матемx

1. 107 кг сухофруктов требуется пересыпать в пакеты вместимостью 2 кг,
3кг, и 9кг. Какое наименьшее число пакетов потребуется для этого?
Решение.
Методом подбора.
Возьмем 11 пакетов вместимостью 9 кг. 11 × 9=99кг.
Остальные 8 кг можно пересыпать в 2 пакета вместимостью 3 кг и 1 пакет
вместимостью 2 кг, так что 14 пакетов достаточно. Если же взять хотя бы на
1 пакет вместимостью 9 кг меньше, то пересыпать оставшиеся не менее чем
17 кг понадобится не меньше 6 пакетов, так что общее число пакетов будет
больше 14.
Ответ. 14 пакетов.
2. Сколько можно составить из цифр 2, 3, 4 и 5 четырехзначных чисел,
делящихся на 11.
Решение.
Воспользуемся признаком делимости на 11.
Признак делимости на 11. Число делится на 11, если модуль разности между
суммой цифр, стоящих на нечетных местах и суммой цифр занимающих
четные места делится на 11, или если модуль разности равен нулю.
Методом подбора.2354, 2453, 3245, 3542, 4235, 4532, 5324, 5423, 2343, 3234,
4323, 3432, 4345, 3454, 4543, 5434, 2222, 3333, 4444, 5555. Всего 20 чисел.
Ответ. 20 чисел.
3. Разложить на множители x3  9 x 2  11x  21
Решение.
х3 + 9х2 + 11х – 21 = х3 + 9х2 + 27х + 27 – 16х – 48 = (х + 3)3 − 16 (х+3) =
(х+3) ((х + 3)2 - 16) = (х+3) (х+3- 4) (х+3+4) = (х+3) (х-1) (х+7)
Ответ. (х+3) (х-1) (х+7).
4. Улитка ползает по столбу высотой 10м. За день она поднимается на 5 м, а
за ночь опускается на 4 м. За какое время улитка доберется от подножия до
вершины столба?
Решение.
К концу первых суток улитка поднимется на 1 м, к середине вторых суток –
на 6 м, к середине 3-х - на 7м…, к середине 5-х – на 9м, к середине 6-х – на
10м. Таким образом, улитка доберется от подножия до вершины столба за
5,5 суток.
Ответ. 5,5 суток.
5. За два года предприятие снизило объем выпускаемой продукции на 51%.
При этом каждый год объем продукции снижался на одно и то же число
процентов. На сколько?
Решение.
Пусть ежегодно выпуск продукции снижался на 𝑥%. Возьмём
первоначальный объем продукции за 1.Тогда через год продукции будет
𝑥
𝑥
выпущено 1− , а через два года – (1 −
)2 .По условию это число равно
51
100
𝑥
100
1= 0,49, откуда 1 = 0,7 и 𝑥 = 30. Значит, ежегодно выпуск
100
100
продукции снижался на 30 %.
Ответ. На 30 %.
6. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на два равных
треугольника?
Решение.
Тремя способами: проведя 3 медианы (высоты, биссектрисы).
Ответ. Тремя способами: проведя 3 медианы (высоты, биссектрисы).
7. 101 лошадь разместили в 15 конюшнях. Почему хотя бы в одной конюшне
будет обязательно нечетное число лошадей?
Решение.
Решим задачу методом от противного. Допустим, в каждой конюшне
находится четное число лошадей, тогда сумма четных чисел – число четное.
А по условию всего лошадей 101 – число нечетное. Таким образом, получили
противоречие. Значит, хотя бы в одной конюшне будет нечетное число
лошадей.
8. Имеется 9 пластинок и двухчашечные весы без гирь. По виду все
пластинки одинаковые, но одна из них легче других. Как с помощью двух
взвешиваний найти более легкую пластинку?
Решение.
Разделим 9 пластинок на 3 кучи по 3 пластинки. Произведем первое
взвешивание: положим 2 кучи по 3 монеты на каждую чашку весов.
Возможны 2 случая:
1)Весы находятся в равновесии, тогда на весах находятся одинаковые
пластинки; более легкая пластинка находится среди тех пластинок, которые
не взвешивались;
2)Равновесия на весах нет, тогда более легкая пластинка, где куча легче.
Определив, таким образом кучу с более легкой пластинкой, выполним с ней
второе взвешивание. Возьмем из трех пластинок любые две и положим их
на чашки весов. Снова возможны 2 случая:
1)Весы находятся в равновесии, тогда более легкая пластинка оставшаяся;
2)Равновесия нет, в этом случае более легкая пластинка там, где вес меньше.
9. Дробь
В  А Р  Е  Н  Ь Е
равна целому числу, разные буквы обозначают
К  А Р  Л С О  Н
разные цифры, а между ними стоит знак умножения. Чему равна дробь?
Ответ обоснуйте.
Решение.
В выражении использованы десять различных букв, что соответствует 10
различным цифрам. Так как на 0 делить нельзя, то 0 будет входить в
числитель.
Поэтому дробь равна 0.
Ответ. 0.
10. Один фонтан наполняет бассейн за 2,5 ч, а другой - за 3,75ч. За какое
время наполнят бассейн оба фонтана?
Решение
Первый фонтан за 1 час наполнит
час наполнит
+
4
15
=
10
15
2
1
3,75
=
4
15
1
2,5
=
2
5
бассейна, а второй фонтан - за 1
бассейна. Работая вместе, фонтаны за 1 час наполнят
= (бассейна), поэтому весь бассейн будет наполнен за 1,5 ч.
3
Ответ. За 1,5 часа.
2
5