Решение в безопасных стратегиях задачи борьбы за ренту

Решение в безопасных стратегиях задачи борьбы за ренту
Таллока
Михаил Б. Искаков
Алексей Б. Искаков
Алексей В. Захаров
Формулировка постановки задачи борьбы за ренту – смотри в [1], [2], [3]. В
докладе приведено решение в безопасных стратегиях [4] этой задачи для двух игроков с
равной силой. Два игрока в соревновании за получение ренты платят взносы x1 , x2 .
Вероятность получения ренты единичной ценности равна
xi
. Таким образом,
 xj
j 1, 2
функции выигрыша игроков равны:
x
x
u1 ( x1 , x2 )   1   x1 , u2 ( x1 , x2 )   2   x2 .
x1  x2
x1  x2
В соответствии с исследованием [2], при   2 игра имеет единственный
равновесный по Нэшу профиль x*  ( / 4, / 4) , при   2 равновесий Нэша в игре нет. В
этой матричной игре, наравне с равновесием Нэша, в котором оба игрока имеют
одинаковые выигрыши, имеются еще два РБС, в которых весь выигрыш получает лишь
один из игроков, а второй вынужден под него подстраиваться, предпочитая нулевой
выигрыш отрицательному. При этом, первый игрок, хотя и может отклониться, увеличив
свой выигрыш, но тогда другой игрок может перевести игру в равновесие с равными
выигрышами. Для игры за ренту это соответствует двум возможным типам РБС: уже
известному равноправному равновесию Нэша, и двум вновь найденным монопольным
РБС. В этих РБС выигравший монополист устанавливает достаточно высокий платеж за
ренту, создающий барьер входа другому игроку, которому становится невыгодным
участвовать в соревновании за получение ренты.
Метод исследования этой задачи – построение функций наилучшего безопасного
ответа, множества профилей наилучших безопасных стратегий, проверка условий
определения РБС (которые в данном случае также выполняются для всех найденных
профилей).
BSRi ( xi )
Для
нахождения функции
необходимо
использовать
три
ui
 0 и задают
вспомогательных функции. Первые две из них определяются условием
xi
все точки локальных максимумов и минимумов функции полезности игрока i по его
стратегии:
( xi ,  i ( xi )), ( xi ,  i ( xi )),

 x 1
 i ( xi )   i   2 xi   2  4xi
 2

1


 , 0  xi  .
4

2
 1
Здесь ( xi ,  i ( xi )) при 0  xi 
соответствуют локальным минимумам,
4
остальные случаи – локальным максимумам функции полезности игрока i.
Третья функция i ( xi ) задается условием ui (i ( xi ), xi )  ui (( i ) 1 ( xi ), xi ) ,
ui (( i ) 1 ( xi ), xi )  0 , где  i соответствуют точкам максимумов функции полезности.
При стратегиях xi  (i ( xi ), ( i ) 1 ( xi )) значение целевой функции игрока i меньше, чем в
точке своего локального максимума по своей стратегии (( i ) 1 ( xi ), xi ) .
Функции безопасных ответов имеют разный вид для четырех случаев. При
0    1:
 i ( xi ), xi   / 4
BSRi ( xi )    1
( i ) ( xi ), xi   / 4
При   1:
1, xi  0

   ( x ), 0  x  1 / 4

i
BSRi ( xi )   i 1 i
( i ) ( xi ), 1 / 4  xi  1

0, xi  1
При 1    2 :
 1


(
x
),
0

x

i

i

i



 1



i ( xi ),
 xi 


4
BSRi ( xi )  
 1

1
( i ) 1 ( xi ),  xi  (  1) 
4


 1

1
0, xi  (  1) 



При   2 :
 1

  1 1



(
x
),
0

x

min
,
(


1
)
 i i


i

  

 1



1
1
BSRi ( xi )  
i ( xi ),
 xi  (  1) 



 1
1

0, xi  (  1) 



Множество наилучших безопасных профилей, совпадающее с множеством РБС,
будет:
При   (0,1) : M EinSS  {( x* , x* )} .
При   [1,2] : M EinSS  {( x ,0), (0, x ), ( x* , x* ), (  ( x), x), ( x,   ( x)), x  [ xˆ , x* ]} .
При   (2, ) : M EinSS  {( x ,0), (0, x )} .
 1
1
 1

 (  1)  ,   1
Здесь x  
, xˆ 
, x*  .

4

1,   1

Полученное решение имеет интересную содержательную интерпретацию.
Равновесие Нэша ( x* , x* ) можно трактовать как равновесие открытого доступа [5], в
котором оба участника борьбы за ренту имеют равные шансы победить. Равновесие вида
(x ,0) означает образование привилегированной монополии, однозначно закрепляющей
возможность получения ренты за одним игроком. При этом другому игроку вступать в
соревнование невыгодно, он не может преодолеть образовавшийся барьер доступа к
соревнованию. Третий тип РБС (  ( x), x) , подразумевает, что хотя доступ к участию в
соревновании открыт, но, тем не менее, первый игрок находится в менее выигрышном
положении – его платеж   (x) больше, а выигрыш меньше, чем в равновесии ( x* , x* ) .
Интересна зависимость решения задачи от параметра , который можно
интерпретировать как жесткость правил соревнования. При 0    1 соревнование идет
по уравнительным правилам, то есть участник, уплативший меньший взнос, получает
вероятность выигрыша более, чем пропорциональную величине своего вклада. В этом
случае возможно установление только равновесий открытого доступа. Противоположный
случай,   2 , означает сильно дифференцирующие правила соревнования. Шансы
выиграть при малом взносе намного меньшие, чем пропорционально размеру взноса. В
этих условиях существует единственная возможность образования привилегированной
монополии. В промежуточном случае, 1    2 , при слабо дифференцирующих правилах
соревнования сосуществуют обе возможности, как образования равновесия открытого
доступа, так и равновесия привилегированной монополии. Корме того, при таких
условиях возможно установление промежуточного равновесия, в котором доступ открыт,
но условия для игроков неравные.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
Tullock G. (1967), The welfare costs of tariffs, monopoly and theft, Western
Economic Journal, 5, 224–232.
Tullock G. (1980), Effcient rent seeking. In James M. Buchanan, Robert D.
Tollison, Gordon Tullock, (Eds.), Toward a theory of the rent-seeking society.
College Station, TX: Texas A&M University Press, 97-112.
Skaperdas S. (1994), Contest success functions. Economic Theory, 7, 283-290.
Iskakov M., Iskakov A. (2012), Solution of the Hotelling’s game in secure
strategies, Economics Letters, 117, 115-118.
North D.C., Wallis J.J., and Weingast B.R. (2009), Violence and Social Orders:
A Conceptual Framework for Interpreting Recorded Human History, New
York: Cambridge University Press.