формализации прикладных задач оптимизации;
основными понятиями и результатами теории экстремума и связанными с ними
понятиями функционального анализа и дифференциальных уравнений.
4. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам) с
указанием отведенного на них количества академических часов и видов учебных
занятий
4.1. Разделы дисциплины (модуля) и трудоемкости по видам учебных занятий
№
п/п
Тема (раздел)
дисциплины
Виды учебных занятий, включая самостоятельную работу
Лекции
Аппарат функционального анализа
Условия экстремума в
общей гладкой задаче
Условия экстремума
в задачах вариационного исчисления
Задачи оптимального
управления и принцип
максимума Понтрягина
Существование решения
в задачах на экстремум
ИТОГО
Общая трудоемкость
6
Практич.
(семинар.)
задания.
6
8
8
8
8
10
10
2
2
34
34
(не заполнять)
Лаборат.
работы
Задания,
курсовые
работы
Самост.
работа.
4.2. Содержание дисциплины (модуля), структурированное по темам (разделам)
1) Факты из линейного функционального анализа (теорема Хана—Банаха об отделимости
выпуклых множеств, лемма о нетривиальности аннулятора у собственного подпространства, теорема Дубовицкого—Милютина о непересечении выпуклых конусов, теорема
Банаха об открытом отображении и оценка прообраза через норму образа, лемма о замкнутости образа составного линейного оператора, лемма об аннуляторе ядра линейного
сюрьективного оператора).
2) Дифференцирование отображений нормированных пространств: производные по
направлению, по Гато, по Фреше. Теорема о конечном приращении (о среднем).
Оператор Немыцкого и его производная. Уравнение в вариациях для ОДУ.
3) Теорема Люстерника об оценке расстояния до множеств уровня оператора и теорема о
касательном подпространстве к множеству уровня. Условие регулярности оператора в
данной точке: сюрьективность производной.
4) Общая задача на экстремум с ограничениями в банаховом пространстве с ограничениями равенства и неравенства. Необходимые условия первого порядка для локального
минимума (схема Дубовицкого—Милютина). Правило множителей Лагранжа. Активные
индексы и условия дополняющей нежесткости. Единственность множителей Лагранжа в
случае невырожденных ограничений равенства.
5) Симметричность необходимых условий минимума относительно перестановки целевого функционала и любого активного ограничения неравенства. Задача на минимакс и ее
сведение к гладкой задаче с ограничениями неравенства.
6) Конус критических вариаций в гладкой задаче с ограничениями равенства и неравенства. Его тривиальность – достаточное условие первого порядка для локального минимума.
Мягкие (особые) и жесткие (неособые) неравенства в записи критического конуса.
7) Необходимые и достаточные условия квадратичного («второго») порядка для локального минимума в задаче с ограничениями равенства и неравенства.
8) Каноническая задача Лагранжа классического вариационного исчисления в понтрягинской форме. Пространства фазовых и управляющих переменных. Слабый и сильный
минимум. Производная оператора равенств задачи Лагранжа и замкнутость ее образа.
9) Применение общего правила множителей Лагранжа к задаче Лагранжа КВИ.
Обобщенная лемма Дюбуа—Раймона. Уравнение Эйлера—Лагранжа: сопряженное
уравнение, условия трансверсальности, условие стационарности по управлению.
10) Задачи, сводящиеся к канонической задаче Лагранжа: задача с интегральным функционалом, с изопериметрическими ограничениями, со старшими производными, задачи на
нефиксированном отрезке времени.
11) Простейшая задача КВИ с закрепленными концами. Уравнение Эйлера и его первые
интегралы (законы сохранения). Лагранжиан и уравнение Эйлера для системы материальных точек в потенциальном поле. Второй закон Ньютона и закон сохранения энергии.
12) Квадратичный порядок в задаче Лагранжа. Необходимые и достаточные условия
этого порядка для слабого минимума.
13) Вопрос о знакоопределенности второй вариации. Необходимое условие Лежандра.
Усиленное условие Лежандра. Теория сопряженных точек и условия Якоби.
Критерий управляемости линейной системы на данном отрезке.
14) Каноническая понтрягинская задача оптимального управления. Формулировка
принципа максимума Понтрягина. Функция Понтрягина. Доказательство ПМ для случая
свободного правого конца. Игольчатые вариации управления.
15) Применение ПМ к простейшей задаче КВИ: вывод уравнения Эйлера, условий
Вейерштрасса и Вейерштрасса—Эрдмана, закона сохранения энергии.
16) Общая идея решения задач оптимального управления с помощью принципа максимума. Краевая задача принципа максимума. Особые и неособые режимы. Проблема
синтеза оптимального управления – построения управления как функции от фазовых
переменных (обратная связь).
17) Принцип максимума в задачах с фазовыми и регулярными смешанными ограничениями (б/д). Функции ограниченной вариации и порождаемые ими меры. Линейные функционалы над пространством измеримых ограниченных функций и теорема Иосиды—
Хьюитта. Пример: задача о геодезических на поверхности S(x) = 0.
18) Метод динамического программирования и его связь с принципом максимума.
Уравнение Гамильтона—Якоби—Беллмана.
19) Существование решения в задачах на экстремум. Полунепрерывные снизу функции.
Теорема Вейерштрасса. Теорема существования в общей задаче оптимального
управления, выпуклой по управлению (б/д). Условие Филиппова на правую часть
управляемой системы. Слабая-* замкнутость множества управлений, принимающих
значения в выпуклом замкнутом множестве. Полунепрерывность снизу интегрального
функционала, выпуклого по управлению, относительно слабой-* сходимости управлений.
5. Описание материально-технической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине (модулю)
Большая доска, желательно стандартная меловая.
6. Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения
дисциплины (модуля)
Основная литература
Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. Математическая
теория оптимальных процессов. М., Наука, 1969.
В.М. Алексеев, В.М. Тихомиров, С.В. Фомин. Оптимальное управление. М., Наука,
1979, Физматлит, 2006.
А.А. Милютин, А.В. Дмитрук, Н.П. Осмоловский. Принцип максимума в оптимальном
управлении. Мехмат МГУ, 2004 http://www.math.msu.su/department/opu/node/139
В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров. Сборник задач по оптимизации. М.,
Наука, 1984.
Дополнительная литература
И.М. Гельфанд, С.В. Фомин. Вариационное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров. Теория экстремальных задач. М., Наука, 1974.
И.В. Гирсанов. Лекции по теории экстремальных задач. МГУ, 1970, РХД, 2004.
Б.Н. Пшеничный. Необходимые условия экстремума. М., Наука, 1982.
Б.Т. Поляк. Введение в оптимизацию. М, Наука, 1983.
С.А. Ашманов, А.В. Тимохов. Теория оптимизации в задачах и упражнениях. М., Наука,
1991.
В.М. Тихомиров. Рассказы о максимумах и минимумах. М., Наука, 1986, МЦНМО, 2006.
М.И. Зеликин. Оптимальное управление и вариационное исчисление. М., УРСС, 2004.
«Оптимальное управление». Коллективная монография кафедры ОПУ мехмата МГУ
(ред. В.М. Тихомиров, Н.П. Осмоловский), М., МЦНМО, 2008.
А.В. Дмитрук. Об условиях оптимальности в задачах на экстремум с ограничениями –
доклад на Математическом кружке МФТИ (май 2013):
http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?option_lang=rus&presentid=6752
7. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы
обучающихся по дисциплине (модулю)
8. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети "Интернет",
необходимых для освоения дисциплины (модуля)
9. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень
программного обеспечения и информационных справочных систем (при
необходимости)
¹
п/п
Вид занятия
Форма проведения занятий
Цель
1
Лекция
изложение теоретического
материала
получение теоретических знаний
по дисциплине
3
семинары
применение теории к решению
конкретных задач и примеров
демонстрация эффективности
теоретического аппарата для
решения задач
4
самостоятельная
работа студента
Изучение теории по указанной
литературе, решение задач и
проработка материалов лекций
усвоение теоретического
материала и овладение навыками
практического решения задач.
10. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (при
необходимости)
11. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам
обучения (при необходимости)
Приложение